Comment se jouer de la Géométrie
Renversons les nombres - L'ascension - bulletins APMEP no 343/344/346 - 1984
Renversons les nombres |
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Henry Camous de Marseille propose le jeu numérique suivant :
Multiplions par 9 le nombre 1089.
Examinons le résultat obtenu : 9801.
La multiplication par 9 a renversé le nombre 1081. Existe-t-il d'autres nombres qui se renversent ainsi par multiplication par 9 ?
Est-il possible de donner une formulation générale de ces nombres ?
Est-il possible de remplacer 9 par 8, par 7 ? par un autre nombre ?
Ce jeu a provoqué le plus volumineux courrier depuis les « tuiles voisines », de nombreux micros ordinateurs ont été programmés (François Minot).
Voici les solutions trouvées sur Thomson TO7 où le premier facteur est inférieur à 220 000 et le deuxième entre 2 et 9.
1 089 × 9 = 9 801 |
2 178 × 4 = 8 712 |
On peut vérifier que 10 … 89 × 9 = 98 … 01 et que 21 … 78 × 4 = 87 … 12 où les points sont à remplacer par n chiffres 9.
En cours de développement : voir l'article dans le bulletin APMEP.
Un petit concours à proposer en société. On croit trouver immédiatement la réponse, mais il y a quelqu'un qui a pu faire mieux ! Et puis il y a encore mieux !
Cette fois, c'est probablement la solution, mais comment le prouver ?
Matériel : une feuille de papier sur laquelle on peut préparer des quadrillages 3 × 3.
Deux cases qui ont un côté en commun ou même seulement un sommet en commun sont dites voisines.
Déroulement : Placez d'abord deux fois le naturel UN dans deux cases voisines de votre choix.
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Par exemple : |
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Ensuite, compléter les autres cases dans l'ordre qu'il vous plaira en écrivant dans chacune d'elles le total des naturels précédemment inscrits dans les cases voisines.
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But : Obtenir le naturel le plus élevé.
Évidemment pour relancer le jeu rien n'empêche de choisir un quadrillage plus grand.
LE DÉFI : J'attends vos records sur les damiers 3 × 3, 3 × 4, 4 × 4, 5 × 5 et pourquoi pas 8 × 8 !
Vous avez été nombreux à m'envoyer vos résultats, mais c'est Patrice Debart qui détient tous les records.
Il a mené ses recherches à l'aide d'un micro-ordinateur TO7 et nous annonce que pour le carré 3 × 3, le score de 44 est le record définitif puisque « l'ordinateur a testé tous les cas possibles ».
| La solution est particulière, car |
Pour les autres grilles, Patrice Debart a mis au point une excellente utilisation du crayon optique : « en visant une case du damier, l'ordinateur calculait le nombre qui s'y plaçait ».
Les carrés 4 × 4 et 5 × 5
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Voici les records obtenus :
Carrés 3 × 3 : 44
4 × 4 : 2 449
5 × 5 : 289 552
6 × 6 : 121 936 056
7 × 7 : 122 277 498 597
8 × 8 : 490 859 392 331 426
9 × 9 : 4 156 458 346 410 342 833
10 × 10 : 160 039 921 564 864 950 634 458
11 × 11 : 11 442 372 364 702 785 448 884 288 011
12 × 12 : 4 226 520 837 926 508 312 612 046 825 331 560
Rectangles 3 × 4 : 269
4 × 5 : 22 081
5 × 6 : 4 514 008
Peut-on améliorer ces records ? Les explications données laissent un léger espoir.
« Pour accélérer les recherches, on peut se limiter aux cas où la case choisie est voisine de
celle que l'on vient de jouer et le nombre obtenu strictement supérieur au précédent (sauf pour la deuxième case) ».
Avec cette hypothèse l'ordinateur a testé tous les chemins pour les damiers 4 × 4 et 5 × 5.
Pour les carrés 6 × 6, 7 × 7, 8 × 8… il n'est pas possible de faire toutes les vérifications, car les temps de calcul sont trop longs. Toutes les possibilités pour les 21 dernières cases ont été testées à partir de plusieurs combinaisons de départ.
Algorithme
Voici l'algorithme qui a donné les meilleurs résultats pour les damiers d'au moins quatre cases de côté.
| Remplir le damier par des bandes de deux cases de large. |
| Lorsque l'on atteint le bord du bas, il faut négocier l'épingle à cheveu. |
| Pour les damiers ayant un nombre pair de colonnes, on remplit en négociant les épingles à cheveux du haut en complétant le carré du haut dans l'ordre « A, B, C, D » ci-contre. |
| Pour les damiers ayant des nombres impairs de lignes et colonnes, on remplit comme ci-dessous jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une bande de trois cases libres. On complète ensuite ligne de trois par ligne de trois, de droite à gauche puis de gauche à droite, jusqu'à la fin du tableau. |
Voir les exemples de figures des carrés 8 × 8 et 7 × 7 dans le bulletin APMEP.
Groupe « Jeux » de l'Association des Professeurs de Mathématiques - 2009
Qui ne connaît pas le solitaire ou le taquin ? Qui n'a jamais manipulé un Rubik’s cube ou tâché de reconstituer un puzzle, voire de juxtaposer les motifs d'un carrelage ou ceux de deux lais de papier peint ?
Ce petit livre rassemble plusieurs dizaines de jeux où la dimension mathématique est mise en vedette.
On peut chercher en tatonnant les combinaisons dont sont formées les figures géométriques de ces différents jeux, à plat ou en volume ; mais leur fondement mathématique fait que l'on y parviendra plus vite et plus sûrement quand on en connaît la théorie.
Tous les jeux de ce recueil sont ainsi classés suivant les différentes parties de la géométrie, par degré de difficulté, toujours accompagnés de leur solution et du mode d'assemblage ou de fabrication des pièces dont ils sont constitués.
Extrait de Culture Math
Voir : transformation de l'aire d'un pentagone en triangle, parallélogramme ou carré ; pliage d'un triangle équilatéral dans une feuille carrée
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