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Exercices résolus par produit scalaire

Groupe de mutualisation, série S, lycée Fourcade, le 25 janvier 2007 : des exemples d'exercices pour l'articulation « première terminale » en série S.

1. Triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en A. On désigne par A’ le milieu de [BC], par H le pied de la hauteur, issue de A, et par I et J les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC).

a. Démontrer que . = − ..
b. Démontrer que les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

Solution

a. La projection de sur (AB) est , donc . = . = - ..
La projection de sur (AB) est , donc . = ..
On a bien . = − . = − ..

b. On montre, de même, que . = − ..

La forme vectorielle du théorème de la médiane, dans le triangle ABC, permet d'écrire :
2 = + .
Calculons le produit scalaire : 2. = ( + ). = - . + . = (- + ). = ( + ). = . = 0, car la hauteur (AH) est perpendiculaire à (BC).
Le produit scalaire . est nul, les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

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2. Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

a) Construire un triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 8 cm et l'angle BÂC mesure 80°.

b) Calculer BC et les mesures des deux autres angles.

Indication

Construction à la « règle et au compas » avec GéoPlan - explications avec report d'angle - voir : construction de triangle

Calcul du côté BC avec la relation d'Al-Kashi :
a² = b² + c² - 2 b c cos(Â)
Puis des angles avec cos C = .

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et faire varier les longueurs des côtés en cliquant sur b ou c ou l'angle en déplaçant les points x ou y.

Taper A pour un angle d'exactement 80°.

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Application :

ABC est un triangle tel que : AB = 4, AC = 3 et BÂC = 62°. Déterminer BC.

3. Angles et aire d'un triangle

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal les points A(1; 2), B(3; 4) et C(4; 0).

Déterminer des valeurs approchées des angles du triangle ABC. Calculer l'aire de ce triangle.

GéoPlan plan trouve une aire de 5 !

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Sommaire

4. Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents

Étant donnés un segment [AB] de longueur c, deux angles xÎy et zJt, construire un triangle ABC tel que BÂC = xÎy et ABC = zJt.

On considère un triangle ABC tel que : AB = 1, BÂC = 15° et ABC = 30°.

Soit H le pied de la hauteur, issue de C.

Calculer CH.

Indications

Calculer les côtés AC et BC avec la relation d'Al-Kashi et la hauteur avec, par exemple, la relation :
AC × BC = AB × CH (voir triangle rectangle)

Commandes GéoPlan

Faire varier la longueur des côtés en cliquant sur c
ou les angles en déplaçant x ou y ; z ou t.

Taper I pour initialiser les paramètres : AB = 1, BÂC = 15° et ABC = 30°

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