Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesDémonstrations de géométrie utilisant l'homothétie ; alignements, points de concours.
L'homothétie n'est plus étudiée en classe de première.
Sommaire1. Transformé d'un triangle par homothétie |
HomothétieCordes de cercles tangents et point fixe : Angles - Rotations Quadrilatère complet : le plan projectif Les carrés autour de BOA Parallélogramme et homothétie : partage en trois Lieu du transformé d'un point mobile sur un cercle Page no 44, réalisée le 16/6/2003, modifiée le 25/10/2012 | ||||
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Faire de la |
TS |
Angles |
Paraboles en S |
Index | |
M varie sur un triangle ABC.
h est une homothétie de centre O et de rapport k.
A’, B’, C’ et M’ les images respectives par h de A, B, C et M.
Télécharger la figure GéoPlan trihomo.g2w
[AB], [CD] et [EF] sont trois segments parallèles distincts.
Les points I, J et K, placés selon la figure, sont alors alignés.
Indications
Il existe une homothétie f de centre K qui transforme le segment [AB] en [CD],
et une homothétie g de centre I qui transforme le segment [CD] en [EF].
Par g le point K a pour image K’, K et son transformé K’ sont alignés avec le centre I, I est situé sur la droite (KK’).
La composée h = gοf est une homothétie qui transforme le segment [AB] en [EF], son centre est le point J.
Par h le point K a pour image gοf (K) = g(K) = K’, K et K’ sont alignés avec le centre J, J est situé sur la droite (KK’).
Les points I et J, situés sur la droite (KK’), sont alignés avec K.
Télécharger la figure GéoPlan hom_trap.g2w
a. Droites parallèlesABCD est un parallélogramme. M est un point variable sur la diagonale [AC].
Les droites issues de M parallèles à (BC) et à (AB) déterminent les points I, J, K et L.
En utilisant deux homothéties de centre A et C, montrer que les droites (IL), (BD) et (JK) sont parallèles.
Les parallélogrammes complémentaires ALMI et MJCK sont dits équivalents (Legendre – Éléments de géométrie – 1794).
Télécharger la figure GéoPlan hom_para.g2w
I, J et L sont trois points situés respectivement sur les côtés [AB], [CD] et [AD] d'un parallélogramme ABCD, distincts des sommets.
La parallèle à (IL), passant par J, rencontre (BC) en K.
Montrer que les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes.
Pour cela, on considère le repère (A, 
, 
) et on note i et j les abscisses de I et J, l et k les ordonnées de L et K.
Coordonnées des points de la figure : I(i, 0) ; J(j, 1) ; L(0, l) ; K(1, k).
Coordonnées de vecteurs : 
(−i, l) ; 
(1−j, k−1) ; 
(j−i, 1) ; 
(1, k−l)
Les vecteurs et étant colinéaires on a : i (1 − k) = l (1 − j).
Soit M, le point d'intersection des deux droites (AC) et (IJ) :
La droite (AC) a pour équation y = x.
Une équation de la droite (IJ), de vecteur directeur (j−i, 1), est y = 
(x−i).
Ces deux droites étant sécantes, en résolvant le système formé par ces deux équations, on trouve que les coordonnées de leur point M d'intersection sont :
xM = yM = 
.
Les coordonnées (xM, yM) de M vérifient l'équation de la droite (LK) :
La droite (LK), de vecteur directeur (1, k−l), a pour équation y − l = (k − l)x.
En substituant xM et yM dans cette équation on obtient : − l = (k −l) ,
soit i − l (i−j + 1) = (k−l)i, d'où i− ki = l − lj.
Cette égalité est vérifiée en raison de la colinéarité de et , donc les coordonnées de M vérifient l'équation yM – l = (k – l)xM.
Le point M est bien sur la droite (LK).
Les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes en M.
Télécharger la figure GéoPlan hom_par4.g2w
 M est un point variable du plan n'appartenant pas à la diagonale (BD). Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en un point N, les points A, C et N sont alignés.
Pappus dans le site Descartes et les Mathématiques : Théorème de Pappus : plan projectif Cette figure permet aussi de proposer, en classe de 3e, le problème assez difficile suivant : |
Indications
On note P l'intersection de (IK) et (CD) et Q l'intersection de (LJ) et (BC). L'homothétie h de centre N, qui transforme I en P, transforme (IL) en sa parallèle (PQ), donc transforme L en Q.
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Classe de 2nde
Dans le repère (A, , ), il est facile et élégant de faire une démonstration en géométrie analytique.
Si les coordonnées de M sont (a, b), celles des points d'intersection avec le parallélogramme sont : I(a, 0); J(a, 1) ; L(0, b) et K(1, b).
Les coordonnées des vecteurs directeurs 
(1 –a, b) et 
(a, 1 – b) permettent de trouver les équations des droites (IK) et (LJ) :
bx + (a – 1)y = ab,
(b – 1)x + ay = ab.
En calculant la différence de ces deux équations et en substituant on obtient :
x – y = 0,
x = ab/(a + b – 1).
Le point N est bien sur la diagonale (AC) d'équation x – y = 0, à condition que M ne soit pas sur l'autre diagonale (BD) d'équation x + y – 1 = 0.
Remarque : démonstration de (IL) // (PQ).
(–a, b) : la droite (IL), d'équation bx + ay = ab, a coefficient directeur – b/a.
Les coordonnées de P et Q sont P(1, (ab + 1 – a)/b) et Q((ab + 1 – b)/a), 1) ; d'où 
((ab + 1 – a – b)/b, (ab + 1 – a – b)/a).
La droite (PQ) a aussi pour coefficient directeur – b/a et est parallèle à (IL).
Soit ABC un triangle. Trouver un carré DEFG inscrit dans le triangle ABC : ses sommets sont sur les côtés du triangle ; deux des sommets du carré sont sur [AB], un troisième sur AC] et le quatrième sur BC]).
a. Construction avec une homothétie de centre C
Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre C.
Trois carrés inscrits dans un triangle : voir problème de Grèbe Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005 |
b. Problème BOA
Les perpendiculaires à (CB’) issue de A et à (CC’) issue de B se coupent en I.
Démonstration par les rotations : voir figure de Vecten dans carrés autour de BOA |
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Classe de cinquième
Placer un point M sur le côté [AC] du triangle. Soit P la projection orthogonale de M sur la droite (AB). Avec GéoPlan, on peut chercher une solution en déplaçant le point M. Commandes Bibliographie : repères IREM no 51 Pour un enseignement problématisé des mathématiques au lycée – brochure 150 – APMEP 2003 |
Construction
Tracer un carré MPQR quelconque dont deux des sommets sont sur [AB] et un sur [AC]. Joindre A au quatrième sommet de ce carré et prolonger la droite (AR) jusqu'à ce qu'elle rencontre [BC]. Le point d'intersection F sera un sommet du carré recherché.
Commande GéoPlan : taper S pour la solution. Preuve La droite (AR) rencontre la droite (BC) en F. Voir : la géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace. |
L'École d'Athènes - Raphaël, vers 1510 - Musée du Vatican
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a. Carré inscrit entre un demi-cercle et son diamètre [AB]. Classe de première L Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre O milieu de [AB].
Le côté du carré est égal au diamètre AB, divisé par En effet, si le côté du carré est 1, alors OA’ = ABEF est un « rectangle AB’C’F et A’BED’ sont des rectangles d'or de longueur Φ et de largeur 1.
Voir tracé régulateur |
b. Construction du carré inscrit à partir d'une autre homothétie  Une deuxième homothétie de rapport En étudiant les triangles semblables de la figure, on trouve que le centre M d'homothétie, situé sur la médiatrice de [AB], est tel que IM = AB ×
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Variante
On construit un rectangle MNPQ inscrit à l'intérieur d'un demi-cercle de diamètre [AB]: M et N sur [AB] ; P et Q sur le demi-cercle.
Quelles sont les positions pour lesquelles la longueur du rectangle est le double de la largeur ?
Pour lesquelles la longueur est égale à quatre fois la largeur ?
Deux carrés ABCD et BEFG ont un sommet commun B et deux côtés alignés :
E est sur la droite (AB) ; G est sur la droite (BC).
Montrer que les droites (AB), (DG) et (CF) sont concourantes.
Télécharger la figure GéoPlan deu_care.g2w
Problème de construction
Construire un triangle MNP inscrit dans un triangle ABC ayant ses « côtés perpendiculaires » à ceux du triangle ABC.
figure GéoPlan tria_cote_perpendiculaire_3.g2w
Analyse : Soit un point M de [AB]. On appelle N le projeté orthogonal de M sur (BC), P le projeté orthogonal de N sur (AC), Q le projeté orthogonal de P sur (AB). En général, la ligne brisée MNPQ ne se referme pas et on appelle R le point d'intersection des droites (MN) et (PQ). Géométrie dynamique Déplacer le point M. On trouve une solution lorsque les points M et Q sont confondus avec le point R. Le problème admet une solution : figure ci-dessus Soit x l'abscisse du M dans le repère (B, La fonction qui à x fait correspondre y est une fonction affine décroissante de l'intervalle [0, 1]. Construction géométrique de la solution : figure ci-contre à droite. La trace du point R est une droite passant par C permettant de mettre en évidence des homothéties de centre C. |
Utilisation des propriétés de l'homothétie.
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Synthèse
La droite (CR) rencontre (AB) en M’. L'homothétie de centre C qui transforme R en M’ transforme N en N’ et P en P’. Le triangle M’N’P’ a ses côtés parallèles aux côtés de RNP, donc orthogonaux aux côtés du triangle ABC. |
Une deuxième solution
En plaçant le point N1 sur la perpendiculaire à (AB) en M, on construit le triangle N1P1R1. La droite (CR1) rencontre (AB) en M”. L'homothétie de centre C qui transforme R1 en M” permet de construire une deuxième solution : le triangle M”N”P”. |
a. Cercles d'un même côté des tangentesSoit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) tel que r < r’, 
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b. Quatre tangentes pour deux cercles non sécants
Commande GéoPlan |
Il existe une homothétie de rapport positif r’/r transformant (c) en (c’). Le centre I de cette homothétie est situé sur la ligne des centres (OO’).
Pour le trouver, il suffit, étant donné un point M variable sur (c), de tracer un rayon OM1 parallèle à OM et de même sens. Le point M1 de (c’) est alors l'image de M par l'homothétie et ces points sont alignés avec I. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM1).
Par I on peut mener deux tangentes communes aux deux cercles.
Les points de contact se tracent avec précision, par exemple, comme points d'intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO].
De même, on trouve le centre J de l'homothétie de rapport négatif −r’/r, transformant (c) en (c’), en traçant le point M2 de (c’), tel que le rayon OM2 soit parallèle à OM et de sens contraire.
Si les cercles (c) et (c’) sont extérieurs l'un à l'autre (r + r’ < OO’), J est alors le point de concours de deux autres tangentes.
Dans ce cas, on trouve les points de contact comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [OJ] ou comme intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [JO’].
Étudier les cas particuliers où les cercles ont le même rayon : il existe deux tangentes communes parallèles à la ligne des centres.
En conclusion si un des cercles est l'intérieur de l'autre, pas de tangente commune.
Si les cercles sont tangents intérieurement, la tangente au point de contact est la seule tangente commune.
Si les cercles sont sécants en deux points, il y a deux tangentes communes.
Si les cercles sont tangents extérieurement, il y a trois tangentes communes, en comptant la tangente au point de contact.
Si les cercles sont extérieurs l'un à l'autre, il y a quatre tangentes communes.
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Voir l'adaptation au collège de cet article dans : constructions en troisième |
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Axe radicalL'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles. |
Notion disparue de l'enseignement français au lycée. |
Tangentes aux points de contact |
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Soit I le point d'intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs. Par I on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère.
Montrer que :
a. ce quadrilatère est un parallélogramme,
b. une de ses diagonales passe par I,
c. l'autre diagonale est l'axe radical des deux cercles.
Le point I existe si les cercles (c) et (c’) sont de rayons différents, il est alors le centre d'homothétie positive de ces deux cercles.
a. La sécante menée par I coupe (c) en A et B et (c’) en ses images A’ et B’.
Les tangentes en A’ et B’ à (c’) sont les images des tangentes à (c) en A et B.
Nous avons donc deux couples de droites parallèles qui forment un parallélogramme CDEF, à condition que la sécante ne soit pas confondue avec la ligne des centres (OO’).
b. Les tangentes en A et B se coupent en C, les droites images, tangentes en A’ et B’ au cercle (c’), se coupent en E.
Les points C et E sont homologues par l'homothétie et sont donc alignés avec son centre I.
c. Les triangles BAC et BA’D, ayant leurs côtés deux à deux parallèles ou confondus, sont homothétiques. Le premier étant isocèle, car CA = CB, le deuxième l'est aussi : DA’ = DB, le point D a même puissance par rapport aux deux cercles.
À l'aide des triangles B’AF et B’A’E on procède de même pour prouver que le point F a même puissance par rapport aux deux cercles.
La droite (DF) est l'axe radical des deux cercles.
Télécharger la figure GéoPlan ex_462_3.g2w
On donne deux droites (d1), (d2) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?
AnalysePlacer un point variable Ω sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que A et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de Ω sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites.
Construction de Wallis basée sur la puissance d'un point par rapport à un cercle : voir problème de contact PDD |
Solution
Utiliser des homothéties de centre I transformant le cercle (c) en des cercles passant par A. Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2. Les cercles (c1) et (c2), passant par A, tangents à (d1) et (d2), sont les deux solutions du problème. |
ABC est un triangle;
A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ;
G est son centre de gravité.
Les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport −2.
Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC.
Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC, par l'homothétie réciproque h– 1 de centre G et de rapport 
.
Les droites des milieux partagent le grand triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport pour le triangle médian, dans le rapport 
pour les trois autres.
Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
Exercice a
Soit P, Q et R les symétriques d'un point M du plan par rapport aux milieux A’, B’ et C’ des côtés d'un triangle ABC. Montrer que les segments [AP], [BQ] et [CR] ont même milieu. Solution : composée d'homothéties La composée de l'homothétie f de centre M et de rapport
Le centre I est donc le milieu des segments [AP], [BQ] et [CR].
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Exercice bSoit ABC un triangle ; les points A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ; G son centre de gravité.
Étant donné un point M du plan, montrer que la parallèle à (MA’), passant par A , la parallèle à (MB’), passant par B, et la parallèle à (MC’), passant par C, sont concourantes. Solution Le point P de concours est l'image de M par l'homothétie h de centre G et de rapport − 2. L'homothétie h transforme (A, B, C) en (A’, B’, C’) et M en un point P. Ces trois droites sont concourantes en P.
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Bibliographie : Ladegaillerie – Géométrie pour le CAPES – Ellipses 2003 – II. Application affine – 2. Homothétie – Exercice 7 et 15.
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et est égale au rayon du cercle.
est égal au 
transforme le carré ABCD en SRQP, carré de sommets P et Q situés sur [AB], inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB], à l'extérieur de ABCD.
.
) et y l'abscisse de Q.
![Montrer que [AP], [BQ] et [CR] ont même milieu](transformation/sym_milieux_triangle.gif)
