René DescartesDescartes et les Mathématiques

Angles inscrits au collège

Angles inscrits égaux et supplémentaires, théorème limite de cocyclicité, milieux d'arcs et bissectrices, quadrilatères inscriptibles.

Sommaire

1. Angle inscrit - Angle au centre - Propriétés et démonstrations
2. Angle inscrit dans un demi-cercle
3. Bissectrice
4. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques
5. Trapèze isocèle
6. Milieux d'arcs et cordes
7. Triangle inscrit dans deux cercles sécants

Angle rotation

Arc capable
Parallélisme
Cordes de cercles tangents

Triangle rectangle

Bissectrice

Le cercle au collège

Le cercle au lycée

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Construction de triangles en 5e

Triangle inscrit dans un carré

Cabri-Géomètre
en troisième

1. Propriétés de l'angle inscrit et de l'angle au centre

Classe de 3e

Soit (c) un cercle de centre O et de rayon r, A et B deux points de ce cercle et M un point variable sur le cercle (c).
L'angle AMB est inscrit dans le cercle et AÔB est l'angle au centre correspondant, angle formé par les deux rayons [OA] et [OB] du cercle.

Les propretés de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent des relations entre les mesures des angles inscrits et des angles au centre interceptant un même arc.

Au collège, on étudie ces propriétés pour les angles géométriques.
Énoncés, démonstrations et réciproque sont beaucoup plus simples avec des angles orientés, mais existe-t'il encore un espace pour ces notions au lycée ?

angle inscrit et u centre

L'angle AMB est inscrit dans le cercle (c) avec son sommet M situé sur le cercle. L'arc AB qu'il intercepte peut être sortant ou rentrant. Dans le second cas, l'angle géométrique est obtus.

AÔB est l'angle au centre correspondant à l'angle inscrit.

Proriété : la mesure de l'angle inscrit est la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

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deux angles inscrits

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

AMB = ANB.

(N et M d'un même côté par rapport à la corde [AB]).

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angles inscrits supplementaires

Lorsque deux points M et N sont de part et d'autre de la corde [AB], les angles inscrits AMB et ANB sont supplémentaires :

AMB + ANB = 180°

L'angle au centre correspondant à l'angle inscrit obtus est rentrant, mais la propriété s'énonce de la même façon.

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Corde et tangente

La propriété des angles inscrits se généralise à l'angle que fait la corde qui sous-tend l'arc avec une tangente.

angle inscrit - corde et tangente

Théorème limite de cocyclicité

L'angle inscrit a même mesure que l'angle formé par la corde, qui joint les extrémités de l'arc, avec la partie de la tangente au cercle à l'une des extrémités de la corde, située à l'opposé de l'angle en question par rapport à la corde.

Théorème limite de cocyclicité

L'angle inscrit BMA a même mesure que l'angle BÂT de la corde [BA] et de la tangente [AT).

L'angle inscrit BNA a même mesure que l'angle BÂT’ de la corde [BA] et de la tangente [AT’).

angle inscrit - corde et tangente Démonstration : Si H est le milieu de [AB], les angles HÔA et BÂT ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires, ils ont même mesure.
(OH) étant la bissectrice du triangle isocèle BOA,
on a HÔA = 1/2 BÔA et la mesure de BÂT est bien égal à la moitié de la mesure de l'angle au centre BÔA.

L"angle BÂT est la position limite de l'angle inscrit BMA lorsque M « tend » vers A.

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Réciproque du théorème limite
(énoncé simplifié avec les angles orientés, pour le lycée)

si (vect(AT), vect(AB)) = (vect(MA), vect(MB)), alors la droite (AT) est tangente au cercle circonscrit à AMB.

Démonstration du théorème de l'angle inscrit et l'angle au centre

angles inscrits

Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre : l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre correspondant.

Cas où l'angle inscrit AMB est aigu ; les points A et B de part et d'autre du diamètre (MI) :

Soit I le deuxième point de rencontre du cercle (c) avec le diamètre issu de M.
De l'angle plat MÔI, on déduit que : MÔA + AÔI = 180°.
OA = OM = r. Dans le triangle isocèle MOA, OMA = MÂO et la somme des mesures des angles du triangle est :
180° = MÔA + OMA + MÂO = MÔA + 2 OMA
De ces deux égalités on en déduit 2 OMA = IÔA, soit 2 IMA = IÔA.
De même, pour le triangle isocèle MOB, on a 2 IMB = IÔB.

Comme le point I est entre A et B, faire l'addition des mesures des angles :
2 AMB = 2 AMI + 2 IMB = AÔI + IÔB = AÔB.
En collège on ne fera pas la démonstration dans les deux autres cas (soustraction d'angles).

Arc capable, voir : angle-rotation

 

WikiPédia Wikipédia : angle inscrit

Les Éléments d'Euclide

angle inscrit dans les elements d'Euclide

Les démonstrations sont dans le livre III des Éléments d'Euclide

La proposition 20 prouve que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit correspondant.

La proposition 21, prouve que des angles inscrits interceptant le même arc sont égaux et réciproquement.

2. Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème dû à Thalès

un angle inscrit dans un demi-cercle est droit Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

 

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3. Bissectrice d'un angle inscrit

angle inscrit - bissectriceSi M est un point variable sur l'arc AB, le point I, intersection de la bissectrice de l'angle inscrit AMB avec (c), est fixe : c'est le milieu de l'arc AB.

Réciproquement, si I est le milieu d'un arc AB, et M un point du cercle situé sur le complément de l'arc AB ne contenant pas I, alors la droite (MI) est la bissectrice de l'angle inscrit AMB.

Application : Les points d'intersection des bissectrices d'un triangle avec son cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés par les sommets.

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Problèmes de constructions
Constructions utilisant des configurations connues

CAPES Externe de Mathématiques - Épreuve sur dossier - sujet no 19 du 20 juillet 2006

L'exercice proposé :
Soit (Γ) un cercle de centre O et [AB] une corde de (Γ). Soit M un point de (Γ), distinct de A et de B. La bissectrice de AMB coupe (Γ) en I.

3.a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.
Quelle conjecture peut-on faire sur le point I et sur le triangle AIB lorsque M décrit un arc de cercle d'extrémités A et B ?

3.b. Démontrer cette conjecture et préciser la position de I.

angle inscrit - bissectrice3.c. Soit (Γ) un cercle de centre O, [AB] une corde de (Γ) et N un point du segment ]AB[.
Construire un triangle ABC tel que C ∈ (Γ) et tel que la bissectrice de ACB passe par N.

Le travail demandé au candidat :

Q.a. Présenter la figure réalisée sur la calculatrice et l'animation permettant de mettre en évidence la conjecture.

Q.b. Dégager les propriétés mises en jeu dans la résolution de l'exercice et indiquer à quel niveau on peut le proposer.

Q.c. Le candidat rédigera et présentera plusieurs énoncés d'exercices, variés, de constructions de triangles vérifiant des conditions métriques ou géométriques.

Indications

L'exercice proposé par le jury se situait délibérément à un niveau de troisième ou de seconde ;
il s'appuyait essentiellement sur le théorème dit de l'angle inscrit. La rédaction de la réponse à la question a. pouvait se limiter à l'observation de l'invariance du point I d'intersection lorsque l'on déplace le point M, la conjecture étant donc que ce point est fixe.

3.c. Le point C est le deuxième point d'intersection du cercle (Γ) et de la droite (IN).

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4. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques

Définitions

Des points cocycliques sont situés sur un même cercle.
Un quadrilatère est inscriptible si les quatre sommets sont cocycliques.

Un quadrilatère est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires.

4.a. Quadrilatère croisé (papillon)

Rappel : un quadrilatère ACBD est croisé si les deux diagonales [AB] et [CD] sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave (quadrilatère non convexe).

quadrilatere inscriptible

Un quadrilatère croisé est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont de même mesure.

ACB = ADB.

Les deux autres angles opposés sont aussi de même mesure.

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4.b. Quadrilatère convexe

Rappel : un quadrilatère ACBD est convexe si les deux diagonales [AB] et [CD] sont à l'intérieur du quadrilatère.

Les angles opposés d'un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires :

quadrilatere convexe inscriptible

Un quadrilatère convexe est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont supplémentaires.

ACB + ADB = 180°.

Les deux autres angles opposés sont aussi supplémentaires.

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angle inscrit dans les elements d' Euclide

La proposition 22 du livre III des Éléments d'Euclide montre que les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle sont égaux à deux droits.

 

Angles orientés au lycée

Quatre points A, B, C et D sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si on a :

(vect(CA), vect(CB)) = (vect(DA), vect(DB)) (mod π).

 

Voir : théorème de Ptolémée

4.c. Orthogonalité

Quatre points A, B, C et D sont placés dans cet ordre sur un cercle (Γ). Le point a est le milieu de l'arc AB, b de l'arc BC, c de l'arc CD et d de l'arc DA.

Les droites (ac) et (bd) se coupent en I. Montrer qu'elles sont perpendiculaires.

angle inscrit - orthogonalite
angle inscrit - orthogonalite

Indications : étude de mesures d'angle pour montrer que le triangle Iab est rectangle.

La droite (ab) est la bissectrice de BâC, (ac) est la bissectrice de CâD ; (ba) est la bissectrice de BbA et (bd) est la bissectrice de AbD.
La mesure de l'angle bâc est égal à la moitié de celle de BâD et celle de l'angle abd à la moitié de BbD.
Les angles inscrits BâD et BbD sont supplémentaires, leurs moitiés sont complémentaires : bâc + abd = 90°.
L'angle en I du triangle Iab est droit, car aIb + bâc + abd = 180°.

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2 cercles inscrits

Les points J et K sont les centres des cercles inscrits dans les triangles ABD et ACD. Montrer que la droite (bd) est la médiatrice de [JK].

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angle inscrit - 4 cercles inscrits dans un quadrilatere

Les points L et M sont les centres des cercles inscrits dans les triangles BCD et ABC.
JKLM est un rectangle de centre I.

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angle inscrit - 2 cercles inscrits

Solution

Le centre J du cercle inscrit dans le triangle ABD est situé à l'intersection des bissectrices (Da) et (Bd).

Dans le cercle (Γ) l'angle ADa est la moitié de l'angle ADB. Cet angle inscrit a même mesure que l'angle inscrit AdB.

Dans le cercle de centre d, passant par A, et par D (sur le cercle Γ, le point d est le milieu de l'arc AD), soit J’ l'intersection de ce cercle avec [dB], l'angle au centre AdJ’ est la moitié de l'angle inscrit ADJ’. J’ est aussi sur (Da) : J et J’ sont confondus. Le point J est situé sur le cercle.

On montre, de même, que le centre K du cercle inscrit dans le triangle ACD est situé sur le cercle de centre d passant par A.

La droite (db), bissectrice de l'angle BdC, est la médiatrice de la corde [JK] (axe de symétrie du triangle isocèle dJK).

5. Trapèze isocèle

Angles inscrits et trapèze

Deux parallèles coupent un cercle selon un trapèze.
Montrer que les diagonales forment des triangles isocèles
 :

angle inscrit et trapeze

Deux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c) en A, B et C, D de telle façon que ABCD soit un trapèze convexe.
Les diagonales [AD] et [BC] se coupent en I.

Montrer que ABI est un triangle isocèle.

Indications

Les angles inscrits BÂC et BDC ont même mesure.
Les angles alternes-internes BDC et ABD ont même mesure.
D'où BÂC = ABD ; le triangle ABI est isocèle.

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Montrer que le trapèze est isocèle :

angle inscrit et trapeze isocele

Deux droites parallèles (d) et (d’) coupent un cercle (c), de centre O, en formant un trapèze ABCD.
Les diagonales [AD] et [BC] se coupent en I distinct de O.
Les points H et K sont les milieux des côtés parallèles [AB] et [CD].
Les droites (AB) et (CD) se coupent en J.

Montrer que ABCD est un trapèze isocèle.

Indications

ABI est isocèle d'où BÂC = ABD,
les angles inscrits CÂD et CBA ont même mesure,
d'où BÂD =ABC. ABJ est un triangle isocèle et ABCD est un trapèze isocèle.

O, I et J sont alignés sur la droite (HK) médiatrice de [AB] et [CD].

(cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S)

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6. Milieux d'arcs et cordes

angle inscrit - milieux d'arcs et de cordes A, B et C étant trois points situés sur un cercle (c), D est le milieu de l'arc AB et E le milieu de l'arc AC.

La droite (DE) coupe la corde (AB) en F et la corde (AC) en G.

Démontrer que AF = AG.

Indications

Les arcs AD et DB sont égaux et on les égalités des mesures des angles inscrits
α = BÂD = ABD = AED.
De même, les arcs AE et EC sont égaux et β = CÂE = ECA = EDA.

Les angles externes EGC et DFB des triangles EAG et DAF sont égaux à α + β.

De même, les angles opposés par le sommet AGF = AFG = α + β.
Le triangle AGF est isocèle et AF = AG.

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7. Triangle inscrit dans deux cercles sécants

Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts I et J sont sécants en A et B.
Soit C un point du cercle (c). La droite (BC) recoupe le cercle (c’) en D.
Que dire du triangle ACD lorsque l'on déplace le point C sur le cercle (c).

Indication

Le triangle ACD a des angles fixes, les mêmes angles que AIJ (ces triangles sont semblables).

Chacun des cercles passe par le centre de l'autre

geometrie du cercle - 2 cercles passant par les centres de l'un et l'autre

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Cas général

geometrie du cercle - triangle inscrit dans 2 cercles

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GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : alignement dans une similitude
En terminale S, voir l'étude avec une similitude.

Étudier les angles inscrits ACB et ADB :
  – en les comparant aux angles aux centres AIB et AJB,
  – ou bien en étudiant le cas particulier où [AC] est un diamètre de (c).

Triangles particuliers :
  – le triangle ACB est équilatéral si chacun des cercles passe par le centre de l'autre,
  – il est isocèle si les cercles sont de même rayon (seconde, voir : alignement avec un point et son transformé par une rotation),
  – il est rectangle si AIJ est rectangle (les cercles sont orthogonaux).

 

Index
collège

Le cercle au collège

Le cercle au lycée

Exercices de géométrie au collège

Démonstrations géométriques de Pythagore

Théorème de Thalès

Table de matières

1. Angles inscrits
2. Angle inscrit dans un demi-cercle
3. Bissectrice
4. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques
5. Trapèze isocèle
6. Milieux d'arcs et cordes
7. Triangle inscrit dans deux cercles sécants

 

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