René DescartesDescartes et les Mathématiques

Exercices résolus par produit scalaire

Des exemples d'exercices pour l'articulation « première terminale » en série S.

Sommaire

1. Droites perpendiculaires dans un triangle rectangle

2. Angles et aire d'un triangle

3. Contruire un triangle connaissant un côté et deux angles

4. Contruire un triangle connaissant deux côtés et un angle

1. Droites perpendiculaires dans un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en A. On désigne par A’ le milieu de [BC], par H le pied de la hauteur, issue de A, et par I et J les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC).

1.a. Démontrer que vect(AB).vect(IJ) = − vect(AB).vect(AH).
1.b. Démontrer que les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

droites perpendiculaires dans un triangle rectangle - copyright Patrice Debart 2007

Solution

1.a. La projection de vect(IJ) sur (AB) est vect(IA), donc vect(AB).vect(IJ) = vect(AB).vect(IA) = - vect(AB).vect(AI).
La projection de vect(AH) sur (AB) est vect(AI), donc vect(AB).vect(AH) = vect(AB).vect(AI).
On a bien vect(AB).vect(IJ) = − vect(AB).vect(AH) = − vect(AB).vect(AI).

1.b. On montre, de même, que vect(AC).vect(JI) = − vect(AC).vect(AH).

La forme vectorielle du théorème de la médiane, dans le triangle ABC, permet d'écrire :
2vect(AA') = vect(AB) + vect(AC).
Calculons le produit scalaire : 2vect(AA').vect(IJ) = (vect(AB) + vect(AC)).vect(IJ) = - vect(AB).vect(AH) + vect(AC).vect(AH) = (- vect(AB) + vect(AC)).vect(AH) = (vect(BA) + vect(AC)).vect(AH) = vect(BC).vect(AH) = 0, car la hauteur (AH) est perpendiculaire à (BC).
Le produit scalaire vect(AA').vect(IJ) est nul, les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w

2. Relations métriques dans le triangle

exercice produit scalaire - angles et aire d'un triangle - copyright Patrice Debart 2007

Angles et aire d'un triangle

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal les points :

A(1; 2), B(3; 4) et C(4; 0).

Déterminer des valeurs approchées des angles du triangle ABC. Calculer l'aire de ce triangle.

GéoPlan plan trouve une aire de 5 !

g2w Télécharger la figure GéoPlan angle_tr.g2w

3. Tracer avec deux côtés et un angle

Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

a) Construire un triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 8 cm et l'angle BÂC mesure 80°.

b) Calculer BC et les mesures des deux autres angles.

exercice produit scalaire - construire un triangle connaissant deux côtés et un angle - copyright Patrice Debart 2007

Indication

Construction à la « règle et au compas » avec GéoPlan - explications avec report d'angle - voir : construction de triangle

Calcul du côté BC avec la relation d'Al-Kashi :
a² = b² + c² - 2 b c cos(Â)
Puis des angles avec cos C = Cos C.

Application

ABC est un triangle tel que : AB = 4, AC = 3 et BÂC = 62°. Déterminer BC.

Commandes GéoPlan

Faire varier les longueurs des côtés ou l'angle en déplaçant les points x ou y.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w

4. Tracer un triangle avec un côté et deux angles adjacents

Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents

Étant donné un segment [AB] de longueur c, deux angles xÎy et zJt, construire un triangle ABC tel que BÂC = xÎy et ABC = zJt.

On considère un triangle ABC tel que : AB = 1, BÂC = 15° et ABC = 30°.

Soit H le pied de la hauteur, issue de C.

Calculer CH.

exercice produit scalaire - construire un triangle connaissant un côté et deux angles - copyright Patrice Debart 2007

Indications

Calculer les côtés AC et BC avec la relation d'Al-Kashi et la hauteur avec, par exemple, la relation :
AC × BC = AB × CH

(voir triangle rectangle).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w

Commandes GéoPlan

Faire varier la longueur des côtés ou les angles en déplaçant x ou y ; z ou t.
Initialiser les paramètres : AB = 1, BÂC = 15° et ABC = 30°

Table des matières

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