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Similitudes avec GéoPlan

Alignements, points de concours.

Après la suppression des translations, rotations ou homothéties, la similitude est la seule transformation rescapée dans l'enseignement français, et seulement en enseignement de spécialité de terminale S, certainement pour justifier les nombreux exercices du bac avec la caractérisation complexe.
Dans le programme 2011, les similitudes directes sont introduites comme transformations du plan composées d'une homothétie et d'un déplacement. L'ennui est que homothétie et déplacement ne sont plus étudiés dans les programmes des classes antérieures : on n'est plus à une incohérence près !

1.a. Alignement avec un point et son transformé dans une similitude

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c₁).
Une similitude de centre A transforme le cercle (c₁) en un cercle (c₂) et le point M en un point M’.

Les cercles (c₁) et (c₂) ont comme deuxième point d'intersection B.

Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Démonstration

Calculer l'angle (, ) = (, ) + (, ) [mod π].

Les angles inscrits sont égaux à la moitié de l'angle au centre :
(, ) = (, ) [mod π],
(, ) = (, ) [mod π].

Dans la similitude A est point fixe, O₁ a pour image O₂, M a pour image M’, par conservation des angles on a (, ) = (, ) [mod π].
D'où – (, ) = (, ) et (, ) = 0 [mod π] ce qui prouve l'alignement.

Télécharger la figure GéoPlan sim_cer.g2w
Télécharger la figure GeoGebra sim_cer.ggb (La similitude est la composée d'une rotation de centre A suivie d'une homothétie de centre A et de rapport r₂/r₁. M a pour image M₁ par la rotation, M₁a pour image M’ par l'homothétie.)

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra

Bibliographie : La géométrie plane au lycée - Chevrier, Dobigeon - Irem de Poitiers, 1989 - Exercice 6 page 59
Géométrie oral du capes - Aline Robert - Ellipses 1995
Autre formulation : Terracher - 1S, 2001 - exercice 69 page 162

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,
cas particulier de cercles de même rayon : voir rotation en seconde,
exercice proposé à l'épreuve pratique de terminale S en 2009.

2. Deux carrés autour d'un rectangle : homothétie, produit scalaire et similitude au Bac S

Polynésie - septembre 2000

Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct. 1. Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes. Pour cela, on note I le point d'intersection des droites (EG) et (FH) ; puis on introduit : - l'homothétie h1 de centre I qui transforme G en E ; - l'homothétie h2 de centre I qui transforme F en H. a. Déterminer l'image de la droite (CG) par l'homothétie h1 puis par la composée h2 o h1. b. Déterminer l'image de la droite (CF) par l'homothétie h1 o h2. c. Justifier l'égalité h2 o h1 = h1 o h2. En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I.

2. On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du triangle AEH est une hauteur du triangle ABD.
On note O le milieu du segment [OH].
a. Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .
b. Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .
c. Calculer le produit scalaire . et conclure.

3. Dans cette question on étudie la similitude directe s qui transforme A en B et D en A.
On pose AB = 1 et AD = k (k > 0).
a. Déterminer l'angle et le rapport de la similitude s.
b. Déterminer l'image de la droite (BD), puis l'image de la droite (AO) par cette similitude s.
c. En déduire que le point d'intersection K des droites (BD) et (AO) est le centre de la similitude s.

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Médiane de l'un, hauteur de l'autre : variante deux carrés autour du BOA
Retrouver cette configuration dans : carré au collège
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3. Deux carrés - Alignement et point de concours

Trois points I, A et G sont alignés si les droites (IA) et (IG) sont perpendiculaires à une même troisième.

a. On considère deux carrés ABCD et BEFG, extérieurs l'un à l'autre, avec GÎ[BC].
Soit I le point d'intersection des deux segments [CE] et [DF].
Montrer que les points A, G et I sont alignés : les droites (CE), (DF) et (AG) sont concourantes en I.

Une figure riche : les droites (AG), (CE) et (DF) sont concourante en I.
Les angles FÎE, EÎB, BÎA, AÎD et DÎC mesurent 45°.
Le Point I est à l'intersection des cercles circonscrits aux carrés et du cercle de diamètre [AE].
Une similitude de centre I et d'angle transforme ABCD en EFGB.

Solution

La similitude de centre B et de rapport et d'angle transforme E en F, C en D, [EC] en [FD], d'où :
(, ) = = (, ) (modulo 2π).

Le point I est cocyclique avec E, F et G sur le cercle de diamètre [EG], d'où : (, ) = (2π).

On a, de même, (, ) = = (, ) (2π).

I est cocyclique avec A, C et D sur le cercle de diamètre [AC], d'où : (, ) = (2π).

(IA) et (IG) sont perpendiculaires à (EC) en I ; les points I, G et A sont alignés.

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Retrouver cette configuration dans : carré au collège
Problème d'alignement, voir aussi : diamètres de deux cercles sécants

b. Problèmes sur les configurations

Dossier n^o 17 du CAPES Externe de Mathématiques 2005 - Épreuve sur dossier
Étude de configurations à l'aide de différents outils

l'exercice proposé au candidat :
Dans la figure ci-dessus, le point B est un point du segment [AE] distinct de A et E.
ABCD et BEFG sont des carrés.
On se propose de démontrer, par différentes méthodes, que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.

a. Outil « configurations »
On note I le point d'intersection de (AG) et (EC). Justifier que l'angle AIE est droit et conclure (on pourra considérer le triangle GIE ? Voir plutôt ci-dessus).

b. Outil « produit scalaire »
Calculer . et conclure.

c. Outil « analytique »
Après avoir muni le plan d'un repère orthonormal, montrer que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.

Le travail demandé au candidat
Q.1 Mettre en évidence, à l'aide du logiciel de géométrie dynamique de la calculatrice, la propriété indiquée.
Q.2 Indiquer pour chacun des outils, le niveau où pourrait être donné l'exercice.
Q.3 Proposer une autre méthode de résolution.
Q.4 Proposer un ou plusieurs exercices qui permettent de mettre en jeu plusieurs méthodes pour résoudre un même problème de géométrie plane.

Indications

Pour le « produit scalaire », préférer le calcul vectoriel au calcul sur les coordonnées.

En « analytique » vérifier la relation mm’ = −1 pour les coefficients directeurs des deux droites.

Pour la question Q.3 on peut utiliser :
  — les transformations : rotation de centre B ou similitude comme ci-dessus,
  — les triangles semblables,
  — les complexes.

4. Lieu géométrique avec une similitude

Terminale S

Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (A, , ), on considère le carré ABCD de centre O, soit P un point de [BC].

On appelle N l'image de P par la rotation de centre A et d'angle et M le milieu de [NP].

Déterminer les lieux des points N et M lorsque P décrit [BC].

Indications

D’ étant le symétrique de C par rapport à D, D et D’ sont les images de B et C par la rotation. Le lieu du point N est le segment [DD'] porté par la droite (CD).

Le triangle ANP est rectangle isocèle. M est donc l'image de P par la similitude de centre A, d'angle et de rapport . O et D sont les images de B et C par la similitude. Le lieu du point M est le segment [OD].

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Retrouver cet exercice dans la page : optimisation

5. Centre de deux similitudes

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 17

PARTIE I

ABC est un triangle rectangle en B, direct : (, ) =

Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite (d) qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci-contre). On suppose que les points E, F, G sont distincts des points A, B, C.

Le cercle Γ circonscrit au triangle ABC et le cercle Γ’ circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K.

• Justifier l'existence d'une similitude plane directe s telle que s(A) = C et s(E) = G.
• Déterminer l'angle de s.

Soit Ω le centre de s.

• Montrer que Ω appartient aux cercles Γ et Γ’.
• Prouver que Ω est différent de B.
• Que peut-on en déduire pour Ω ?

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PARTIE II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ) d'unité graphique 2 cm. Les affixes respectives des points A, B, C, E, F et G sont données par :

z_A = 2 + 4i, z_B = −l - 2i, z_C = 3 - 4i, z_E = 0, z_F = 5, z_G = −5.

On admettra que le point F est le point d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées.

Placer ces points sur une figure et, à l'aide des résultats de la partie I, construire le point Ω, centre de la similitude s.

• Soit s’ la similitude plane directe telle que s’(A) = E et s’(C) = G. Déterminer l'écriture complexe de s’ et déterminer l'affixe du centre Ω’ de s’.
• Montrer que les points Ω et Ω’ sont confondus.

Indications

Le centre Ω de la similitude s d'angle est le point K.
Partie 2 : L'écriture complexe de s’ est z’ = az +b avec a = (-1 - 8i)/13 et b = (-30 + 20i)/13
z_Ω’ = −l + 2i, les points Ω et Ω’ sont confondus avec K.

6. Pseudo-carré

Bac S Antilles-Guyane — Septembre 2002 : exercice pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

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