Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesInscrire un petit rectangle dans un grand. Cinq variantes d'un problème non résoluble à la « règle et au compas », solutions approchées avec GéoPlan.
Sommaire1. Question sur le forum cadxp Page no 82, créée le 6/9/2004, modifiée le 21/2/2007 | |||
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Faire de la géométrie |
Quadrilatère dans un rectangle : napperon | ||
Posté par Patrick le 27/7/2004 à 23:22
Un problème de géométrie intéressant soulevé par un utilisateur CAO (Tom), sur le forum Planetar :
1\ la largeur du petit rectangle, par exemple 10 unités.
2\ je veux que chaque sommet du petit rectangle soit situé sur un côté différent du grand rectangle, et ce quel que soit le grand rectangle initial.
La solution peut être manuelle, mathématique ou algorithmique de façon à être implémentée en Lisp ou VBA par exemple.
Aucune solution n'a été trouvée pour l'instant…
L = 75 longueur du grand rectangle vert et H = 54 largeur ; l = 83.14 longueur du petit rectangle bleu.
Variables :
L = AB, longueur du grand rectangle ABCD vert,
H = AD, hauteur (largeur) de ce même rectangle,
l = NP, longueur du petit rectangle MNPQ bleu,
h = MN =10, hauteur de ce même rectangle.
x = AN, petit côté du petit triangle rectangle AMN du coin,
y = AM, grand côté de ce triangle ;
x’ = NB, grand côté du grand triangle BNP,
y’ = BP, petit côté de ce triangle.
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Un exemple de solution avec GéoPlan |
Ligne brisée permettant la recherche |
Télécharger les figures
GéoPlan cadxp.g2w et cadxp_2.g2w
x + x’ = L
y + y’ = H
x2 + y2 = h2 d'après le théorème de Pythagore, dans le triangle AMN.
x / y’ = y / x’ (= h / l) est égal au rapport de similitude des triangles rectangles AMN et BNP.
Pour résoudre ce système de quatre équations à quatre inconnues, substituer les deux premières équations à la dernière :
x (L - x) = y (H - y) d'où Lx - x2 = Hy - y2 et Lx - x2 - Hy + y2 = 0.
La relation de Pythagore permet de calculer y2 = h2 - x2 donc -2 x2 + Lx + h2 = H y.
Il suffit d'élever au carré et de substituer à nouveau y2 : (-2 x2 + Lx + h2)2 = H2(h2 - x2).
On obtient une équation du quatrième degré qui a deux solutions réelles de signes contraires, seule la solution positive convient.
Il n'est pas possible d'obtenir une solution exacte, mais une calculatrice comme la TI-92 ou le logiciel Derive permet de trouver une solution approchée.
Par exemple, pour L = 75 et H = 54 la TI-92 trouve en quelques minutes la solution du premier exemple x = 5,49.
Avec GéoPlan, créer à partir d'un point M de [AD] une ligne brisée MNPM’ telle que MN = h et continuer à angles droits. En général, M et M’ sont distincts.
Déplacer le point M pour le faire coïncider avec le point M’ pour fermer le rectangle et trouver manuellement une solution approchée.
Si vous ne visualisez pas la figure ci-dessous :
Cliquer dans la figure :
taper sur la touche L pour modifier la longueur L avec les flèches du clavier,
taper H pour modifier la hauteur H,
taper M et déplacer le point M pour le faire coïncider avec le point M’,
touche + ou - pour modifier le pas de pilotage de M au clavier.
Une boite à lettres normalisée doit, suivant les spécifications de la poste française, respecter les dimensions :
H= 26 cm ´ L = 26 cm ´ P = 34 cm.
Déterminer la largeur d'un paquet dont la face rectangulaire de longueur 30 cm a été insérée suivant la figure ci-contre.
Télécharger la figure GéoPlan boite_lettre.g2w
Amiens
Un objet a la forme d'un parallélépipède rectangle de base carrée de côté a = 68 cm et de hauteur inconnue. Il est vendu conditionné dans une boîte cubique de côté a = 68 cm dont il épouse la forme.
Alors qu'on l'insère dans la boîte, l'objet reste coincé en position inclinée, la boîte ferme quand même, l'arête supérieure affleurant juste le couvercle.
Quelle est la hauteur de l'objet ?
La « vue de face » d'une perspective cavalière de la figure permet de transformer ce problème en problème plan.
On peut se placer a priori dans le cas particulier où l'objet est centré sur la diagonale de la face, ce qui donne la figure suivante :
La diagonale ac du carré vaut a
= 2y + l = 2y + a, donc 2y = a - a = a( - 1).
Ensuite on constate que d'après la symétrie de la figure, le triangle AMQ dans le coin inférieur gauche est un demi-carré, par conséquent h = 2y.
La hauteur de l'objet vaut donc h = 68( - 1) ≈ 28,17 cm.
Télécharger la figure GéoPlan rectangle_inscrit.g2w
Voir solutions : rectangle_inscrit.doc
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