René DescartesDescartes et les Mathématiques

Olympiades académiques 2008

Choix de sujets de géométrie des olympiades académiques de première et indications de solutions avec GéoPlan-GéoSpace

Cercles tangents

1. Deux cercles tangents, tangents à un carré

2. Cercle tangent à deux cercles tangents

3. Un problème d'Apollonius : cercle tangent à trois cercles

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Un partage équitable

Sujet national

Transformer un quadrilatère en triangle

Amiens

Partage de l'angle d'un triangle en 4 : construction de-ci, de-là

Existe-t-il un triangle ABC tel que la hauteur, issue de A, la bissectrice de l'angle BÂC et la médiane relative au côté [BC] partagent l'angle BÂC en quatre angles de même mesure ?

Olympiades 2004 - Dijon

Réciproque : prouver qu'un triangle ayant angle partagé en 4 angles de même mesure par la hauteur, la bissectrice et la médiane, issues du sommet de cet angle, dans cet ordre, est obligatoirement rectangle.

Olympiades 2008 - Montpellier

Cloître

Construction d'une parabole, à la manière des compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge.

Toulouse

Cercles tangents

1. Deux cercles tangents, tangents à l'intérieur d'un carré

Toutes séries ! Bordeaux

Sujet déjà posé à Poitiers aux olympiades 2002 (et au Kangourou en 2007).

ABCD est un carré de côté a. Le cercle Γ1 est tangent aux segments [AD] et [DC].

1. 1.a. Reproduire la figure 1 et construire un cercle Γ2, contenu dans le carré ABCD, tangent à la fois au cercle Γ1 et aux segments [AB] et [BC]. On indiquera le programme de construction.

1. 1.b. Expliquer pourquoi cette construction n'est pas possible sur la figure 2.

Géométrie du cercle - cercle tangent dans un carré

Figure 1

Géométrie du cercle - petit cercle tangent dans un carré - copyright Patrice Debart

Figure 2

Trois cercles tangents dans un carré

Géométrie du cercle - 3 cercles tangents dans un carré - copyright Patrice Debart

Dans toute la suite de l'exercice on suppose que le cercle Γ2 est contenu dans le carré ABCD, tangent à la fois au cercle Γ1 et aux segments [AB] et [BC].
On désigne respectivement par R1 et R2 les rayons des cercles Γ1 et Γ2.

 

1. 2.a. Démontrer que R1 + R2 reste constant lorsque l'on fait varier les dimensions des deux cercles.

1. 2.b. Quelle est la valeur minimale et maximale de R1 ?

1. 3. Soit S la somme des aires des disques limités par les cercles Γ1 et Γ2. Déterminer la valeur minimale et la valeur maximale de S.

1. 4. Le petit cercle représenté sur la figure ci-contre est tangent au cercle Γ1 et aux côtés [AD] et [DC].
Exprimer le rayon de ce cercle en fonction de R1.

Indications avec une homothétie

Géométrie du cercle - 2 cercles tangents dans un carré - copyright Patrice Debart

Première construction, de la question 1. 1.a.

Les centres O1 et O2 des cercles étant à égale distance des côtés, ils sont situés sur la diagonale [BD] du carré. Soit I le milieu de [BD.

Pour n'importe quel point O1 du segment [ID], les projections orthogonales P1 et Q1 de O1 permettent de tracer le cercle Γ1 de centre O1 passant par P1. Ce cercle, de rayon R1= DP1, coupe le segment [IO1] en T.

L'homothétie de centre T, qui transforme D en B, transforme (DA) en (BC) et (DC) en (BA). P1 et Q1 ont pour images P2 et Q2, intersections des droites (P1T) et (Q1T) avec les deux côtés du carré.

Le cercle Γ2 est l'image par cette homothétie du cercle Γ1. On trouve son centre O1 à l'intersection de la diagonale et de la perpendiculaire par exemple en P2au côté (BA). Son rayon R2= BP2.

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Cinq cercles et homothétie

Géométrie du cercle - 5 cercles tangents dans un carré - copyright Patrice Debart

Si BP2 est supérieur à a/2, alors R2 > a/2 et le cercle Γ2 n'est pas l'intérieur du carré, il ne convient pas.

La position limite est obtenue lorsque R2 = a/2. Le point de contact P2 est le milieu de [AB]. La droite P2T coupe le côté [CD] en P1. R1= DP1 est la valeur minimale des rayons.
I1 est la position extrême des centres des cercles Γ1.

Le point O1 doit rester sur le segment [II1] pour la construction soit possible ce qui n'est pas le cas de la figure 2.

De même, O2 appartient au segment [I2I].

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Constructions avec la tangente en T

Géométrie du cercle - bissectrice de 2 cercles tangents dans un carré - copyright Patrice Debart

Deuxième construction

Bissectrice de l'angle formé par deux tangentes

Le cercle Γ1 de centre O1 coupe le segment [IO1] en T.
La tangente en T, perpendiculaire à (BD), coupe (BC) en E.
La bissectrice intérieure de l'angle BÊT coupe [BD] en O2 centre du cercle Γ2 cherché.

En effet les droites (ET) et (EB) sont tangentes au cercle Γ2 et le centre est situé sur la bissectrice de l'angle formé par ces deux tangentes.

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Troisième construction

Tangentes communes à un troisième cercle

Géométrie du cercle - tangente communesà un troisi&eme cercle - copyright Patrice Debart

Le cercle Γ1 de centre O1 coupe le segment [IO1] en T.
La tangente en T, perpendiculaire à (BD), coupe (BC) en E.
Le cercle de centre E passant par T coupe [BC] en Q2.

La perpendiculaire en Q2 à (BC) coupe la diagonale [BD] en O2.
Le point O2 est le centre du cercle Γ2 voulu.

En effet, les droites (O2T) et (O2Q2) sont les deux tangentes au cercle de centre E, passant par T.
Les longueurs O2T et O2Q2 sont égales, et sont égales au rayon de Γ2.

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Quatrième construction

Parabole lieu des centres

centre des cercles et parabole - copyright Patrice Debart

Le cercle Γ1 de centre O1 coupe le segment [IO1] en T.

La parabole P est l'ensemble des centres M des cercles passants par le foyer T et tangents à la directrice (BC).

Le point O2 est l'intersection de la parabole P avec la diagonale [BD] du carré.

Le point O2 est le centre du cercle Γ2 voulu.

Valeurs minimale et maximale des rayons et des aires

Géométrie du cercle - 2 cercles tangents dans un carré - copyright Patrice Debart

1. 2.a. Les rayons R1 et R2 des cercles vérifient :

DO1 + R1 + R2+ O2B = DB = arac(2), avec DO1 = R1rac(2) et O2B = R2rac(2),

donc
(R1 + R2) (1 + rac(2)) = arac(2).

C'est-à-dire : R1 + R2= a (2 - rac(2)).

1. 2.b. Les cercles étant situés à l'intérieur d'un carré de côté a, leurs rayons restent inférieurs à a/2. Le minimum de R1 est atteint lorsque R2 est maximal égal à a/2.
On en déduit que chaque rayon appartient à l'intervalle [a(3/2-rac(2)),a/2].

1. 3. La somme des aires des deux cercles est :

S = π(R12 + R22) = pi/2[(R1 + R2)2 - (R1 - R2)2] = pi/2[(6 - 4rac(2))a2 - (R1 - R2)2].

On en déduit immédiatement que cette aire est minimale quand :
R1 = R2= a(1-rac(2)/2) et vaut alors Smin = π(3 - 2 rac(2))a2.
Le point T est le centre I du carré et les cercles Γ1 et Γ2 sont les cercles inscrits dans les triangles ADC et ABC.

L'aire est maximale quand R1 est maximal et R2minimal (ou inversement), c'est-à-dire quand R1 = a/2 et R2= a(3/2-rac(2)).

On obtient alors Smax = pi/2[(6 - 4rac(2)) a2 - (-1 + rac(2))2a2] = pi/2(9 - 6rac(2))a2.

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Voir aussi : remplir un carré avec deux cercles de même rayon,

   Deux cercles de rayons l'un le double de l'autre : résoudre avec l'algèbre des problèmes de géométrie

Trois cercles tangents dans un carré

Géométrie du cercle - 3 cercles tangents dans un carré - copyright Patrice Debart

1. 4. Soit Γ3 le petit cercle de centre O3 représenté sur la figure ci-contre est tangent au cercle Γ1 et aux côtés [AD] et [DC].

Le cercle Γ1 est inscrit dans le carré A’B’C’D de sommet D.

Dans ce carré de côté a = 2R1, Γ3 est le cercle de rayon minimal R3 = a(3/2-rac(2)) comme calculé ci-dessus.

Le rayon de ce cercle est donc R3 = (3 - 2rac(2)) R1.

 

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2. Cercle tangent à deux cercles tangents

Géométrie du cercle - cercle tangent à 2 cercles tangents - copyright Patrice Debart

Corse

Dans un repère (O, vect(i), vect(j)), on considère les points I(1, 0) et J(0, 1). Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et (C’) le cercle de diamètre [OI].

Dans cet exercice on étudie des cercles tangents intérieurement à (C) et tangents extérieurement à (C’) comme le montre cette figure.

2. 1. Déterminer le rayon du cercle (CA) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’), dont le centre A est un point du segment [OJ].

2. 2. Déterminer le rayon du cercle (CB) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’), dont le centre B a pour abscisse 1/2.

2. 3. Soit M un point de coordonnées positives (x, y) centre d'un cercle (CM) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’) et à (CA).
Déterminer le rayon de (CM) et les coordonnées de son centre.

Cercle passant par un point tangent à deux cercles

Olympiades académiques de mathématiques - cercle tangent à deux cercles - copyright Patrice Debart

Cet exercice est un cas particulier de problème de contact PCC : construire le cercle (CM) passant par un point P tangent à deux cercles (C) et (C’).

Soit Q le point de coordonnées (1/3, 0). Une homothétie de centre Q de rapport -2 transforme le cercle (C’) en (C).

Un cercle (CM) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’) est globalement invariant
par l'inversion de pôle Q, de puissance k = 4/9, échangent les deux cercles (C’) en (C).

Les points de contact P et T sont alignés avec le pôle Q.

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olympiades académiques de mathématiques - cercle tangent à deux cercles - copyright Patrice Debart

2. 1. Construire le cercle (CA) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’), dont le centre A est un point du segment [OJ] est tangent à (C) en J.

Le cercle (CA) est tangent intérieurement à (C) au point J et tangent extérieurement à (C’) au point T situé sur le segment [QJ].
Le centre A est à l'intersection des droites (OJ) et (KT).

Le rayon de (CA) est R = 1/3 et son centre A a pour ordonnée 2/3.

Écrire la relation de Pythagore dans le triangle rectangle OAK sachant que :

OA = 1 - R ; OK = 1/2 et KA = 1/2 + R.

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olympiades académiques de mathématiques - cercles tangents - copyright Patrice Debart

2. 2. Construire le cercle (CB) tangent intérieurement à (C) et tangent extérieurement à (C’), dont le centre B a pour abscisse 1/2.

Le cercle (CB) est tangent extérieurement à (C’) au point T abscisse 1/2. Il est tangent intérieurement à (C) au point P est situé sur le segment [QT].
Le centre B est à l'intersection des droites (OP) et (KT).

Le rayon (CB) est R = 1/6 et son centre B a pour ordonnée 2/3.

Écrire la relation de Pythagore dans le triangle rectangle OBK sachant que :

OB = 1 - R ; OK = 1/2 et KB = 1/2 + R.

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3. Un problème d'Apollonius : cercle tangent à trois cercles

Cercles tangents dans un cercle

Sangaku

On aurait pu se contenter d'une simple vérification montrant que la somme des rayons des cercles (CA) et (CB) est égale à la distance AB entre les centres.

Beaucoup de calculs pour traiter analytiquement ce problème et on se prive de la deuxième solution qui était le symétrique de (C’), par rapport à O (voir les calculs dans la brochure APMEP).

En géométrie synthétique, on peut utiliser la méthode de Viète, assez difficile, présentée dans la page problèmes de contact :

sangaku - kissing circle - copyright Patrice Debart

Soit R le rayon du plus petit cercle (CA) des trois cercles donnés.
On substituera au cercle (C) une circonférence concentrique et rayon augmenté de R, et à (C’) une circonférence concentrique dont le rayon est diminué de R.
Avec les extrémités de deux rayons parallèles et de sens contraires, on trouve le centre S d'homothétie négative de ces deux cercles.

On se trouve dans le problème de contact PCC : tracer un cercle tangent à deux cercles de centres O et K passant par le centre A du dernier cercle.

Pour cela, on utilise l'inversion de centre S, qui, sur (OI), transforme les points Q1 en Q2.
Sur le cercle circonscrit à AQ1Q2 on trouvera le point A’, image de A par l'inversion, à l'intersection de la droite (SA).

Ce qui ramène au cas PPC : tracer un cercle passant par A et A’ et tangent en S1 ou S2 à un des cercles auxiliaires, en utilisant le point E de concours des tangentes.
Pour cela, choisir un point V sur le grand cercle. Le cercle circonscrit à VAA’ le recoupe en V’. Les droites (SA) et (VV’) se coupent en E. La tangente au cercle circonscrit donne la longueur des tangentes. Il suffit du cercle de centre E pour trouver les points S1 et S2. Diminuer de R les rayons des cercles circonscrits à AA’S1 et AA’S2 pour trouver les cercles (CB) et (CD) cherchés et leurs centres B et D.

Olympiades académiques de mathématiques - cercle tangent à 3 cercles - copyright Patrice Debart

Cas particulier avec (CA)

Olympiades académiques de mathématiques - cercle tangent à 3 cercles - copyright Patrice Debart

Cas général avec (CM)

g2w Télécharger les figures GéoPlan quatre_cercles_tangents.g2w, quatre_cercles_tangents_2.g2w

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