Site Descartes et les Mathématiques

Angles et rotations

Exercices de géométrie résolus avec des angles : cercle, arc capable, pivot.

1. Arc capable

2. Théorème du pivot (premier théorème de Miquel)

ABC est un triangle. Quels que soient les points I, J et K situés sur les côtés du triangle, les cercles circonscrits aux triangles AJK, BIK et CIJ sont concourants en un point P, pivot des trois points (dit aussi point de Miquel du triangle).

Démontré en 1838 par A. Miquel, ce résultat fut dénommé théorème du pivot par Forder.

Télécharger la figure GéoPlan an_pivot.g2w

Théorème des trois cercles

Application réciproque : (c₁), (c₂) et (c₃) sont trois cercles concourants en P.

A est un point du cercle (c₁). Ce cercle recoupe (c₂) en K et (c₃) en J.
La droite (AK) recoupe le cercle (c₂) en B et la droite (AJ) recoupe le cercle (c₃) en C.

Si I est l'autre point d'intersection de (c₂) et (c₃), le théorème du pivot permet de montrer que les points B, I et C sont alignés.

3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit

ABC est un triangle et (c) son cercle circonscrit.
Les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs issues de B et C.
Montrer que la droite (B’C’) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit (c).

Voir triangle orthique : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

Solution

L'angle ACB inscrit dans le cercle (c) est égal à l'angle BÂT de la corde et de la tangente.

L'angle extérieur B’CA du triangle BB’C’ est égal à la somme des deux angles intérieurs :
B’CA = C’BB’ + C’B’B.
Les points B’ et C’ sont situés sur le cercle (c’) de diamètre [BC].
Des égalités des angles inscrits B’BC’ = B’CC’ et C’B’B = C’CB on déduit que :
B’CA = C’BB’ + C’B’B = B’CC’ + C’CB = B’CB.

On a donc B’CA = ACB et avec ACB = BÂT, on a montré que les angles alternes-internes B’C’A et BÂT sont égaux.
La droite (B’C’) est parallèle à la tangente (AT).

Application : montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes ; démonstration d'Archimède : la géométrie du triangle.

Télécharger la figure GéoPlan pa_ortho.g2w

4.a. Cordes de cercles tangents

Deux cercles (c₁) de centre O₁ et (c₂) de centre O₂ sont tangents en T. Deux droites passant par T coupent le cercle (c₁) en M et N, elles coupent le cercle (c₂) en M’ et N’.
Montrer que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Télécharger la figure GéoPlan cer_tang.g2w

Solutions

Corde et tangente

Dans les figures ci-dessus, d'après le théorème limite de cocyclicité on remarque que l'angle inscrit NMT est égal à l'angle de la corde [NT] et de la tangente en T.
Cet angle est aussi opposé à l'angle de la tangente ne T et de la corde [TN’] égal à l'angle inscrit N’M’T

Les angles NMT et N’M’T, alternes-internes, dans la figure de gauche, ou correspondants, dans la figure de droite, sont égaux. Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Calcul d'angles au centre

Les angles O₁TM et O₂TM’, opposés par le sommet, sont égaux.
Les triangles isocèles O₁TM et O₂TM’ sont donc semblables.
Les angles MO₁T et M’O₂T sont égaux.

Dans le cercle (c₁), l'angle inscrit MNT est égal à la moitié de l'angle au centre MO₁T,
dans (c₂), l'angle inscrit M’N’T est égal à la moitié de l'angle au centre M’O₂T.

Les angles MNT et M’N’T, alternes-internes dans la figure ci-contre sont égaux, les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Homothétie

En classe de première, utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c₁) en (c₂). Par h, M’ est l'image de M, N’ est l'image de N, la droite (M’N’), image de (MN), est parallèle à (MN).

Télécharger la figure GéoPlan cer_tang_s.g2w

Voir l'utilisation de cette configuration pour tracer à la « règle et au compas » la parallèle à une droite passant par un point donné.
Voir aussi: lieu du transformé d'un point mobile sur un cercle

b. Recherche d'un point fixe

Soit O₁, O₂ et A trois points du plan et T un point à l'intérieur du segment [O₁O₂].

Deux cercles (c₁) de centre O₁ et (c₂) de centre O₂ sont tangents en T.
M est un point variable sur le cercle (c₁).
La droite (MT) recoupe le cercle (c₂) en M’.
La droite (MA) recoupe le cercle (c₁) en N.
La droite (NT) recoupe le cercle (c₂) en N’.

Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.
Montrer que lorsque le point M varie, la droite (M’N’) passe par un point fixe A’.

Utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c₁) en (c₂). A’ est l'image de A par h.

Télécharger la figure GéoPlan cer_tan2.g2w

5. Alignement avec un point et son transformé par une rotation

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c₁). Une rotation de centre A, d'angle t, transforme le cercle (c₁) en un cercle (c₂) et le point M en un point M’.

Les cercles (c₁) et (c₂) ont comme deuxième point d'intersection B.

Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Le principe de démonstration est le suivant : le triangle AMM’ est isocèle (l'image de [AM] par la rotation est [AM’] donc AM = AM’) ; son angle au sommet A reste constant égal à l'angle t de la rotation ; il en est donc de même des angles en M et M’, les côtés [MA], [MM’] de l'angle en M découpent sur le cercle (c₁) un arc AB de longueur fixe ; l'extrémité B est donc un point fixe du cercle (c₁).
De même, la droite (MM’) passe par un point fixe du cercle (c₂).
La droite (MM’) passe par un point commun aux deux cercles : le point B, deuxième point d'intersection de ces cercles.

Réciproquement : soit deux cercles (c₁) et (c₂) de même rayon qui se coupent en A et B.
Si M et M’ sont les deux points diamétralement opposés à A, respectivement sur les cercles (c₁) et (c₂), alors les points M, B et M’ sont alignés.

Voir : Commeau - Géométrie maths élem - Masson, 1963 (mon livre de cours en terminale).

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,
Pour deux cercles de rayons différents, voir le problème analogue avec une similitude.

Télécharger la figure GéoPlan rot_cerc.g2w

6. Droites menées d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré

a. Droites orthogonales dans un carré

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Indication

Avant la réforme du lycée de 2008, en classe de seconde, on pouvait utiliser une rotation, quart de tour de centre O, milieu du carré,
en 1^ère S, on peut encore montrer que le produit scalaire . est nul.

Voir carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire

Télécharger la figure GéoPlan carre_3.g2w

b. Variante : I et J sont deux points situés respectivement sur les côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD tels que BI = CJ.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

c. Autre figure

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD. Les droites (AB) et (IJ) se rencontrent en K.

Montrer que la droite (AC) est orthogonale à (IJ) et en déduire que (AI) est orthogonale à (CK).

Montrer que BKCJ est un parallélogramme et en déduire que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Télécharger la figure GéoPlan carre_4.g2w

d. Hauteurs du triangle AIJ

Les points I, J et K sont les milieux des côtés [BC], [CD] et [AD] d'un carré ABCD.

Les droites (DI) et (BJ) sont les hauteurs du triangle AIJ.

Médiane de l'un, hauteur de l'autre

La droite (DI) est la hauteur du triangle ADJ et la médiane du triangle CDK.

Télécharger la figure GéoPlan carre_5.g2w

Voir : calculs d'angles (avec le produit scalaire)

Angles trigonométrie	Construire un pentagone	Quadrilatère complet plan projectif	Homothéties	Seconde Pythagore	Faire de la géométrie dynamique
Sommaire 1. Arc capable 2. Pivot 3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit 4. Cordes de cercles tangents 5. Alignement avec un point et son transformé 6. Droites orthogonales dans un carré			Téléchargement Télécharger angle_rotation.doc : ce document au format « .doc » Télécharger angle_rotation.pdf : ce document au format « .pdf »
			Moteur de recherche
« Descartes et les Mathématiques » Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.

 ^e visite des pages « première ».