Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesTravaux pratiques en seconde ou option 1L avec GéoPlan : la géométrie du pentagone à la « règle et au compas ».
L'angle au centre du Pentagone régulier est de 72° et l'angle intérieur de 108°.
Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page polygones réguliers que :
a = 2 r sin 36° = 
= r 
≈ 1,176 r ;
d = 
= r 
≈ 1,902 r.
Le rapport 
est égal au nombre d'or Φ = 
.
Télécharger la figure GéoPlan pentagone.g2w
Télécharger la figure GeoGebra pentagone.ggb
Aire d'un pentagone
Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas », on peut se donner :
• Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A (cinq premières constructions).
• Une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets non consécutifs.
• Un côté en choisissant deux sommets consécutifs A et B.
Constructions à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir
construire un angle au centre de 
dont le cosinus est égal à 
.
On peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or (de longueur [A’U] et de hauteur OB’).
Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, 
et 
est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.
Le cercle de « Ptolémée » permet alors le report d'un sommet en un point U qui partage le rayon en « moyenne raison ».
On trouve le triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas »
Construction dite de Ptolémée ; Alexandrie 85-165 après J.-C.
Construction à partir d'un sommet A, situé à l'extrémité d'un diamètre
Tracer un cercle (c1) de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’]. K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe c1 en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle. Preuve En effet avec OA = 1, le rayon du cercle de « Ptolémée » (c2) est : Commande GéoPlan Taper M pour effacer/afficher la médiatrice
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Construction à partir d'un sommet A, situé sur un rayon perpendiculaire à un diamètre
Placer les points O et A, tracer le cercle c1 de centre O passant par A. Sur un diamètre [A’A2] perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de [OA’]. Tracer le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K passant par A. AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone inscrit dans le cercle (c1). Tracer le cercle (c3) de centre A, passant par U. Terminer la construction du pentagone par report de la longueur du côté (dernière ouverture du compas).
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Remarque 1 : A’U = A’K + KU = + = Φ.
Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d'angle au sommet ,
les deux autres angles étant égaux à 
.
Dans le triangle IAB rectangle en I, IB = AB cos = 
AB
et EB = 2 IB = AB.
Le rapport 
d'une diagonale sur le côté du pentagone convexe régulier est égal au nombre d'or Φ.
Construction de Ptolémée du pentagramme
Dans un cercle (c1) de centre O passant par un point D, inscrire un pentagone régulier croisé ayant pour sommet ce point D. À partir du rayon [OD] et du diamètre perpendiculaire [A’A2], tracer le cercle de Ptolémée (c2) passant par D, de centre K, le milieu de [OA’]. Ce cercle coupe [OA2] en U.
Pentagramme mystique
Fragments de géographie sacrée (12 avril 2007) |
Sections d'orDans la figure ci-dessous, E’A est égal à la longueur du côté E’D’ du pentagone convexe A’B’C’D’E’ qui enveloppe le pentagramme A’C’E’B’D’.
Dans un pentagone convexe, la longueur d'un côté partage la diagonale en « moyenne raison ». Mais Φ = De même
Les points B et C’ partagent [E’A] en « moyenne et extrême raison ».
Mathématiques amusantesUn jardinier plante 10 arbres, il réalise 5 rangs de 4 arbres. |
2. Construction du R.P. Durand |
Variante de la construction de Ptolémée |
Méthode
Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Dans la construction de Ptolémée, ci-dessus à droite, le cercle de « Ptolémée » de centre K passant par A coupe [OQ] en U. Le cercle de centre A passant par U permet de trouver les sommets B et E.
Avec le deuxième point T d'intersection du cercle de « Ptolémée » et de la droite (OQ), on trace le cercle de centre A passant par T qui permet de trouver les deux derniers sommets C et D.
Construction
Placer les points O et A, tracer le cercle (c1) de centre O passant par A.
Sur un rayon [OQ’], perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de ce rayon.
Tracer le cercle de « Ptolémée » (c2), de centre K passant par A. Ce cercle coupe la droite (OK) en U et T. AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone convexe inscrit dans le cercle (c1), AT est égal à la longueur du côté du pentagone croisé.
Tracer les cercles (c3) et (c4) de centre A, passant par U et T. Le cercle (c3) coupe (c1) en B et E. Le cercle (c4) coupe (c1) en C et D.
ABCDE est un pentagone régulier.
Remarque : avec OA = 1; alors le rayon de (c2) est ; OU = 
; OT = Φ.
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Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Méthode
Construire la longueur 
comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés 
et 
.
Le cercle c3, homothétique du cercle de Ptolémée c2, par l'homothétie de centre O et de rapport , permet de reporter cette longueur PQ en PI.
Les tangentes en I et J au cercle c3, de centre P et passant par Q, rencontrent le cercle circonscrit en quatre des sommets du pentagone
Construire la longueur comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés et .
Le cercle c3, homothétique au cercle de Ptolémée c2 par l'homothétie de centre O et de rapport , permet de reporter cette longueur PQ en PI.
Construction
Tracer un cercle (c1) de centre O, passant par A.
Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].
P est au quart de [OA’] à partir de O : OP =
OA’ et Q est le milieu de [OB’], le cercle (c3) de centre P et passant par Q coupe [OA] en I et [OA’] en J.
La perpendiculaire en I à (AA’) coupe le cercle (c1) en B et E. La perpendiculaire en J à (AA’) coupe le cercle (c1) en C et D (placés suivant la figure).
ABCDE est un pentagone régulier.
Démonstration utilisant le produit scalaire (classe de 1S) :
pour le prouver il suffit démontrer que AÔB = 72° et AÔC = 144°.
On choisira comme unité le rayon du cercle.
Dans le triangle rectangle OPQ, le théorème de Pythagore permet de trouver :
PQ = et OI = PI − PO = PQ − = .
I étant la projection orthogonale de B sur (OA), on trouve l'égalité des produits scalaires :
|
= .
|
Ce produit scalaire s'exprime en fonction de l'angle des vecteurs :
|
|
= , |
donc cos(AÔB) = ; AÔB = 72°.
De même, OJ = OP + PJ = 
+ PQ = .
J étant la projection orthogonale de C sur (OA), on a :
|
|
= − ,
|
et en fonction de l'angle des vecteurs :
|
|
= − ,
|
donc cos(AÔC) = − ; la formule de duplication cos(2x)
= 2cos2x − 1 permet, en vérifiant que 2cos2 72°
− 1 = − , de déduire que AÔC = 144°.
Les points D et E étant les symétriques de C et B par rapport à (OA), on a donc AÔD = 144° et AÔE = 72°, la figure est bien un pentagone régulier.
Démonstration utilisant les nombres complexes (Terminale S)
Dans le plan complexe choisira le centre du pentagone comme origine O et pour le sommet A, le point d'affixe 1.
Pour le prouver il suffit démontrer que les affixes des sommets sont les racines cinquièmes de l'unité :
1, z = 
, z2, 
, 
;
solutions de l'équation z5 − 1 = 0.
Le polynôme z5 − 1 se factorise sous la forme z5 − 1 = (z − 1)(z4 + z3 + z2 + z + 1) (formule classique utilisée pour la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique).
La factorisation peut se poursuivre par z5 − 1 = (z − 1) (z2 − 2αz
+ 1) (z2 − 2βz + 1) avec, par identification, les réels α et β vérifiant :
α + β = − et
αβ = − .
Dans le triangle IJQ rectangle en Q, P est le milieu de [IJ] donc OI − OJ = −2 OP = − ;
la relation métrique pour la hauteur [OQ] permet d'écrire :
OI × OJ = OQ2 = .
α et β sont donc les affixes des points I et J.
Il est possible de résoudre le système d'équations α + β = − et
α β = − et les réels α et β sont les solutions d'une équation
du second degré, mais utilisons plutôt la calculatrice TI-92 qui permet de factoriser dans C et en regroupant les facteurs trouvés avec factorC(z^5− 1, z) on a :
(z2 − 2αz + 1) = 
et (z2 − 2βz + 1) = 
,
soit z5 − 1 = (z − 1)
.
Dans tous les cas (en vérifiant éventuellement les valeurs des cosinus), on trouve :
α = = Re() ;
partie réelle des solutions de z2 − 2αz + 1 = 0,
et β = − = Re(
) ; partie réelle des solutions de z2 − 2βz + 1 = 0.
α et β sont les parties réelles des racines cinquièmes de l'unité, racines imaginaires.
Les sommets du pentagone régulier sont bien l'intersection du cercle unité avec les parallèles à (Oy) passant par I et J.
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Bibliographie : TD4 - Produit scalaire - Transmath 1S page 369 - Nathan 2001 Géométrie pour le CAPES - Yves Ladegaillerie - Ellipses 2003 |
4. Construction d'un cerf-volant ABVE |
Autre variante de la construction de Ptolémée |
Méthode
Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Le cercle de « Ptolémée » de centre K passant par A coupe le diamètre [A’A] en U. Le cercle de centre A’ passant par U permet de trouver les sommets B et E et le point V de concours des côtés (BC) et (DE).
Les deux derniers sommets C et D sont les points de rencontre de ces deux droites avec le cercle circonscrit.
Construction
Placer deux points O et A et le cercle (c1) de centre O, passant par A, de rayon r = 1.
A’ est le symétrique de A par rapport à O.
Le point B’ est un des points d'intersection du diamètre perpendiculaire à [A’A] avec le cercle (c1).
K est le milieu du rayon [A’O].
Le cercle (c2) de « Ptolémée » de centre K passant par B’ coupe [OA] en U et [OA’) en T.
Le cercle (c3) de centre A’ passant par U coupe le cercle (c1) en B et E et la droite (AO) en V.
Les droites (BV) et (EV) coupent le cercle (c1) en C et D.
Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.
Comme pour la méthode du R.P. Durand, on a B’U = AB, côté du polygone convexe, et B’T = BE, côté du pentagone croisé.
On a aussi : A’U = Φ = ainsi que A’B et A’E rayons du cercle (c3).
Dans le cercle (c1) le triangle A’BA, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B.
cos AA’B = A’B/A’A = 
= = cos 
.
Les angles aigus du triangle sont donc et .
L'angle BÂE est égal à 
. Les
deux segments égaux [AB] et [AE], de longueur égale, sont deux côtés d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle (c1).
Le triangle isocèle A’BU a un angle au sommet égal à ,
c'est un triangle d'or de côtés A’B = A’U = Φ et BU = 1.
Dans le cercle (c3) l'angle inscrit 
correspond à l'angle au centre EÂ’B = 2 AÂ’B = .
Cet angle inscrit est donc = .
Les angles aigus du triangle VBA sont égaux à 
et . Le troisième angle est 
= . Le point C est aussi un sommet du pentagone.
Même démonstration pour D, ce qui permet de conclure que ABCDE est un pentagone régulier.
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Sommaire
Construction proposée par Dumont (1996)
à propos des tracés régulateurs des temples d'Angkor.
Méthode
Construction à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.
Tracer le cercle (c2) ayant comme diamètre [OR], un rayon du cercle circonscrit (c1), perpendiculaire au diamètre [AA’] de (c1).
Deux cercles de centre A’, tangents au cercle (c2), rencontrent le cercle circonscrit en quatre des sommets du pentagone
Construction
Placer deux points O, A et le cercle (c1) de centre O, de rayon r =1, passant par A. A’ est le symétrique de A par
rapport à O. I est le milieu d'un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’]. (c2) est le cercle de centre I, passant par O.
La droite (A’I) coupe le cercle (c2) en P et Q. (c3) et (c4) sont les cercles de centre A’ tangents à (c2).
Le cercle (c3) est tangent intérieurement au cercle (c2) en P et le cercle (c4) est tangent extérieurement au cercle (c2) en Q. Le cercle (c3) coupe (c1) en B et E et le cercle (c4) coupe (c1) en C et D.
Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.
Voir : Cabri-classe - Éditions Archimède, 1994 - séance 5, page 248
Boule François - Questions sur la géométrie - Nathan pédagogie - 2001
Télécharger la figure GéoPlan penta_f3.g2w
TS : Démonstration par calcul d'affixes de complexes.
En choisissant r = 1 et O comme origine, on va montrer que l'affixe ω = eiθ de B a pour argument θ = en calculant cosθ.
Le rayon de c3 est A’B tel que 
= 
+ 
donc A’B = |1 + ω|,
or A’B = A’P = A’I + IP = 
+ d'où |1 + ω| = 
(le nombre d'or Φ).
On a donc |1 + ω|2 = (1 + cosθ)2 + sin2θ = 2(1 + cosθ) = 
,
d'où l'on tire cosθ = soit θ = (voir angle trigonométrie).
Démonstration
(d'après Georges Lion - Bulletin APMEP no 433)
Dans le triangle rectangle A’OI on a :
A’O2 = A’I2 − IO2 = A’I2 − 
(puissance du point A’ par rapport au cercle c2)
A’O2 = (A’I − 
)(A’I + )
A’O2 = (A’I − IQ)(A’I + IP) = A’Q . A’P.
A’O2 est donc le produit des rayons des cercles (c3) et (c4).
Soit M le point d'intersection du segment [A’B] et du cercle (c4).
Le produit des rayons est donc :
A’O2 = A’M . A’B, soit 
.
Ayant déjà l'angle OÂ’B en commun les triangles A’MO et A’OB sont semblables.
Le triangle A’OB ayant deux côtés égaux à r est isocèle, le triangle A’MO l'est aussi.
Soit α la mesure des angles égaux OÂ’B = 
= MÔA’.
Les angles « au sommet » des triangles isocèles sont donc 
= A’ÔB = π − 2α.
D'autre part, le triangle BOM est isocèle (puisque BM = r). D'où MÔB = 
.
On a donc A’ÔB = π − 2α = A’ÔM + MÔB= α + .
De là, α = ,
MÔB = , A’ÔB = .
Donc, AÔB = et B est le deuxième sommet du pentagone.
Le point C d'intersection de la demi-droite [OM) et du cercle (c1) est le troisième sommet du pentagone, car :
CÔB = MÔB = . Montrons que ce sommet C du pentagone est sur le cercle (c4).
L'angle CÂ’B inscrit dans le cercle (c1) est égal à la moitié de l'angle
au centre : CÂ’B = CÔB
= .
= MÔB = .
Le troisième angle du triangle A’MC est 
= .
Ce triangle ayant deux angles égaux est isocèle. A’M = A’C. Le point C est bien sur le cercle (c4).
La symétrie par rapport à (AA’) donne les autres sommets E et D.
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Sommaire
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Cette figure est la représentation de l'œil d'Oudjat vue par les Égyptiens.
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Les points B et E, intersection du cercle de diamètre [AO’] et d'un des arcs RS, sont deux des sommets du pentagone de côtés [AB] et [AE]. C et D complètent le pentagone régulier.
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6. Construction d'un pentagone à partir d'une diagonale [AD] |
Construction d'Euclide |
Méthode
Se donner deux sommets A et D.
La longueur d'un côté partage la diagonale en « moyenne raison ».
Trouver le point P formant une section d'or sur [AD] avec le triangle ADM, rectangle en D, tel que DM = AD.
Construction
Tracer le cercle (c1) de centre M passant par D coupant [AM] en Q
et le cercle (c2) de centre A passant par Q.
Le cercle (c2) coupe [AD] en P. Son rayon est égal au côté du pentagone convexe. Les sommets B et E sont situés sur ce cercle.
Les cercles (c3), de centre P passant par A, et (c4), de centre A passant par D, se coupent en C sommet du triangle d'or ACD.
Terminer la construction des pentagones :
le point B est à une des intersections du cercle (c2) et du cercle de centre D passant par A.
Le cercle (c2) recoupe (CP) en E.
ABCDE est un pentagone régulier convexe, ACEBD est un pentagone régulier étoilé.
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Méthode
Se donner deux points A et P. La droite (AP) sera une diagonale du pentagone.
Les points R et D partagent [AP] en « moyenne et extrême raison ».
Trouver le point R formant une section d'or sur [AP] avec le triangle APM, rectangle en P, tel que PM = AP.
Puis reporter AR en P pour trouver le point D.
Construction
Tracer le cercle (c1) de centre M passant par P coupant [AM] en Q
et le cercle (c2) de centre A passant par Q.
Le cercle (c2) coupe [AP] en P. et placer D tel que PD = AR.
Les cercles (c3), de centre D passant par R, et (c4), de centre A passant par A, se coupent en C.
Les cercles (c3), de centre D passant par R, et (c6), de centre A passant par P, se coupent en E et en un des points d'intersection des diagonales.
Le point B est à une des intersections du cercle (c5) de centre D passant par A et du cercle (c6) de centre A passant par P.
ABCDE est un pentagone régulier convexe, ACEBD est un pentagone régulier étoilé.
Télécharger la figure GéoPlan penta_cote_diag.g2w
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Sommaire
Avec la donnée de deux sommets consécutifs, la configuration ci-dessous est utilisée les trois constructions suivantes.
Étant donné un pentagone ABCDE de côté AB = 1, la diagonale BE mesure Φ.
L'angle intérieur BÂE vaut radians et le supplémentaire FÂE est .
À partir de deux points A et B il est possible de trouver la longueur Φ d'une diagonale en réalisant la construction du nombre d'or.
Construction de E
Construire un carré ABB’A’ de côté 1. Soit I le milieu du côté [AB].
Le cercle (c1) de centre I passant par A’ (et B’) coupe (AB) en F et G.
On a BF = AG = Φ.
Les cercles (c2) de centre A passant par B, de rayon 1, et (c4) de centre B passant par F, de rayon Φ, se coupent en E.
Triangles d'or
FA = FB − AB = Φ − 1 = ; AE = 1 ; FÂE = : AEF est un triangle d'or. EF est donc égal à 1.
FB = EB = Φ : EF = 1 : FBE est un triangle d'or c'est le « triangle intéressant » de Daniel Reisz.
Télécharger la figure GéoPlan penta_triangle.g2w
Voir aussi : carré inscrit dans un demi-cercle
Méthode
Dessin à partir de deux sommets consécutifs A et B.
Comme expliqué ci-dessus, construire le carré ABB’A’ et le cercle (c1) de centre I, milieu de [AB], passant par A’ qui coupe (AB) en F et G.
Construction
Les cercles (c2) de centre A passant par B et (c4) de centre B passant par F se coupent en E.
De façon symétrique, les cercles (c3) de centre B passant par A et (c5) de centre A passant par G se coupent en C.
Les cercles (c4) et (c5) se coupent en D.
ADB est un triangle d'or ce côtés Φ et 1.
Télécharger la figure GéoPlan penta_carre.g2w
À partir de la figure précédente, création d'un second pentagone A’B’C’DE’ dont les sommets sont des points remarquables :
• A’ situé sur la diagonale (AD) à l'intersection des cercles (c2) et (c4),
• E’ situé sur le cercle (c2) à l'intersection du côté (AE) et de la droite (A’F).
Les points A et B sont situés aux intersections de diagonales du pentagone A’B’C’DE’.
Télécharger la figure GéoPlan penta_hippocrate.g2w
Méthode
Dessin à partir d'un côté du pentagone : les points de base (libres) sont deux sommets consécutifs A et B.
Simplification de la construction précédente en utilisant une seule perpendiculaire (AA’) et non un carré.
Construction
Tracer le cercle (c2) de centre A passant par B. Soit A’ un des points d'intersection entre ce cercle (c2) et la droite perpendiculaire à (AB) passant par A.
Soit I le milieu de [AB]. Le cercle (c1) de centre I passant par A’ coupe la demi-droite [BA) en F.
Le cercle (c4) de centre B passant par F coupe le cercle (c2) en E.
Il coupe aussi la médiatrice de [AB] en D.
Tracer le cercle (c5) de centre D passant par E, puis (c3) de centre B passant par A.
Seul un des points d'intersection de ces deux cercles permet d'obtenir un polygone convexe : le point C.
ABCDE est un pentagone régulier.
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Daniel Reisz - Bulletin APMEP no 430
Comme expliqué au début de ce chapitre, tracer le triangle d'or BEF. Pour cela, trouver le point F, avec le triangle rectangle isocèle BAA’ et le cercle (c6) de centre I milieu de [AB].
Le point E est à une des intersections des cercles (c4) de centre B passant par F et (c5) de centre A passant par B.
Daniel Reisz réalise alors la construction suivante :
Le cercle (c1) est circonscrit au triangle ABE et recoupe (c4) en D.
La perpendiculaire à (BE) passant par A coupe (ED) en V.
La droite (BV) recoupe le cercle circonscrit (c1) en C.
On reconnaît la construction du cerf-volant ci-dessus.
Télécharger la figure GéoPlan penta_f5.g2w
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Sommaire
Dessin à partir d'un côté du pentagone
: les points libres sont deux sommets consécutifs A et B.
Placer les deux premiers points A et B du polygone,
placer le point B’ symétrique de B par rapport à A,
tracer le cercle (c1) de centre A passant par B (diamètre [B’B]),
la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle C1 en A’.
Soit (c2) le cercle de diamètre [AA’] : son centre J est le milieu de [AA’].
Tracer la droite (B’J), cette droite coupe le cercle (c2) au point K.
Tracer le cercle (c3) de centre B’ passant par le point K,
les cercles (c1) et (c3) se coupent en D’, tracer le segment [BD’].
La médiatrice de [AB] coupe le segment [BD’] en O : O est le centre du cercle circonscrit (c4) au pentagone et on peut vérifier que l'angle AÔB mesure 72°.
Pour tracer le pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), un point E intersection des cercles (c1) et (c4), le point D est un des points d'intersection du cercle circonscrit (c4) et de la médiatrice de [AB] qui passe par O.
Télécharger la figure GéoPlan penta_f7.g2w
e visite des pages « première ».
, 
Dans la figure ci-contre à droite, les points A’, C’, E’, B’, D’, nommés dans cet ordre, sont les sommets d'un polygone régulier
étoilé appelé pentagramme.
= Φ. Le point A partage le côté [E’C’] en « moyenne raison ».
= 1 + 
,
donc 
= 
= 
= 1 × OI
= 
= −1 × OJ
