René DescartesDescartes et les Mathématiques

Calculs d'aire - Théorème de Pick

Des images aux formules : calcul de l'aire d'un polygone.

Sommaire

1. Aire d'un triangle à l'intérieur d'un parallélogramme

2. Calculs d'aire

3. Théorème de Pick

La planche à clous comme géoplan

Parabole dans un géoplan 5 × 5

Aire d'un quadrilatère dans un géoplan 5 × 5

1. Aire d'un triangle à l'intérieur d'un parallélogramme

aire d'un triangle a l'intérieur d'un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2012

ABCD est un parallélogramme ; soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AB]. les droites (AJ) et (DI) se coupent en E

Quelle fraction de l'aire du parallélogramme représente l'aire du triangle DEJ ?

Ayant réalisé une figure avec GeoGebra, on peut calculer le rapport :

q = Aire(DEJ) / Aire(ABCD) = Aire[trian]/ Aire[para] = 3/10.

En déplaçant les points A, B ou D, on remarque que le résultat est indépendant du parallélogramme.

En effet, le quotient d'aire est une propriété affine qui se conserve par ces déplacements.

On peut donc travailler avec des parallélogrammes particuliers, où les points sont placés sur le quadrillage ; comme le parallélogramme ci-dessus de côté AB = 6 et de hauteur 5 ; ici le point E est aussi un point du quadrillage.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle construit dans un parallélogramme

2. Calculs d'aire

2.a. Calcul de l'aire du triangle DEJ

aire d'un triangle a l'intérieur d'un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2012

Il est possible de calculer dans le parallélogramme ci-dessus où le sommet D se projette en I,
avec AB = 6 et DI = 5.

Dans le repère d'origine A, les coordonnées sont B(6, 0) et D(3, 5).
E et J ont alors pour coordonnées sont E(3, 1) et J(7,5 ; 2,5).
J se projette sur (DI) en H(3 ; 2,5).

Aire(ABCD) = Aire[para]
    = AB × DI = 6 × 5 = 30.
Aire(DEJ) = Aire[trian]
    = 1/2 DE × HJ = 1/2 × 4 × 4,5 = 9.

On retrouve le rapport

q = Aire(DEJ) / Aire(ABCD) = 3/10.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : aire d'un triangle dans un parallélogramme

2.b. Autre calcul : la propriété des proportions

Le triangle DAJ a une aire égale à la moitié de celle du parallélogramme.
Le rapport des aires des triangles DAJ et DEJ est égal au rapport de leurs bases EJ/AJ.

Ce rapport se calcule facilement avec Thalès dans le triangle AKJ, avec la parallèle (IE).
EJ/AJ = IK/AK = 6/10, donc Aire(DAJ)/Aire( DEJ)= 6/10 et Aire(DEJ) / Aire(ABCD) = 1/2 × 6/10 = 3/10.

3. Théorème de Pick (1899)

aire d'un triangle à l'intérieur d'un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2012

Georg Pick 1859-1942

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : théorème de Pick

Soit un polygone non croisé, construit sur une grille de points équidistants, tel que tous ses sommets soient des points de la grille ; le théorème de Pick fournit une formule simple pour calculer l'aire S de ce polygone, en se servant du nombre i de points de la grille à l'intérieur du polygone et du nombre b de points sur le bord du polygone :

S = i + 1/2 b – 1.

Cette formule simple peut être utilisée par des enfants de l'école élémentaire, en dessinant des polygones dont les sommets sont sur un quadrillage, ou en étirant des élastiques sur un planche à clous.

3.a. Calcul de l'aire du triangle DEJ

Il est possible de réaliser la figure dans un carré 10 × 10.
Il y a 25 points à l'intérieur du triangle et 12 points sur les côtés du triangle.

On a donc S = 25 + 1/2 × 12 – 1 = 30.
On a encore le rapport q = Aire(DEJ) / Aire(ABCD) = 30/100 = 3/10

3.b. La propriété des proportions

On visualise sur cette figure le rapport EJ/AJ = 6/10 des bases des triangles DAJ et DEJ et on a bien Aire(DAJ)/Aire( DEJ) = 6/10.

On pourrait aussi vérifier que :
Aire(AED) = 1/2 × AD × hauteur = 1/2 × 10 × 4 = 20
et Aire(DEJ) = Aire(ADJ) – Aire(AED) = 50 – 20 = 30.

Index aires

Icône GeoGebra Avec GeoGebra

Dans d'autres pages du site

Collège :
Calcul d'aires

Aires du parallélogramme et du trapèze

Aires et triangles

Aire d'un triangle inscrit dans un carré

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès

      théorème de Pythagore

Triangles en seconde :
    Multiplication de l'aire d'un triangle,

    Partage d'un triangle en quatre

Problèmes de partage

Page mobile friendly Mobile friendly

Me contacter

Moteur de recherche

Logo Google 

 Statistiques Orange collègee visite des pages « collège ».

Page no 195, réalisée le 8/11/2012