René DescartesDescartes et les Mathématiques

Angles et rotations

Exercices de géométrie résolus avec des angles : cercle, arc capable, pivot.

Sommaire

1. Arc capable
2. Pivot
3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit
4. Cordes de cercles tangents
5. Alignement avec un point et son transformé par une rotation
6. Droites orthogonales dans un carré

Diamètres de deux cercles sécants : alignement - concours - cocyclicité

Angles inscrits

Point de Miquel - Cercle de Miquel

Pentagone régulier :
    constructions exactes
    constructions approchées

Carré et triangles équilatéraux - Prouver des alignements

Angles
trigonométrie

Rotation

Quadrilatère complet
plan projectif

Index 1ère S

1ère S
Produit scalaire

Les problèmes du BOA
triangle et rotation

1. Arc capable

Lieu des points d'où l'on « voit » un segment suivant un angle donné

A et B sont deux points donnés du plan.

Le problème consiste à :
trouver l'ensemble L des points M du plan tels que l'angle (vect(MA), vect(MB)) soit égal à α.
(α donné en degrés entre −180° et 180°).

Arc capable

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Construction de l'arc capable

Arc capableReporter l'angle α le long de [BC) et on trouve une tangente [AT) au cercle circonscrit.
La perpendiculaire en B à cette tangente rencontre la médiatrice de [BC] en O, centre du cercle.

L'arc capable AMB est situé sur le cercle de centre O, passant par A.

C'est le lieu des points M d'où l'on « voit » le segment [AB] suivant l'angle α.

 

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Angles inscrits
Lieux géométriques

2. Théorème du pivot (premier théorème de Miquel)

PivotABC est un triangle. Quels que soient les points I, J et K situés sur les côtés du triangle, les cercles circonscrits aux triangles AJK, BIK et CIJ sont concourants en un point P, pivot des trois points (dit aussi point de Miquel du triangle).

Démontré en 1838 par A. Miquel, ce résultat fut dénommé théorème du pivot par Forder.

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Théorème des trois cercles

Application réciproque : (c1), (c2) et (c3) sont trois cercles concourants en P.

A est un point du cercle (c1). Ce cercle recoupe (c2) en K et (c3) en J.
La droite (AK) recoupe le cercle (c2) en B et la droite (AJ) recoupe le cercle (c3) en C.

Si I est l'autre point d'intersection de (c2) et (c3), le théorème du pivot permet de montrer que les points B, I et C sont alignés.

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g2w Quadrilatère complet, point de Miquel, cercle de Miquel et points cocycliques : plan projectif
GeoGebra Point et cercle de Miquel : feuille de travail dynamique avec GeoGebra

Autres concours de cercle, démontrés par Miquel, voir : triangles de Napoléon
Théorème des cinq cercles : cercles en seconde

WikiPédiaFigures exportées dans Wikipédia : théorème de Miquel

3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit

Parallélisme

g2w Télécharger la figure GéoPlan pa_ortho.g2w

ABC est un triangle et (c) son cercle circonscrit.
Les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs issues de B et C.
Montrer que la droite (B’C’) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit (c).

Voir triangle orthique : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

Solution

L'angle ACB inscrit dans le cercle (c) est égal à l'angle BÂT de la corde et de la tangente.

L'angle extérieur B’CA du triangle BB’C’ est égal à la somme des deux angles intérieurs :
B’CA = C’BB’ + C’B’B.
Les points B’ et C’ sont situés sur le cercle (c’) de diamètre [BC].
Des égalités des angles inscrits B’BC’ = B’CC’ et C’B’B = C’CB on déduit que :
B’CA = C’BB’ + C’B’B = B’CC’ + C’CB = B’CB.

On a donc B’CA = ACB et avec ACB = BÂT, on a montré que les angles alternes-internes B’C’A et BÂT sont égaux.
La droite (B’C’) est parallèle à la tangente (AT).

Application : montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes ; démonstration d'Archimède : la géométrie du triangle.

4.a. Cordes de cercles tangents

Deux cercles (c1) de centre O1 et (c2) de centre O2 sont tangents en T.
Deux droites, passant par T, coupent le cercle (c1) en M et N, et le cercle (c2) en M’ et N’.
Montrer que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Cordes de cercles tangents extérieurement
Cordes de cercles tangents intérieurement

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Solutions

Corde et tangente

Dans les figures ci-dessus, d'après le théorème limite de cocyclicité on remarque que l'angle inscrit NMT est égal à l'angle de la corde [NT] et de la tangente en T.
Cet angle est aussi opposé à l'angle de la tangente ne T et de la corde [TN’] égal à l'angle inscrit N’M’T

Les angles NMT et N’M’T, alternes-internes, dans la figure de gauche, ou correspondants, dans la figure de droite, sont égaux. Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Cordes de cercles tangents - solutionCalcul d'angles au centre

Les angles O1TM et O2TM’, opposés par le sommet, sont égaux.
Les triangles isocèles O1TM et O2TM’ sont donc semblables.
Les angles MO1T et M’O2T sont égaux.

Dans le cercle (c1), l'angle inscrit MNT est égal à la moitié de l'angle au centre MO1T,
dans (c2), l'angle inscrit M’N’T est égal à la moitié de l'angle au centre M’O2T.

Les angles MNT et M’N’T, alternes-internes dans la figure ci-contre sont égaux, les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

Homothétie

En classe de première, utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c1) en (c2). Par h, M’ est l'image de M, N’ est l'image de N, la droite (M’N’), image de (MN), est parallèle à (MN).

g2w Télécharger la figure GéoPlan cer_tang_s.g2w

Voir l'utilisation de cette configuration pour tracer à la « règle et au compas » la parallèle à une droite passant par un point donné.
Voir aussi: lieu du transformé d'un point mobile sur un cercle

4.b. Recherche d'un point fixe

Recherche d'un point fixe

Soit O1, O2 et A trois points du plan et T un point à l'intérieur du segment [O1O2].

Deux cercles (c1) de centre O1 et (c2) de centre O2 sont tangents en T.
M est un point variable sur le cercle (c1).
La droite (MT) recoupe le cercle (c2) en M’.
La droite (MA) recoupe le cercle (c1) en N.
La droite (NT) recoupe le cercle (c2) en N’.

Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.
Montrer que lorsque le point M varie, la droite (M’N’) passe par un point fixe A’.

Utiliser l'homothétie h de centre T qui transforme (c1) en (c2). A’ est l'image de A par h.

g2wTélécharger la figure GéoPlan cer_tan2.g2w

5. Alignement avec un point et son transformé par une rotation

Alignement avec un point et son transformé

g2w Télécharger la figure GéoPlan rot_cerc.g2w

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c1). Une rotation de centre A, d'angle t, transforme le cercle (c1) en un cercle (c2) et le point M en un point M’.

Les cercles (c1) et (c2) ont comme deuxième point d'intersection B.

Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Le principe de démonstration est le suivant : le triangle AMM’ est isocèle (l'image de [AM] par la rotation est [AM’] donc AM = AM’) ; son angle au sommet A reste constant égal à l'angle t de la rotation ; il en est donc de même des angles en M et M’, les côtés [MA], [MM’] de l'angle en M découpent sur le cercle (c1) un arc AB de longueur fixe ; l'extrémité B est donc un point fixe du cercle (c1).
De même, la droite (MM’) passe par un point fixe du cercle (c2).
La droite (MM’) passe par un point commun aux deux cercles : le point B, deuxième point d'intersection de ces cercles.

Réciproquement : soit deux cercles (c1) et (c2) de même rayon qui se coupent en A et B.
Si M et M’ sont les deux points diamétralement opposés à A, respectivement sur les cercles (c1) et (c2), alors les points M, B et M’ sont alignés.

Voir : Commeau - Géométrie maths élem - Masson, 1963 (mon livre de cours en terminale).

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,
Pour deux cercles de rayons différents, voir le problème analogue avec une similitude.

6. Droites menées d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré

6.a. Droites orthogonales dans un carré

Droites orthogonales

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Indication

Avant la réforme du lycée de 2008, en classe de seconde, on pouvait utiliser une rotation, quart de tour de centre O, milieu du carré,
en 1ère S, on peut encore montrer que le produit scalaire vect(AI).vect(BJ) est nul.

Voir carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire

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6.b. Variante : I et J sont deux points situés respectivement sur les côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD tels que BI = CJ.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Deux paires de droites perpendiculaires6.c. Autre figure

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD. Les droites (AB) et (IJ) se rencontrent en K.

Montrer que la droite (AC) est orthogonale à (IJ) et en déduire que (AI) est orthogonale à (CK).

Montrer que BKCJ est un parallélogramme et en déduire que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

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6.d. Hauteurs du triangle AIJ

Hauteurs du triangle AIJ

Les points I, J et K sont les milieux des côtés [BC], [CD] et [AD] d'un carré ABCD.

Les droites (DI) et (BJ) sont les hauteurs du triangle AIJ.

Médiane de l'un, hauteur de l'autre

La droite (DI) est la hauteur du triangle ADJ et la médiane du triangle CDK.

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Voir : calculs d'angles (avec le produit scalaire)

 

Angles
trigonométrie

Construire un pentagone

Quadrilatère complet
plan projectif

Homothéties

Seconde
Pythagore

Faire de la
géométrie dynamique

Sommaire

1. Arc capable
2. Pivot
3. Parallélisme d'un côté du triangle orthique et d'une tangente au cercle circonscrit
4. Cordes de cercles tangents
5. Alignement avec un point et son transformé
6. Droites orthogonales dans un carré

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Page no 43, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 13/6/2012