René DescartesDescartes et les Mathématiques

Méthode d'Euler

Construction point par point d'une courbe intégrale avec un logiciel de géométrie dynamique.

Faire de la
géométrie dynamique

Équations du second degré

Tangente à une courbe

Cercle et droite d'Euler

TI-92
Suites

L'analyse avec un logiciel de géométrie

Sommaire

1. Introduction
2. Méthode d'Euler
3. Étude de f(x) = x/2

4. Étude de f(x) = 2 - x/2
5. Fonction racine
6. Fonction logarithme
7. Équation différentielle et méthode d'Euler

La méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur de Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique d'équations différentielles que l'on peut utiliser dès la terminale S.

1. Introduction

Primitive

Étant donnée une fonction f définie sur un intervalle I = [x0, xn] et un réel y0,
une fonction G, dérivable sur I, telle que G(x0) = y0 et G’(x) = f(x) pour tout x de I est une primitive de f.

Principe de Méthode d'Euler

Lorsqu'on ne sait pas trouver une formule explicite de la primitive G, la méthode d'Euler permet de calculer point par point les valeurs d'une fonction affine F telle que la représentation graphique de F soit une courbe approchée de celle de G.

Propriété de la dérivée

Si G est une fonction dérivable sur un intervalle I, f = G’ sa dérivée sur I et xi un réel de I.

Pour tout réel h non nul et proche de 0 tel que xi + h soit dans I on a :

G(xi + h) ≈ G(xi) + h G’(xi) ≈ G(xi) + h f(xi)

2. Méthode d'Euler

Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x0, xn], on divise I en n intervalles et on choisit h = (xn-x0)n.

Pour la valeur initiale y0 on a F(x0) = G(x0) = y0 ce qui permet de placer le premier point A0 (x0 ; y0).

Pour les n valeurs x1 = x0 + h, x2 = x1 + h…, xn = xn-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x1), F(x2)…, F(xn) de G.

En effet, G est dérivable en x0 et G’(x0) = f(x0) :

F(x0 + h) = F(x0) + h f(x0) donc F(x1) = y0 + hG’(x0) ≈ G(x1) ; soit y1 = y0 + h f(x0) et F(x1) = y1 ≈ G(x1).

On recommence avec x1 :

F(x1 + h) = F(x1) + h f(x1) donc F(x2) = y1 + hG’(x1) ≈ G(x1) + hG’(x1) ≈ G(x2) ; soit y2 = y1 + h f(x1) et F(x2) = y2 ≈ G(x2).

Puis y3 = y2+ h f(x2) = F(x3) ≈ G(x3)

Et ainsi de suite n itérations jusqu'à yn = yn-1 + h f(xn-1) = F(xn) ≈ G(xn).

Représentation graphique

On place ensuite, avec le logiciel GéoPlan, les points A0(x0 ; y0) ; A1(x1 ; y1) ; A2(x2 ; y2) ; … ; An(xn ; yn).

La courbe représentative de la fonction F, affine par intervalles, constituée des segments [A0A1], [A1A2]…, [An-1An] approche la courbe exacte (C) de G.

3. Étude de f(x) = x/2

Étant donnée la fonction f(x) = x/2 et les valeurs initiales x0 = 1 et y0 = F(x0) = 1/4, calculer les valeurs F(x1), F(x2), F(x3)…

La représentation graphique de F par les segments [A0A1], [A1A2], [A2A3]… « approche » la courbe d'une primitive de f.
Augmenter n pour diminuer h et obtenir de bien meilleurs résultats.

Courbe représentative approchée

La fonction f(x) = x/2 a une primitive G(x) = x²/4 correspondant aux valeurs initiales x0 = 1 et y0 = G(x0) = 1/4.

La courbe (C) représentative de G est placée sur le même graphe que F pour visualiser le calcul des tangentes.

g2w Télécharger la figure GéoPlan euler.g2w

4. Étude de f(x) = 2 - x/2

étude de f(x) = 2 - x/2

Condition initiale y0 = F(x0) = 0 pour x0 = 0.

Tracé de 10 points, avec un pas h = 1.

g2w Télécharger la figure GéoPlan gauss.g2w

Comparaison avec la primitive

Représentation de G(x) = 2x - x²/4 ,
primitive de f telle que G(0) = 0.

 

5. Fonction racine

Étude de f(x) = rac(x) définie sur [0, ∞[.

fonction racine

g2w Télécharger la figure GéoPlan eule_rac.g2w

6. Fonction logarithme

Étude de f(x) = 1/x définie sur ]0, ∞[.

Fonction logarithme

g2w Télécharger la figure GéoPlan euler_ln.g2w

On peut constater sur ces exemples qu'avec un pas petit, la méthode d'Euler donne facilement des approximations très précises.

7. Équation différentielle et méthode d'Euler

Épreuve pratique - Terminale S - 2007 - Sujet 021

Le but de l'exercice est de mettre en œuvre la méthode d'Euler pour une équation différentielle de type y’ = ay (où a est un réel donné) et d'en déduire une valeur approchée.

Compétences évaluées
Compétences TICE

– Utiliser un tableur, notamment ses fonctions graphiques ;
– Réaliser une feuille de calcul adaptée à la situation.
Compétences mathématiques
– Mettre en œuvre les connaissances sur la méthode d'Euler ;
– Déterminer la primitive d'une fonction, avec condition initiale ;
– Faire le lien entre la fonction approchée obtenue par la méthode d'Euler et la primitive : évaluer une précision.

 

Le barycentre

Équations du second degré

Suites en géométrie
la courbe des chiens

Cercle et droite d'Euler

Calculatrice TI-92

La géométrie en 1èreS

Table de matières

1. Introduction
2. Méthode d'Euler
3. Étude de f(x) = x/2

4. Étude de f(x) = 2 - x/2
5. Fonction racine
6. Fonction logarithme
7. Équation différentielle et méthode d'Euler

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