Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesAires de pentagones - Figures réalisées avec un logiciel de géométrie dynamique.
Sommaire1. Transformation d'un polygone convexe en triangle Aires du parallélogramme, du losange et du trapèze Page no 68, réalisée le 30/5/2004, modifiée le 2/4/2013 |
Démonstrations avec la méthode des aires : Multiplication de l'aire d'un triangle : triangles en seconde Calcul d'aires dans un rectangle : aire en seconde Aire d'un triangle à l'intérieur d'un parallélogramme Calcul d'aire minimum au lycée : Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes | ||||
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La géométrie |
Calcul d'aires en 5e |
Construction à la |
6e - 5e |
Triangle inscrit dans un carré : Aire maximale |
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Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires.
Avec les élèves, on peut considérer que l'on a démontré si l'on vérifie qu'il y a bien « recollement ».
Classe de 3e
Exemple : transformation d'un quadrilatère ABCD en triangle AB’D avec la propriété du trapèze
Il est toujours possible de transformer un polygone convexe de n côtés (n > 3) en un polygone de n − 1 côtés en procédant comme suit :
en isolant quatre sommets consécutifs ABCD, on sait transformer le triangle ABC en AB’C où B’ est l'intersection du côté (CD) et de la parallèle à (AC) passant par B. Le polygone ayant pour côtés consécutifs AB’D a un côté de moins et l'aire est conservée par la propriété du trapèze.
Télécharger la figure GéoPlan aire_quadrilatere.g2w
Transformation du pentagone convexe ABCDE en triangle APQ en utilisant deux fois le théorème du papillon.
ABCDE est un pentagone (convexe).
Les parallèles aux diagonales AC et AD coupent la droite (CD) en P et Q.
L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ.
Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE.
Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et même hauteur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire.
De même, les triangles ADE et ADQ ont même aire.
L'aire du pentagone est alors égale à la somme des aires des trois triangles APC, ACD et ADQ : c'est l'aire du triangle APQ.
Remarque : Il a été enlevé du pentagone les triangles ABI et AEJ, que l'on a remplacés par les triangles CPI et DQJ d'aires équivalentes (théorème du papillon).
Remarque : dans GéoPlan il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone.
On peut trouver a en calculant a = a1 + a2 + a3, somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE, ou utiliser l'aire du triangle APQ.
Télécharger la figure GéoPlan aire_pentagone.g2w
Classe de troisième
Dans le cas du pentagone régulier ABCDE, il existe un découpage en quatre pièces.
En déplaçant le triangle ABE en EDF, on obtient un trapèze BCDF d'aire équivalente à celle du pentagone.
Par symétrie par rapport au milieu I de [DF] on remplace le triangle CDI par GFI.
L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle BCG.
Pentagone régulier : |
Transformation d'un pentagone en parallélogramme
M est le milieu de la diagonale [BD]. Le triangle BMN est isocèle (triangle d'or d'angles 36° et 72°). À partir de ce puzzle de trois pièces, il est possible de reconstituer un parallélogramme.
Bibliographie : groupe « Jeux » de l'Association des Professeurs de Mathématiques − Comment se jouer de la Géométrie − 2009 |
Transformation d'un pentagone régulier en carré
Reprenons la figure ci-contre pour transformer le parallélogramme DEFK en carré. En choisissant un point I sur le demi-cercle de diamètre [FE], nous pouvons découper le triangle FEI et le translater en FJL, avec un sommet en J, intersection de (EI) avec (CD). [FI] et [IL] sont les côtés d'un rectangle de même aire que celle du pentagone.
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Pour tracer un carré, nous utiliserons la méthode de la moyenne proportionnelle : l'aire du parallélogramme DEFK est égale au produit de base FE par la hauteur FH. Pour cette hauteur, rabattre le point H en Q sur (FE). La droite (FH) coupe le cercle de diamètre (QE) en U. Dans le triangle rectangle QEU, le carré de la hauteur FU issue de l'angle droit U est égal au produit des segments QF et FE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes).
Le cercle de centre F passant par U coupe le cercle de diamètre [FE] en I. Le quadrilatère BEIR est translaté en BJLV. Le triangle EJD est translaté en FPK.
Les six pièces du pentagone permettent de reconstituer un carré de même aire.
Remarques : FH est aussi la distance de F à la droite (MN).
Le point C n'est pas sur la droite (EU), mais utiliser ce point est une erreur imperceptible.
Soit ABCD un parallélogramme et I, J, K et L les milieux des côtés.
On trace les segments joignant les sommets aux milieux des autres côtés. Au centre apparaissent parallélogrammes et octogones.
Quelle fraction de l'aire du parallélogramme représente l'aire de ces polygones centraux ?
Cette propriété étant affine, on peut déplacer les sommets B et D pour transformer ABCD en un carré, ce qui permet de faciliter les conclusions.
Deux carrés d'aire cinq fois plus petite…
PQRS est un carré d'aire cinq fois plus petite que l'aire du carré ABCD.
Voir multiplication ou division par 5 de l'aire d'un carré |
Octogone d'aire six fois plus petite…
EFGHMNOT est un octogone d'aire six fois plus petite que l'aire du carré ABCD. Remarque : les huit côtés de l'octogone sont de même longueur, mais les angles ne sont pas égaux à 135°. L'octogone n'est pas régulier.
Voir octogone régulier |
Indications
Les logiciels de géométrie dynamique font les calculs d'aire, qui sont facilités en choisissant un côté du carré de longueur 60, avec les sommets de coordonnées A(0, 0) ; B(60, 0) et D(0, 60).
Le carré ABCD a alors pour aire 60 2 = 3 600.
Les carrés centraux PQRS et P’Q’R’S’ ont pour aire 3 600/5 = 720.
Le logiciel trouve 30 pour l'aire du triangle PET, soit un cent vingtième de l'aire du carré.
On peut le vérifier avec le quadrillage : le triangle PET y est inscrit dans un rectangle A’B’C’T d'aire
A(A’B’C’T) = 10 × 8 = 80.
Les aires des triangles bordant PET sont A(A’PT) = 16, A(PB’E) = 9 et A(EC’T) = 25.
D'où A(PET) = A(A’B’C’T) – A(APT) – A(PB’E) – A(EC’T) = 80 – 16 – 9 – 25 = 30.
L'aire de l'octogone est celle du carré PQRS diminué quatre fois l'aire des triangles complémentaires :
720 – 4 × 30 = 600.
L'aire de l'octogone est six fois plus petite que l'aire du carré ABCD.
Télécharger la figure GeoGebra octogon_ds_para60.ggb
Niveau 4e − 3e
Aire d'une couronne
L'aire s d'une couronne est la différence entre l'aire
πR2 du grand cercle et πr2 celle du petit cercle.
s = πR2 − πr2 = π(R2 − r2).
Problème
Dans la figure ci-contre, on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c1) et (c2)
de centre O.
On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c1).
On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c1) et (c2).
Indications : la tangente (AB) au cercle (c1) en M est perpendiculaire au rayon [OM].
Le triangle AMO est rectangle en M d'où la propriété de Pythagore AO2 = AM2 + MO2,
soit R2 = (
a)2 + r2 ou R2 − r2 = 
a2.
L'aire s de la couronne est s = πR2 − πr2 = π(R2 − r2) = 
a2, expression de l'aire de la couronne uniquement en fonction de a.
Cas particulierSi AB est égal au diamètre du cercle (c1), r = L'aire du cercle (c2) est double de celle de (c1), l'aire de la couronne πr2 est alors égale à l'aire du cercle intérieur. Voir : Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique − Martin Gardner − Pour la science − Belin − 1979
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