René DescartesDescartes et les Mathématiques

Cabri-géomètre en sixième

Travaux pratiques avec ordinateur : triangles, parallélogrammes, quadrilatères, polygones réguliers, pentagones - Arcs et angles, symétries.

Sommaire

1. Les triangles
      Construire un triangle rectangle, un triangle isocèle
2. Droites remarquables dans le triangle
      Médianes
      Médiatrices
            Retrouver le centre d'un cercle
      Hauteurs
3. Symétries pour construire triangles ou quadrilatères
      Triangle isocèle, trapèze isocèle, rectangle
4. Pavages et réseaux
      Triangles équilatéraux, hexagones, étoiles
5. Milieu et médiatrice
      Construction, triangles équilatéraux     
      Tracer une bissectrice
6. Constructions géométriques diverses

7. Arcs et angles
      Reproduire un arc, un angle
8. Symétrie axiale
      Symétrique d'un point, d'une droite,
        d'un cercle, d'un triangle

TP no 1 - Les triangles

Objet : comment dessiner des triangles particuliers (rectangle, isocèle ou équilatéral)

1.1. Un triangle rectangle à partir d'un petit côté

comment dessiner un triangle rectangle à partir d'un petit côté - copyright Patrice Debart 2000

Placer deux points A, B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B,
placer un point C sur la perpendiculaire (menu : point > Point sur objet).

Nommer les points (Label),
gommer la perpendiculaire (menu Cacher/Montrer),
tracer les segments [BC] et [AC] et marquer l'angle droit (menu Label).

Marquer le milieu de [AB] (menu : perpendiculaire) et tracer le cercle de centre O, passant par A.

Que remarque-t-on ?

cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle_cote.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w

1.2. Un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse

comment dessiner un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse - copyright Patrice Debart 2004

Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], marquer le milieu (menu : perpendiculaire),
tracer le cercle de diamètre [AB],
placer un point C sur le cercle (menu : point > Point sur objet).

Nommer les points (Label),
tracer les segments [AC] et [BC] et marquer l'angle droit (menu : Label),
gommer le cercle et le milieu de [AB] (menu : Cacher/montrer).

cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w

1.3. Tracer un triangle isocèle à partir de la base

dessiner un triangle isocèle à partir de la base - copyright Patrice Debart 2000

Comment dessiner un triangle isocèle

Placer les points B, C et dessiner le segment [BC],
tracer la médiatrice de [AB] (menu : perpendiculaire > Médiatrice),
placer un point A sur la médiatrice (Point sur objet).

Nommer les points,
gommer la médiatrice (menu : Cacher/montrer),
tracer les segments [AB] et [AC],
marquer les égalités de segment (menu : Cacher/montrer > Aspect).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle isocèle

1.4. Triangle isocèle à partir d'un des côtés égaux

triangle isocèle à partir d'un des côtés égaux - copyright Patrice Debart 2000

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.
Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], tracer le cercle de centre A passant par B,
placer un point C sur le cercle (Point sur objet).

Nommer les points,
tracer les segments [BC] et [AC],
gommer le cercle (menu : Cacher/montrer),
marquer les égalités de segment (menu : Cacher/montrer > Aspect).

 

cabri Télécharger la figure Cabri tri_isocele_2.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_iso2.g2w

1.5. Triangle équilatéral

Construction à la « règle et au compas », voir : le triangle équilatéral

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle équilatéral

TP 2 - Droites remarquables du triangle

2.1. Médianes

Classe de cinquième

droites remarquables du triangle - médianes - copyright Patrice Debart 2000

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés.

Tracer un triangle ABC,
placer les milieux A’ de [BC], B’ de [AC] et C’ de [AB],
tracer les segments [AA’], [BB’] et [CC’], ces droites sont appelées médianes du triangle ABC.

On remarque ces droites sont concourantes en G, point nommé centre de gravité du triangle.

cabri Télécharger la figure Cabri medianes.fig

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médianes d'un triangle

2.2. Médiatrices

Accompagnement du programme de 5e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

Définition :
La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est la droite perpendiculaire à (AB) au milieu C’ de [AB].

La médiatrice est l'axe de symétrie du segment.

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

mediatrices du triangle - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2009

Construction

Tracer un triangle ABC,
placer les points A’, B’ et C’ milieux des côtés du triangle,
dessiner les médiatrices de [BC], [AC] et de [AB].

Démonstration

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

Tracer ce cercle.

cabri Télécharger la figure Cabri mediatrices.fig

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médiatrices d'un triangle

GeoGebra Droites remarquables du triangle

Construction de la médiatrice à la règle et au compas

Application :

Retrouver le centre perdu d'un cercle sans compas

retrouver le centre du cercle - copyright Patrice Debart 2000

Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP), retrouver le centre de ce cercle.

Construction d'Euclide

Tracer les médiatrices de deux cordes du cercle :

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner les médiatrices de [AB] et [BC].

Le centre est le point d'intersection O de ces deux médiatrices

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : centre d'un cercle


centre perdu

Technique GéoPlan

dans le menu « Créer>point >Centres divers », le logiciel permet de retrouver le centre d'un cercle déjà créé.

Comment trouver le centre d'un cercle avec un compas :

Dessiner le centre perdu au « compas seul » : problème de Napoléon

Comment trouver le centre d'un cercle sans compas :

Dessiner le centre perdu avec la « règle à bords parallèles »

Dessiner le centre perdu avec une équerre

2.3. Hauteurs

Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.

droites remarquables du triangle - hauteurs - copyright Patrice Debart 2000

Tracer un triangle ABC,
tracer les hauteurs : les perpendiculaires à (BC) passant par A, à (AC) passant par B et à (AB) passant par C.

Placer les intersections des côtés et des hauteurs : A’ sur [BC], B’ sur [AC] et C’ sur [AB],
gommer les trois hauteurs.

Tracer les segments [AA’], [BB’] et [CC’],
marquer les angles.

Les trois hauteurs sont concourantes en H
(H est l'orthocentre du triangle : classe de quatrième).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hauteurs du triangle acutangle

droites remarquables du triangle - hauteurs avec un angle obtus - copyright Patrice Debart 2000

Plus difficile : remplacer certains segments par des droites pour obtenir une figure complète quand un des angles du triangle est obtus. L'orthocentre est à l'extérieur du triangle

cabri Télécharger la figure Cabri hauteurs.fig

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hauteurs d'un triangle

4. Bissectrice et cercle inscrit dans le triangle

Voir : problèmes de construction

Géométrie du triangle (lycée)

TP 3 - Utilisation de la symétrie

pour la construction de triangles et de quadrilatères particuliers

3.1. Triangle isocèle

construction d'un triangle isocèle à partir de l'axe de symétrie - copyright Patrice Debart 2000

Construction d'un triangle isocèle à partir d'un sommet B et de son axe de symétrie (d).

Tracer une droite (d), placer un point A sur D et un point B à l'extérieur de (d),
tracer C le symétrique de B par rapport à (d).

Dessiner le triangle et montrer que ABC est isocèle, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit de [BC] avec sa médiatrice (d).

La droite (d), médiatrice de [BC] est l'axe de symétrie du triangle.
Les autres droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice) relatives à la base sont confondues avec cette droite (d).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle isocèle

3.2. Tracer un triangle équilatéral

construction d'un triangle équilatéral à partir d'un axe de symétrie - copyright Patrice Debart 2000

Construction d'un triangle équilatéral à partir d'un sommet B et d'un axe de symétrie (d).

Tracer une droite (d), placer un point B à l'extérieur de (d),
tracer C le symétrique de B par rapport à (d),
tracer le cercle de centre B passant par C, ce cercle coupe (d) en A.

Dessiner le triangle et montrer que ABC est équilatéral, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit.

cabri Télécharger la figure Cabri tr_equilateral3.fig,

    la figure Cabri triangle_equilateral.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_equi3.g2w

3.3. Tracer un trapèze isocèle

Construction d'un trapèze isocèle à partir d'un côté [AB] et de son axe de symétrie (d).

symétrie et trapèze - copyright Patrice Debart 2000

Définition

Un quadrilatère est un trapèze isocèle si c'est un trapèze et s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  • Les deux côtés opposés, non parallèles, sont de même longueur.
  • Deux angles adjacents à une même base sont égaux.
  • La médiatrice d'une des bases est axe de symétrie du trapèze. Elle est aussi la médiatrice de l'autre base.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele.g2w

Voir : quadrilatères

Construction

construction d'un trapèze isocèle - copyright Patrice Debart 2000

Tracer une droite (d), placer deux points A et D à l'extérieur, d'un même côté, de (d),
tracer B le symétrique de A par rapport à (d) et C le symétrique de D.

Par construction, la droite (d) est la médiatrice de [AB] et [CD].

Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un trapèze isocèle, marquer les égalités de côtés et d'angles.

Conjectures

Remarquer les droites perpendiculaires et les droites parallèles.

Prolonger les côtés non parallèles et vérifier qu'ils se coupent en I, point situé sur l'axe de symétrie (d).
De même, les diagonales sont concourantes en un point J, situé sur l'axe de symétrie.

Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S).

3.4. Tracer un rectangle

construction d'un rectangle avec un axe de symétrie - copyright Patrice Debart 2000

Construction d'un rectangle à partir d'un sommet A et d'un axe de symétrie (d).

Tracer une droite (d), placer un point A à l'extérieur de (d),
placer un point D sur la parallèle à (d) passant par A,
tracer B le symétrique de A par rapport à (d) et C le symétrique de D.

Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un carré, marquer les égalités de côtés et d'angles.
Marquer les angles des droites perpendiculaires et remarquer les droites parallèles.

g2w Télécharger la figure de base GéoPlan rectangle.g2w ;

    la figure GéoPlan rectangl.g2w

cabri Télécharger la figure Cabri rectangle.fig

TP 4 - Pavages et réseaux

4.1. Tracer un hexagone régulier

Voir aussi : tracer un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

4.2. Macroconstruction

Pour construire un hexagone, il suffit de connaître les points O et A que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer les six segments [AB], [BC], [CD], [DE], [EF] et [FA] qu'il nomme objets finaux.

Macro Cette macro se rajoute à la fin du menu construction.

4.3. Pavage d'hexagones

Macro constraction d'hexagone - copyright Patrice Debart 2002

Méthode 1 par approximation

Créer trois centres O, O’ et O” et un point A.

Pavage d'hexagones - copyright Patrice Debart 2000

Avec la macro hexagone construire les hexagones de centres O, O’ et O” passant par A.

Déplacer les centres O’ et O” pour faire coïncider les côtés des hexagones.

Puis construisez d'autres hexagones à partir de nouveaux centres.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hexagone_reseau

Méthode 2 par symétries

On constate dans la méthode précédente que les centres sont symétriques par rapport aux côtés des hexagones.

On peut donc créer le centre O et un point A. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O, passant par A. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au segment [AB].

Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O’, passant par A.

Puis construire de nouveaux symétriques des centres par rapport aux côtés des hexagones et d'autres hexagones à partir de ces nouveaux centres.

4.4. étoiles

Savoir aussi dessiner divers types d'étoiles et définir une macro étoile permettant de tracer une des figures ci-dessous.

Étoiles - copyright Patrice Debart 2000
Étoile - copyright Patrice Debart 2000
Étoile inscrite dans un hexagone - copyright Patrice Debart 2000

Pavage d'étoiles

Construire le symétrique O’ du point O par rapport à la droite (AB).
Avec la macro étoile construire une autre étoile de centre O’ passant par A.

2 étoiles - copyright Patrice Debart 2000
2 étoiles inscrites dans des hexagones - copyright Patrice Debar 2000
Pavage d'étoiles - copyright Patrice Debart 2000
3 étoiles inscrites dans des hexagones - copyright Patrice Debart 2000
5 étoiles inscrites dans des hexagones - copyright Patrice Debart 2000

4.5. Réseau de triangles équilatéraux

réseau équilatéral - copyright Patrice Debart 2000

Placer deux points O et A,
dessiner deux triangles équilatéraux OAB et OAF à partir de deux cercles de centres O et A et de rayon OA,
gommer les cercles.
Placer les points symétriques par rapport à O : C symétrique de F, D symétrique de A et E symétrique de B.
Tracer l'hexagone ABCDEF.
Placer les autres points symétriques : A’, A”, B’, B” etc.
Tracer l'hexagone A’A”BOFF”.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : réseau triangulaire

À partir du réseau de points ainsi créé, réaliser des figures comme ci-dessous.

Etoile et réseau - copyright Patrice Debart 2000
Hexagone et réseau - copyright Patrice Debart 2000

 

Voir : la planche à clous comme géoplan

TP 5 - Milieu et médiatrice

Le mot « médiatrice » ne date que 1925, date à laquelle il a été adopté par l'assemblée générale de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Secondaire.

5.1. Médiatrice d'un segment au compas seul

Définition
La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est la droite perpendiculaire à (AB) au milieu I de [AB].

5.1.Tracer la médiatrice d'un segment au compas seul

tracer la médiatrice d'un segment avec compas seul - copyright Patrice Debart 2000

5.1.a. Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.)

Dessiner deux cercles centrés sur les extrémités du segment, ayant pour rayon la longueur du segment :

Cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A.

Dessiner deux points A, B et le segment [AB].
Tracer les cercles de centres A et B et de rayon AB.
Soit C et D les points d'intersection de ces deux cercles.
Tracer la droite (CD) passant par ces deux points d'intersection, c'est la médiatrice de [AB].

Démonstration

En effet, ABC et ABD sont des triangles équilatéraux, leurs côtés sont de même longueur AB.
ACBD est un losange : les quatre côtés sont de même longueur AB. Les angles sont 60° et 120°.

Les points distincts C et D sont équidistants de A et B et appartiennent à la médiatrice, qui est la droite (CD).

[CD] diagonale du losange permet de retrouver la propriété de la médiatrice :
(CD) est perpendiculaire à [AB] et coupe [AB] en son milieu.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction de la médiatrice au compas

WikiPédia : Œnopide de Chios

Catalan : Viquipèdia

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux triangles équilatéraux

Retrouver cette figure avec GéoPlan, voir : triangle équilatéral

construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie dans les Éléments d'Euclide

5.2. Tracer la médiatrice d'un segment avec deux cercles

tracer la médiatrice d'un segment avec compas seul - copyright Patrice Debart 2000

Dessiner deux cercles, de même rayon, centrés sur les extrémités du segment.

Tracer deux cercles de centres A et B, de même rayon, suffisamment grand.
Soit C et D les points d'intersection de ces deux cercles.
La droite (CD) est la médiatrice de [AB].

Démonstration

Comme ci-contre ACBD est un losange, car les quatre côtés sont de même longueur r, r rayon commun des deux cercles.

La droite (CD), diagonale du losange, est la médiatrice de [AB].

g2w Télécharger la figure GéoPlan mediatrice_2.g2w

Comment tracer les médiatrices d'un triangle avec un compas

Répéter, pour deux côtés du triangle, la construction ci-dessus et terminer la troisième médiatrice en joignant le point d'intersection des deux premières médiatrices avec le milieu du troisième côté.

5.3. Tracer une bissectrice au compas seul

5.3.a. Construction d'un losange

une bissectrice - copyright Patrice Debart 2003

GéoPlan permet de tracer une bissectrice à partir d'un angle défini par trois points.

Bissectrice comme médiatrice du triangle BOA :
Pour tracer une bissectrice « à la règle et au compas » on se place dans la situation d'un triangle isocèle BOA que l'on complète par un point I tel que le quadrilatère BOAI soit un losange.

Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B.
Tracer les deux cercles de centre A et B, passant par O. Ces deux cercles se recoupent en I.

[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) :

La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires.
Dans le triangle isocèle OAB, les angles AÔH et HÔB sont égaux, (OI) est donc la bissectrice, issue de O, de ce triangle.

cabri Télécharger la figure Cabri cons_bissectrice.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan cons_bisect.g2w

Voir : construction avec la règle à bords parallèles

5.4. Tracer une bissectice par report de mesure

Une bissectrice par report de mesure - copyright Patrice Debart 2003

Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine.

Placer deux points A et B sur un des côtés (d1) de l'angle. Reporter les longueurs OA et OB sur la deuxième demi-droite (d2) en y plaçant les points C et D tels que OC = OA et OD = OB.
Tracer les deux segments [AD] et [BC].

Ces deux segments se recoupent en I.

[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : les triangles isométriques OAD et OBC sont symétriques par rapport à (OI).

g2w Télécharger la figure GéoPlan cons_bisect2.g2w

Bibliographie

Rouché Eugène et De Comberousse Charles - traité de géométrie - 1900 - Éditions Jacques Gabay - 1997 - Exercice no 5

Herrera Ruben Rodriguez et Salles - Le Gac Danielle – Du dessin perçu à la figure construite - Ellipses - 2005

5.5.c. voir aussi : construction avec une règle à bords parallèles

TP 6 - Constructions géométriques diverses

6.1. Médiatrices et triangle rectangle

Médiatrices et triangle rectangle - copyright Patrice Debart 2003

Tracer un triangle rectangle ABC,
dessiner les médiatrices du triangle,
tracer le cercle circonscrit.

Que constate-t-on ?

cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle_mediatrices.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect4.g2w

6.2. Triangles symétriques

triangles symétriques - copyright Patrice Debart 2000

ABC est un triangle équilatéral.
ACD et BCE sont des triangles isocèles tels que AD = BE.

Reproduire cette figure.
Que peut-on dire du triangle CDE ?
Montrer que les points D et E sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB],
en déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

cabri Télécharger la figure Cabri triangles_symetriques.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_sym.g2w

6.3. Cinq triangles équilatéraux

Géométrie du triangle équilatéral - quatre triangles - copyright Patrice Debart 2000

ABC est un triangle équilatéral.

Reproduire ce dessin.

Quels sont les axes de symétrie ?

Que peut-on dire des triangles de la figure ?

cabri Télécharger la figure Cabri quatre_triangles_equilateraux.fig

Voir aussi : triangles équilatéraux et cercle

6.4. Triangles isocèles

3 triangles isocèles - copyright Patrice Debart 2000

Reproduire la figure ci-dessous, sachant que :

le triangle ABC est isocèle (AB = AC),

le triangle ACD est isocèle (AC = AD).

Le triangle ABE est isocèle (EA = EB) et les longueurs CE et CD sont égales.

Indication : cercles et médiatrice

3 triangles isocèles - solution - copyright Patrice Debart 2000

Avec Cabri-géomètre, placer les points A et B.

Pour construire les deux premiers triangles isocèles, placer les points C et D sur le cercle de centre A passant par B.

Le point E est une des intersections de la médiatrice de [AB] et du cercle de centre C passant par A.

cabri Télécharger la figure Cabri tr_isocele3.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_iso3.g2w

6.5. Quadrilatère

triangle et quadrilatère - copyright Patrice Debart 2000

6.2.a. Tracer un triangle FIL.

Tracer la droite passant par L parallèle à (FI),
tracer la droite passant par I parallèle à (FL),
et nommer S l'intersection de ces deux droites.

Quelle est la nature du quadrilatère FISL ?

6.2.b. Si le triangle FIL est rectangle en F, que dire de FISL ?

6.2.c. Et si le triangle FIL est isocèle (FI = FL) ?

6.5.d.Triangle rectangle et rectangle.

un triangle rectangle et un rectangle - copyright Patrice Debart 2000

Même question avec un triangle FIL rectangle et un rectangle cmme quadrilatère.

Technique Cabri
Déplacer F sur le cercle de diamètre [IL] pour obtenir un triangle rectangle FIL et un rectangle FISL,
déplacer F sur la médiatrice de [IL] pour obtenir un triangle isocèle FIL et un losange FISL,
placer F à une des intersections de ce cercle et de cette médiatrice pour obtenir un triangle rectangle isocèle FIL et un carré FISL.

cabri Télécharger la figure Cabri quadrilatere_fisl.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan qua_fisl.g2w

6.6. Droites perpendiculaires dans un rectangle

Partage en trois de [CF]

Construction de symétriques : Cabri ne permet pas de diviser un segment en trois. Pour tracer la figure du problème (ci-dessous à droite) placer deux points A et C,
sur la perpendiculaire en C à (AC) placer un point D, puis le point E symétrique de C par rapport à D et le point F symétrique de D par rapport à E.
Enfin, terminer le rectangle ACFH.

Diviser un segment en trois - copyright Patrice Debart 2000

Construction de parallèles : Il est aussi possible de réalise la figure ci-dessous à gauche, qui sera justifiée par la propriété de Thalès en quatrième :
placer deux points C et F, sur la perpendiculaire en C à (CF) placer un point A, puis terminer le rectangle ACFH, en traçant les parallèles aux côtés [AC] et [CF] qui se coupent en H.
Tracer le milieu B de [AC] et le symétrique B’ de B, par rapport à A.
Les parallèles à (B’F), passant par A et B, coupent (CF) en D et E, qui sont les points cherchés.

ACFH est un rectangle, B est milieu de [AC], G celui de [FH].
D et E partagent [CF] en trois segments de même longueur.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cons_rect_perpendiculaires.g2w

cabri Télécharger la figure Cabri cons_rect_perpendiculaires.fig

Perpendiculaires dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2000

Tracer ensuite les sécantes, marquer et mesurer les angles.

Déplacer les points pour trouver des paires de droites perpendiculaires.
Que peut-on dire alors du rapport des longueurs AC et AF ?

cabri Télécharger la figure Cabri rect_perpendiculaires.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan rect_per.g2w

Le but de l'exercice est de trouver que (AD) et (CH) sont perpendiculaires lorsque AF est le double de AC.

Si ACFH est un carré, les diagonales sont perpendiculaires.

Technique GéoPlan

En modifiant le prototype marquer un angle droit, avec µ(abs(t-90)<0.1) pour une précision de 0,1°, on peut faire apparaître les angles droits en déplaçant les points avec la souris.

Voir aussi le partage d'un segment en trois

TP 7 - Arcs et angles

7.1. Reproduire un arc de cercle

reproduire un arc de cercle - copyright Patrice Debart 2003

Sur un cercle (c) de centre O placer un point A et un arc AB en montrant le point A, un point intermédiaire situé sur le cercle et le point final B.

Tracer un cercle de centre I de même rayon : placer un point I. Avec le compas, montrer les points O et A pour mesurer le rayon du cercle (c), puis montrer le point I pour tracer ce deuxième cercle.

Reporter la longueur de la corde AB : au compas montrer les points A et B pour mesurer le rayon, puis montrer le point C ; le point D est une des intersections des deux derniers cercles. Les arcs AB et CD sont égaux (on peut mesurer les longueurs de leurs cordes).

cabri Télécharger la figure Cabri copier_arc_cercle.fig

g2w Télécharger la figure GéoPlan copi_arc.g2w

7.2. Reproduire un angle

reproduire un angle à la règle et au compas - copyright Patrice Debart 2003

à la règle et au compas

Eudéme, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (Ve siécle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. »

Reproduire un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I :

Soit deux points O et I, deux demi-droites ayant pour origine le point O et une demi-droite d'origine I.

Pour reporter l'angle d'origine O, placer un point A sur un des côtés de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe le deuxième côté en B.

Avec le compas, mesurer la longueur OA, puis tracer le cercle de centre I et de rayon OA.
Nommer C l'intersection de ce cercle avec la demi-droite.

Avec le compas, mesurer la longueur AB, puis tracer le cercle de centre C et de rayon AB. Nommer D une des intersections des deux cercles. Tracer la demi-droite [ID).

Les angles AÔB et CÎD sont égaux. On peut les marquer et les mesurer.

Macroconstruction

Pour reporter un angle, il suffit de connître les demi-droites [OA), [OB) et [IC) que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer la demi-droite [ID) qu'il nomme objet final.
Dans le menu macroconstruction, choisir l'icône objets initiaux, montrer avec la souris les trois demi-droites qui se mettent à clignoter. Attention l'ordre des demi-droites a de l'importance.
Puis choisir l'icône des objets finaux, ici la demi-droite [ID).
Enfin, nommer la macro report d'angle, éventuellement l'enregistrer.

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TP 8 - Symétrie par rapport à une droite

8.1. Tracer le symétrique d'un point

symétrique d'un point par rapport a une droite - copyright Patrice Debart 2003

Placer un point M et une droite (d).

Construire le symétrique M’ du point M par rapport à (d) :

    – Soit par construction avec règle graduée et équerre :
trouver le point H pied de la perpendiculaire issue de M sur la droite (d) ; en déduire M’

    – Soit construire un losange AMBM’ de diagonale située sur (d) :
Soit A un point de (d). Le cercle de centre M, passant par A, recoupe (d) en B.
Les cercles de centres A et B, passant par M, se recoupent en M’, le point symétrique cherché.
(les diagonales du losange AMBM’ sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu H).

8.2. Tracer le symétrique d'une droite

symétrique d'une droite par rapport à une droite - copyright Patrice Debart 2003

Placer deux points A et B, tracer la droite (AB) et une droite (D) {non perpendiculaire à (AB)},
construire les symétriques A’ et B’ des points A et B par rapport à (D),
tracer la droite (A’B’).

Déplacer les points A et B.

Compléter :

Si la droite (AB) coupe la droite D alors ……

Si la droite (AB) est parallèle à la droite D alors ……

Placer et déplacer un point M sur (AB), construire son symétrique M’ et le segment [MM’].

Remarque : lorsque les droites sont sécantes, la droite (A’B’), symétrique de (AB) par rapport à (D), passe par le point I, intersection de (AB) et (D). Il est souvent efficace d'utiliser ce point pour la construction.

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8.3. Tracer le symétrique d'un cercle

symétrique d'un cercle par rapport à une droite - copyright Patrice Debart 2003

Placer deux points A et O et une droite D,
construire les symétriques A’ et O’ des points A et B par rapport à D,
tracer le cercle C de centre O, passant par A.

Quel est le symétrique de ce cercle par rapport à D ?

Déplacer les points A et B.

Compléter :

Si le cercle C coupe la droite D ……

Si le point O est sur la droite D alors ……

Placer et déplacer un point M sur C, construire son symétrique M’ ; le segment [MM’] et les rayons [OM] et [O’M’]. Modifier les couleurs pour rendre la figure plus parlante.

8.4. Tracer le symétrique d'un triangle

symetrique d'un triangle par rapport à une droite - copyright Patrice Debart 2003

Placer trois points A, B, C et une droite D.

Construire les symétriques A’, B’ et C’ des points A, B et C par rapport à D.

Tracer le triangle ABC et son symétrique.

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