René DescartesDescartes et les Mathématiques

Aires du parallélogramme et du trapèze

Des images aux formules : partage de parallélogrammes, de trapèze - Figures réalisées avec GéoPlan.

Sommaire

1. Aire du parallélogramme
2. Aire du losange
3. Aire du trapèze
4. Deux parallélogrammes d'aires égales
5. Partage d'un parallélogramme en deux paires de triangles de mêmes aires
6. Théorème du papillon

Multiplication de l'aire d'un parallélogramme

Calculs d'aires dans un rectangle

Chevron et parallélogramme

La planche à clous comme géoplan

Calculs d'aires

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès
      théorème de Pythagore

Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1ère L - TL

Aire d'un triangle à l'intérieur d'un parallélogramme

Problèmes de partage

Quadrilatère dans un rectangle : napperon

Collège
Calcul d'aires

Aires et
triangles

Rectangle

Triangle inscrit dans un carré
Aire maximale

Carré

Faire de la
géométrie dynamique

1.a. Aire d'un parallélogramme

Classe de cinquième

Calcul de l'aire de la surface du parallélogramme quelconque

aire du parallelogramme - transformation en rectangleTransformer un parallélogramme en rectangle

Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB).

Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques.

Formule de l'aire du parallélogramme

Aire(ABCD) = AB × DF = a × h = base × hauteur

a = AB = CD et h = DF = CE.

L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Dans la recherche d'images « aire parallélogramme », Google préfére la mauvaise copie d'HauEtFort, à cette figure originale !

1.b. Aire d'un parallélogramme, sans la hauteur

Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire.
En effet, les deux triangles sont symétriques par rapport au milieu de la diagonale.

Aire(ABCD) = 2 Aire(ABD) = 2 Aire(BCD).

Technique GéoPlan : cette propriété est utilisée pour calculer l'aire d'un parallélogramme, sans la hauteur, en doublant l'aire d'un des triangles formés par une diagonale et les deux côtés consécutifs correspondants.

Calculer s1 avec le menu :« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle »

s1 aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)
s = 2s1

Calcul traditionnel, avec la hauteur, de la surface du parallélogramme avec GéoPlan

Il est aussi possible de faire faire le calcul en nommant la base b et h la hauteur dans le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Longueur d'un segment »

b = AB (unité de longueur Uoxy)
h = DF (unité de longueur Uoxy)

Puis faire le calcul avec l'option « Créer>Numérique>Calcul algébrique » avec l'expression du calcul : bh ; ayant pour nom du calcul : s

s = bh

g2w Télécharger la figure GéoPlan air_para.g2w

Dessiner un parallélogramme

1.c. Théorème de la tringle (à rideaux) - Méthode du cisaillement

Éléments d'Euclide : livre I, proposition 35

aire du parallelogramme dans les elements d'Euclide - teoreme de la tringle

 

aire du parallelogramme - theoreme de la tringle

Deux parallélogrammes, de même base, entre deux mêmes parallèles, sont d'aires égales :

Si ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes tels que E (et F) sont des points de la droite (CD), alors ils ont même aire.
En effet ils ont même base et même hauteur.

g2w Télécharger la figure GéoPlan thm_tringle.g2w

1.d. Parallélogramme et triangle de même base

Éléments d'Euclide : livre I, proposition 41

aire du parallelogramme dans les elements d'Euclide

Si un parallélogramme et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera [d'aire] double du triangle.

Méthode des aires : démonstration utilisant les propriétés d'Euclide : « les triangles ou les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».

2. Aire du losange

aire du parallelogramme - losange inscrit dans un rectangleDeux méthodes de calcul de la surface du losange selon qu'on le considère comme un parallélogramme ou comme un quadrilatère orthodiagonal.

Un losange est un parallélogramme.

Son aire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

A(ABCD) = AB × DH.

Un losange est un quadrilatère orthodiagonal

Le losange ABCD est inscrit dans le rectangle PQRS.

L'aire du rectangle est égale au produit des longueurs des diagonales AC × BD.
L'aire du losange est alors 1/2 AC × BD.

L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.

g2w Télécharger la figure losange.g2w

Dessiner un losange
Losanges dans la planche à clous

3. Aire du trapèze

Classe de 5e

De l'objet réel à sa modélisation

Géométriser un problème, c'est transposer le problème, qui peut être concret ou non, le plus souvent spatial au niveau du collège, dans le cadre de la géométrie afin de le simplifier et de le résoudre. C'est le cas, par exemple, lors du calcul de l'aire d'un champ.

Le champ réel a une certaine forme. Le processus de modélisation géométrique comporte deux étapes :
  – assimilation du champ à une surface plane limitée par des portions de lignes droites ;
  – assimilation de cette surface à un polygone élémentaire (trapèze dans l'exemple qui suit) ou un agencement de plusieurs polygones simples.

Le recours à un schéma pour « simplifier » et s'approprier la situation étudiée illustre ce passage de la réalité au domaine de la géométrie. La figure géométrique intervient ainsi comme une maquette de la réalité. Ces transferts sont déjà travaillés à l'école primaire.
Cette habitude du recours à une visualisation simplificatrice peut paraître naturelle à certains élèves à l'entrée au collège, mais reste à construire pour beaucoup d'autres.
Il est donc indispensable de travailler cette compétence.

Une fois le transfert effectué dans le cadre géométrique, la résolution du problème repose sur des propriétés attachées aux objets, qui sont utilisées alors comme des modèles.
Le modèle réfèrent possède un statut mathématique organisé en propriétés.
Le schéma « simplifie » donc, mais ajoute aussi des éléments de connaissance.

Ainsi, dans l'exemple du champ trapézoïdal, on passe du champ à un trapèze, puis, enfin au « Trapèze » dont on peut calculer l'aire, par décomposition en triangles et rectangle, à l'aide de hauteurs issues de deux sommets qui ne correspondent à rien dans la réalité.

Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement mathématique - Juillet 2007

Définition

Trapèze : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ; les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base.

Voir : quadrilatères
Trapèzes dans la planche à clous

Calculer l'aire d'un trapèze :

Dans ce paragraphe ABCD désigne un trapèze de grande base [AB] et de petite base [CD] parallèle à (AB).

3.a. Décomposition du trapèze en deux triangles et un rectangle

aire du trapeze

Cas où [HK], projection de la petite base [DC], est inclus dans [AB].

On peut calculer l'aire, par décomposition en un rectangle et deux triangles rectangles, à l'aide des hauteurs issues des deux sommets de la petite base.

Comme pour tout quadrilatère convexe, l'aire se calcule avec GéoPlan en le partageant, par une diagonale, en deux triangles.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_1.g2w

WikiPédia
Wikipédia : Trapèze
Wikiversité : Mesure en géométrie : Aire

Formule de l'aire du trapèze

aire du parallelogramme - trapeze et hauteur

La surface d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur :

b = AB, b’ = CD, h = DH : Aire(ABCD) = (b+b')/2 × h.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trapeze_hauteur.g2w

3.b. Transformer le trapèze en rectangle

aire du trapeze transforme en rectangle

Soit I et J les milieux des côtés [BC] et [AD]. D'après la propriété de Thalès, IJ est égal à la moyenne des bases.
E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD).

Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles
IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze.g2w

3.c. Doubler un trapèze pour obtenir un parallélogramme

doubler un trapeze pour obtenir un parallelogrammeABCD est un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I le milieu du côté [BC].

La symétrie de centre I transforme A en A’ et D en D’.

Les points A, B et C’ sont alignés comme les points D, C et A’.
(BD’) est parallèle à (A’C). BD’A’C est un trapèze de même aire que ABCD et on a :
b = AB = A’C, b’ = CD = A’C, h = CH.

(AD) est parallèle à (A’D’). AD’A’D est un parallélogramme de base AD’ = b + b’.
Aire(AD’A’D) = AD’ × CH = (b + b’) × h.

Or Aire(AD’A’D) = Aire(ABCD) + Aire(BD’A’C) = 2 Aire(ABCD), soit 2 Aire(ABCD) = (b + b’) × h.

On retrouve Aire(ABCD) = (b+b')/2 × h.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_2.g2w

3.d. Transformer un trapèze en rectangle

aire du parallelogramme - trapeze vers rectangle

Le trapèze a même aire que celle du rectangle AFEG.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × KF = (b + b’) × 1/2 h.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_3.g2w

3.e. Transformer un trapèze en parallélogramme

aire du trapeze transforme en parallelogramme

Le trapèze a même aire que celle du parallélogramme AFEJ.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × 1/2 h = (b + b’) × 1/2 h.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_4.g2w

3.f. Transformer un trapèze en triangle

aire du trapeze transforme en triangle

Le trapèze a même aire que celle du triangle ADF.

Aire(ABCD) = Aire(ADF) = 1/2 AF × h = 1/2(b + b’) × h.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze_5.g2w

Voir : trapèze complet et théorème du trapèze (classe de première)

3.g. Deux triangles dans un trapèze

2 triangles de meme surface dans un trapeze

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux triangles dans un trapèze

ABCD est un trapèze tel que (AB) est parallèle à (CD).
I et J sont les milieux des côtés [AD] et [BC].

Les triangles ADJ et BCI sont-ils de même aire ?

Indications

Tracer la droite (IJ) et montrer, par la propriété de Thalès, qu'elle est parallèle à (AB) et (CD).

Les triangles IJA et IJB ont même aire d'après la propriété du trapèze.
De même, les triangles IJD et IJC ont même aire.

Les triangles ADJ et BCI ont même aire comme réunion disjointe de triangles deux à deux de même aire.

4. Deux parallélogrammes d'aires égales

aire du parallelogramme - partage en 4

M est un point variable sur la diagonale [AC] d'un parallélogramme ABCD.

Démontrer que les aires des deux parallélogrammes hachurés sont égales.

Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un parallélogramme, mais il sait trouver la moitié de cette aire :
l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.

Éléments d'Euclide : livre I, Proposition 43

aire du parallelogramme dans les elements d'Euclide

Classe de cinquième

Montrer qu'une diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales.

Démontrer que les aires hachurées sont égales en utilisant cette propriété dans les parallélogrammes ABCD, AIML et MKCJ.

Classe de troisième - assez difficile

aire du parallelogramme - partage en 4Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AMG et CMH permet d'écrire : MG/MH = AM/CM.

(AD) étant parallèle à (BC), avec la propriété de Thalès dans les triangles ALM et CKM on a : AM/CM = LM/KM.

Par transitivité MG/MH = LM/KM.

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
KM × MG = LM × MH.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_par3.g2w

Cas particulier de rectangles en classe de quatrième, voir : les Éléments d'Euclide

Deux triangles d'aires égales dans un parallélogramme

partage de l'aire du parallelogramme

M est un point variable sur la diagonale [AC] du parallélogramme ABCD.
Les aires des deux triangles hachurés sont égales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_par6.g2w

5. Partage d'un parallélogramme en deux paires de triangles d'aires égales

partage de l'aire du parallelogrammeClasse de cinquième

Un fermier possède un très grand champ en forme de parallélogramme ABCD à l'intérieur duquel se trouve un puits en un certain point M.

Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux champs triangulaires MAB et MCD et tout le reste à son autre fils Jean.

Un des frères est-il défavorisé ?

Il est possible de simplifier cet exercice en considérant un champ rectangulaire.

Formulation plus classique :

M est un point à l'intérieur d'un parallélogramme ABCD.
Démontrer que la somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés.

partage de l'aire du parallelogrammeIndication : tracer les points H et K projections orthogonales de M sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).

(HM) est une hauteur de ABM et Aire(ABM) = 1/2 AB × HM.
(MK) est une hauteur de CDM et Aire(CDM) = 1/2 CD × MK.

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [CD] sont de même longueur.
D'où Aire(ABM) + Aire(CDM) = 1/2 AB × HM + 1/2 AB × MK = 1/2 AB × (HM + MK).
Aire(ABM) + Aire(CDM) = 1/2 AB × HK = 1/2 Aire(ABCD).

La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme. Celle des deux triangles non hachurés est égale à l'autre moitié. Le partage est équitable.

g2w Télécharger la figure GéoPlan para_aire.g2w

6. Théorème du papillon dans un trapèze

aire du parallelogramme - theoreme du papillonDans le cas particulier où AB = DC, cette figure permet également d'étudier deux triangles de même aire dans un parallélogramme.

ABCD est un trapèze. Les diagonales se coupent en I.

Classe de 5e

6.a. Les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.

Théorème du papillon : si la droite (AB) est parallèle à la droite (DC) alors Aire(ADI) = Aire(BCI).

Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de I sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).
Les triangles ABC et ABD ont même aire, égale à la moitié de la base AB, multipliée par la hauteur de longueur HK.
En enlevant à ces deux triangles la surface du triangle CDI, on a bien Aire(ADI) = Aire(BCI).

Classe de 3e

aire du parallelogramme - theoreme du papillon6.b. Montrer que le rapport aire(ABI)/aire(CDI) est égal au carré du rapport AB/CD (Thalès…).
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles ABI et CDI permet d'écrire :
AB/CD = AI/CI = k.
De même, la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AHI et CKI permet d'écrire :
HI/KI = AI/CI = k.
Aire(ABI) = 1/2 AB × HI et Aire(CDI) = 1/2 CD × KI d'où :
aire(ABI)/aire(CDI) = AB/CD × HI/KI = (AB/CD)² = k2 car HI/KI = AB/CD = k.

En classe de seconde, on dira que les triangles ABI et CDI, ayant leurs trois angles respectivement égaux, sont semblables avec un coefficient d'agrandissement k. Cette démonstration montre que le rapport de leurs aires est k2.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trap_aire.g2w

 

Parallélogramme

Aires et
triangles

Calculs d'aires en 5e

Rectangle

Rectangle inscrit
dans un rectangle

Index
Aires

Table de matières

1. Aire du parallélogramme
2. Aire du losange
3. Aire du trapèze
4. Deux parallélogrammes d'aires égales
5. Partage d'un parallélogramme en deux paires de triangles de mêmes aires
6. Théorème du papillon

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