René DescartesDescartes et les Mathématiques

Le carré au collège

Exercices de géométrie dynamique sur le carré : deux, trois, cinq ou huit carrés.

Sommaire

1. Dessiner un carré
2. Duplication du carré
3. Le carré dans une planche à clous
4. Somme ou différence de deux carrés
    Sulbasutras
    Construction de Bhaskara
    Clairaut
    Puzzle de Gougu
5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré
    Construction d'Abu l-Wafa
6. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré
7. Les trois carrés
8. Huit carrés - Somme de trois angles

Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points

Le carré dans la planche à clous

Carrés et rotation

Orthocentre d'un triangle inscrit dans un carré

Aire d'un polygone formé par l'intersection de deux carrés

Le carré avec la géométrie dynamique

Carré dont les côtés passent par quatre points

Découpage d'aires dans un carré : exercices de-ci, de-là

Composer deux carrés avec quatre quadrilatères égaux : puzzle de Périgal
Droites perpendiculaires dans un carré : utiliser un orthocentre

Problèmes de partage

GeoGebra Aire minimale de deux carrés dans un carré -
          figures interactives

Lieux géométriques :
    – le carré mobile
    – le carré variable

Calculs d'angles dans un carré en 1ère S : produit scalaire

Problèmes d'inscription

Carré inscrit dans un triangle
Trois carrés inscrits dans un triangle : voir problème de Grèbe

Carré inscrit dans un demi-cercle
Carré inscrit dans un quadrilatère

Sangaku : cercle et carré

Triangle inscrit dans un carré

Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré
Triangle équilatéral inscrit dans un carré, aire maximale

Les carrés autour de BOA

Faire de la
géométrie dynamique

Quadrilatère

Polygones
réguliers

Parallélogramme

Construction de triangles en 5e

La géométrie dynamique
au collège

Figure de base

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w

1. Construire un carré

Classe de cinquième

1.a. Construction du carré à partir d'un côté [AB]

Construction d'Euclide - Proposition 46

Tracer un carré en connaissant deux sommets consécutifs

Tracé à partir de droites perpendiculairesle carre au college - construction

Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A et reporter sur cette perpendiculaire la longueur du côté avec le cercle de centre A passant par B.
Le sommet D est un des points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle.
Construire les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B.
Construire le point C comme intersection de ces deux parallèles.

ABCD est un carré de côté [AB].

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w

Variante : après la construction de D, construire les perpendiculaires à (AB) en B et à (AD) en D.
Construire le point C comme intersection de ces deux perpendiculaires.

Construction de Marolois : après la construction de D, construire la perpendiculaire à (AB) en B. Reporter en C, sur cette deuxième perpendiculaire, la longueur du côté avec le cercle de centre B passant par A.
Tracer le côté [CD] parallèle à (AB).

1.b. Construction du carré à partir d'un côté et du cercle circonscrit

« Comment tracer un carré au compas ;
Tracer un carré dans un cercle ! »

sangaku - construction d'un carre avec le cercle ciconscrit

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_b.g2w

Carré inscrit dans un cercle

Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la médiatrice de [AB] et le cercle de diamètre [AB]
.

Remarque : avec la règle et le compas, tracer le cercle de centre A, passant par B, et le cercle de centre B passant par A.
La droite joignant les points d'intersection des deux cercles est la médiatrice de [AB].

Le centre O du carré est un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle de diamètre [AB].

Le cercle (c) de centre O, passant par A, est le cercle circonscrit au carré.

Le sommet C est le deuxième point d'intersection de la droite (AO) et du cercle circonscrit (c).
De même, D est l'intersection de (BO) et du cercle (c).

ABCD est un carré de côté [AB] inscrit dans le cercle (c).

Voir : calcul de la longueur du côté d'un carré inscrit dans un cercle
Voir aussi : carré inscrit dans un demi-cercle

1.c. Diagonale du carré

Comment calculer la longueur d'une diagonale d'un carré

Les deux diagonales du carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu :
Pour la diagonale [AC], étudier un des triangles rectangles ABC ou ADC, et y calculer AC  avec le théorème de Pythagore :

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2 a2, pour un carré de côté AB = a.

La longueur d'une diagonale, du carré de côté a, est arac(2).

Construction du carré à partir d'une diagonale [AC]

Inscrire un carré dans un cercle
Tracer un carré sans équerre

Placer deux sommets opposés A et C (ou bien le centre O et un sommet A),
tracer le cercle (c) de centre O, milieu de [AC]. Tracer [AC], diamètre du cercle circonscrit au carré.

Tracer la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et D.
ABCD est un carré.

Remarque : la règle et le compas permettent de construire une médiatrice, en traçant le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre C passant par A, qui se coupent en E et F.
(EF) est la médiatrice de [AC].

Longueur du côté d'un carré inscrit dans un cercle :
en classe de quatrième, on calculera la longueur du côté du carré avec la relation de Pythagore dans le triangle OAB :
OA2 + OB2 = AB2 ; soit 2r2 = AB2 ; d'où AB = r racine de 2r est le rayon du cercle (c).

Remarque : La meilleure façon de construire un carré n'est pas de le générer à partir d'un côté, mais de le générer à partir d'un centre de rotation O et d'un sommet A. Le carré ainsi fabriqué est invariant par quart de tour, a ses côtés égaux et ses angles égaux à 90°.

La figure ci-contre permet aussi de construire un carré à partir du cercle circonscrit.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre.g2w

construction d'un carre a partir d'une diagonale

1.d. Sulbasutra (construction du carré à partir d'une médiatrice)

construction d'un carre a partir d'une mediatrice

Construction de Baudhayana,
texte rituel de l'Inde védique, rédigés en sanskrit vers le VIIIe siècle avant J.-C.,
issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère
.

Si l'on veut un carré, prendre une corde de longueur égale au carré donné, faire des nœuds aux deux extrémités et une marque en son milieu.
On trace la ligne et on plante un piquet en son milieu. On fixe les deux nœuds et on trace un cercle avec la marque.

Deux piquets sont plantés aux deux extrémités du diamètre. Un nœud étant fixé à l'est, on trace un cercle avec l'autre. Même chose à l'ouest.
Le second diamètre est obtenu des points d'intersection de ces deux ; on plante deux piquets aux deux extrémités du diamètre.

Avec deux nœuds fixés à l'est, on trace un cercle avec la marque ; on fait la même chose au sud, à l'ouest et au nord.
Les points d'intersection donnent le carré.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan sulbasutra.g2w

Texte en langage moderne

Tracer le diamètre [OE] de longueur le côté du carré a, et une marque en son milieu I.

Tracer le cercle de centre E et de rayon a. Même chose à l'ouest avec un cercle de centre O. On obtient les points d'intersection G et H, et le cercle de centre I et de rayon a/2 permet d'obtenir le second diamètre [SN].

On trace les cercles de centres E, S, O, N de rayons a/2. Les points d'intersection donnent le carré ABCD.

1.e. Voir : construction du carré à la règle (non graduée) et l'équerre

1.f. Aire du carré

Carré inscrit dans un cercle

construction d'un carre dans un cercle

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_carre.g2w

ABCD est un carré de côté a = AB et diagonale d = AC.

L'aire du carré de côté a est a2.

Calcul de l'aire avec la diagonale du carré

d = arac(2), d'où a = d × 1/rac(2) et Aire(ABCD) = a2 = d2 × 1/2.

L'aire du carré de diagonale d est 1/2 d2.

Calcul d'aire avec un carré inscrit dans un cercle

Le carré ABCD est inscrit dans un cercle de diamètre d.

Vérifier que l'aire de la portion du disque extérieure au carré (coloriée en bleu clair) est :

d2(pi/41/2).

2. Deux duplications du carré

Classe de quatrième

2.a. Tracer à la « règle et au compas » un carré d'aire double d'un carré donné.

Paragraphe extrait de la page grands problèmes de la géométrie grecque.

duplication du carre de Platon dans Menon

Dans Ménon, un dialogue de Platon, Socrate explique la construction ci-dessus à un jeune esclave.

La diagonale du « petit carré » le partage en deux triangles isocèles rectangles. Le « grand carré » est formé de quatre triangles isocèles rectangles, de même aire.

Le rapport des aires des carrés est 2,
Le rapport des côtés est rac(2).

En terminale S, étudier la similitude de centre A, d'angle 45° et de rapport rac(2). Elle transforme le carré ABCD en ACEF.

g2w Télécharger la figure GéoPlan duplication_carre.g2w

Les carrés de Léonard de Vinci

Problèmes de construction

  – À partir d'un point A, construire le carré ABCD inscrit dans le cercle (c) ;
  – Comme ci-dessous, construire le carré EFGH circonscrit au cercle (c), les côtés des carrés parallèles deux à deux.
Comme ci-contre, les côtés de EFGH tangents au cercle en A, B, C et D.

carres de Leonard de Vinci

Le carré circonscrit à un cercle a une aire double de celle du carré inscrit dans ce cercle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carres_vinci.g2w

Solution de la duplication de Léonard de Vinci

carre de Leonard de Vinci

À partir d'un « petit carré » ABCD, de centre O, on trace les cercles centrés sur les sommets, passant par O. Ces cercles se coupent en E, F, G, H, symétriques de O par rapport aux côtés du petit carré. EFGH est un « grand carré » tangent au cercle circonscrit à ABCD.

Les diagonales du « petit carré » le partagent en quatre triangles isocèles rectangles. On obtient le « grand carré » avec quatre autres triangles isocèles rectangles de même aire, symétriques des quatre premiers.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carres_vinci.2g2w

2.b. Cloître - Carré d'aire moitié

Olympiades 2008 - Toulouse

Un cloître est constitué d'une cour intérieure centrale entourée d'une galerie latérale.

carre

La forme des cloîtres est généralement carrée et, est telle que l'aire de la galerie est égale à celle de la cour centrale.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cloitre.g2w

Proposer une méthode permettant de tracer dans l'enclos un carré délimitant la future cour intérieure centrale du cloître

carre Tracer les deux diagonales et le centre O du grand carré,
soit I le milieu d'un des côtés du carré, le cercle de centre O, passant par I, coupe les diagonales aux coins cherchés de la cour.

En effet, si L est la longueur du côté du grand carré, le rayon du cercle est L/2.
La diagonale du petit carré mesure L,
la longueur du côté de ce carré est l = L/rac(2),
son aire l2 est bien la moitié de L2, aire du grand carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cloitre_s.g2w

3. Le carré dans une planche à clous

Retrouver ces figures GeoGebra dans la page : la planche à clous

Carré d'aire 2
dans un géoplan 3 × 3

le carre au college - dans le geoplan 3 x 3

Aire(ABCD) = 4 × 1/2 = 2.

Les diagonales se coupent en leur milieu O, sont de même longueur et sont perpendiculaires.

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra carre_gp3sur3.ggb

Carré d'aire 5
dans un géoplan 4 × 4

le carre au college - dans le geoplan 4 x 4

Le carré ABCD, formé du carré central A’B’C’D’ unitaire, et de quatre triangles rectangles AA’B, BB’C, CC’D, DD’A d'aires 1.

Aire(ABCD) = 1 + 4 × 1 = 5.

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra carre_4sur4.ggb

Voir, ci-dessous, la figure du moulin à vent

Quatre carrés
dans un géoplan 5 × 5

le carre au college - dans le geoplan 5 x 5

Aire(MNPQ) = 16,
Aire(ABCD) = 8,

Aire(IJKL) = 4,
Aire(A’B’C’D’) = 2.

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra carres_5sur5.ggb

Carré d'aire 10

le carre au college - dans le geoplan 5 x 5

Aire(ABCD) = 4 + 4 × 1,5 = 10,
Aire(ABCD) = 16 – 4 × 1;5 = 10.

L'aire est obtenue en ajoutant ou en retranchant, à l'aire d'un carré, les aires de quatre triangles rectangles, d'aires 1,5.

GeoGebra Figure GeoGebra carre_gp5sur5.ggb

4. Construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires de deux carrés

geometrie du triangle - moulin a vent d'Euclde

Constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés : applications du théorème de la diagonale.

Variations autour de Pythagore

 

Théorème de la diagonale (Inde védique)

Le carré produit par la diagonale d'un rectangle est égal à la somme des carrés produit par les deux côtés du rectangle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan euclide1.g2w

4.a. Sulbasutra : construire un carré somme de deux carrés

sulbasutra - partage d'aire et carres

Si l'on rassemble deux carrés de tailles différentes, que l'on trace à l'aide du côté du plus petit une bande du plus grand, la corde diagonale de cette bande est le côté du carré constitué des deux carrés rassemblés.

EB est la longueur du côté du carré d'aire égale à la somme des aires des carrés contigus ACDE de côté a et ABFG de côté b.

Avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore.

Dans le triangle rectangle ABC, on a :
EB2 = EA2 + AB2 = a2 + b2.

Dans les deux figures ci-dessus, par symétrie par rapport à (AB), il est possible de tracer les petits carrés ABFG à l'intérieur des grands carrés ACDE.

g2w Télécharger la figure GéoPlan som2carre_sulbasutra.g2w

4.b. Sulbasutra : construire un carré différence de deux carrés

sulbasutra - partage d'aire et carres

IJ est la longueur du côté du carré d'aire égale à la différence des aires des carrés contigus ACDE et ABFG.

Justifications

Dans le triangle rectangle IJE, la relation de Pythagore donne :
IJ2 = EJ2 - IE2 = a2 - b2.

g2w Télécharger la figure GéoPlan diff2carre_sulbasutra.g2w

Voir aussi : construction du carré à partir d'une médiatrice

Problème : somme de trois carrés
Construire un carré dont l'aire soit égale à la somme des aires de trois carrés donnés.

4.c. Construire un carré somme de deux carrés

Dessiner le moulin à vent d'Euclide en traçant deux carrés CBED et ACFG de côtés a et b à l'extérieur d'un angle droit en C.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ABIH de côté AB = c.
Par le théorème de Pythagore, l'aire du grand carré est égale à la somme des aires de deux carrés.

 

Commande GéoPlan : déplacer les points A ou B sur les côtés de l'angle droit.

g2w Télécharger la figure GéoPlan euclide1.g2w

4.d. Construire un carré différence de deux carrés de côtés c et a

Réaliser la figure du moulin à vent avec le tracé d'un carré ABIH de côté c.
Sur le demi-cercle de diamètre [AB], placer le point C et le long de [AC] construire le carré CBED de côté a.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ACFG de côté b.

L'aire de ce carré est égale à la différence des aires des deux premiers carrés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan euclide2.g2w

4.e. Construction de Bhaskara : construire un carré de côté b−a

partage d'aire et carres - construction de Bhaskara

Construire un triangle rectangle A’O’B’ en O’ tel que O’A’ = a et O’B’ = b, avec b > a.
Construire un carré ABCD, avec un côté de longueur A’B’.
Sur les demi-cercles ayant pour diamètre les côtés du grand carré, sont placés les points O, P, Q et R formant les sommets de quatre triangles rectangles du pourtour, triangles de petits côtés de longueurs a et b.
Le quadrilatère OPQR est un carré de côté de longueur b − a.

g2w Télécharger la figure GéoPlan ca_parta.g2w

4.f. Carrés contigus

Construction à partir de deux carrés contigus BCFG et DEHF, de côtés a et b.

le carre au college - 2 carres contigus

Une recherche guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus permet dans le cas général, aux élèves, de trouver une solution autour de la diagonale [BE] :

le carre au college - 2 carres contigus

On voit apparaître deux triangles rectangles, on construit alors un carré et on complète en traçant les verticales et les horizontales, pour obtenir la figure de Clairaut, à droite ci-contre.

Clairaut - Démonstration visuelle du théorème de la diagonale

le carre au college - demonstration du theoreme de la diagonale

Le carré ABKE de diagonale [BE] est solution.

Justifier cette construction par l'isométrie des triangles rectangles de sommets C et H, D et G : le triangle CBA est déplacé en HKE et le triangle DEA est déplacé en GKB

g2w Télécharger la figure GéoPlan som2carre.g2w

Puzzle de Clairault
Retrouver cette configuration dans : similitude au bac

4.g. Carrés opposés par le sommet

Construire deux carrés EBCF et EDHK, de côtés a et b, aux côtés parallèles, ayant uniquement le sommet E en commun.

le carre au college - deux carres opposes par le sommet

Une recherche, guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus, permet aux élèves, dans le cas général, de trouver une solution en construisant un carré à partir de [BK] ou de [FD].

g2w Télécharger la figure GéoPlan som2carre2.g2w

Retrouver cette configuration dans : carrés du BOA,
similitude au bac

Carré ABKG solution, construit à partir du segment [BK].

demonstration du theoreme de Pythagore - les 4 triangles

On retrouve la figure de la démonstration de Pythagore des quatre triangles.

4.h. Puzzle de Gougu

demonstration du theoreme de Pythagore - puzzle de 5 pièces de Gougu

Chine : puzzle reconstitué d'après les commentaires de Liu Hui, époque Han, IIIe siècle

Translation hors programme 

 

Puzzle de cinq pièces permettant de démontrer le théorème de Pythagore en déplaçant trois pièces.

Par translation de trois triangles parallèlement aux diagonales du grand carré, on passe de deux carrés contigus au grand carré d'aire égale à la somme des aires de deux petits carrés.

Ce puzzle est une des preuves du théorème de Pythagore.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan puzzle_gougu.g2w

5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré - Construction d'Abu l-Wafa

le carre au college - carre d'aire triple

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_abu_wafa.g2w
GeoGebra Figure interactive de olivierl2 dans GeoGebra Tube : trisection du carré par Abu'l Wafa

Voir aussi : problème d'Abul-Wafa - Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

Réciproque : trisection du carré si b = a

Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan.

Autour d'un carré ABCD de côté a, on place quatre triangles isocèles identiques de telle façon que le sommet d'un des deux angles de 45° de chaque triangle tombe sur un des sommets du carré ABCD et l'hypoténuse le long du côté du carré.

En joignant les sommets des angles droits des triangles rectangles, on obtient un carré EGIK.

On montre facilement que EGIK est un carré.

On montre ensuite que chacun des quatre triangles, dépassant du carré EGIK, est égal à un triangle manquant à l'intérieur du carré.

Par exemple, EDGF est un parallélogramme, car (EF)//(DG) et EF = DG.
Le point M d'intersection de [EG] et de [DF] est le milieu de ces diagonales.

Le triangle excédent EMF est symétrique, par rapport à M, du triangle manquant GMD. Leurs aires sont égales.

Le carré EGIK a une aire égale à l'aire de ABCD et quatre fois l'aire du triangle rectangle AFE.

Lorsque AE = AD = a, le triangle ABCD a une aire triple du carré ABCD.

Si a est le côté de ABCD et b est la longueur des petits côtés des triangles rectangles isocèles ;
AE = DG = CI = BK = b ; le carré EGIK une aire égale à a2 + 2b2.
Le carré EGIK a alors une aire égale à l'aire d'un carré de côté a et de deux carrés de côtés b.

Voir : la trisection du carré de Christian Blanvillain

6. Multiplication ou division par 5 de l'aire d'un carré (rotation hors programme)

Article importé du cas général : multiplication de l'aire d'un parallélogramme

le carre au college - multiplication par 5 de la surface d'un carre6.a. ABCD est un carré, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A.
Montrer que PQRS est un carré d'aire cinq fois plus grande.

La rotation de centre O et d'angle 90° transforme [AP] en [BQ], [BQ] en [CR]…

P a pour image Q, Q a pour image R, R a pour S et S a pour image P. Le quadrilatère PQRS globalement invariant par la rotation a ses quatre côtés de même longueur, deux côtés consécutifs forment un angle de 90°, égal à l'angle de la rotation. ADCD est un carré.

Si le côté du petit carré AB = a, la propriété de Pythagore dans le triangle BPQ permet de calculer PQ = arac(5). PQRS a une aire égale à 5a2.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mul_carres.g2w

6.b. Carré d'aire cinq fois plus petite…

Paragraphe importé de la page produit scalaire

le carre au college - division par 5 de la surface d'un carre I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD
(longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à 1/5 de l'aire de ABCD.


g2w Télécharger la figure GéoPlan p_s_car.g2w
GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré d'aire cinq fois plus petite

Carrés et octogone construits à l'intérieur d'un carré

Découpage d'aires dans un carré en classe de seconde : exercices de-ci, de-là
Droites orthogonales dans un carré : voir angles - rotations

Figure de Patrick Clément

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

le carre au college - multiplication par 5 de la surface d'un carre
le carre au college - multiplication par 5 de la surface d'un carre
le carre au college - multiplication par 5 de la surface d'un carre
le carre au college - multiplication par 5 de la surface d'un carre

 

6.c. Triangle rectangle de petits côtés 1 et 2

geometrie du triangle - moulin a vent

Figure du moulin à vent d'Euclide dans un quadrillage.

Le carré BCHI et formé du petit carré central et de quatre triangles rectangles isométriques à ABC d'aires 1. Son aire totale est de 5 et on retrouve le calcul de la longueur de l'hypoténuse BC, qui mesure rac(5).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : moulin à vent d'Euclide dans un quadrillageRetrouver cette figure dans la page : la planche à clous

6.d. Puzzle

le carre au college - reconstituer un carre

On aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux consécutifs.

Reconstituer un carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cinq_carre.g2w

6.e. Autres carrés à l'intérieur d'un carré

Sur les côtés d'un carré ABCD placer quatre points I, J, K et L tels que :
AI = BJ = CK = DL.

le carre au college - carre a l'interieur d'un carre La droite (IC) est perpendiculaire à (LB).

PQRS est un carré.

Les carrés ABCD et PQRS ont même centre, centre de la rotation, d'angle 90°, qui rend la figure invariante.


g2w Télécharger la figure GéoPlan mul_car.g2w

Cas particulier

Sur les côtés d'un carré ABCD placer quatre points I, J, K et L tels que :
AI = BJ = CK = DL = 2/3 AB

le carre au college - carre a l'interieur d'un carrePQRS est un carré,
Son aire est égale à 2/5 de l'aire de ABCD.

Les médiatrices des côtés de PQRS rencontrent les côtés de ABCD à leur tiers (les intersections de la médiatrice de [SP] avec les côtés [AB] et [CD] sont les milieux de [AI] et de [KC]. De même on a les milieux de [BJ] et [DL].)


g2w Télécharger la figure GéoPlan mul_car_2_3.g2w

7. Les trois carrés accolés

On aligne sur les figures ci-dessous trois carrés contigus égaux.

7.a. Somme de deux angles

Quelle est la somme des deux angles marqués x et y ?

le carre au college - trois carres

La somme des deux angles vaut 45°.

Cinq méthodes pour le démontrer :

Calculs trigonométriques au lycée

7.a.1. En choisissant comme unité le côté d'un carré,
vérifier que AE = rac(10) ; cos x = 3/rac(10) ; sin x = 1/rac(10) ;
BE = rac(5) ; cos y = 2/rac(5) ; sin y = 1/rac(5) et la formule d'addition :
cos(x+y) = cos x cos y − sin x sin y
permettent de trouver cos(x+y) = rac(2)/2, d'où x+y = 45°.

7.a.2. Pour amateurs de trigonométrie plus chevronnés,
remarquer que tan x = 1/3, tan y = 1/2.
Avec la formule tan(x+y) = (tan x +tan y)/(1-tanx tan y)
il vient : tan(x+y) = 1, et donc toujours x+y = 45°.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_199.g2w

Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle

le carre au college - six carres

7.a.3. La rotation de centre B d'angle 90° transforme le triangle rectangle BEC en BFA, C a pour image A, d'où l'angle CBA mesure 90°. [BC] a pour image [BA], donc BC = BA. L'angle aigu BÂC du triangle rectangle isocèle, égal à somme x + y, vaut 45°.

 

7.a.4. La réciproque de la propriété de Pythagore permet de le vérifier.

En choisissant comme unité le côté d'un carré, ceux du triangle ABC ont pour longueurs :
AB = rac(5), BC = rac(5) et AC = rac(10).
ABC est un triangle rectangle isocèle en B.

La somme x + y, égale à la mesure de l'angle aigu BÂC, vaut donc 45°.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_199s.g2w

7.a.5. Triangles rectangles semblables

le carre au college - les 3 carres

En choisissant comme unité le côté d'un carré, on a : DE = 1 et BD = 2,
dans le triangle rectangle BDE on a : tan y = DE/DB = 1/2.

Soit P le symétrique de C par rapport à F et Q le symétrique de G par rapport à B, APQE est un rectangle.
Sa largeur est PE = rac(2) et sa longueur PA = 2rac(2).

Dans le triangle rectangle APE, tan(EÂP) = PE/PA = 1/2.
Les triangles rectangles BDE et APE sont semblables : y = EÂP.

La somme x + y, égale à l'angle DÂP, vaut donc 45°.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_199d.g2w

7.b. L'embarras du choix

le carre au college - 3 carres

Pour montrer que les deux angles marqués x et z sont égaux, utiliser une des quatre autres méthodes suivantes :

7.b.1. Calculs géométriques faisant intervenir des sommes d'angles

Avec y = DÂF, on a x + y = x + DÂF = 45°, somme trouvée en a.3 ci-dessus.
On a y + z = DÂF + FÂG = DÂG = 45°.
Soit x + y = y + z et en simplifiant par y : x = z.

Classe de seconde ou première

7.b.2. Calculer cos(x + 45°) dans le triangle AHF.

7.b.3. Calculer cos x avec Al-Kashi dans le triangle AGF.

7.b.4. Utiliser la loi des sinus : HF/sin x =… dans le triangle AHF.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_199b.g2w

7.c. Prouver un alignement

le carre au college - alignement dans 3 carres

Classes de troisième - seconde

J est le milieu de [AG].
Montrer que les points C, I et J sont alignés.

Pour cela, trouver la position du point I sur [BG] et dire ce que représentent le point I et la droite (CJ) dans le triangle ACG.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_199c.g2w

8. Huit carrés - Somme de trois angles

On aligne comme sur la figure ci-dessous huit carrés égaux.
Quelle est la somme des trois angles marqués x, y et z ?

le carre au college - somme de 3 angles dans 8 carres

 La somme des trois angles vaut 45°.

g2w Télécharger la figure GéoPlan huit_carres.g2w
  Classe de 5e, voir : un triangle dans un rectangle

 

Calculs d'aires

Problèmes de construction

Parallélogramme

Construction à la
règle et au compas

Constructions géométriques

Me contacter

Table des matières

1. Dessiner un carré
2. Duplication du carré
3. Le carré dans une planche à clous
4. Somme ou différence des aires de deux carrés
    Sulbasutras
    Construction de Bhaskara
    Clairaut
    Puzzle de Gougu
5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré
    Construction d'Abu l-Wafa
6. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré
7. Les trois carrés
8. Huit carrés - Somme de trois angles

Moteur de recherche

Expressions clés : carré collège, tracer un carré,construire un carré, dessiner un carré, construire un carré à partir d'une diagonale, duplication du carré, construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires de deux carrés

Logo Google

Téléchargement

doc Télécharger carre college.doc : ce document au format « .doc »

pdf Télécharger carre_college.pdf : ce document au format « .pdf »

 Statistiques Orange collegee visite des pages « collège ».

Page no 112, réalisée le 12/11/2007, modifiée le 19/11/2012