René DescartesDescartes et les Mathématiques pour mobiles

Aire du triangle

Des images aux formules :
calcul de l'aire d'un triangle par diverses méthodes de découpage.

Sommaire

1. Aire du triangle

2. Aire du triangle rectangle

3. La propriété du trapèze

4. Aire et médiane

5. La propriété des proportions, théorème du chevron

6. Partage en deux d'un triangle - Olympiades 2004

7. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux

8. Transformer un quadrilatère en triangle - Olympiades 2008

1. Aire de la surface d'un triangle

Classe de cinquième

1.a. Transformer un triangle en rectangle

Angle en B aigu

Comment calculer l'aire d'un triangle

Doublement de l'aire du triangle

aire du triangle - doubler l'aire en rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.

2 Aire(ABC) = Aire(ACED)
      = AC × BH = bh

Tangram d'Abul Wafa

Faire pivoter de deux triangles rectangles découpés au-dessus de la droite des milieux (A’C’)

aire du triangle - transformer l'aire en rectangle horizontal - copyright Patrice Debart 2008

Le rectangle ACED a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(ACED)
    = IH × AC = 1/2 hb.

GeoGebra Animation de Christian Mercat :
Figure interactive dans GeoGebra Tube : Tangram d'Abul Wafa

Découpe de deux autres triangles qui pivotent autour des milieux A’ et C’

aire du triangle - le transformer en rectangle vectical - copyright Patrice Debart 2008

Le rectangle FGED a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(FGED) = FG × DF = 1/2 bh.

Quadrature du triangle : il est possible de transformer le triangle en carré avec la quadrature du rectangle.

Calculer l'aire d'un triangle

Aire du triangle et hauteur - copyright Patrice Debart 2008

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Aire(ABC) = 1/2 base × hauteur.

Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi

Aire(ABC) = 1/2 bc sin A.

Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article : relations métriques du triangle.

1.b. Transformer un triangle avec un angle obtus

transformer un triangle avec un angle obtus en deux triangles rectangles - copyright Patrice Debart 2008

On procède par différence :
Aire(ABC) = Aire(HBC) - Aire(HAB)

On retrouve la même formule :

Aire(ABC) = 1/2 BH × HC - 1/2 B × HA 
  = 1/2 BH × AC = 1/2 hb.

Doublement de l'aire du triangle

doublement de l'aire d'un triangle avec un angle obtus - copyright Patrice Debart 2008

Le rectangle HCEB a une aire double de celle du triangle HBC.
Le rectangle HADB a une aire double de celle du triangle HAB.

On procède par différence :
Aire(ACED) = Aire(HCEB) - Aire(HADB).

Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.

1.c. Transformer un triangle en parallélogramme

aire du triangle - le doubler en parallélogramme - copyright Patrice Debart 2008

« Aire du triangle, moitié du parallélogramme ! »

Doublement de l'aire du triangle

Le parallélogramme ACDB a une aire double de celle du triangle ABC.

Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h.

2 Aire(ABC) = Aire(ACDB)  = AC × BH = bh

Faire pivoter, autour de A’, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (A’C’)

aire du triangle - le transformer en parallélogramme horizontal - copyright Patrice Debart 2008

Le parallélogramme ACDC’ a même aire que celle du triangle ABC.
Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur 1/2h.
Aire(ABC) = Aire(ACDC’)
    = 1/2h × AC = 1/2 hb

Faire pivoter, autour de A’, le triangle A’B’C

aire du triangle - a transformer en parallélogramme vertical - copyright Patrice Debart 2008

Le parallélogramme AB’DB a même aire que celle du triangle ABC.

Le parallélogramme a pour base 1/2b et pour hauteur h.

Aire(ABC) = Aire(AB’DB) = AB’ × BH = 1/2 bh

2. Aire du triangle rectangle

aire du triangle rectangle - le doubler en rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Doublement de l'aire du triangle

Le rectangle ACBD a une aire double de celle du triangle rectangle ACB.

2 Aire(ACB) = Aire(ACBD)
 = CB × CA = ab.

Faire pivoter, autour de O, milieu de [AB], le triangle découpé à droite de la droite des milieux (OB’)

aire du triangle rectangle - le transformer en rectangle vertical - copyright Patrice Debart 2008

Le rectangle CBDB’ a même aire que celle du triangle ABC.

Aire(ABC) = Aire(CBDB’)  = CB × CB’= 1/2 ab

Faire pivoter, autour de O, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (OA’)

aire du triangle rectangle - le transformer en rectangle horizontal - copyright Patrice Debart 2008

Le rectangle CA’DA a même aire que celle du triangle ABC.

Aire(ABC) = Aire(CA’DA)
    = CA’× CA = 1/2 ab

doublement de l'aire d'un triangle rectangle en rectangle - copyright Patrice Debart 2008

L'aire du triangle ABC, rectangle en C, se calcule de deux façons,
avec la formule 1/2 base × hauteur et on a :
    – le calcul de l'aire du triangle rectangle avec l'hypoténuse et de la hauteur
        Aire(ABC) = 1/2 AB × CH = 1/2 ch,
    – ou le calcul de l'aire du triangle rectangle avec les côtés de l'angle droit (cathètes) ; CA comme base, CB comme hauteur
        Aire
(ABC) = 1/2 CA × CB = 1/2 ba.

D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue du sommet de l'angle droit.

Voir : relations métriques dans le triangle rectangle au lycée

Figures clés

Le recours à des figures-clés repose sur la reconnaissance d'un modèle déjà rencontré. Cela suppose donc l'existence d'une base de référence constituée de configurations et de théorèmes associés. C'est le cas de la plupart des théorèmes mis en place au collège (propriétés caractéristiques des quadrilatères, propriétés des angles obtenus en coupant deux parallèles par une sécante, configurations de Thalès, de Pythagore, concours de droites remarquables dans un triangle…). Il en est d'autres qui ne sont pas l'objet de compétences décrites dans le
programme, mais qui, dans la mesure où elles reviennent souvent, finissent par fixer des connaissances à leur propos. Ainsi, les résultats ci-dessous, relatifs aux aires de triangles peuvent constituer des figures-références « complémentaires ».

La constitution d'une base de figures-clés rend par ailleurs incontournable un travail sur les « mots » et ce qu'ils peuvent évoquer, car, avoir assimilé une propriété, c'est être capable d'associer une figure-clé et un énoncé.

L'inconvénient majeur réside dans le fait que, si l'élève ne reconnaît pas la figure-clé (si la mise en évidence de la figure-clé nécessite par exemple un enrichissement ou un appauvrissement de la figure), il ne peut poursuivre sa démarche de raisonnement. Il lui faut
donc d'autres possibilités d'analyse pour franchir l'obstacle.

Géométrie au collège - Projet de document d'accompagnement - Juillet 2007

3. La propriété du trapèze

3.a. Calcul de l'aire de deux triangles

aire du triangle - la proprieté du trapèze - copyright Patrice Debart 2008

Propriété du trapèze :
deux triangles de même aire inscrits dans un trapèze

Deux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales.

En effet, les triangles ont même base [AB] et même hauteur de longueur AH, leurs aires sont égales à

1/2 base × hauteur.

3.b. Application : Théorème du papillon

théorème du papillon - aires de deux triangles égales dans un trapèze - copyright Patrice Debart 2008

ABCD est un trapèze tel que (CD)//(AB). Les diagonales se coupent en I.

Théorème du papillon : les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.

Démonstration : aux triangles ABC et ABD d'aires égales, enlever le triangle ABI.

3.c. Démonstration par découpage

aire du triangle - proprieté du trapèze par découpage - copyright Patrice Debart 2008

Transformation du triangle ABC en ABD par l'intermédiaire d'un parallélogramme

Cas où la parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) entre A et B (CD < AB).

Démonstration de la propriété du trapèze

Soit I, J, K et L les milieux des côtés [AC], [BC], [AD] et [AD].

La parallèle à (BD) passant par C coupe [IJ] en M.
Par symétrie de centre I, le triangle ICM est transformé en IAP,
la symétrie de centre J, transforme le triangle JCM en JBL.
APLP est un parallélogramme (côtés opposés parallèles) de même aire que le triangle ABC.

K est le milieu de [PL], car dans le parallélogramme PL = AB
et KL = 1/2 AB avec la droite [KL] des milieux du triangle ABD.
Par symétrie de centre K, le triangle KAP est transformé en KDL, le parallélogramme a même aire que le triangle ABD.

En conclusion, les triangles ABC et ABD ont même aire, celle du parallélogramme ABLP.

Application :

3.d. Aire d'un triangle dans un pentagone inscrit dans un rectangle

aire du triangle - quelle est l'aire du triangle inclus dans le rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Les points I, J, I’, J’ sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD.
K est le milieu de [I’J’].

Quelle fraction de l'aire du rectangle représente l'aire du triangle IJK ?

aire du triangle - transformation de l'aire du triangle dans le rectangle - copyright Patrice Debart 2008

(I’J’) est parallèle à (JI). En déplaçant K en I’ on obtient le triangle IJI’ d'aire égale.

Ce triangle a une aire égale à la moitié du rectangle AII’D. Soit le quart de l'aire du rectangle ABCD.

Les accrocs de la méthode du trapèze pourraient encore déplacer le sommet J en A et obtiendraient le triangle AII’ d'aire 1/4 du rectangle.

4. Aire et médiane

aire du triangle et médiane - copyright Patrice Debart 2008

Classe de 5e

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

Si (AA’) est une médiane du triangle ABC, les triangles ABA’ et ACA’ ont des bases de même longueur et la même hauteur. Leurs aires sont égales.
Réciproquement : soit A’ un point du côté [BC] ; (AA’) est médiane du triangle ABC si les triangles ABA’ et ACA’ ont même aire.

5. La propriété des proportions

aire du triangle - la proprieté des proportions - copyright Patrice Debart 2008

5.a. Les aires de deux triangles contigus, inscrits dans un même triangle, sont proportionnelles à leurs bases.

Si A’ est un point du côté [BC] d'un triangle ABC, le rapport des aires des triangles ABA’ et ACA’ est égal au rapport de BA'/A'C leurs bases.

Aire du triangle ABA’, inscrit dans le triangle ABC

Le rapport des aires des triangles ABA’ et ABC est égal au rapport de leurs bases BA’ et BC :

Aire(ABA’)   BA’

=
Aire(ABC)   BC

Barycentre : A’ est le barycentre des points pondérés (B, A’C) et (C, A’B).
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(AA’C)) et (C, Aire(AA’B)).

5.b. Aires de triangles inscrits dans le triangle

aire d'un triangle inscrit dans un triangle - proportions - copyright Patrice Debart 2008

Triangles inscrits dans ABC, ayant un ou deux côtés communs

En appliquant deux fois la propriété des proportions, pour le triangle ABA’ inscrit dans ABC, puis pour AB’A’ inscrit dans ABA’ on trouve :

Le rapport des aires des triangles AB’A’ et ABC est alors :

Aire(AB’A’)   BA’   AB’

=
×
Aire(ABC)   BC   AB
aire d'un triangle inscrit dans un triangle - proportions - copyright Patrice Debart 2008

En appliquant deux fois la propriété des proportions, par exemple pour le triangle AB’C inscrit dans ABC, puis pour AB’C’ inscrit dans AB’C on trouve :

Le rapport des aires des triangles AB’C’ et ABC est :

Aire(AB’C’)   AB’   AC’

=
×
Aire(ABC)   AB   AC

 

Application :

5.c. triangle inscrit dans un triangle

Les Éléments d'Euclide - Livre IV

les éléments d'Euclide - triangle équilatéral inscrit dans un triangle équilatéral de longueur double

Chaque côté d'un triangle DEF est partagé, par les milieux A, B et C, en segments de longueur égale.

Quelle fraction de l'aire du triangle DEF représente l'aire du triangle ABC ?

Indications

Calculer les aires des trois triangles complémentaires de ABC dans DEF.

Page suivante, voir : triangle et cercle inscrits dans un triangle équilatéral

Avec GéoPlan

aire d'un triangle inscrit dans un triangle - copyright Patrice Debart 2008

Triangle dont les côtés sont partagés en 3.

AJ = 2/3 AC, AK = 1/3 AB, d'où :

Aire(AJK) = 2/3 × 1/3 × Aire(ABC) = 2/9 Aire(ABC).
Même résultat pour les aires des triangles BIK et CIJ.

Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = 1/3 Aire(ABC).

Avec GeoGebra : les points sont mieux marqués…

Triangle dont les côtés sont partagés en 4

aire d'un triangle inscrit dans un triangle - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Aire(AJK) = 1/2 × 1/4 × Aire(ABC) = 1/8 Aire(ABC).

Aire(BIK) = 1/4 × 1/4 × Aire(ABC) = 3/16 Aire(ABC).

Aire(CIJ) = 1/4 × 1/2 × Aire(ABC) = 3/8 Aire(ABC).

Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = 5/16 Aire(ABC).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : aire du triangle inscrit égale aux 5/16 de l'aire du triangle circonscrit

Généraliser ces exercices à n'importe quels découpages des côtés du triangle ABC :

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : aire du triangle inscrit égale aux 7/16 de l'aire du triangle circonscrit

5.d. Théorème du chevron

aire du triangle - théorème du chevron - copyright Patrice Debart 2008

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC),
alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport BA'/A'C.

Ce résultat se démontre par un calcul de proportions en appliquant deux fois la propriété des proportions !

Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC.

Chevron et médiane

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC, les triangles ABM et ACM ont même aire si et seulement si M est sur la médiane issue de A.

5.e. Barycentre

Soit M un point à l'intérieur d'un triangle ABC, tel que la cévienne (AM) coupe le côté (BC) en A’, la propriété des proportions permet de vérifier que A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’AC)) et (C, Aire(A’AB)) ;
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’MC)) et (C, Aire(A’MB)).

Par différence : Aire(MAB) = Aire(A’AB) - Aire(A’MB). Même calcul pour Aire(MAC). On en déduit que :

A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Prolongement : M est le barycentre des points pondérés (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Preuve par associativité : la droite (AM) coupe le côté (BC) en A’ qui est, selon la propriété précédente, le barycentre partiel des deux points (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)),
en raison de la même propriété, la droite (BM) coupe le côté (AC) en B’ qui est le barycentre des points (A, Aire(MBC)) et (C, Aire(MAB)).

M, point d'intersection des droites (AA’) et (BB’), est bien le barycentre de (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Ce résultat se généralise au cas où le point M serait à l'extérieur du triangle ABC, en comptant négativement les aires entièrement extérieures au triangle ABC.

Application :

5.f. Centre du cercle inscrit comme barycentre

aire du triangle - décomposition en trois triangles autour du centre du cercle inscrit, d'aires prportionnelles aux côtés du triangle - copyright Patrice Debart 2008

I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.
On note a = BC, b = AC et c = AB.
I est le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).

Indications

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes au point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Soit A1 est la projection orthogonale de I sur (BC), B1 sur (AC), C1 sur (AB).
IA1, IB1 et IC1 sont trois hauteurs des triangles IBC, IAC et IAB et ont même longueur égale à r, rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC.

I est le barycentre des points pondérés (A, Aire(IBC)) ; (B, Aire(IAC)) et (C, Aire(IAB)) d'après la propriété du barycentre de trois points ci-dessus.

Comme : Aire(IBC) = 1/2 ar, Aire(IAC)) = 1/2 br et Aire(IAB) = 1/2 cr,
en divisant les coefficients par 1/2 r,
on en déduit que I est bien le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : formule des aires

5.g. Formule des aires

Avec la décomposition ci-dessus du triangle ABC en trois triangles IAB, IBC, ICA de sommet I et de hauteurs IC1, IA1, IB1 de même longueur r, le rayon du cercle inscrit, l'aire S du triangle ABC est alors

S = 1/2 ar + 1/2 br + 1/2 cr = 1/2(a + b + c) × r = p × r.

Donc S = p r et r = S/p = 2S/(a+b+c).

5.h. Les trois médianes sont concourantes

aire du triangle - décomposition en trois triangles d'aires égales autour du centre de gravité - copyright Patrice Debart 2008

Démonstration du concours des 3 médianes d'un triangle avec les aires, basée sur la transitivité de l'égalité :

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).

On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.

Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales : le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire.

Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médianes d'un triangle

Partager un triangle en triangles d'aires égales

5.i. Chevron et parallélogramme

aire du triangle - chevron et parallélogramme - copyright Patrice Debart 2008

Si M est un point de diagonale [BD] d'un parallélogramme
ABCD, les triangles ABM et BCM ont même aire.

En effet, M est un point de la médiane (BO) du triangle ABC.

6. Partage en deux d'un triangle

partage en 2 d'un triangle - copyright Patrice Debart 2008

(Olympiades 2004 Classe de quatrième

Soit un triangle ABC et un point P de [AC] tel que PA = 2PC.
Une droite variable pivotant autour du point P, coupe un des deux autres côtés [AB] ou [BC] en M.

Le segment [MP] partage l'intérieur du triangle ABC en deux parties.
Pour quelle position de M les deux parties ont-elles des aires égales ?

Cas particulier d'un des exercices des olympiades de Montpellier en 2004

Déplacer le point M sur les côtés [AB] et [BC].
Ne pas dépasser A ou C.

Soit I le milieu de [AC].
Montrer que la droite, passant par P, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point M tel que (MI) est parallèle à (BP).

Solution

Si comme sur la figure ci-dessus le point M est sur le côté [AB] on a :

Aire(APM) = Aire(AIM) + Aire(IPM)
      = Aire(AIM) + Aire(IBM) (IPM et IBM ont même aire d'après la propriété du trapèze)
      = Aire(ABI)
      = 1/2 Aire(ABC) (car la médiane [BI] partage ABC en deux triangles d'aires égales).

Exercices : étudier le cas ou l'aire du triangle MPA est le tiers de l'aire du triangle ABC ; le quart ?

Voir : partage d'un triangle en deux polygones en terminale S.

7. Pliage d'un triangle selon les droites des milieux

aire du triangle - rectangle comme pliage du triangle selon les droites des milieux - copyright Patrice Debart 2008

Plier un triangle ABC suivant la droite des milieux (B’C’).

Classe de 4e

Pour cela, ayant découpé le triangle ABC dans une feuille de papier, rabattre le point A en H, pied de la hauteur issue de A.

Il est possible de trouver la hauteur par pliage en faisant glisser le point C sur le segment [BC], en superposant les deux bords et en marquant le pli lorsque celui-ci passe par A.

Rabattre ensuite les points B ou C en H. On obtient un rectangle.

Dans ce rectangle on retrouve la somme des angles du triangle égale à l'angle plat IHJ, soit 180°.

L'aire du triangle est le double de l'aire de ce rectangle d'où la formule :
 Aire(ABC) = 2 B’C’ × B’I = 2 × 1/2 BC × 1/2 AH
      = 1/2 base × hauteur

Autre calcul de la somme des angles, voir : triangle au collège

8. Transformer un quadrilatère en un triangle

Calculs d'aires d'un quadrilatère inscrit dans un triangle, en le transformant en un triangle inscrit de même aire

Olympiades 2008 - Amiens

1) Question préliminaire :
Soit deux triangles MNP et MNP’ tels que (PP’) soit parallèle à (MN). Démontrer que ces deux triangles ont la même aire.

2) Chaque côté d'un triangle T est partagé en 4 segments de longueur égale. On construit des polygones D1, D2, T3 et T4 comme indiqué sur la figure.
Voici quatre « photos » de ce triangle (en pointillés) et des polygones D1, D2, T3 et T4.

aire d'un quadrilatère inscrit dans un triangle - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Polygone D1

quadrilatère inscrit dans un triangle - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Polygone D2

polygone - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Triangle T3

polygone - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Polygone T4

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : transformer un quadrilatère en triangle

a) Montrer de proche en proche que D1, D2, T3 puis T4 ont des aires égales.
  b) En déduire le rapport :

Aire(D1)

Aire(T)

 

Indications

1) On demande la démonstration de la propriété du trapèze : le parallélisme de (MN) et (PP’) implique que les deux triangles MNP et MNP’ ont même base. Comme ils ont même base, ils ont même aire.

2) L'énoncé imposait une démonstration un peu délicate basée sur le choix non judicieux de transformer le triangle MQN en MQC.
Nous ferons la démonstration avec la transformation du triangle MQN en MQB.
Par la propriété du trapèze, ces deux triangles ont même aire.
Le polygone D1 a même aire que le triangle S2.

Au niveau de la classe de première, la démonstration est alors terminée.
En effet, d'après la propriété des proportions on a : 

Aire(BQL)   BL   AQ  
3
  3  
9

=
×
=
×
=
Aire(T)   BA   AC   4   4   16

Au collège, en s'inspirant de l'énoncé on terminera par la transformation du triangle BLQ en BLP. Par la propriété du trapèze ces deux triangles ont même aire et comme (LP) est parallèle à (AB) on a :

Aire(BLP)   BL   BP   3   3  
9

=
×
=
×
=
Aire(BAC)   BA   BC   4   4   16

Les triangles BLP et BQL ont même aire que D1 et on a :

Aire(D1)  
9

=
Aire(T)   16

Version simplifiée

quadrilatère inscrit dans un triangle - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

transformation directe du quadrilatère D1 en un premier triangle S2, puis conclusion avec un deuxième triangle S3.

Quadrilatère D1

Par la propriété du trapèze dans MQNB, les triangles MQN et MQB ont même aire.
En ajoutant l'aire du triangle MLQ, le quadrilatère MNQL et le triangle NBQ ont même aire.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : transformer un quadrilatère en triangle (version avec un seul quadrilatère)

Triangle S2

triangle s2- figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Par la propriété du trapèze dans BPQL, les triangles LBQ et LBP ont même aire.

Triangle S3

triangle s3- figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Le triangle LBP est homothétique du triangle ABC dans le rapport 3/4.
L'aire du quadrilatère est égale aux (3/4)² = 9/16 de l'aire du triangle ABC.

8.2. Quadrilatère du géoplan 5 × 5

aire d'un quadrilatère inscrit dans un triangle du geoplan 5 × 5 - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

En CM2 et au début du collège il est possible de réaliser cet exercice avec un triangle T isocèle rectangle dans un géoplan 5 × 5.


  Les figures peuvent alors être facilement réalisées avec des élastiques autour des clous du géoplan.

Quadrilatère G1:

Aire(G1) = Aire(LMQ) + Aire(MNQ)
  = 1/2 × 3  × 2 + 1/2 × 3 × 1 = 4,5.

Triangle G2

triangle inscrit dans un triangle rectangle dans le géoplan 5 × 5 - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Aire(G2) = 1/2 BL × QM = 1/2 × 3 × 3 = 4,5.

Triangle G3

2 triangles rectangles dans le géoplan 5 × 5 - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Aire(G3) = 1/2 BL × BP = 1/2 × 3 × 3 = 4,5.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : transformer un quadrilatère en triangle dans le géoplan

théorème de Pick - aire d'un quadrilatère inscrit dans un triangle - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Les calculs d'aire peuvent se faire avec les carrés unitaires et les demi-carrés :
Aire
(T) = 8 ;

Aire(ALQ) = 1/2 × 1 × 3 = 1,5 ;
Aire
(BNM) = 1/2 ;
Aire(NCQ) = 1/2× 3 × 1 = 1,5 ;
d'où Aire(G1)
= Aire(ABC) – { Aire(ALQ) + Aire(BNM) + Aire(NCQ)}
    = 8 – {1,5 + 0,5 + 1,5 } = 4,5
et on a bien  Aire(G1) = Aire(T) × 9/16.

GeoGebra Cocher la case Géoplan 5 × 5 dans la figure GeoGebra Tube référencée ci-dessus.

Voir : la planche à clous comme géoplan

8.3. Théorème de Pick

On peut aussi calculer l'aire du quadrilatère MNQL avec la formule
Aire(G1) = i + 1/2 b – 1,
i = 3 est le nombre de points de la grille à l'intérieur du quadrilatère et b = 5 le nombre de points sur le bord du quadrilatère,
soit Aire(G1) = 3 + 1/2 × 5 – 1 = 4,5.

Table des matières

Dans d'autres pages du site

Index aires

Collège : Calcul d'aires

Aires du parallélogramme et du trapèze

Loi des sinus

Formule de Héron d'Alexandrie

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