René DescartesDescartes et les Mathématiques

Cabri-géomètre en sixième

Travaux pratiques avec ordinateur : triangles, parallélogrammes, quadrilatères, polygones réguliers, pentagones - Arcs et angles, symétries.

Sommaire

1. Les triangles
      Construire un triangle rectangle, un triangle isocèle
2. Droites remarquables dans le triangle
      Médianes
      Médiatrices
            Retrouver le centre d'un cercle
      Hauteurs
3. Symétries pour construire triangles ou quadrilatères
      Triangle isocèle, trapèze isocèle, rectangle
4. Pavages et réseaux
      Triangles équilatéraux, hexagones, étoiles
5. Milieu et médiatrice
      Construction, triangles équilatéraux     
      Tracer une bissectrice
6. Constructions géométriques diverses

7. Arcs et angles
      Reproduire un arc, un angle
8. Symétrie axiale
      Symétrique d'un point, d'une droite,
        d'un cercle, d'un triangle

TP no 1 - Les triangles

Objet : comment dessiner des triangles particuliers (rectangle, isocèle ou équilatéral)

1.1. Un triangle rectangle à partir d'un petit côté

comment dessiner un triangle rectangle à partir d'un petit côté - copyright Patrice Debart 2000

Placer deux points A, B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B,
placer un point C sur la perpendiculaire (menu : point > Point sur objet).

Nommer les points (Label),
gommer la perpendiculaire (menu Cacher/Montrer),
tracer les segments [BC] et [AC] et marquer l'angle droit (menu Label).

Marquer le milieu de [AB] (menu : perpendiculaire) et tracer le cercle de centre O, passant par A.

Que remarque-t-on ?

cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle_cote.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w

1.2. Un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse

comment dessiner un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse - copyright Patrice Debart 2004

Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], marquer le milieu (menu : perpendiculaire),
tracer le cercle de diamètre [AB],
placer un point C sur le cercle (menu : point > Point sur objet).

Nommer les points (Label),
tracer les segments [AC] et [BC] et marquer l'angle droit (menu : Label),
gommer le cercle et le milieu de [AB] (menu : Cacher/montrer).

cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w

1.3. Tracer un triangle isocèle à partir de la base

dessiner un triangle isocèle à partir de la base - copyright Patrice Debart 2000

Comment dessiner un triangle isocèle

Placer les points B, C et dessiner le segment [BC],
tracer la médiatrice de [AB] (menu : perpendiculaire > Médiatrice),
placer un point A sur la médiatrice (Point sur objet).

Nommer les points,
gommer la médiatrice (menu : Cacher/montrer),
tracer les segments [AB] et [AC],
marquer les égalités de segment (menu : Cacher/montrer > Aspect).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle isocèle

1.4. Triangle isocèle à partir d'un des côtés égaux

triangle isocèle à partir d'un des côtés égaux - copyright Patrice Debart 2000

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.
Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], tracer le cercle de centre A passant par B,
placer un point C sur le cercle (Point sur objet).

Nommer les points,
tracer les segments [BC] et [AC],
gommer le cercle (menu : Cacher/montrer),
marquer les égalités de segment (menu : Cacher/montrer > Aspect).

 

cabri Télécharger la figure Cabri tri_isocele_2.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_iso2.g2w

1.5. Triangle équilatéral

Construction à la « règle et au compas », voir : le triangle équilatéral

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle équilatéral

TP 2 - Droites remarquables du triangle

2.1. Médianes

Classe de cinquième

droites remarquables du triangle - médianes - copyright Patrice Debart 2000

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés.

Tracer un triangle ABC,
placer les milieux A’ de [BC], B’ de [AC] et C’ de [AB],
tracer les segments [AA’], [BB’] et [CC’], ces droites sont appelées médianes du triangle ABC.

On remarque ces droites sont concourantes en G, point nommé centre de gravité du triangle.

cabri Télécharger la figure Cabri medianes.fig

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médianes d'un triangle

2.2. Médiatrices

Accompagnement du programme de 5e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

Définition :
La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est la droite perpendiculaire à (AB) au milieu C’ de [AB].

La médiatrice est l'axe de symétrie du segment.

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

mediatrices du triangle - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2009

Construction

Tracer un triangle ABC,
placer les points A’, B’ et C’ milieux des côtés du triangle,
dessiner les médiatrices de [BC], [AC] et de [AB].

Démonstration

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

Tracer ce cercle.

cabri Télécharger la figure Cabri mediatrices.fig

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médiatrices d'un triangle

GeoGebra Droites remarquables du triangle

Construction de la médiatrice à la règle et au compas

Application :

Retrouver le centre perdu d'un cercle sans compas

retrouver le centre du cercle - copyright Patrice Debart 2000

Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP), retrouver le centre de ce cercle.

Construction d'Euclide

Tracer les médiatrices de deux cordes du cercle :

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner les médiatrices de [AB] et [BC].

Le centre est le point d'intersection O de ces deux médiatrices

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : centre d'un cercle


centre perdu

Technique GéoPlan

dans le menu « Créer>point >Centres divers », le logiciel permet de retrouver le centre d'un cercle déjà créé.

Comment trouver le centre d'un cercle avec un compas :

Dessiner le centre perdu au « compas seul » : problème de Napoléon

Comment trouver le centre d'un cercle sans compas :

Dessiner le centre perdu avec la « règle à bords parallèles »

Dessiner le centre perdu avec une équerre

2.3. Hauteurs

Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.

droites remarquables du triangle - hauteurs - copyright Patrice Debart 2000

Tracer un triangle ABC,
tracer les hauteurs : les perpendiculaires à (BC) passant par A, à (AC) passant par B et à (AB) passant par C.

Placer les intersections des côtés et des hauteurs : A’ sur [BC], B’ sur [AC] et C’ sur [AB],
gommer les trois hauteurs.

Tracer les segments [AA’], [BB’] et [CC’],
marquer les angles.

Les trois hauteurs sont concourantes en H
(H est l'orthocentre du triangle : classe de quatrième).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hauteurs du triangle acutangle

droites remarquables du triangle - hauteurs avec un angle obtus - copyright Patrice Debart 2000

Plus difficile : remplacer certains segments par des droites pour obtenir une figure complète quand un des angles du triangle est obtus. L'orthocentre est à l'extérieur du triangle

cabri Télécharger la figure Cabri hauteurs.fig

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hauteurs d'un triangle

4. Bissectrice et cercle inscrit dans le triangle

Voir : problèmes de construction

Géométrie du triangle (lycée)

TP 3 - Utilisation de la symétrie

pour la construction de triangles et de quadrilatères particuliers

3.1. Triangle isocèle

construction d'un triangle isocèle à partir de l'axe de symétrie - copyright Patrice Debart 2000

Construction d'un triangle isocèle à partir d'un sommet B et de son axe de symétrie (d).

Tracer une droite (d), placer un point A sur D et un point B à l'extérieur de (d),
tracer C le symétrique de B par rapport à (d).

Dessiner le triangle et montrer que ABC est isocèle, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit de [BC] avec sa médiatrice (d).

La droite (d), médiatrice de [BC] est l'axe de symétrie du triangle.
Les autres droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice) relatives à la base sont confondues avec cette droite (d).

3.2. Tracer un triangle équilatéral

construction d'un triangle équilatéral à partir d'un axe de symétrie - copyright Patrice Debart 2000

Construction d'un triangle équilatéral à partir d'un sommet B et d'un axe de symétrie (d).

Tracer une droite (d), placer un point B à l'extérieur de (d),
tracer C le symétrique de B par rapport à (d),
tracer le cercle de centre B passant par C, ce cercle coupe (d) en A.

Dessiner le triangle et montrer que ABC est équilatéral, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit.

cabri Télécharger la figure Cabri tr_equilateral3.fig,

    la figure Cabri triangle_equilateral.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_equi3.g2w

3.3. Tracer un trapèze isocèle

Construction d'un trapèze isocèle à partir d'un côté [AB] et de son axe de symétrie (d).

symétrie et trapèze - copyright Patrice Debart 2000

Définition

Un quadrilatère est un trapèze isocèle si c'est un trapèze et s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  • Les deux côtés opposés, non parallèles, sont de même longueur.
  • Deux angles adjacents à une même base sont égaux.
  • La médiatrice d'une des bases est axe de symétrie du trapèze. Elle est aussi la médiatrice de l'autre base.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele.g2w

Voir : quadrilatères

Construction

construction d'un trapèze isocèle - copyright Patrice Debart 2000

Tracer une droite (d), placer deux points A et D à l'extérieur, d'un même côté, de (d),
tracer B le symétrique de A par rapport à (d) et C le symétrique de D.

Par construction, la droite (d) est la médiatrice de [AB] et [CD].

Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un trapèze isocèle, marquer les égalités de côtés et d'angles.

Conjectures

Remarquer les droites perpendiculaires et les droites parallèles.

Prolonger les côtés non parallèles et vérifier qu'ils se coupent en I, point situé sur l'axe de symétrie (d).
De même, les diagonales sont concourantes en un point J, situé sur l'axe de symétrie.

Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S).

3.4. Tracer un rectangle

construction d'un rectangle avec un axe de symétrie - copyright Patrice Debart 2000

Construction d'un rectangle à partir d'un sommet A et d'un axe de symétrie (d).

Tracer une droite (d), placer un point A à l'extérieur de (d),
placer un point D sur la parallèle à (d) passant par A,
tracer B le symétrique de A par rapport à (d) et C le symétrique de D.

Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un carré, marquer les égalités de côtés et d'angles.
Marquer les angles des droites perpendiculaires et remarquer les droites parallèles.

g2w Télécharger la figure de base GéoPlan rectangle.g2w ;

    la figure GéoPlan rectangl.g2w

cabri Télécharger la figure Cabri rectangle.fig

TP 4 - Pavages et réseaux

4.1. Tracer un hexagone régulier

Voir aussi : tracer un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

4.2. Macroconstruction

Pour construire un hexagone, il suffit de connaître les points O et A que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer les six segments [AB], [BC], [CD], [DE], [EF] et [FA] qu'il nomme objets finaux.

Macro Cette macro se rajoute à la fin du menu construction.

4.3. Pavage d'hexagones

Macro constraction d'hexagone - copyright Patrice Debart 2002

Méthode 1 par approximation

Créer trois centres O, O’ et O” et un point A.

Pavage d'hexagones - copyright Patrice Debart 2000

Avec la macro hexagone construire les hexagones de centres O, O’ et O” passant par A.

Déplacer les centres O’ et O” pour faire coïncider les côtés des hexagones.

Puis construisez d'autres hexagones à partir de nouveaux centres.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hexagone_reseau

Méthode 2 par symétries

On constate dans la méthode précédente que les centres sont symétriques par rapport aux côtés des hexagones.

On peut donc créer le centre O et un point A. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O, passant par A. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au segment [AB].

Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O’, passant par A.

Puis construire de nouveaux symétriques des centres par rapport aux côtés des hexagones et d'autres hexagones à partir de ces nouveaux centres.

4.4. étoiles

Savoir aussi dessiner divers types d'étoiles et définir une macro étoile permettant de tracer une des figures ci-dessous.

Étoiles - copyright Patrice Debart 2000
Étoile - copyright Patrice Debart 2000
Étoile inscrite dans un hexagone - copyright Patrice Debart 2000

Pavage d'étoiles

Construire le symétrique O’ du point O par rapport à la droite (AB).
Avec la macro étoile construire une autre étoile de centre O’ passant par A.

2 étoiles - copyright Patrice Debart 2000
2 étoiles inscrites dans des hexagones - copyright Patrice Debar 2000
Pavage d'étoiles - copyright Patrice Debart 2000
3 étoiles inscrites dans des hexagones - copyright Patrice Debart 2000
5 étoiles inscrites dans des hexagones - copyright Patrice Debart 2000

4.5. Réseau de triangles équilatéraux

réseau équilatéral - copyright Patrice Debart 2000

Placer deux points O et A,
dessiner deux triangles équilatéraux OAB et OAF à partir de deux cercles de centres O et A et de rayon OA,
gommer les cercles.
Placer les points symétriques par rapport à O : C symétrique de F, D symétrique de A et E symétrique de B.
Tracer l'hexagone ABCDEF.
Placer les autres points symétriques : A’, A”, B’, B” etc.
Tracer l'hexagone A’A”BOFF”.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : réseau triangulaire

À partir du réseau de points ainsi créé, réaliser des figures comme ci-dessous.

Etoile et réseau - copyright Patrice Debart 2000
Hexagone et réseau - copyright Patrice Debart 2000

 

Voir : la planche à clous comme géoplan

TP 5 - Milieu et médiatrice

Le mot « médiatrice » ne date que 1925, date à laquelle il a été adopté par l'assemblée générale de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Secondaire.

5.1. Médiatrice d'un segment au compas seul

Définition
La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est la droite perpendiculaire à (AB) au milieu I de [AB].

5.1.Tracer la médiatrice d'un segment au compas seul

tracer la médiatrice d'un segment avec compas seul - copyright Patrice Debart 2000

5.1.a. Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.)

Dessiner deux cercles centrés sur les extrémités du segment, ayant pour rayon la longueur du segment :

Cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A.

Dessiner deux points A, B et le segment [AB].
Tracer les cercles de centres A et B et de rayon AB.
Soit C et D les points d'intersection de ces deux cercles.
Tracer la droite (CD) passant par ces deux points d'intersection, c'est la médiatrice de [AB].

Démonstration

En effet, ABC et ABD sont des triangles équilatéraux, leurs côtés sont de même longueur AB.
ACBD est un losange : les quatre côtés sont de même longueur AB. Les angles sont 60° et 120°.

Les points distincts C et D sont équidistants de A et B et appartiennent à la médiatrice, qui est la droite (CD).

[CD] diagonale du losange permet de retrouver la propriété de la médiatrice :
(CD) est perpendiculaire à [AB] et coupe [AB] en son milieu.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction de la médiiatrice au compas

WikiPédia : Œnopide de Chios

Catalan : Viquipèdia

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux tri