René DescartesDescartes et les Mathématiques pour mobiles

Aires du parallélogramme et du trapèze

Des images aux formules : partage de parallélogrammes, de trapèze.

Sommaire

1. Aire du parallélogramme

2. Aire du losange

3. Aire du trapèze

4. Deux parallélogrammes d'aires égales

5. Partage d'un parallélogramme en deux paires de triangles de même aire

6. Théorème du papillon

1.a. Aire d'un parallélogramme

Classe de cinquième

Calcul de l'aire de la surface du parallélogramme quelconque

aire du parallélogramme - transformation en rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Transformer un parallélogramme en rectangle

Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB).

Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques.

Formule de l'aire du parallélogramme

Aire(ABCD) = AB × DF = a × h = base × hauteur

a = AB = CD et h = DF = CE.

L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

1.b. Aire d'un parallélogramme, sans la hauteur

Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire.
En effet, les deux triangles sont symétriques par rapport au milieu de la diagonale.

Aire(ABCD) = 2 Aire(ABD) = 2 Aire(BCD).

Dessiner un parallélogramme

1.c. Théorème de la tringle (à rideaux)

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 35

aire du parallélogramme dans les éléments d'Euclide - théorème de la tringle - copyright Patrice Debart 2008

Méthode du cisaillement

aire du parallélogramme - théorème de la tringle - copyright Patrice Debart 2008

Deux parallélogrammes, de même base, entre deux mêmes parallèles, sont d'aires égales :

Si ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes tels que E (et F) sont des points de la droite (CD), alors ils ont même aire.
En effet ils ont même base et même hauteur.

1.d. Parallélogramme et triangle de même base

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 41

aire du parallélogramme dans les éléments d'Euclide

Si un parallélogramme et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera [d'aire] double du triangle.

Méthode des aires : démonstration utilisant les propriétés d'Euclide : « les triangles ou les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».

2. Aire du losange

aire du parallélogramme - losange inscrit dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Deux méthodes de calcul de la surface du losange selon qu'on le considère comme un parallélogramme ou comme un quadrilatère orthodiagonal.

Un losange est un parallélogramme.

Son aire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

A(ABCD) = AB × DH.

Un losange est un quadrilatère orthodiagonal

Le losange ABCD est inscrit dans le rectangle PQRS.

L'aire du rectangle est égale au produit des longueurs des diagonales AC × BD.
L'aire du losange est alors 1/2 AC × BD.

L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.

Dessiner un losange

Losanges dans la planche à clous

3. Aire du trapèze

De l'objet réel à sa modélisation

Classe de 5e

Géométriser un problème, c'est transposer le problème, qui peut être concret ou non, le plus souvent spatial au niveau du collège, dans le cadre de la géométrie afin de le simplifier et de le résoudre. C'est le cas, par exemple, lors du calcul de l'aire d'un champ.

Le champ réel a une certaine forme. Le processus de modélisation géométrique comporte deux étapes :
  – assimilation du champ à une surface plane limitée par des portions de lignes droites ;
  – assimilation de cette surface à un polygone élémentaire (trapèze dans l'exemple qui suit) ou un agencement de plusieurs polygones simples.

Le recours à un schéma pour « simplifier » et s'approprier la situation étudiée illustre ce passage de la réalité au domaine de la géométrie. La figure géométrique intervient ainsi comme une maquette de la réalité. Ces transferts sont déjà travaillés à l'école primaire.
Cette habitude du recours à une visualisation simplificatrice peut paraître naturelle à certains élèves à l'entrée au collège, mais reste à construire pour beaucoup d'autres.
Il est donc indispensable de travailler cette compétence.

Une fois le transfert effectué dans le cadre géométrique, la résolution du problème repose sur des propriétés attachées aux objets, qui sont utilisées alors comme des modèles.
Le modèle réfèrent possède un statut mathématique organisé en propriétés.
Le schéma « simplifie » donc, mais ajoute aussi des éléments de connaissance.

Ainsi, dans l'exemple du champ trapézoïdal, on passe du champ à un trapèze, puis, enfin au « Trapèze » dont on peut calculer l'aire, par décomposition en triangles et rectangle, à l'aide de hauteurs issues de deux sommets qui ne correspondent à rien dans la réalité.

Définition

Trapèze : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ; les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base.

Voir : quadrilatères

Trapèzes dans la planche à clous

Calculer l'aire d'un trapèze :

Dans les paragraphes suivants, ABCD désigne un trapèze de grande base [AB] et de petite base [CD] parallèle à (AB).

3.a. Décomposition du trapèze en triangles et rectangle

aire du trapeze

Cas où [HK], projection de la petite base [DC], est inclus dans [AB].

On peut calculer l'aire, par décomposition en un rectangle et deux triangles rectangles, à l'aide des hauteurs issues des deux sommets de la petite base.

Calcul de l'aire d'un trapèze

Dans ce cas de figure, avec b = AB, b’ = CD, h = DH, le trapèze est un rectangle HDCK (d'aire bh) auquel on accole deux triangles rectangles ADH et KBC (dont la somme des aires est (AH + BK)h/2 = (b –b’)h/2).

Aire(ABCD) = bh + (b – b’)h/2 = (b+b')/2 × h.

Formule de l'aire du trapèze

Aire du parallélogramme - trapèze et hauteur - copyright Patrice Debart 2008

La surface d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur :

b = AB, b’ = CD, h = DH :
Aire(ABCD) = (b+b')/2 × h.

WikiPédia : Trapèze

Wikiversité : Mesure en géométrie : Aire

3.b. Découpage du trapèze-en deux triangles

aire du trapèze décopé en deux triangles - copyright Patrice Debart 2016

Calculer l'aire en découpant le trapèze en deux triangles de même hauteur.

Soit h = DH la hauteur, b = AB la première base, et b' = CD la deuxième.

On peut considérer les triangles ACB et ADC, respectivement de bases b et b', et de hauteur commune h.

S = hb /2 + hb' /2 = h (b + b')/2.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Trapèze - Découpage en 2 triangles

3.c. Transformer le trapèze en rectangle

aire du trapèze transforme en rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Soit I et J les milieux des côtés [BC] et [AD]. D'après la propriété de Thalès,
IJ est égal à la moyenne des bases.

On a m = IJ = (b+b')/2.
E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD).

Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles
IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA.

On retrouve Aire(ABCD) = Aire(EFGH) = EF × EH = m h = (b+b')/2 × h.

3.d. Doubler un trapèze pour obtenir un parallélogramme

doubler un trapèze pour obtenir un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2016

ABCD est un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I le milieu du côté [BC].

La symétrie de centre I transforme A en A’ et D en D’.

Les points A, B et C’ sont alignés comme les points D, C et A’.
(BD’) est parallèle à (A’C). BD’A’C est un trapèze de même aire que ABCD et on a :
b = AB = A’C, b’ = CD = A’C, h = CH.

(AD) est parallèle à (A’D’). AD’A’D est un parallélogramme de base AD’ = b + b’.
Aire(AD’A’D) = AD’ × CH = (b + b’) × h.

Or Aire(AD’A’D) = Aire(ABCD) + Aire(BD’A’C) = 2 Aire(ABCD), soit 2 Aire(ABCD) = (b + b’) × h.

On retrouve Aire(ABCD) = (b+b')/2 × h.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Doubler un trapèze pour obtenir un parallélogramme

3.e. Transformer un trapèze en parallélogramme

aire du trapèze transformé en parallélogramme - copyright Patrice Debart 2008

Le trapèze a même aire que celle du parallélogramme AFEJ.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × 1/2 h = (b + b’) × 1/2 h.

3.f. Transformer un trapèze en rectangle

aire du parallélogramme - trapèze vers rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Le trapèze a même aire que celle du rectangle AFEG.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × KF = (b + b’) × 1/2 h.

3.g. Transformer un trapèze en triangle

aire du trapèze transformé en triangle

Le trapèze a même aire que celle du triangle ADF.

Aire(ABCD)  = Aire(ADF) = 1/2 AF × h = 1/2(b + b’) × h.

Voir : trapèze complet et théorème du trapèze (classe de première)

3.h. Deux triangles dans un trapèze

2 triangles de même surface dans un trapèze - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

ABCD est un trapèze tel que (AB) est parallèle à (CD).
I et J sont les milieux des côtés [AD] et [BC].

Les triangles ADJ et BCI sont-ils de même aire ?

Indications

Tracer la droite (IJ) et montrer, par la propriété de Thalès, qu'elle est parallèle à (AB) et (CD).

Les triangles IJA et IJB ont même aire d'après la propriété du trapèze.
De même, les triangles IJD et IJC ont même aire.

Les triangles ADJ et BCI ont même aire comme réunion disjointe de triangles deux à deux de même aire.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux triangles dans un trapèze

4. Deux parallélogrammes d'aires égales

aire du parallélogramme - partage en 4 - copyright Patrice Debart 2008

M est un point variable sur la diagonale [AC] d'un parallélogramme ABCD.

Par M, on trace deux parallèles aux côtés du grand parallélogramme.

Démontrer que les aires des deux parallélogrammes hachurés sont égales.

Les éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 43

aire du parallélogramme dans les éléments d'Euclide

Classe de cinquième

Montrer qu'une diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales.

Démontrer que les aires hachurées sont égales en utilisant cette propriété dans les parallélogrammes ABCD, AIML et MKCJ.

Partage d'un parallélogramme en quatre - hauteur

Classe de troisième - assez difficile

aire du parallélogramme - partage en 4 - copyright Patrice Debart 2008

Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AMG et CMH permet d'écrire : MG/MH = AM/CM.

(AD) étant parallèle à (BC), avec la propriété de Thalès dans les triangles ALM et CKM on a : AM/CM = LM/KM.

Par transitivité MG/MH = LM/KM.

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
KM × MG = LM × MH.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).

Cas particulier de rectangles en classe de quatrième, voir : les Éléments d'Euclide

Deux triangles d'aires égales dans un parallélogramme

partage de l'aire du parallélogramme - copyright Patrice Debart 2008

M est un point variable sur la diagonale [AC] du parallélogramme ABCD.

Par M, on trace deux parallèles aux côtés du grand parallélogramme.

Les aires des deux triangles hachurés sont égales.

5. Partage d'un parallélogramme en deux paires de triangles

Partage en triangles d'aires égales

Classe de cinquième

partage de la surface du parallélogramme - copyright Patrice Debart 2008

Un fermier possède un très grand champ en forme de parallélogramme ABCD à l'intérieur duquel se trouve un puits en un certain point M.

Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux champs triangulaires MAB et MCD et tout le reste à son autre fils Jean.

Un des frères est-il défavorisé ?

Il est possible de simplifier cet exercice en considérant un champ rectangulaire.

Formulation plus classique :

M est un point à l'intérieur d'un parallélogramme ABCD.
Démontrer que la somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés.

Partage d'un parallélogramme en deux - hauteur

partage en quatre de l'aire du parallélogramme - copyright Patrice Debart 2008

Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de M sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).

(HM) est une hauteur de ABM et Aire(ABM) = 1/2 AB × HM.
(MK) est une hauteur de CDM et Aire(CDM) = 1/2 CD × MK.

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [CD] sont de même longueur.
D'où Aire(ABM) + Aire(CDM) = 1/2 AB × HM + 1/2 AB × MK
      = 1/2 AB × (HM + MK).
Aire(ABM) + Aire(CDM) = 1/2 AB × HK = 1/2 Aire(ABCD).

La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme. Celle des deux triangles non hachurés est égale à l'autre moitié. Le partage est équitable.

6. Théorème du papillon dans un trapèze

Classe de 5e

aire du parallélogramme - théorème du papillon - copyright Patrice Debart 2008

Dans le cas particulier où AB = DC, cette figure permet également d'étudier deux triangles de même aire dans un parallélogramme.

ABCD est un trapèze. Les diagonales se coupent en I.

6.a. Les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.

Théorème du papillon :
si la droite (AB) est parallèle à la droite (DC) alors Aire(ADI) = Aire(BCI).

Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de I sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).
Les triangles ABC et ABD ont même aire, égale à la moitié de la base AB, multipliée par la hauteur de longueur HK.
En enlevant à ces deux triangles la surface du triangle CDI, on a bien Aire(ADI) = Aire(BCI).

Théorème du papillon et hauteur

Classe de 3e

Aire du parallélogramme - théorème du papillon - copyright Patrice Debart 2008

6.b. Montrer que le rapport aire(ABI)/aire(CDI) est égal au carré du rapport AB/CD (Thalès…).
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles ABI et CDI permet d'écrire :
AB/CD = AI/CI = k.
De même, la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AHI et CKI permet d'écrire :
HI/KI = AI/CI = k.
Aire(ABI) = 1/2 AB × HI et Aire(CDI) = 1/2 CD × KI d'où :
aire(ABI)/aire(CDI) = AB/CD × HI/KI = (AB/CD)² = k2 car HI/KI = AB/CD = k.

En classe de seconde, on dira que les triangles ABI et CDI, ayant leurs trois angles respectivement égaux, sont semblables avec un coefficient d'agrandissement k. Cette démonstration montre que le rapport de leurs aires est k2.

Table des matières

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Aires et triangles : chevron et parallélogramme

Multiplication de l'aire d'un parallélogramme

Calculs d'aires dans un rectangle

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