Site Descartes et les Mathématiques

Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires.
Avec les élèves, on peut considérer que l'on a démontré si l'on vérifie qu'il y a bien « recollement ».

1. Transformation d'un polygone convexe en triangle

Transformation d'un quadrilatère Classe de 3^e

Exemple : transformation d'un quadrilatère ABCD en triangle AB’D avec la propriété du trapèze

Il est toujours possible de transformer un polygone convexe de n côtés (n > 3)
en un polygone de n − 1 côtés en procédant comme suit :
isolant quatre sommets consécutifs ABCD, on sait transformer le triangle ABC en AB’C où B’ est l'intersection du côté (CD) et de la parallèle à (AC) passant par B. Le polygone ayant pour côtés consécutifs AB’D a un côté de moins et l'aire est conservée par la propriété du trapèze.

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2. Aire d'un pentagone (papillons)

Transformation du pentagone convexe ABCDE en triangle APQ en utilisant deux fois le théorème du papillon.

Aire d'un pentagone ABCDE est un pentagone (convexe).
Les parallèles aux diagonales AC et AD coupent la droite (CD) en P et Q.

L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ.

Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE.

Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et même hauteur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire.
De même, les triangles ADE et ADQ ont même aire.
L'aire du pentagone est alors égale à la somme des aires des trois triangles APC, ACD et ADQ : c'est l'aire du triangle APQ.

Remarque : Il a été enlevé du pentagone les triangles ABI et AEJ, que l'on a remplacés par les triangles CPI et DQJ d'aires équivalentes (théorème du papillon).

Remarque : dans GéoPlan il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone.
On peut trouver a en calculant a = a1 + a2 + a3, somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE, ou utiliser l'aire du triangle APQ.

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3. Aire d'un pentagone régulier

Aire d'un pentagone régulier Classe de troisième

Dans le cas du pentagone régulier ABCDE, il existe un découpage en quatre pièces.

En déplaçant le triangle ABE en EDF, on obtient un trapèze BCDF d'aire équivalente à celle du pentagone.

Par symétrie par rapport au milieu I de [DF] on remplace le triangle CDI par GFI.

L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle BCG.

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Pentagone régulier :
constructions exactes
constructions approchées

Transformation d'un pentagone régulier en parallélogramme

Pentagone vers parallélogramme

M est le milieu de la diagonale [BD].

Le triangle BMN est isocèle (triangle d'or d'angles 36° et 72°).

À partir de ce puzzle de trois pièces, il est possible de reconstituer un parallélogramme.

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Bibliographie : groupe « Jeux » de l'Association des Professeurs de Mathématiques - Comment se jouer de la Géométrie - 2009

Transformation d'un pentagone régulier en carré

Transformation d'un pentagone en carré

Reprenons la figure ci-contre pour transformer le parallélogramme DEFK en carré.

En choisissant un point I sur le demi-cercle de diamètre [FE], nous pouvons découper le triangle FEI et le translater en FJL, avec un sommet en J, intersection de (EI) avec (CD). [FI] et [IL] sont les côtés d'un rectangle de même aire que celle du pentagone.

Côté du carré de même aire

Pour tracer un carré, nous utiliserons la méthode de la moyenne proportionnelle : l'aire du parallélogramme DEFK est égale au produit de base FE par la hauteur FH. Pour cette hauteur, rabattre le point H en Q sur (FE). La droite (FH) coupe le cercle de diamètre (QE) en U. Dans le triangle rectangle QEU, le carré de la hauteur FU issue de l'angle droit U est égal au produit des segments QF et FE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes).

Le cercle de centre F passant par U coupe le cercle de diamètre [FE] en I. Le quadrilatère BEIR est translaté en BJLV. Le triangle EJD est translaté en FPK.

Les six pièces du pentagone permettent de reconstituer un carré.

Remarques : FH est aussi la distance de F à la droite (MN).
Le point C n'est pas sur la droite (EU), mais utiliser ce point est une erreur imperceptible.

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4. Couronne

Couronne Niveau 4^e - 3^e

Dans la figure ci-contre, on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c₁) et (c₂) de centre O. On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c₁).

On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c₁) et (c₂).

Indications : La tangente (AB) au cercle (c₁) en M est perpendiculaire au rayon [OM].
Le triangle AMO est rectangle en M d'où la propriété de Pythagore AO² = AM² + MO²,
soit R² = (a)² + r² ou R² - r² = a².
L'aire s de la couronne est la différence entre l'aire πR² du grand cercle et πr² celle du petit cercle. s = πR² - πr² = π(R² - r²) = a², expression de l'aire de la couronne uniquement en fonction de a.

Cas particulier : Si AB est égal au diamètre du cercle (c₁), r = a, alors le triangle AMO est rectangle isocèle et R = r .
L'aire du cercle (c₂) est double de celle de (c₁), l'aire de la couronne πr² est alors égale à l'aire du cercle intérieur.