René DescartesDescartes et les Mathématiques

Tangente à une courbe

Mathématiques en 1ère S avec GéoPlan :
calcul du coefficient directeur d'une droite (AM) et définition de la tangente par position limite.

Définir une tangente à la parabole

Dessin de Serge Cecconi

Utilisation de GéoPlan pour définir une tangente à la parabole (P) d'équation f(x) = x2

  1. Créer la fonction xx2
    Utiliser le menu déroulant : créer > numérique> fonction numérique.
    Taper x^2 pour obtenir le carré et nommer la fonction f. La fonction est alors définie.
     
  2. Pour obtenir la représentation dans un repère orthonormal faire apparaître le repère avec la touche Icône repère.
    Dans le menu Éditer, appeler Éditer texte figure ;
    changer la position du repère (O, vect(i), vect(j)) en modifiant les valeurs des extrema :
    Position de Roxy: Xmin: -0.25, Xmax: 1.25, Ymax: 1.4 et exécuter.
    Tracer la fonction f sur l'intervalle [-3, 3] :
    Menu ligne courbe > Graphe d'une fonction prédéfinie (pour l'intervalle, ne taper que les deux valeurs des extrémités).
     
  3. Créer le point A(1, f(1)) à l'aide d'une variable a, affectée à 1 :
    Menu Créer > variable réelle libre a dans l'intervalle [-3, 3]
    Menu Piloter > affecter une valeur à une variable numérique : a affectée à 1
    Créer le point repéré A(a, f(a)).
     
  4. Créer le point M(a+h, f(a+h)) à l'aide d'une variable h :
    Menu Créer >variable réelle libre h dans l'intervalle [-1, 1]
    Créer le point repéré M(a+h, f(a+h)).
     
  5. Créer la sécante (AM) :
    Menu Créer > Ligne > Droite > Définie par deux points.
     
  6. Déplacer le point M
    choisir piloter au clavier la variable h.
    Touches ↑ ou ↓ pour déplacer le point M ;
    touches + ou - pour régler le pas.
    Observer le comportement de la sécante (AM) lorsque M est proche de A. Faire des zooms.
     
  7. Calculer le coefficient directeur de la droite (AM) :
    Créer calcul algébrique (f(a+h) - f(a))/h a affecter dans la variable numérique u
    Créer l'affichage des variables numériques h et u.
    Lorsque M tend vers A, observer le coefficient directeur de (AM).
     
  8. La droite (d1) est la limite de la droite (AM) lorsque M tend vers A.
    Créer cette droite : Menu Ligne : droite ; Point - coefficient directeur (la nommer d1).
corde et tangente - copyright Patrice Debart 2003

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Utilisation de l'éditeur du texte de la figure

tangente dr pente 2 - copyright Patrice Debart 2003

Terminer par exécuter

Remarque : pendant la phase de recherche, on peut suivant l'initialisation des variables tomber sur l'une ou l'autre des situations ci-contre ou ci-dessous, avec exactement les mêmes programmes. Bonne occasion pour une explication sur les limites et les calculs faits par l'ordinateur.

tangente indeterminée - copyright Patrice Debart 2003

Recommencer l'observation en modifiant le point A : abscisse a = −2.

Modifier la fonction f : f(x) = x2 + x par exemple.

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L'analyse avec un logiciel de géométrie

Paraboles en 1ère S

Paraboles en 1ère L

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