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Cabri-géomètre en troisième

Travaux pratiques de géométrie au collège : théorème de Thalès et réciproque.

TP 1 - Théorème de Thalès

0. Report de mesure

Dans le menu construction de droites parallèles ou perpendiculaires, l'option report de mesure permet de placer un point à distance fixée d'un autre point. Il faut désigner un nombre et un objet. Le nombre est placé sur l'écran grâce à l'option du menu Label. Il est recommandé avec l'option texte de commenter ce nombre, par exemple en tapant AB=, puis de montrer avec la souris le nombre 3 et l'ordinateur proposera d'insérer le nombre dans le texte et de terminer AB=3 cm.

Point libre : après avoir choisi report de mesure si l'on montre le nombre 3 et le point A, le point B se place à 3 cm de A. Avec la souris on peut déplacer B autour de A. Demi-droite : montrer le nombre 4 et la demi-droite d'origine I. Le point H est placé à 4 cm de I. Si le nombre est le négatif - 4 le point H sera à 4 cm de I sur le prolongement à l'extérieur de la demi-droite (Attention ne pas écrire IH = − 4, une longueur n'est pas négative). Vecteur : montrer le nombre 5 et le vecteur . Le point M est placé à 5 cm de U. Les vecteurs et sont de même sens si le nombre est positif, de sens contraire si nombre est négatif. Cercle : montrer le nombre 5, le cercle et le point C. Le point D est à 5 cm de C. 5 cm est la longueur de l'arc CD. La corde CD ici mesure 5,4 cm.

1. Figure de base

Tracer une demi-droite d'origine A.

Sur cette demi-droite placer les deux points B et C tels que AB =1 cm et AC = 3,6 cm. Avec l'icône nombre du menu label, placer les nombres 1 et 3.6 sur l'écran. Taper les textes AB= et AC= et y insérer les nombres. Avec l'icône report de longueur du menu constructions, montrer les nombres et la demi-droite. Nommer les points B et C.

Par B tracer une demi-droite et placer D sur cette demi-droite tel que BD = 1,5 cm (nombre 1.5, texte BD=, et report de longueur sur la demi-droite).

Tracer la demi-droite [AD) et la parallèle à (BD) passant par C. Soit E leur intersection.

Mesurer AE.

Appliquer le théorème de Thalès et calculer CE et AD. Vérifier sur la figure.

2. Rectangle

ABCD est un rectangle et E le milieu du segment [CD]. Les droites (AC) et (EB) se coupent en F.

On donne AB = 3 cm et AD = 4 cm.

Pour tracer ce rectangle avec Cabri, tracer une demi-droite d'origine A et sa perpendiculaire. À partir de A, sur la perpendiculaire, tracer une demi-droite confondue avec cette droite. Placer les nombres 3 et 4 sur l'écran et avec l'option report de longueur placer les points D et B sur les deux demi-droites. Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B et la parallèle à (AB) passant par D, en sélectionnant l'icône point, montrer le point d'intersection C.
Nommer les points, gommer les droites, tracer les segments [AB], [BC], [CD] et [AD] et marquer un angle droit (menu : Label).
Placer E milieu de [CD] et terminer la figure.

1. Calculer AC.
2. Calculer , en déduire , puis AF et FC.
3. Calculer EB.
4. Donner la valeur du rapport , et en déduire FE et FB.

Pour GéoPlan voir le prototype : marquer un angle droit
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TP 2 - Réciproque du théorème de Thalès

1. Figure de base : contre-exemple

Placer deux droites passant par A.

Reporter les longueurs : placer les points B et C ;

pour placer M et N à l'extérieur des demi-droites tels que AM = 2,5 cm et AN = 4,5 cm ; pour cela utiliser les nombres -2.5 et -4.5.

Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ?
Utiliser l'option est parallèle?

Puis justifier par la contraposée du théorème de Thalès.

2. Figure de base : exemples

a. Refaire une figure avec AB = 3 cm, AC = 5 cm,
AM = 2,1 cm et AN = 3,5 cm.
Conclure et justifier par la réciproque du théorème de Thalès.

b. Réaliser la figure en utilisant les nombres -2,1 et -3,5 ; pour reporter les longueurs de AM et AN. Conclure.

c. Enore une figure en utilisant les nombres -2,1 et 3,5. Justifier avec l'ordre des points.

3. Cordes parallèles

Deux cercles (c₁) et (c₂) de rayons r et r’ ont même centre O.

Deux droites (d₁) et (d₂), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer.

Faire une figure où ce n'est pas le cas.

. D'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (CD) sont parallèles.

Oui mais, le contre-exemple de la figure de droite montre que c'est faux. Il faut préciser que les points O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d₁) et (d₂), ce qui n'est le cas que sur la figure de gauche.

Télécharger la figure Cabri cordes.fig
Télécharger la figure GéoPlan cordes.g2w

4. Figure de Desargues

Recherche

Placer le point O.

Tracer trois demi-droites issues de O.

En utilisant la fonction Point sur un objet, placer les points A et D sur la première demi-droite, B et C sur les deux autres demi-droites et tracer les segments [AB] et [BC].

Tracer la droite passant par D parallèle à la droite (AB). Cette droite coupe la demi-droite [OB) en E (Point sur deux objets).

Tracer la droite passant par E parallèle à la droite (BC). Cette droite coupe la demi-droite [OC) en F.

Que peut dire des droites (AC) et (DF)  ?

TP 3 - Construction du pentagone régulier

0. Construction la plus simple

Utiliser l'option polygone régulier à 5 sommets.

1. Méthode des cercles tangents

Points libres : le centre O et un sommet A.

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer le symétrique I de A par rapport à O.
Tracer le diamètre [AI] et la droite perpendiculaire.

Placer les intersections de cette perpendiculaire avec le cercle et trouver le milieu J du rayon.
Tracer le cercle de centre J, passant par O,
ce cercle coupe la droite (IJ) en deux points P et Q.

Tracer les cercles tangents de centre I, passant par P et Q.
Placer les sommets B, C, D et E, à l'intersections des cercles.
Tracer le pentagone ABCDE et effacer les constructions.

Télécharger la figure Cabri penta_f1.fig
Télécharger la figure GéoPlan penta_f3.g2w

Démonstration (Lycée 1^ère S)

2. Construction du R.P. Durand

Points libres : le centre O et un sommet A.

	Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A, placer le symétrique I de A par rapport à O. Tracer le diamètre [AI] et la droite perpendiculaire. Placer les intersections de cette perpendiculaire avec le cercle et trouver le milieu J du rayon. Tracer le cercle de centre J, passant par A, ce cercle coupe la droite (OJ) en P et Q.
	Tracer les cercles de centre A, passant par P et Q. Placer les points B, C, D et E intersections des cercles. Tracer le pentagone régulier ABCDE et effacer les constructions. Télécharger la figure Cabri pentagone_durand.fig Télécharger la figure GéoPlan penta_f2.g2w	Traité d'architecture civile et militaire R.P. Durand - 1700 publié in bulletin APMEP no 439

3. Construction de Ptolémée

4. Dessin à partir d'un côté

Dessiner à partir d'un côté du pentagone : les points libres sont deux sommets consécutifs A et B.

Placer les deux premiers points A et B du polygone,
placer le point B₁ symétrique de B par rapport à A,
tracer le cercle (C₁) de centre A passant par B (diamètre [B_1B]),
la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle (C₁) en A₁.

Soit (C₂) le cercle de diamètre [AA₁] : son centre J est le milieu de [AA₁],
tracer la droite (JB₁), cette droite coupe le cercle (C₂) au point K,
tracer le cercle (C₃) de centre B₁ passant par le point K,
les cercles (C₁) et (C₃) se coupent en D₁, tracer le segment [BD1].

La médiatrice de [AB] coupe le segment [BD₁] en O : O est le centre du cercle (C4) circonscrit au pentagone et on peut vérifier que l'angle AÔB mesure 72°.

Pour tracer le pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), un point E intersection des cercles (C₁) et (C₄), un point D est à l'intersection du cercle circonscrit et de la médiatrice de [AB] qui passe par O.

Télécharger la figure GéoPlan penta_f7.g2w

5. Construction approchée : cercles variables

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer un point B sur ce cercle (Menu construction Point sur objet).

tracer le cercle de centre B passant par A,
construire l'intersection C des cercles.

Continuer en traçant le cercle de centre C passant par B,
continuer et tracer les cercles de centre D et E.

Déplacer le point B sur le cercle pour faire coïncider les points A et F.

Tracer le pentagone régulier et effacer les cercles.

Polygones réguliers

Généraliser cette construction pour tracer des polygones réguliers de 7, 9, 10… côtés.

6. Pentagones convexe ou étoilé

Gommer les constructions et réaliser les figures suivantes.

7. Macroconstruction

Pour construire un pentagone régulier, il suffit de connaître les points O et A que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer les cinq segments [AB], [BC], [CD], [DE] et [EA] qu'il nomme objets finaux.

Dans le menu divers, choisir macroconstruction, puis nouvelle ; montrer les points O et A ; montrer les cinq segments puis cliquer sur fin des objets initiaux et nommer la macro pentagone.

Pentagone régulier (lycée) :
    constructions exactes
    constructions approchées

Accompagnement des programmes de 3e	Constructions géométriques	Le triangle équilatéral	Le triangle rectangle
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