René DescartesDescartes et les Mathématiques

Angles et rotations

Exercices de géométrie résolus avec des angles : cercle, arc capable, pivot.

Sommaire

1. Arc capable

2. Pivot

3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit

4. Cordes de cercles tangents

5. Alignement avec un point et son transformé

6. Droites orthogonales dans un carré

Diamètres de deux cercles sécants : alignement - concours - cocyclicité

Angles inscrits

Point de Miquel - Cercle de Miquel

Pentagone régulier :
    constructions exactes

    constructions approchées

Carré et triangles équilatéraux – Prouver des alignements

1. Arc capable

Lieu d'où l'on « voit » un segment suivant un angle donné

lieu de point - arc capable - copyright Patrice Debart 2003

A et B sont deux points donnés du plan.

Le problème consiste à :
trouver l'ensemble L des points M du plan tels que l'angle (vect(MA), vect(MB)) soit égal à α.
(α donné en degrés entre −180° et 180°).

g2w Télécharger la figure GéoPlan arcapabl.g2w

1.b. Construction de l'arc capable

lieu de point - arc capable - copyright Patrice Debart 2003

Reporter l'angle α le long de [BC) et on trouve une tangente [AT) au cercle circonscrit.
La perpendiculaire en B à cette tangente rencontre la médiatrice de [BC] en O, centre du cercle.

L'arc capable AMB est situé sur le cercle de centre O, passant par A.

C'est le lieu des points M d'où l'on « voit » le segment [AB] suivant l'angle α.

g2w Télécharger la figure GéoPlan arcapabl_cons.g2w

Angles inscrits

Lieux géométriques

2. Théorème du pivot

Premier théorème de Miquel

théorème du pivot - théorème des trois cercles de Miquel - copyright Patrice Debart 2003

ABC est un triangle. Quels que soient les points I, J et K situés sur les côtés du triangle, les cercles circonscrits aux triangles AJK, BIK et CIJ sont concourants en un point P, pivot des trois points (dit aussi point de Miquel du triangle : X(501) de ETC).

Démontré en 1838 par A. Miquel, ce résultat fut dénommé théorème du pivot par Forder.

g2w Télécharger la figure GéoPlan an_pivot.g2w

Théorème des trois cercles

Application réciproque : (c1), (c2) et (c3) sont trois cercles concourants en P.

A est un point du cercle (c1). Ce cercle recoupe (c2) en K et (c3) en J.
La droite (AK) recoupe le cercle (c2) en B et la droite (AJ) recoupe le cercle (c3) en C.

Si I est l'autre point d'intersection de (c2) et (c3), le théorème du pivot permet de montrer que les points B, I et C sont alignés.

g2w Quadrilatère complet, point de Miquel, cercle de Miquel et points cocycliques : plan projectif

GeoGebra Point et cercle de Miquel : feuille de travail dynamique avec GeoGebra

g2w Autres concours de cercle, démontrés par Miquel, voir : triangles de Napoléon

Théorème des cinq cercles : cercles en seconde

g2w Télécharger la figure GéoPlan a_pivot2.g2w

Figures exportées dans Wikipédia : théorème de Miquel

3. Un côté du triangle orthique et une tangente parallèles

un côté du triangle orthique et une tangente au cercle circonscrit parallèles - copyright Patrice Debart 2016

ABC est un triangle et (c) son cercle circonscrit.
Les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs issues de B et C.
Montrer que la droite (B’C’) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit (c).

Voir triangle orthique : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

Solution

L'angle ACB inscrit dans le cercle (c) est égal à l'angle BÂt de la corde et de la tangente.

L'angle extérieur hBhCA du triangle BhBhC est égal à la somme des deux angles intérieurs :
hBhCA = hChBB + hBBhC.
Les points hB’ et hC sont situés sur le cercle (c’) de diamètre [BC].
Des égalités des angles inscrits hBChC = hBBhC pour l'arc hBhC et hCCB = hChBBpour l'arc hCB;
on déduit que :
ACB = hBChC + hCCB = hBBhC + hChBB = hBhCA .

Les angles alternes-internes hBhCA et BÂT sont égaux (égaux à ACB)
La droite (hBhC) est parallèle à la tangente (At).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Parallèle à un côté du triangle orthique

Application : montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes ; démonstration d'Archimède : la géométrie du triangle.

4.a. Cordes de cercles tangents

cordes de cercles tangents extérieurement - copyright Patrice Debart 2003

Deux cercles (c1) de centre O1 et (c2) de centre O2 sont tangents en T.
Deux droites, passant par T, coupent le cercle (c1) en M et N, et le cercle (c2) en M’ et N’.

Montrer que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cer_tang.g2w

Solutions

Corde et tangente

cordes de cercles tangents intérieurement - copyright Patrice Debart 2003

Dans les figures ci-dessus, d'après le théorème limite de cocyclicité on remarque que l'angle inscrit NMT est égal à l'angle de la corde [NT] et de la tangente en T.
Cet angle est aussi opposé à l'angle de la tangente ne T et de la corde [TN’] égal à l'angle inscrit N’M’T

Les angles NMT et N’M’T, alternes-internes, dans la figure de gauche, ou correspondants, dans la figure de droite, sont égaux. Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Calcul d'angles au centre

cordes de cercles tangents - copyright Patrice Debart 2003

Les angles O1TM et O2TM’, opposés par le sommet, sont égaux.
Les triangles isocèles O1TM et O2TM’ sont donc semblables.
Les angles MO1T et M’O2T sont égaux.

Dans le cercle (c1), l'angle inscrit MNT est égal à la moitié de l'angle au centre MO1T,
dans (c2), l'angle inscrit M’N’T est égal à la moitié de l'angle au centre M’O2T.

Les angles MNT et M’N’T, alternes-internes dans la figure ci-contre sont égaux, les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Homothétie

En classe de première, utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c1) en (c2). Par h, M’ est l'image de M, N’ est l'image de N, la droite (M’N’), image de (MN), est parallèle à (MN).

g2w Télécharger la figure GéoPlan cer_tang_s.g2w

Voir l'utilisation de cette configuration pour tracer à la « règle et au compas » la parallèle à une droite passant par un point donné.

Voir aussi: lieu du transformé d'un point mobile sur un cercle

4.b. Recherche d'un point fixe

recherche d'un point fixe - copyright Patrice Debart 2003

Soit O1, O2 et A trois points du plan et T un point à l'intérieur du segment [O1O2].

Deux cercles (c1) de centre O1 et (c2) de centre O2 sont tangents en T.
M est un point variable sur le cercle (c1).
La droite (MT) recoupe le cercle (c2) en M’.
La droite (MA) recoupe le cercle (c1) en N.
La droite (NT) recoupe le cercle (c2) en N’.

Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.
Montrer que lorsque le point M varie, la droite (M’N’) passe par un point fixe A’.

Utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c1) en (c2). A’ est l'image de A par h.

g2wTélécharger la figure GéoPlan cer_tan2.g2w

5. Alignement avec un point et son transformé par une rotation

transformation géométrique rotation - alignement avec un point et son transformé - copyright Patrice Debart 2003

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c1). Une rotation de centre A, d'angle t, transforme le cercle (c1) en un cercle (c2) et le point M en un point M’.

Les cercles (c1) et (c2) ont comme deuxième point d'intersection B.

Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Le principe de démonstration est le suivant : le triangle AMM’ est isocèle (l'image de [AM] par la rotation est [AM’] donc AM = AM’) ; son angle au sommet A reste constant égal à l'angle t de la rotation ; il en est donc de même des angles en M et M’, les côtés [MA], [MM’] de l'angle en M découpent sur le cercle (c1) un arc AB de longueur fixe ; l'extrémité B est donc un point fixe du cercle (c1).
De même, la droite (MM’) passe par un point fixe du cercle (c2).
La droite (MM’) passe par un point commun aux deux cercles : le point B, deuxième point d'intersection de ces cercles.

Réciproquement : soit deux cercles (c1) et (c2) de même rayon qui se coupent en A et B.
Si M et M’ sont les deux points diamétralement opposés à A, respectivement sur les cercles (c1) et (c2), alors les points M, B et M’ sont alignés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan rot_cerc.g2w

Voir : Commeau - Géométrie maths élem - Masson, 1963 (mon livre de cours en terminale).

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,

Pour deux cercles de rayons différents, voir le problème analogue avec une similitude.

6. Droites menées d'un sommet au milieu d'un côté du carré

6.a. Droites orthogonales dans un carré

droites menées d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré - droites orthogonales - copyright Patrice Debart 2003

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Indication

Avant la réforme du lycée de 2008, en classe de seconde, on pouvait utiliser une rotation, quart de tour de centre O, milieu du carré,
en 1ère S, on peut encore montrer que le produit scalaire vect(AI).vect(BJ) est nul.

Voir carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_3.g2w

6.b. Variante : I et J sont deux points situés respectivement sur les côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD tels que BI = CJ.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

6.c. Autre figure

droites menees d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré - deux paires de droites perpendiculaires - copyright Patrice Debart 2003

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD. Les droites (AB) et (IJ) se rencontrent en K.

Montrer que la droite (AC) est orthogonale à (IJ) et en déduire que (AI) est orthogonale à (CK).

Montrer que BKCJ est un parallélogramme et en déduire que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_4.g2w

6.d. Hauteurs du triangle AIJ

droites menees d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré - hauteurs d'un triangle - copyright Patrice Debart 2003

Les points I, J et K sont les milieux des côtés [BC], [CD] et [AD] d'un carré ABCD.

Les droites (DI) et (BJ) sont les hauteurs du triangle AIJ.

Médiane de l'un, hauteur de l'autre

La droite (DI) est la hauteur du triangle ADJ et la médiane du triangle CDK.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_5.g2w

Voir : calculs d'angles (avec le produit scalaire)

 

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