René DescartesDescartes et les Mathématiques

Cabri-géomètre en troisième

Travaux pratiques de géométrie au collège : théorème de Thalès et réciproque.

Sommaire

TP 1 : Théorème de Thalès

TP 2 : Réciproque du théorème de Thalès

TP 3 : Polygones réguliers - pentagones

Voir aussi : pavages avec des pentagones avec Cabri

La géométrie en troisième

Propriété de Thalès

    Le petit théorème de Pappus

Démonstrations géométriques de Pythagore

Construction de tangentes : cercle

Angles inscrits

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TP 1 - Théorème de Thalès

1.0. Report de mesure

report de mesure - copyright Patrice Debart 2000
Menu

Dans le menu construction de droites parallèles ou perpendiculaires, l'option report de mesure permet de placer un point à distance fixée d'un autre point.

Il faut désigner un nombre et un objet. Le nombre est placé sur l'écran grâce à l'option du menu Label. Il est recommandé avec l'option texte de commenter ce nombre, par exemple en tapant AB=, puis de montrer avec la souris le nombre 3 et l'ordinateur proposera d'insérer le nombre dans le texte et de terminer AB=3 cm.

Menu droites

Point libre : après avoir choisi report de mesure si l'on montre le nombre 3 et le point A, le point B se place à 3 cm de A. Avec la souris on peut déplacer B autour de A.

Demi-droite : montrer le nombre 4 et la demi-droite d'origine I. Le point H est placé à 4 cm de I. Si le nombre est le négatif - 4 le point H sera à 4 cm de I sur le prolongement à l'extérieur de la demi-droite (Attention ne pas écrire IH = − 4, une longueur n'est pas négative).

Vecteur : montrer le nombre 5 et le vecteur vec(UV). Le point M est placé à 5 cm de U. Les vecteurs vecteur UM et vec(UV) sont de même sens si le nombre est positif, de sens contraire si nombre est négatif.

Cercle : montrer le nombre 5, le cercle et le point C. Le point D est à 5 cm de C. 5 cm est la longueur de l'arc CD. La corde CD ici mesure 5,4 cm.

1.1. Thalès - Figure de base

Thalès - figure de base - copyright Patrice Debart 2000

Tracer une demi-droite d'origine A.

Sur cette demi-droite placer les deux points B et C tels que AB =1 cm et AC = 3,6 cm. Avec l'icône nombre du menu label, placer les nombres 1 et 3.6 sur l'écran.
Taper les textes AB= et AC= et y insérer les nombres. Avec l'icône report de longueur du menu constructions, montrer les nombres et la demi-droite. Nommer les points B et C.

Par B tracer une demi-droite et placer D sur cette demi-droite tel que BD = 1,5 cm (nombre 1.5, texte BD=, et report de longueur sur la demi-droite).

Tracer la demi-droite [AD) et la parallèle à (BD) passant par C. Soit E leur intersection.

Mesurer AE.

Appliquer le théorème de Thalès et calculer CE et AD. Vérifier sur la figure.

1.2. Rectangle

Cabri-Géomètre - théorème de Thalès dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2000

ABCD est un rectangle et E le milieu du segment [CD]. Les droites (AC) et (EB) se coupent en F.

On donne AB = 3 cm et AD = 4 cm.

Pour tracer ce rectangle avec Cabri, tracer une demi-droite d'origine A et sa perpendiculaire. À partir de A, sur la perpendiculaire, tracer une demi-droite confondue avec cette droite. Placer les nombres 3 et 4 sur l'écran et avec l'option report de longueur placer les points D et B sur les deux demi-droites. Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B et la parallèle à (AB) passant par D, en sélectionnant l'icône point, montrer le point d'intersection C.
Nommer les points, gommer les droites, tracer les segments [AB], [BC], [CD] et [AD] et marquer un angle droit (menu : Label).
Placer E milieu de [CD] et terminer la figure.

Rectangle sur écran TI 92 avec Cabri
  1. Calculer AC.
  2. Calculer FA/FC, en déduire AF/AC, puis AF et FC.
  3. Calculer EB.
  4. Donner la valeur du rapport FE/FB, et en déduire FE et FB.

Pour GéoPlan voir le prototype : marquer un angle droit

TP 2 - Réciproque du théorème de Thalès

2.1. Figure de base : contre-exemple

réciproque du théorème de Thalès - contre exemple - copyright Patrice Debart 2000

Placer deux droites passant par un point A.

Placer deux points B et C tels que AB = 2 et AC = 3 en reporter les longueurs 2 et 3 ;

Utiliser les nombres -2.5 et -4.5 pour placer les points M et N, sur les droites (AB) et (AC), à l'extérieur des demi-droites [AB) et [AC), tels que AM = 2,5 cm et AN = 4,5 cm.

Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?
Utiliser l'option est parallèle?

Puis justifier par la contraposée du théorème de Thalès.

2.2. Figure de base : exemples

2.2.a. Refaire une figure avec AB = 3 cm, AC = 5 cm,
AM = 2,1 cm et AN = 3,5 cm.
Conclure et justifier par la réciproque du théorème de Thalès.

2.2.b. Réaliser la figure en utilisant les nombres -2,1 et -3,5 ; pour reporter les longueurs de AM et AN. Conclure.

2.2.c. Enore une figure en utilisant les nombres -2,1 et 3,5. Justifier avec l'ordre des points.

2.3. Cordes parallèles

Deux cercles (c1) et (c2) de rayons r et r’ ont même centre O.

Deux droites (d1) et (d2), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer.

Faire une figure où ce n'est pas le cas.

réciproque du théorème de Thalès - cordes parallèles - copyright Patrice Debart 2000
Réciproque du théorème de Thalès - contre exemple - copyright Patrice Debart 2000

OA/OC=OB/OC = r/r'. D'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (CD) sont parallèles.

Oui mais, le contre-exemple de la figure de droite montre que c'est faux. Il faut préciser que les points O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d1) et (d2), ce qui n'est le cas que sur la figure de gauche.

cabri Télécharger la figure Cabri cordes.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan cordes.g2w

2.4. Figure de Desargues

(Desargues Girard 1591-1661)

figure de Desargues - copyright Patrice Debart

Recherche

Placer le point O.

Tracer trois demi-droites issues de O.

En utilisant la fonction Point sur un objet, placer les points A et D sur la première demi-droite, B et C sur les deux autres demi-droites et tracer les segments [AB] et [BC].

Tracer la droite passant par D parallèle à la droite (AB). Cette droite coupe la demi-droite [OB) en E (Point sur deux objets).

Tracer la droite passant par E parallèle à la droite (BC). Cette droite coupe la demi-droite [OC) en F.

Que peut dire des droites (AC) et (DF)  ?

Desargues - propriétés - copyright Patrice Debart

Pour se convaincre du parallélisme, avec la flèche de sélection, déplacer les points libres A, B, C ou D sur les demi-droites.

Utiliser le menu des propriétés des figures, puis démontrer le théorème en utilisant deux fois la propriété de Thalès puis sa réciproque :

Théorème de Desargues (forme faible dans le plan affine)

Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites distinctes concourantes en O (ou parallèles) et soient ABC et DEF deux triangles tels que A et D soient sur (d1) ; B et E sur (d2) ; C et F sur (d3).
Si (AB)//(DE) et (BC)//(EF) alors (AC)//(DF).

Réciproque

Soient ABC et DEF deux triangles, tels (AB)//(DE), (BC)//(EF) et (AC)//(DF), alors les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes ou parallèles.

Formulation générale du théorème, avec des droites non parallèles : voir le plan projectif au lycée

cabri Télécharger la figure Cabri desargues.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan desargue.g2w

TP 3 - Construction du pentagone régulier

3.0. Construction la plus simple

Utiliser l'option polygone régulier à 5 sommets.

3.1. Méthode des cercles tangents

Pentagone régulier avec des cercles tangents - copyright Patrice Debart 2000

Points libres : le centre O et un sommet A.

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer le symétrique I de A par rapport à O.
Tracer le diamètre [AI] et la droite perpendiculaire.

Placer les intersections de cette perpendiculaire avec le cercle et trouver le milieu J du rayon.
Tracer le cercle de centre J, passant par O,
ce cercle coupe la droite (IJ) en deux points P et Q.

Tracer les cercles tangents de centre I, passant par P et Q.
Placer les sommets B, C, D et E, à l'intersections des cercles.
Tracer le pentagone ABCDE et effacer les constructions.

cabri Télécharger la figure Cabri penta_f1.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan penta_f3.g2w

Démonstration (lycée 1ère S)

3.2. Construction du pentagone régulier par R.P. Durand

construction de Durand du pentagone - copyright Patrice Debart 2000

Points libres : le centre O et un sommet A.

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer le symétrique I de A par rapport à O.
Tracer le diamètre [AI] et la droite perpendiculaire.
Placer les intersections de cette perpendiculaire avec le cercle et trouver le milieu J du rayon.
Tracer le cercle de centre J, passant par A,
ce cercle coupe la droite (OJ) en P et Q.

construction de Durand du pentagone - copyright Patrice Debart 2000

Tracer les cercles de centre A, passant par P et Q.
Placer les points B, C, D et E intersections des cercles.
Tracer le pentagone régulier ABCDE et effacer les constructions.

cabri Télécharger la figure Cabri pentagone_durand.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan penta_f2.g2w

construction du pentagone - scan Patrice Debart

Traité d'architecture civile et militaire
R.P. Durand - 1700

3.3. Construction de Ptolémée

3.4. Dessin à partir d'un côté

Dessiner le pentagone à partir d'un côté : les points libres sont deux sommets consécutifs A et B.

construction du pentagone - copyright Patrice Debart 2000
construction du pentagone - copyright Patrice Debart 2000

Placer les deux premiers points A et B du polygone,
placer le point B1 symétrique de B par rapport à A,
tracer le cercle (C1) de centre A passant par B (diamètre [B1B]),
la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle (C1) en A1.

Soit (C2) le cercle de diamètre [AA1] : son centre J est le milieu de [AA1],
tracer la droite (JB1), cette droite coupe le cercle (C2) au point K,
tracer le cercle (C3) de centre B1 passant par le point K,
les cercles (C1) et (C3) se coupent en D1, tracer le segment [BD1].

La médiatrice de [AB] coupe le segment [BD1] en O : O est le centre du cercle (C4) circonscrit au pentagone et on peut vérifier que l'angle AÔB mesure 72°.

Pour tracer le pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), un point E intersection des cercles (C1) et (C4), un point D est à l'intersection du cercle circonscrit et de la médiatrice de [AB] qui passe par O.

g2w Télécharger la figure GéoPlan penta_f7.g2w

3.5. Construction approchée : cercles variables

construction de cercle variables - copyright Patrice Debart 2000
construction de cercle variables - copyright Patrice Debart 2000

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer un point B sur ce cercle (Menu construction Point sur objet).

tracer le cercle de centre B passant par A,
construire l'intersection C des cercles.

Continuer en traçant le cercle de centre C passant par B,
continuer et tracer les cercles de centre D et E.

Déplacer le point B sur le cercle pour faire coïncider les points A et F.

Tracer le pentagone régulier et effacer les cercles.

Polygones réguliers

Généraliser cette construction pour tracer des polygones réguliers de 7, 9, 10… côtés.

3.6. Pentagones convexe ou étoilé

Gommer les constructions et réaliser les figures suivantes.

pentagone convexe - copyright Patrice Debart 2000

Pentagone convexe

pentagone étoilé - copyright Patrice Debart 2000

Pentagone étoilé

pentagone convexe et étoilé - copyright Patrice Debart 2000

Pentagones convexe et étoilé

3.7. Macroconstruction

Pour construire un pentagone régulier, il suffit de connaître les points O et A que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer les cinq segments [AB], [BC], [CD], [DE] et [EA] qu'il nomme objets finaux.

Dans le menu divers, choisir macroconstruction, puis nouvelle ; montrer les points O et A ; montrer les cinq segments puis cliquer sur fin des objets initiaux et nommer la macro pentagone.

Pentagone régulier (lycée) :
    constructions exactes

    constructions approchées

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mise à jour le 15/1/2006