René DescartesDescartes et les Mathématiques

Problèmes d'optimisation avec la géométrie dynamique

Exercices à prise d'initiative - de nombreuses situations menant à des problèmes d'optimisation.

Sommaire

1. Arc de cercle ?

2. Tangente à la parabole et aire minimum

3. Triangle rectangle isocèle avec contraintes

4. Lieux géométriques avec une rotation et une similitude

Problèmes d'optimisation en classe de première

1. Arc de cercle ?

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 4 

La courbe est-elle un arc de cercle copyright Patrice Debart 2011

Soit f  la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par :
f(x) = x - 2rac(x) + 1.

La courbe représentative Γ de la fonction f dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.

  • Montrer que le point M de coordonnées (x, y) appartient à Γ si et seulement si x ≥ 0, y ≥ 0 et rac(x) + rac(y) = 1.

  • Montrer que Γ est symétrique par rapport à la droite d'équation y = x.

  • Si Γ était un arc de cercle, quel pourrait être son centre?
Quel pourrait être son rayon ?

  • La courbe Γ est-elle un arc de cercle ?

courbe differente de l'arc de cercle - copyright Patrice Debart 2011

De l'équation y = x - 2rac(x) + 1, on trouve y = (1 - rac(x))2.
Comme 0 ≤ x ≤ 1, alors 0 ≤ rac(x) ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1 et on peut calculer la racine carrée :
rac(y) = 1 - rac(x) soit rac(x) + rac(y) = 1.

Cette équation est symétrique en x et y : si un point M(x, y) appartient à Γ, alors
M’(y, x) est aussi sur Γ.
L'axe (O, vect(i) + vect(i)) d'équation y = x est axe de symétrie de la courbe.

Cette droite coupe Γ au point C tel que 2rac(x) = 1 donc x = y = 1/4.

Si Γ était un arc de cercle, il passerait par A, B et C.
Son centre I serait situé sur l'axe (O, vect(i) + vect(i)), médiatrice de [AB], et sur la médiatrice de [AC].
Cette dernière droite, perpendiculaire à vect(AC)(- 1/4, - 3/4) en J(5/8, 1/8), a pour coefficient directeur 3 et pour équation :
y = 3x - 7/4. Les deux médiatrices se coupent au point K tel que x = y = 7/8.

Commandes GéoPlan

Taper S pour visualiser un arc de cercle de centre I, situé sur la première bissectrice des axes, et passant par les points A(1, 0) et B(0, 1).
Taper C pour placer le point I au point K de coordonnées (7/8, 7/8), centre du cercle passant par A, B et C.

Quel que soit le centre I, la courbe Γ et l'arc de cercle sont distincts.

GéoPlan permet de visualiser la parabole contenant Γ.

Justification

De l'équation y = x - 2rac(x) + 1, on trouve 2rac(x) = x - y + 1 et en élevant au carré :
4x = (x - y + 1)2 = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y + 1.

Le terme 2xy de l'équation x2 + y2 - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0 fait que Γ n'est pas un arc de cercle, mais un arc de conique, plus particulièrement de parabole.

arc de cercle et parabole - copyright Patrice Debart 2011

Démonstration

En raison de la symétrie, on est donc amené à étudier la courbe dans le nouveau repère (O, vect(I), vect(J)) avec : vect(I) = vect(i) - vect(i) et vect(J) = vect(i) + vect(i)

Pour un point M(x, y) dans le repère (O, vect(i), vect(i)) on a : vect(OM) = x vect(i) + y vect(i), dans le nouveau repère M a pour coordonnées (X, Y) avec vect(OM) = X vect(I) + Y vect(J).

X vect(I) + Y vect(J) = X (vect(i) - vect(i)) + Y(vect(i) + vect(i)) = X vect(i) - X vect(i) + Y vect(i) + Y vect(i) = (X + Y) vect(i) + (Y - X)vect(i).
En identifiant avec x vect(i) + y vect(i), on trouve les formules de changement de variable :
x = X + Y
y = Y - X.

Remplaçons par les nouvelles coordonnées dans l'équation :
(X + Y)2 + (Y - X)2 - 2 (X + Y)(Y - X) - 2(X + Y) - 2(Y - X) + 1 = 0.
Soit 4X2 - 4Y + 1 = 0. Γ est un arc de la parabole d'équation Y = X2 + 1/4.

g2w Télécharger la figure GéoPlan courbe_arc_cercle.g2w

2. Tangente à la parabole et aire minimum

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; vect(u), vect(v)) d'unité graphique 2cm.

figure géométrique et optimisation d'une fonction - tangente a la parabole et aire d'un triangle - copyright Patrice Debart 2011

2.a. Soit g la fonction définie sur ]-1, 1[ par g(x) = 1 - x2. Tracer la courbe (C) représentative de g.

2.b. Soit x un nombre réel non nul élément de l'intervalle ]0 ; 1]. On appelle M le point de (C) d'abscisse x.
On appelle (T) la tangente en M à la courbe (C).
(T) coupe l'axe des abscisses en I et l'axe des ordonnées en J.

Pour quelle valeur de x l'aire du triangle OIJ est-elle minimum ?

Technique GéoPlan : dans cet exercice est utilisée une seule figure avec deux cadres.

Déplacer le point variable M de la fenêtre de gauche.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tg_parabole.g2w

Problèmes d'optimisation en terminale

3. Triangle rectangle isocèle avec contraintes

triangle rectangle isocèle avec contrainte - copyright Patrice Debart 2009

Soit (O ; vect(u), vect(v)) un repère orthonormal direct du plan.

On considère trois points A, B, C de coordonnées respectives (0, 5) ; (2, 12) ; (0, 10).

On appelle (d1) la parallèle à l'axe (Oy) passant par B et (d2) la droite (BC).

Trouver un point M sur (d1) et un point N sur (d2) tels que le triangle AMN soit rectangle isocèle direct en A.

Solution

Si le triangle rectangle isocèle AMN existe, le point M est obtenu à partir du point N par une rotation de 90° autour de A. Cela nous donne une méthode de construction du triangle qui répond à la question :
on fait pivoter la droite (d1) de 90° autour de A. La transformée (d’) coupe (d2) en N. Le point de (d1) dont N est l'image est le point M.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_iso.g2w

4. Lieux géométriques avec une rotation et une similitude

Terminale S

Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (A, vect(AB), vect(AD)), on considère le carré ABCD de centre O, soit P un point de [BC].
On appelle N l'image de P par la rotation de centre A et d'angle pi/2 et M le milieu de [NP].
Déterminer les lieux des points N et M lorsque P décrit [BC].

rotation et similitude transformations géométriques - lieu géométrique - copyright Patrice Debart 2009

Indications

Soit D’ étant le symétrique de C par rapport à D, D et D’ sont les images de B et C par la rotation.
Le lieu du point N est le segment [DD’] porté par la droite (CD).

Le triangle ANP est rectangle isocèle. M est donc l'image de P par la similitude de centre A, d'angle pi/4 et de rapport rac(2)/2. Les points O et D sont les images de B et C par la similitude.
Le lieu du point M est le segment [OD].

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Table des matières

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mise à jour le 25/3/2009