Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesDes images aux formules : calcul de l'aire d'un triangle par diverses méthodes de découpage.
Sommaire1. Triangle rectangle Loi des sinus Théorème de Pick Page no 130, réalisée le 6/12/2008, modifiée le 12/2/2011 |
Aire d'un triangle inscrit dans un carré Démonstrations avec la méthode des aires : Triangles en seconde : Classe de première : | ||||
Collège | Problèmes de construction | Exercices de géométrie | Faire de la | ||
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Doublement de l'aire du triangle
Le rectangle ACBD a une aire double de celle du triangle rectangle ACB. 2 Aire(ACB) = Aire(ACBD) = CB × CA = ab.
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Faire pivoter, autour de O, milieu de [AB], le triangle découpé à droite de la droite des milieux (OB’)
Le rectangle CBDB’ a même aire que celle du triangle ABC.
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Faire pivoter, autour de O, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (OA’)
Le rectangle CA’DA a même aire que celle du triangle ABC.
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Le calcul de l'aire du triangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs CH ou CB se fait de deux façons et on a :
Aire(ABC) = 
AB × CH = ch
et Aire(ABC) = CA × CB = ba.
D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit.
Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect4.g2w
Voir : relations métriques dans le triangle rectangle au lycée
Classe de cinquième
Comment calculer l'aire d'un triangle
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Doublement de l'aire du triangle
Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC. 2 Aire(ABC) = Aire(ACED) = AC × BH =bh
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Faire pivoter de deux triangles découpés au-dessus de la droite des milieux (A’C’)
Le rectangle ACED a même aire que celle du triangle ABC.
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Découpe de deux autres triangles qui pivotent autour des milieux A’ et C’
Le rectangle FGED a même aire que celle du triangle ABC.
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L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.
Aire(ABC) = base × hauteur.
Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi Aire(ABC) = bc sin A.
Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article : relations métriques du triangle.
Technique GéoPlan
Il est possible de nommer la base b et h la hauteur avec le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Longuer d'un segment »
b = AC (unité de longueur Uoxy) h = BH (unité de longueur Uoxy)
Puis fair le calcul avec l'option « Créer>Numérique>Calcul algébrique » avec l'expression du calcul : bh/2 ; ayant pour nom du calcul : s
s = bh/2
Les experts pouront taper rapidement dans le texte de la figure :
b = AC h = BH s = bh/2
L'aire s peut alors être utilisée dans les calculs suivants ou affichée par l'option « Créer>Affichage>Variable numérique déjà définie »
Af0 affichage du scalaire s (2 décimales)
GéoPlan permet de s'affranchir de ces calculs et trouver directement l'aire avec le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle »
s aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)
On peut se contenter d'un simple affichage : « Créer>Affichage>Aire d'un triangle »
Af1 affichage de l'aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy) (2 décimales)
Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle.g2w
On procède par différence : Aire(ABC) = Aire(HBC) - Aire(HAB) On retouve la même formule : Aire(ABC) =
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Doublement de l'aire du triangle
Le rectangle HCEB a une aire double de celle du triangle HBC. On procède par différence : Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.
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Doublement de l'aire du triangle
Le parallélogramme ACDB a une aire double de celle du triangle ABC. Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h. 2 Aire(ABC) = Aire(ACDB) = AC × BH =bh
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Faire pivoter, autour de A’, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (A’C’)
Le parallélogramme ACDC’ a même aire que celle du triangle ABC.
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Faire pivoter, autour de A’, le triangle A’B’C
Le parallélogramme AB’DB a même aire que celle du triangle ABC. Le parallélogramme a pour base Aire(ABC) = Aire(AB’DB) = AB’ × BH =
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Le recours à des figures-clés repose sur la reconnaissance d'un modèle déjà rencontré. Cela suppose donc l'existence d'une base de référence constituée de configurations et de théorèmes
associés. C'est le cas de la plupart des théorèmes mis en place au collège (propriétés caractéristiques des quadrilatères, propriétés des angles obtenus en coupant deux parallèles
par une sécante, configurations de Thalès, de Pythagore, concours de droites remarquables dans un triangle…). Il en est d'autres qui ne sont pas l'objet de compétences décrites dans le
programme, mais qui, dans la mesure où elles reviennent souvent, finissent par fixer des connaissances à leur propos. Ainsi, les résultats ci-dessous, relatifs aux aires de triangles peuvent constituer des figures-références « complémentaires ».
La constitution d'une base de figures-clés rend par ailleurs incontournable un travail sur les « mots » et ce qu'ils peuvent évoquer, car, avoir assimilé une propriété, c'est être capable d'associer une figure-clé et un énoncé.
L'inconvénient majeur réside dans le fait que, si l'élève ne reconnaît pas la figure-clé (si la
mise en évidence de la figure-clé nécessite par exemple un enrichissement ou un appauvrissement de la figure), il ne peut poursuivre sa démarche de raisonnement. Il lui faut
donc d'autres possibilités d'analyse pour franchir l'obstacle.
Géométrie au collège - Projet de document d'accompagnement - Juillet 2007
Calcul de l'aire
Propriété du trapèze Deux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales. En effet, les triangles ont même base [AB] et même hauteur de longueur AH, leurs aires sont égales à
Application : Théorème du papillon
ABCD est un trapèze tel que (CD)//(AB). Les diagonales se coupent en I. Théorème du papillon : les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales. Démonstration : aux triangles ABC et ABD d'aires égales, enlever le triangle ABI.
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Démonstration par découpage de la propriété du trapèze
Transformation du triangle ABC en ABD par l'intermédiaire d'un parallélogramme Cas où la parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) entre A et B (CD < AB). Soit I, J, K et L les milieux des côtés [AC], [BC], [AD] et [AD]. La parallèle à (BD) passant par C coupe [IJ] en M. K est le milieu de [PL], car dans le parallélogramme PL = AB En conclusion, les triangles ABC et ABD ont même aire, celle du parallélogramme ABLP.
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Les points I, J, I’, J’ sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD. Quelle fraction de l'aire du rectangle représente l'aire du triangle IJK ?
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(I’J’) est parallèle à (JI). En déplaçant K en I’ on obtient le triangle IJI’ d'aire égale. Ce triangle a une aire égale à la moitié du rectangle AII’D. Soit le quart de l'aire du rectangle ABCD. Les accrocs de la méthode du trapèze pourraient encore déplacer le sommet J en A et obtiendraient le triangle AII’ d'aire
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Classe de 5e
Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
Si (AA’) est une médiane du triangle ABC, les triangles ABA’ et ACA’ ont des bases de même longueur et la même hauteur. Leurs aires sont égales.
Réciproquement : soit A’ un point du côté [BC] ; (AA’) est médiane du triangle ABC si les triangles ABA’ et ACA’ ont même aire.
Télécharger la figure GéoPlan prop_medianes.g2w
4. La propriété des proportionsSi A’ est un point du côté [BC] d'un triangle ABC, le rapport des aires des triangles ABA’ et AA’ est égal au rapport de 
leurs bases.
Aire du triangle ABA’, inscrit dans le triangle ABC
Le rapport des aires des triangles ABA’ et ABC est égal au rapport de leurs bases BA’ et BC :
Aire(ABA’) |
BA’ |
|
= |
||
Aire(ABC) |
BC |
Barycentre : A’ est le barycentre des points pondérés (B, A’C) et (C, A’B).
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(AA’C)) et (C, Aire(AA’B)).
Télécharger la figure GéoPlan prop_proportion.g2w
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En appliquant deux fois la propriété des proportions, pour le triangle ABA’ inscrit dans ABC, puis pour AB’A’ inscrit dans ABA’ on trouve : Le rapport des aires des triangles AB’A’ et ABC est alors :
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En appliquant deux fois la propriété des proportions, par exemple pour le triangle AB’C inscrit dans ABC, puis pour AB’C’ inscrit dans AB’C on trouve : Le rapport des aires des triangles AB’C’ et ABC est :
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Application : triangle inscrit dans un triangleChaque côté d'un triangle DEF est partagé, par les milieux A, B et C, en segments de longueur égale. Quelle fraction de l'aire du triangle DEF représente l'aire du triangle ABC ? Indications Calculer les aires des trois triangles complémentaires de ABC dans DEF.
Ci- contre : exemple de figure du livre IV des Éléments d'Euclide. Page suivante, voir : triangle et cercle inscrits dans un triangle équilatéral |
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Avec GéoPlan
Aire(AJK) = Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
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Avec GeoGebra : les points sont mieux marqués…
Aire(AJK) = Aire(BIK) = Aire(CIJ) = Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
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Généraliser ces exercices à n'importe quels découpages des côtés du triangle ABC.
Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC),
alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport .
Ce résultat se démontre par un calcul de proportions en appliquant deux fois la propriété des proportions !
Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan chevron.g2w
Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC, les triangles ABM et ACM ont même aire si et seulement si M est sur la médiane issue de A.
Télécharger la figure GéoPlan chevron_mediane.g2w
Soit M un point à l'intérieur d'un triangle ABC, tel que la cévienne (AM) coupe le côté (BC) en A’, la propriété des proportions permet de vérifier que A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’AC)) et (C, Aire(A’AB)) ;
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’MC)) et (C, Aire(A’MB)).
Par différence : Aire(MAB) = Aire(A’AB) - Aire(A’MB). Même calcul pour Aire(MAC). On en déduit que :
A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).
Prolongement : M est le barycentre des points pondérés (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).
Preuve par associativité : la droite (AM) coupe le côté (BC) en A’ qui est, selon la propriété précédente, le barycentre partiel des deux points (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)),
en raison de la même propriété, la droite (BM) coupe le côté (AC) en B’ qui est le barycentre des points (A, Aire(MBC)) et (C, Aire(MAB)).
M, point d'intersection des droites (AA’) et (BB’), est bien le barycentre de (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).
Ce résultat se généralise au cas où le point M serait à l'extérieur du triangle ABC, en comptant négativement les aires entièrement extérieures au triangle ABC.
ApplicationsI est le centre du cercle inscrit au triangle ABC. On note a = BC, b = AC et c = AB.
I est le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).
Indications
Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes au point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).
Soit A1 est la projection orthogonale de I sur (BC), B1 sur (AC), C1 sur (AB).
IA1, IB1 et IC1 sont trois hauteurs des triangles IBC, IAC et IAB et ont même longueur égale à r, rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC.
I est le barycentre des points pondérés (A, Aire(IBC)) ; (B, Aire(IAC)) et (C, Aire(IAB)) d'après la propriété du barycentre de trois points ci-dessus.
Comme : Aire(IBC) = ar, Aire(IAC)) = br et Aire(IAB) = cr, en divisant les coefficients par r, on en déduit que I est bien le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).
Télécharger la figure GéoPlan bissectrices.g2w
Avec la décomposition ci-dessus du triangle ABC en trois triangles IAB, IBC, ICA de sommet I et de hauteurs IC1, IA1, IB1 de même longueur r, le rayon du cercle inscrit, l'aire S du triangle ABC est alors
S = 
ar + br + cr = (a + b + c) × r = p × r.
Donc S = p r et r = 
= 
.
Démonstration du concours des médianes avec les aires, basée sur la transitivité de l'égalité :
Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).
On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.
Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales : le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire.
Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.
Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
Télécharger la figure GeoGebra medianes.ggb
Chevron et parallélogrammeSi M est un point de diagonale [BD] d'un parallélogramme
ABCD, les triangles ABM et BCM ont même aire.
En effet, M est un point de la médiane (BO) du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan chevron_parallelogramme.g2w
Classe de quatrième
Soit un triangle ABC et un point P de [AC] tel que PA = 2PC.
Une droite variable pivotant autour du point P, coupe un des deux autres côtés [AB] ou [BC] en M.
Le segment [MP] partage l'intérieur du triangle ABC en deux parties.
Pour quelle position de M les deux parties ont-elles des aires égales ?
Cas particulier d'un des exercices des olympiades de Montpellier en 2004
Déplacer le point M sur les côtés [AB] et [BC].
Ne pas dépasser A ou C.
Télécharger la figure GéoPlan pendule.g2w
Voir point collé mobile sur une ligne brisée : trucs GéoPlan
Soit I le milieu de [AC]
Montrer que la droite, passant par P, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point M tel que (MI) est parallèle à (BP).
Solution
Si comme sur la figure ci-dessus le point M est sur le côté [AB] on a :
Aire(APM) = Aire(AIM) + Aire(IPM)
= Aire(AIM) + Aire(IBM) (IPM et IBM ont même aire d'après la propriété du trapèze)
= Aire(ABI)
= Aire(ABC) (car la médiane [BI] partage ABC en deux triangles d'aires égales).
Exercices : étudier le cas ou l'aire du triangle MPA est le tiers de l'aire du triangle ABC ; le quart ?
Télécharger la figure GéoPlan partage_triangle.g2w
Voir : partage d'un triangle en deux polygones en terminale S.
Classe de 4e
Plier un triangle ABC suivant la droite des milieux (B’C’).
Pour cela, ayant découpé le triangle ABC dans une feuille de papier, rabattre le point A en H, pied de la hauteur issue de A.
Il est possible de trouver la hauteur par pliage en faisant glisser le point C sur le segment [BC], en superposant les deux bords et en marquant le pli lorsque celui-ci passe par A.
Rabattre ensuite les points B ou C en H. On obtient un rectangle.
Dans ce rectangle on retrouve la somme des angles du triangle égale à l'angle plat IHJ, soit 180°.
L'aire du triangle est le double de l'aire de ce rectangle d'où la formule :
Aire(ABC) = 2 B’C’ × B’I = 2 × BC × AH = base × hauteur.
Télécharger la figure GéoPlan pliage_triangle.g2w
Autre calcul de la somme des angles, voir : triangle au collège
Olympiades 2008 - Amiens
1) Question préliminaire :
Soit deux triangles MNP et MNP’ tels que (PP’) soit parallèle à (MN). Démontrer que ces deux triangles ont la même aire.
2) Chaque côté d'un triangle T est partagé en 4 segments de longueur égale. On construit des polygones D1, D2, D3 et D4 comme indiqué sur la figure.
Voici quatre « photos » de ce triangle (en pointillés) et des polygones D1, D2, D3 et D4.
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Polygone D1
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Polygone D2
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Polygone D3
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Polygone D4
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a) Montrer de proche en proche que D1, D2, D3 puis D4 ont des aires égales.
b) En déduire le rapport :
Aire(D1) |
Aire(T) |
1) On demande la démonstration de la propriété du trapèze : le parallélisme de (MN) et (PP’) implique que les deux triangles MNP et MNP’ ont même base. Comme ils ont même base, ils ont même aire.
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2) L'énoncé imposait une démonstration un peu délicate basée sur le choix non judicieux de transformer le triangle MQN en MQC. Au niveau de la classe de première, la démonstration est alors terminée.
Au collège, en s'inspirant de l'énoncé on terminera par la transformation du triangle BLQ en BLP. Par la propriété du trapèze ces deux triangles ont même aire et comme (LP) est parallèle à (AB) on a :
Les triangles BLP et BQL ont même aire que D1 et on a :
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Quadrilatère D1
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Triangle S2
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Triangle S3
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En CM2 et au début du collège il est possible de réaliser cet exercice avec un triangle T isocèle rectangle dans un géoplan 5 × 5.
Les figures peuvent alors être facilement réalisées avec des élastiques autour des clous du Géoplan.
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Quadrilatère G1
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Triangle G2 Aire(G2) =
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Triangle G3 Aire(G3) =
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Les calculs d'aire peuvent se faire avec les carrés unitaires et les demi-carrés : Aire(T) = 8 ;
Aire(ALQ) = × 1 × 3 = 1,5 ; Aire(BNM) = ; Aire(NCQ) = × 3 × 1 = 1,5 ;
d'où Aire<(G1) = Aire(ABC) – { Aire(ALQ) + Aire(BNM) + Aire(NCQ)} = 8 – {1,5 + 0,5 + 1,5 } = 4,5
et on a bien Aire(G1) = Aire(T) × 
.
On peut aussi calculer l'aire du quadrilatère MNQL avec la formule Aire(G1) = i + b – 1,
où i = 3 est le nombre de points de la grille à l'intérieur du quadrilatère et b = 5 le nombre de points sur le bord du quadrilatère,
soit Aire(G1) = 3 + × 5 – 1 = 4,5.
Télécharger la figure GeoGebra Polygone_G1_5sur5.ggb
Voir :
la planche à clous, comme géoplan
Triangle |
Calculs d'aires en 5e |
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Aire(ABC) = 2/9 Aire(ABC).
Aire(ABC) = 
Aire(ABC).
Aire(ABC).
Aire(ABC).
