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Angles - Trigonométrie

Exercices liés aux angles remarquables : lignes trigonométriques de 15°; 22,5°; 54°; 72°.

1. Configuration du rectangle

Placer un point M libre sur l'arc AB du cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

Utiliser les symétries {menu : point > point image par > symétrie axiale} par rapport à (Ox) puis (Oy),
ou {menu : point > point image par > symétrie centrale} par rapport à O pour créer les points M₁, M₂, M₃.

Puis trouver les points H, K, H’, K’.

Si (, ) = x, en fonction de x,
calculer les angles (,), (,), (,).

On a : = + = cos x + sin x

En déduire cos(−x), sin(−x) ; cos(π − x), sin(π − x) ; cos(π + x), sin(π + x).

Déplacer le point M pour obtenir les valeurs approchées des lignes trigonométriques des angles remarquables , , ; de leurs opposés ; de leurs suppléments.

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Angle  : les formules de linéarisation cos²a = et sin²a = permettent de calculer les valeurs trigonométriques de l'angle moitié :

cos² = = d'où cos = (le cosinus est positif)
et, de même, on trouve sin = .

Construction de-ci, de-là

2. Angle

a. Calculatrice TI-92

La calculatrice formelle donne les valeurs exactes des lignes trigonométriques de  :

cos = ( + 1), sin = ( − 1) et tan = 2 − .

On peut vérifier ces formules en décomposant = − , par exemple :

cos = cos( − ) = cos cos + sin sin = + = ( + 1).

Pour retrouver la tangente utiliser : 1+ tan²x = = .

b. Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

ACDE est un carré de côté a = 2 et ABC est un triangle équilatéral.

Montrer que AEB est un triangle isocèle et calculer ses angles. En déduire que l'angle (, ) = . Calculer BH et en déduire le calcul exact de cos . Télécharger la figure GéoPlan carre_tr.g2w

Solution

• AB est égal au côté du carré, donc ABE est un triangle isocèle en A, ayant pour angle en A : − = .

Les deux angles sont égaux à , soit , donc : (, ) = − = .

• La hauteur du triangle équilatéral est égale à a = , donc BH = 2 − .

Dans le triangle rectangle EBH tan = = = 2 − ,
et la propriété de Pythagore donne EB² = (2 − )² + 1 = 8 − 4.

cos² = = = =

On trouve donc deux nouvelles formules : cos = et sin = .

Cercle circonscrit

La médiatrice de [BE] coupe la médiatrice de [DE] en O.

Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle BDE,
le rayon de ce cercle est égal à la longueur du côté du carré.

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Bibliographie :
Problèmes IREM de Lyon - voir Jean Fromentin - Bulletin APMEP n^o 430 - page 551
Brigitte Sénéchal-Rozoy - Géométrie classique et mathématiques modernes - page 36, 47- Hermann 1979

Voir aussi : triangle équilatéral à inscrit dans un carré ; aire maximale ; prouver un alignement au lycée

c. Triangle d'angles et

Construire un segment AB de 5 cm. À partir du point A tracer une demi-droite formant un angle de avec (AB) et une autre à partir de B formant un angle de . Les deux demi-droites se coupent en C.

AI, BJ et GH sont les trois hauteurs du triangle.

• Calculer AI, puis exprimer AC en fonction de cos .

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Solution

• AIB est un triangle rectangle en I. L'angle en B est par hypothèse , le complémentaire (, ) = .

On a AI = AB cos = 5 .

Étudions le triangle ACI rectangle en I :

(, ) = (, ) + (, ) = − + = .

AI = AC cos , donc AC = .

• Calculer BJ, puis exprimer BC en fonction de cos .

Dans le triangle ABJ rectangle en J, on a BJ = AB cos = 5 .

De même, dans le triangle rectangle BCJ, l'angle aigu B est égal à − = .

BJ = BC cos , donc BC = .

• Calcul de AC cos + BC cos

Dans le triangle ACH rectangle en H, d'angle A = , on a : AH = AC cos .

Dans le triangle BCH rectangle en H, d'angle B = , on a : HB = BC cos .

AC cos + BC cos = AH + HB = AB = 5.

• Calcul de cos

AC cos + BC cos = + = = 5.

On retrouve la formule cos = ( + 1).

d. Calcul de coordonnées

1) Le point A a pour coordonnées polaires (2, ). Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?
2) On place C image de A par la rotation r(O, − ).
Quelles sont les coordonnées polaires de C ?
Ses coordonnées cartésiennes ?
3) On place le point B tel que OABC soit carré : ( = + ). Quelle est la nature du triangle OAB ? Quel est l'angle (, ) ? Calculer OB. Quel est l'angle (, ) ? Quelles sont les coordonnées polaires de B ?
4) Calculer les coordonnées cartésiennes de B. En déduire les valeurs exactes de cos et sin .

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Sommaire

e. Complexes

Bac S Amérique du Nord 1999 - Exercice 2 - Candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O, , ), l'unité graphique étant 4 cm. On considère les points A₀, A₁, d'affixes respectives : a₀ = l ; a₁ =  .
Le point A₂ est l'image du point A₁ par la rotation r de centre O et d'angle .

1. a) Calculer l'affixe a₂ du point A₂ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
b) Soit I le milieu du segment [A₀A₂]. Calculer l'affixe du point I.
c) Faire une figure.

2.a) Prouver que les droites (OI) et (OA₁) sont confondues.
b) Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I.
c) Déterminer cos et sin (les valeurs exactes sont exigées), sachant que :

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3. Angles ,

a. cos : Pour ce calcul nous plaçons le point A sur le cercle trigonométrique tel que (, ) = . La rotation de centre O et d'angle transforme A en B ; B en C et C en D. Les points B et C correspondent aux angles supplémentaires et , B et C sont symétriques par rapport à l'axe vertical (Oy). Le point D correspond à l'angle supplémentaire , A et D sont symétriques par rapport à (Oy).

Les coordonnées de A sont :

cos = x,
sin = y.

Les formules de duplication pour l'arc double donnent :

sin 2a = 2 sin a cos a = 2 x y

cos 2a = 2 cos²a − 1 = 1 − sin²a = x² − 1 = 1 − y²

La TI-92 calcule les fonctions trigonométriques associées au triple de l'arc (fonction dévTrig)

sin 3a = 4 sin a cos²a − sin a = 4 x² y − y

cos 3a = cos a − 4 sin²a cos a = x − 4 x y²

B et C ont même ordonné  : sin et sin sont égaux, donc 4 x² y − y = 2 x y.

En simplifiant par y on obtient 4 x² − 2 x − 1 = 0.

x = cos est la solution positive de cette équation, donc cos = , calcul que la TI-92 fait directement.

Remarque : cos est égal à la moitié du nombre d'or Φ = 2 cos = .
D'où sin = = et sin = = .

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos²a − 1, on trouve :

cos = − cos = sin = 2 cos² − 1 = = = .

x
cos x				−

L'inverse du nombre d'or est donc = Φ − 1 = = 2 sin . Par ailleurs cos = = .

I, B, D et les symétriques de D et B par rapport à (Ox) sont les sommets d'un pentagone régulier.

I, A, B, C, D, J et les symétriques de D, C, B et A par rapport à (Ox) sont les sommets d'un décagone régulier.

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b. sin

Soit D le symétrique du point A par rapport à la droite d'équation y = x.

Le complémentaire de l'angle (, ) est : (, ) = .

OD₂ = OA₁ d'où sin = cos = .

Le supplémentaire de l'angle (, ) est : (, ) = .

sin = sin = .

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