Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesThéorèmes de Desargues, de Pappus. Division harmonique ; trapèze et quadrilatère complets : droite de Newton et point de Miquel.
Sommaire1. Configuration du trapèze complet |
Géométrie euclidienne 2.1. Droite de Newton Page no 46, réalisée le 21/6/2003, modifiée le 20/6/2012 | ||||
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Épreuve pratique de terminale S |
Paraboles en 1ère S |
Index 1ère S |
Quelle géométrie enseigner ? |
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Girard Desargues (Français 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours, contact et birapport.
Intuitivement la droite projective est une droite affine complétée par un point, appelé point à l'infini. Elle est en bijection avec R È {∞}
(à ne pas confondre avec R È {– ∞, + ∞}).
Le plan projectif est un plan affine complété par la droite de l'infini, réunion des points à l'infini des droites de ce plan.
Dans le plan projectif, deux droites parallèles ont en commun un point à l'infini (point de fuite sur la ligne d'horizon en perspective).
De cette façon, deux droites distinctes du plan projectif ont toujours un point commun.
Le plan projectif est associé au groupe des transformations projectives qui conservent alignement, concours, division harmonique et birapport.
Une des catastrophes de l'enseignement français des mathématiques est que ces notions difficiles, mais essentielles en dessin, imagerie et physique, ne sont plus enseignées au lycée depuis 1970.
Nous donnons ici quelques exemples d'alignements et de point de concours.
Les étudiants du CAPES et les professeurs du secondaire trouveront la théorie des espaces projectifs dans la bibliographie, en particulier voir :
Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001
Ladegaillerie Yves - Géométrie pour le CAPES - Ellipses 2003
Définition : Un trapèze complet est un quadrilatère complet dont un des sommets est un point à l'infini
Un trapèze complet (qui n'est pas un parallélogramme) est formé de quatre droites du plan, deux droites parallèles et deux sécantes coupant les parallèles en quatre points.
Le trapèze complet (strict) a quatre côtés, cinq sommets (les quatre sommets du trapèze et le point d'intersection des côtés non parallèles), deux diagonales et un point diagonal.
Remarque : un trapèze est un quadrilatère, possédant au moins deux côtés opposés parallèles. Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze. Un parallélogramme est un trapèze complet dont deux des sommets sont des points à l'infini.
Dans un trapèze, la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.
ActivitéA, B et C sont trois points du plan ; D est un point sur la parallèle à (AB) passant par C.
ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] ayant pour milieux I et J. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Les droites (BC) et (AD) se coupent en P.
Montrer que les points I, J, O et P sont alignés.
Démonstration avec l'homothétie
Utiliser les propriétés des homothéties transformant le segment [AB] en [CD].
Réciproque : CDP est un triangle, J le milieu de [CD], O un point de la droite (PJ) distinct de P, de J et du symétrique de J par rapport à P.
(CO) coupe (PD) en A et (DO) coupe (PC) en B.
Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que le point I, intersection de (AB) et (PJ), est le milieu de [AB].
Télécharger la figure GéoPlan trapeze.g2w
Télécharger la figure GeoGebra trapeze_complet.ggb
Démonstration avec des barycentres
Il existe un nombre k différent de 0, 1 et -1 tel que le vecteur 
= − k 
, soit 2
+ 2k = 
.
O est le barycentre de (P, 2k) et (J, 2).
Comme J est milieu de [CD], le théorème de la médiane dans le triangle OCD permet d'écrire :
+ 
= 2 
donc
+ + 2k
= (formule 1) ;
O est le barycentre de (P, 2k) ; (C, 1) et (D, 1).
D'après la règle d'associativité des barycentres, on trouve que l'intersection A de (PD) avec (CO) est le barycentre partiel de (P, 2k) et (D, 1) et aussi que B est le barycentre partiel de (P, 2k) et (C, 1) ;
donc 2k 
+ 
= et 2k 
+ 
= (formules 2 et 3).
En calculant à partir de P, dans les formules 2 et 3, on trouve (2k + 1) 
= 
et (2k + 1) 
= 
,
d'où en faisant la différence de ces deux égalités on trouve (2k + 1) 
= 
. Ces deux derniers vecteurs sont colinéaires et (AB) // (CD).
De même, en calculant à partir de D, dans la formule 2, on trouve (2k + 1)
+ 2k 
= ;
D est le barycentre de (A, 2k + 1) et (P, – 2k).
La formule vectorielle de Leibniz (α + β) 
= α 
+ β 
,
en plaçant M en O, permet d'écrire = (2k + 1) 
– 2k
et en remplaçant dans la formule 1 on obtient : + (2k + 1) = : O est le barycentre de (C, 1) et (A, 2k + 1).
Des calculs similaires avec la formule 3, à partir du point C, permettent d'écrire (2k + 1) + 2k 
= ;
C est le barycentre de (B, 2k + 1) et (P, – 2k) : + (2k + 1)
= : O est le barycentre de (D, 1) et (B, 2k + 1).
En remplaçant ces deux derniers résultats dans la formule 1, on trouve – (2k + 1)
– (2k + 1) + 2k = ;
O est le barycentre de (A, 2k + 1) ; (B, 2k + 1) et (P, – 2k). D'après la règle d'associativité des barycentres, on trouve que le point d'intersection I de (PO) avec (AB) est le barycentre partiel de (A, 2k + 1) et (B, 2k + 1). Les deux coefficients étant égaux, I est le milieu de [AB].
Sommaire
Barycentre
Accueil Descartes et les Mathématiques
Pappus d'Alexandrie (vers l'an 300)
Théorème de Pappus
Soit (d) et (d’) deux droites du plan projectif ayant le point O comme intersection ; A, B et C trois points de (d) distincts de O ; A’, B’ et C’ trois points de (d’) distincts de O.
Les points d'intersection A1, B1 et C1 sont alignés (voir figure).
Remarque : on trouve diverses formes de ce théorème en géométrie affine en tenant compte que deux droites du plan projectif, toujours concourantes, correspondent à deux droites sécantes ou parallèles du plan affine.
En géométrie affine, voir le cas particulier où (AB’)//(A’B) dans Cabri-Géomètre en troisième
(la droite (A1B1) est alors la droite de l'infini.)
D'après le théorème de Pascal, pour un hexagone inscrit dans une conique, les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés.
Les deux droites (d) et (d’) peuvent être considérées comme une conique dégénérée : pour l'hexagramme AB’CA’BC’, le théorème de Pappus-Pascal affirme l'alignement des points A1, B1 et C1.
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Parallélogramme de Pappus : preuve par homothétie |
Droites concourantes en ODesargues Girard - Géomètre lyonnais 1591-1661 Théorème de Desargues (forme forte)
Soit ABC et A’B’C’ deux triangles (d'un espace projectif) ayant leurs sommets deux à deux distincts. Si les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes, alors les points de concours A1, B1 et C1 sont alignés.
Réciproque, voir : |
Droites parallèlesCas particulier où le point O est le point à l'infini sur la droite (AA’).
Soit ABC et A’B’C’ deux triangles, ayant leurs sommets deux à deux distincts, tels que (AA’) // (BB’). Les droites (AA’) et (CC’) sont parallèles, si et seulement si les points A1, B1 et C1 sont alignés.
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Figure dessinée dans le plan, que l'«on voit » comme la représentation en perspective d'une figure de l'espace
A’B’C’ dans le « plan horizontal », |
Même figure dépouillée des plans permettant de « voir » dans l'espace
Commande GéoPlan |
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Desargues transgresse une des règles d'Euclide qui est de démontrer une propriété de géométrie plane dans le seul cadre de la géométrie plane. Il peut être considéré comme l'inventeur de la méthode des transformations permettant des démonstrations par transfert de propriété. Il utilise l'espace pour la visualisation d'un problème plan : Imaginons que la figure ci-dessus soit une représentation de l'espace : Théorème de Desargues dans l'espace Ces figures s'appliquent, dans l'espace, à deux triangles non coplanaires. |
Visualisation d'une pyramide de sommet O et de base A’B’C’ coupée par le plan (ABC).
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Géométrie affine
Forme forte du théorème de Desargues
Si le point C1 est le point à l'infini, les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles, et sont parallèles à (A1B1).
Remarque : des droites concourantes dans un espace projectif correspondent à des droites sécantes ou parallèles dans un espace affine.
En géométrie affine, on trouvera plusieurs énoncés du théorème de Desargues tenant compte de ce fait, comme ce cas particulier où les triangles ont deux côtés distincts parallèles. – La droite (A1B1) est alors la droite de l'infini.
Ce qui donne, dans le plan affine, la forme faible du théorème de Desargues
Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites concourantes ou parallèles et soient ABC et A’B’C’ deux triangles non plats tels que A et A’ soient sur (d1) ; B et B’ sur (d2) ; C et C’ sur (d3).
Si (AB)//(A’B’) et (BC)//(B’C’) alors (AC)//(A’C’).
Télécharger la figure GéoPlan desargues.g2w
Réciproque
Soient ABC et A’B’C’ deux triangles non plats, tels que (AB)//(A’B’), (BC)//(B’C’) et (AC)//(A’C’), alors les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes ou parallèles.
Autrement dit, deux triangles ayant leurs côtés deux à deux parallèles, sont homothétiques ou translatés l'un de l'autre.
Dans le Bulletin APMEP no 493 mars-avril 2011, Michel Fréchet propose une démonstration élégante et surprenante de ce théorème avec une figure de l'espace.
Il rappelle un exercice de géométrie plane, fastidieux et non convainquant, figurant dans des livres de terminale S, ayant pour objectif de démontrer ce théorème par le calcul :
– Soit α, β et γ les coordonnées barycentriques de O respectivement par rapport aux couples de points (A, A’) ; (B, B’) et (C, C’).
On a : α + (1 – α) 
= ; β + (1 – β) 
= et γ + (1 – γ) 
= .
Les points A1, B1 et C1 existent si les côtés des triangles ABC et A’B’C’ ne sont pas deux à deux parallèles. Les coefficients α, β et γ sont alors deux à deux distincts.
– Parachutons le point K, barycentre des points pondérés (A, α) et (B, – β).
Pour ce point K appartenant à la droite (AB), la fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire α – β = (α – β) 
.
En utilisant les coordonnées barycentriques ci-dessus, on a (α – 1) – (β – 1) = [(α – 1) – (β – 1)] . K est donc le barycentre des points pondérés [A’, (α – 1)] et [B’, – (β – 1)] et appartient à la droite (A’B’).
Le point K, situé à l'intersection de (AB) et (A’B’), n'est autre que le point C1. On a donc :
C1 est le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, – β) ; soit α – β = (α – β) 
.
De même B1 est le barycentre des points pondérés (C, γ) et (A, – α) ; soit γ – α = (γ – α) 
,
et A1 est le barycentre des points pondérés (B, β) et (C, – γ) ; soit β – γ = (β – γ) 
.
– En additionnant, membre à membre, ces trois dernières égalités on a :
(β – γ) + (γ – α) + (α – β) = β – γ + γ – α + α – β = .
Les trois réels (β – γ), (γ – α) et (γ – α), n'étant pas nuls, les points A1, B1 et C1 sont alignés (C1 pouvant être considéré comme un barycentre de A1 et B1).
Définitions : quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si et seulement si on a l'une des quatre relations équivalentes :
définition : 
= − 
;
relation de Descartes : 
;
relation de Newton : IA2 = IB2 = 
. 
où I est le milieu de [AB] ;
relation de Mac-Laurin : 
. = . 
où J est le milieu de [CD].
Birapport de quatre points alignés : c'est nombre 
noté [A, B, C, D].
Si quatre points alignés A, B, C, D forment une division harmonique, le birapport est égal à –1 et on note [A, B, C, D] = −1.
Voir : polaire d'une droite ou d'un cercle |
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Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.
Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.
Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :
A, B, C et D sont quatre points du plan formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F.
Les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet ayant les six sommets A, B, C, D, E et F.
Les trois droites (AC), (BD) et (EF) sont les diagonales du quadrilatère complet, leurs points d'intersection I, J, K sont les points diagonaux.
Le quadrilatère complet est à distinguer du quadrangle complet qui a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.
Dans un espace projectif, le dual d'un quadrilatère complet est un quadrangle et réciproquement.
Télécharger la figure GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu), quadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales)
Télécharger la figure GeoGebra quadrilatere_complet.ggb, quadri_complet_diag.ggb (quadrilatère avec les diagonales)
Feuille de travail dynamique avec GeoGebra
Diagonales et divisions harmoniques dans un quadrilatère complet
Wikipédia : Quadrilatère complet
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
Dans la suite de ces paragraphes, les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet de sommets A, B, C, D, E et F.
[AC], [BD] et [EF] sont les diagonales du quadrilatère complet.
Les milieux I, J et K des diagonales sont alignés (Théorème de Newton).
La droite qui porte les points I, J, K est dite droite de Newton du quadrilatère complet.
Télécharger la figure GéoPlan qua_com1.g2w
Démonstration
Soit G et H les points définis par 
= 
et 
= 
.
Soit h1 l'homothétie de centre F qui transforme B en C, et h2 l'homothétie de centre F qui transforme D en A.
h3 = h2 o h1 et h4 = h1 o h2
L'image de (BG) par h1 est (DC), l'image de (DC) par h2 est (AH), donc l'image de (BG) par h3 est (AH). De même, l'image de (DG) par h4 est (CH).
La composition des homothéties de même centre est commutative : h3 = h4 est une homothétie de centre F. D'où l'image de G par h3 est H ; les points F, G et H sont alignés.
Comme = , EDGB est un parallélogramme de centre J ; EJ = EG/2.
= ,
ECHA est un parallélogramme de centre I ; EI = EH/2.
L'homothétie de centre E et de rapport 
transforme F en K, G en J, H en I.
Comme les points F, G, H sont alignés; les transformés I, J, K sont donc alignés.
Télécharger la figure GéoPlan qua_com9.g2w
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Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère complet se coupent en M : Commande GéoPlan : taper M pour effacer/afficher ces alignements. De même, si les diagonales [AC] et [EF] se coupent en N, on trouve que : Commande GéoPlan : taper N pour afficher/effacer ces alignements. Enfin, si les diagonales [BD] et [EF] se coupent en O : Commande GéoPlan : taper la lettre O pour afficher/effacer ces alignements.
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Les milieux I de [ME], J de [AD] et K de [BC] sont alignés. |
Les milieux de [NB], de [AF] et de [CE] sont alignés ; |
Les milieux de [OA], de [BF] et de [DE] sont alignés ; |
Point de Miquel d'un quadrilatère complet
Théorème du quadrilatère complet Les quatre cercles circonscrits aux triangles ADE, BCE, ABF et CDF, formés par les sommets pris trois à trois, sont concourants en M, point de Miquel du quadrilatère complet. Point de Miquel d'un triangle associé à une transversaleÉtant donné un triangle FDC et une transversale (d), ne passant par les sommets, coupant les côtés (FD) en A, (FC) en B et (DC) en E. Les trois cercles ADE, BCE et ABF sont sécants en un point M, point de Miquel du triangle FDC associé à la transversale (d). Le cercle circonscrit au triangle FDC passe par le point de Miquel. Les démonstrations se font en utilisant les angles inscrits.
Configuration du quadrilatère complet, point de Miquel : plan projectif |
Cercle de Miquel
Théorème des quatre cercles Les centres O1, O2, O3, O4 des quatre cercles et le point de Miquel M sont cocycliques ou alignés. Le cercle contenant ces cinq points est dit cercle de Miquel.
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Point et cercle de Miquel : feuille de travail dynamique avec GeoGebra
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Les quatre triangles ABF, ADE, BCE et CDF formés par les côtés du quadrilatère complet pris trois à trois ont leurs orthocentres alignés sur la droite de Miquel, droite orthogonale à la droite de Newton, qui passe par les milieux des diagonales.
Télécharger la figure GéoPlan qua_com4.g2w
Démonstration avec un axe radical : géométrie du cercle
Rappel : Dans un triangle, une ménélienne est une droite ne passant pas par un des sommets.
Dans un triangle ABC, une ménélienne rencontre les côtés (BC), (CA) et (AB) respectivement aux points P, Q et R, distincts des sommets.
Soit I, J et K les milieux respectifs des segments [AP], [BQ] et [CR].
Alors les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton du triangle ABC, associée à la transversale (d).
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La ménélienne rencontre deux côtés du triangle ABC
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La ménélienne ne rencontre aucun des côtés du triangle
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Les quatre droites (AB), (AC), (PC) et (PQ), définissent un quadrilatère complet, admettant pour sommets les six points A, B, C, P, Q et R.
Les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton de ce quadrilatère complet.
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Jean-Louis Ayme - Une quarantaine de démonstrations concernant la droite de Newton : méthodes et techniques en géométrie - Ellipses - 2003
Brigitte Sénéchal-Rozoy - Géométrie classique et mathématiques modernes - Hermann 1979
Angles et rotations - brochure IREM - Bordeaux 1996
Aline Robert - Géométrie oral du capes - Ellipses 1995
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