René DescartesDescartes et les Mathématiques

Angles - Trigonométrie

Exercices liés aux angles remarquables : lignes trigonométriques de 15°; 22,5°; 54°; 72°.

Sommaire

1. Configuration du rectangle

Angle pi/8

2. Angle pi/12

a. Calculatrice TI-92
b. Triangle équilatéral inscrit dans un carré

c. Triangle d'angles pi/3 et PI/4

d. Exercice : calcul de coordonnées

3. Angles pi/5, 2pi/5

a. cos pi/5

b. sin 3pi/10

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Nombre d'or :

rectangle d'or,

tracé régulateur,

triangle d'or.

1. Configuration du rectangle

rectangle dans le cercle trigonometrique - copyright Patrice Debart 2003

Placer un point M sur l'arc AB du cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

Utiliser les symétries {menu : point > point image par > symétrie axiale} par rapport à (Ox) puis (Oy),
ou {menu : point > point image par > symétrie centrale} par rapport à O pour créer les points M1, M2, M3.

Puis trouver les points H, K, H’, K’.

Si (vect(i), vect(OM)) = x, en fonction de x,
calculer les angles (vect(i),vect(oM1)), (vect(i),vect(oM2)), (vect(i),vect(oM2)).

On a : vect(OM) = vect(OH) + vect(OH) = cos x vect(i) + sin x vect(j)

En déduire cos(−x), sin(−x) ; cos(π − x), sin(π − x) ; cos(π + x), sin(π + x).

Déplacer le point M pour obtenir les valeurs approchées des lignes trigonométriques des angles remarquables pi/6, PI/4, pi/3 ; de leurs opposés ; de leurs suppléments.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trig_rec.g2w

Angle pi/8

Lignes trigonométriques de pi/8.

Les formules de linéarisation cos2a = (1+cos2a)/2 et sin2a = (1-cos2a)/2 permettent de calculer les valeurs trigonométriques de l'angle moitié de pi/8 :

cos2 pi/8 = (1+cos(pi/4))/2 = (2+rac(2))/4 d'où cos pi/8 = rac(2+rac(2))/2 (le cosinus est positif)
et, de même, on trouve sin pi/8 = rac(2-rac(2))/2.

Construction de-ci, de-là

2. Angle pi/12

Lignes trigonométriques de pi/12.

2.a. Calculatrice

Calcul formel avec la TI-92

La calculatrice donne les valeurs exactes des lignes trigonométriques de pi/12 :

cos pi/12 = rac(2)/4 (rac(3) + 1), sin pi/12 = rac(2)/4 (rac(3) − 1)
et tan pi/12 = 2 − rac(3).

On peut vérifier ces formules en décomposant
pi/12 = pi/3PI/4,
par exemple :

cos pi/12 = cos(pi/3PI/4) = cos pi/3 cos PI/4 + sin pi/3 sin PI/4
      = 1/2 rac(2)/2 + rac(3)/2 rac(2)/2 = rac(2)/4 (rac(3) + 1).

Pour retrouver la tangente utiliser :
1+ tan2x = (cos²x+sin²x)/2 = 1/cos²(x).

Calculatrice Google

Valeurs approchées

Logo Google
Calcul approche de tan π/12

2.b. Triangle équilatéral dans un carré

triangle équilatéral a l'intérieur d'un carré - cos 15° - copyright Patrice Debart 2003

ACDE est un carré de côté a = 2 et ABC est un triangle équilatéral.

  • Montrer que AEB est un triangle isocèle et calculer ses angles.
    En déduire que l'angle (vect(EB), vect(ED)) = pi/12.
  • Calculer BH et en déduire le calcul exact de cos pi/12.

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Solution

  • AB est égal au côté du carré, donc ABE est un triangle isocèle en A, ayant pour angle en A : pi/2pi/3 = pi/6.

Les deux angles sont égaux à (pi-(pi/6))/2, soit 5pi/12, donc : (vect(EB), vect(ED)) = pi/25pi/12 = pi/12.

  • La hauteur du triangle équilatéral est égale à arac(3)/2 = rac(3), donc BH = 2 − rac(3).

Dans le triangle rectangle EBH tan pi/12 = BH/HC = (2-rac(3))/1= 2 − rac(3),
et la propriété de Pythagore donne EB2 = (2 − rac(3))2 + 1 = 8 − 4rac(3).

cos2 pi/12 = (EH/EB)² = 1/EB² = 1/(8-4rac(3)) = (2+rac(3)/4

On trouve donc deux nouvelles formules : cos pi/12 = rac(2+rac(3))/2 et sin pi/12 = rac(2-rac(3))/2.

Cercle circonscrit à un triangle

triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré et cercle circonscrit - copyright Patrice Debart 2003

La médiatrice de [BE] coupe la médiatrice de [DE] en O.

Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle BDE,
le rayon de ce cercle est égal à la longueur du côté du carré.

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Voir aussi : triangle équilatéral à inscrit dans un carré ;

aire maximale ; prouver un alignement au lycée

2.c. Triangle d'angles pi/3 et PI/4

triangle d'angles 60°, 45° - calcul de cos 15° - copyright Patrice Debart 2003

Construire un segment AB de 5 cm. À partir du point A tracer une demi-droite formant un angle de PI/4 avec (AB) et une autre à partir de B formant un angle de pi/3. Les deux demi-droites se coupent en C.

AI, BJ et GH sont les trois hauteurs du triangle.

  • Calculer AI, puis exprimer AC en fonction de cos pi/12.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan t_pi_3_4.g2w

Solution

  • AIB est un triangle rectangle en I. L'angle en B est par hypothèse pi/3, le complémentaire (vect(AB), vect(AI)) = pi/6.

On a AI = AB cos pi/6 = 5 rac(3)/2.

Étudions le triangle ACI rectangle en I :

(vect(AI), vect(AC)) = (vect(AI), vect(AB)) + (vect(AB), vect(AC)) = − pi/6 + pi/4 = pi/12.

AI = AC cos pi/12, donc AC = (5rac(3)/2)/cos(pi/12).

  • Calculer BJ, puis exprimer BC en fonction de cos pi/12.

Dans le triangle ABJ rectangle en J, on a BJ = AB cos PI/4 = 5 rac(2)/2.

De même, dans le triangle rectangle BCJ, l'angle aigu B est égal à pi/3pi/4 = pi/12.

BJ = BC cos pi/12, donc BC = (5rac(2)/2)/cos(pi/12).

  • Calcul de AC cos pi/4 + BC cospi/3

Dans le triangle ACH rectangle en H, d'angle A = pi/4, on a : AH = AC cos pi/4.

Dans le triangle BCH rectangle en H, d'angle B = pi/3, on a : HB = BC cos pi/3.

AC cos pi/4 + BC cos pi/3= AH + HB = AB = 5.

  • Calcul de cos pi/12

AC cos pi/4 + BC cospi/3 = (5rac(3)/2)/cos(pi/12)rac(2)/2 + (5rac(2)/2)/cos(pi/12)1/2 = rac(2)/2)(rac(3)/2+1/2)/cos(pi/12) = 5.

On retrouve la formule cos pi/12 = rac(2)/4 (rac(3) + 1).

2.d. Calcul de coordonnées

calcul de coordonnees - cos 15° et sin 15° - copyright Patrice Debart 2003

1) Le point A a pour coordonnées polaires (2, pi/3). Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?
2) On place C image de A par la rotation r(O, − pi/2).
Quelles sont les coordonnées polaires de C ?
Ses coordonnées cartésiennes ?
3) On place le point B tel que OABC soit carré : (vect(OB) = vect(OA) + vect(OC)). Quelle est la nature du triangle OAB ? Quel est l'angle (vect(OA), vect(OB)) ? Calculer OB. Quel est l'angle (vect(i), vect(OB)) ? Quelles sont les coordonnées polaires de B ?
4) Calculer les coordonnées cartésiennes de B. En déduire les valeurs exactes de cos pi/12 et sin pi/12.

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2.e. Complexes

calcul de coordonnees avec les complexes - angle 15° - copyright Patrice Debart 2003

Bac S Amérique du Nord 1999 - Exercice 2 - Candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O, vect(u), vect(u)), l'unité graphique étant 4 cm.

On considère les points A0, A1, d'affixes respectives : a0 = l ; a1 = e^i pi/12.
Le point A2 est l'image du point A1 par la rotation r de centre O et d'angle pi/12.

1. a) Calculer l'affixe a2 du point A2 sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
b) Soit I le milieu du segment [A0A2]. Calculer l'affixe du point I.
c) Faire une figure.

2.a) Prouver que les droites (OI) et (OA1) sont confondues.
b) Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I.
c) Déterminer cos pi/12 et sin pi/12 (les valeurs exactes sont exigées), sachant que : rac(2)+rac(6)

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3. Angles pi/5, 2pi/5

Lignes trigonométriques de pi/5.

3.a. cos pi/5

cercle trigonometrique - angles 36°, 72°, 108°, 144°… - copyright Patrice Debart 2003

Pour ce calcul nous plaçons le point A sur le cercle trigonométrique tel que (vect(i), vect(OA)) = pi/5. La rotation de centre O et d'angle pi/5 transforme A en B ; B en C et C en D. Les points B et C correspondent aux angles supplémentaires 2pi/5 et 3pi/5, B et C sont symétriques par rapport à l'axe vertical (Oy). Le point D correspond à l'angle supplémentaire 4pi/5, A et D sont symétriques par rapport à (Oy).

Les coordonnées de A sont :

cos pi/5 = x,
sin pi/5 = y.

Les formules de duplication pour l'arc double donnent :

sin 2a = 2 sin a cos a = 2 x y

cos 2a = 2 cos2a − 1 = 1 − sin2a = x2 − 1 = 1 − y2

La TI-92 calcule les fonctions trigonométriques associées au triple de l'arc (fonction dévTrig)

sin 3a = 4 sin a cos2a − sin a = 4 x2 y − y

cos 3a = cos a − 4 sin2a cos a = x − 4 x y2

B et C ont même ordonné  : sin 2pi/5 et sin 3pi/5 sont égaux, donc 4 x2 y − y = 2 x y.

En simplifiant par y on obtient 4 x2 − 2 x − 1 = 0.

x = cos pi/5 est la solution positive de cette équation, donc cos pi/5 = (rac(5)+1)/4, calcul que la TI-92 fait directement.

Remarque : cos pi/5 est égal à la moitié du nombre d'or φ = 2 cos pi/5 = nombre d'or.
D'où sin pi/5 = rac(1-cos²pi/5) = rac(2(5-rac(5))/4 et sin pi/5 = rac(1-phy²/4) = rac(3-phy)/2.

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos2a − 1, on trouve :

cos 2pi/5 = − cos 3pi/5 = sin pi/10 = 2 cos2 pi/5 − 1 = (rac(5)-1)/4 = (phi-1)/2 = 1/(2phi).

x

pi/5
2pi/5
3pi/5
4pi/5

cos x

(rac(5)+1)/4
(rac(5)-1)/4
(1 - rac(5)/4
- (rac(5)+1)/4

L'inverse du nombre d'or est donc 1/φ = φ − 1 = (rac(5)-1)/2 = 2 sin pi/10. Par ailleurs cos pi/10 = rac(2(5+rac(5))/4 = rac(2+phy)/2.

I, B, D et les symétriques de D et B par rapport à (Ox) sont les sommets d'un pentagone régulier.

I, A, B, C, D, J et les symétriques de D, C, B et A par rapport à (Ox) sont les sommets d'un décagone régulier.

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3.b. sin 3pi/10

angle 54° et cercle trigonometrique - copyright Patrice Debart 2003

Lignes trigonométriques de 3pi/10.

Soit D le symétrique du point A par rapport à la droite d'équation y = x.

Le complémentaire de l'angle (vect(i), vect(OA)) est : (vect(i), vect(OD)) = 3pi/10.

OD2 = OA1 d'où sin 3pi/10 = cos pi/5 = (rac(5)+1)/4.

Le supplémentaire de l'angle (vect(i), vect(OD)) est : (vect(i), vect(OE)) = 7π/10.

sin 7π/10 = sin 3pi/10 = (rac(5)+1)/4.

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Les problèmes du BOA : triangle et rotation

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Construire le pentagone régulier

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