Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesExercices avec GéoPlan sur le carré : deux, trois, cinq ou huit carrés.
Figure de base
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Classe de cinquième
Construction d'Euclide - Proposition 46
Tracé à partir de droites perpendiculaires
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A et et reporter sur cette perpendiculaire la longueur du côté avec le cercle de centre A passant par B.
Le sommet D est un des points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle.
Construire les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B.
Construire le point C comme intersection de ces deux parallèles.
ABCD est un carré de côté [AB].
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Variante : après la construction de D, construire les perpendiculaires à (AB) en B et à (AD) en D.
Construire le point C comme intersection de ces deux perpendiculaires.
Construction de Marolois : après la construction de D, construire la perpendiculaire à (AB) en B. Reporter en C, sur cette deuxième perpendiculaire, la longueur du côté avec le cercle de centre B passant par A.
Tracer le côté [CD] parallèle à (AB).
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la médiatrice de [AB] et le cercle de diamètre [AB].
Remarque : avec la règle et le compas, tracer le cercle de centre A, passant par B, et le cercle de centre B passant par A.
La droite joignant les points d'intersection des deux cercles est la médiatrice de [AB].
Le centre O du carré est un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle de diamètre [AB].
Le cercle (c) de centre O passant par A est le cercle circonscrit au carré.
Le sommet C est le deuxième point d'intersection de la droite (AO) et du cercle circonscrit (c).
De même, D est l'intersection de (BO) et du cercle (c).
ABCD est un carré de côté [AB] inscrit dans le cercle (c).
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c. Construction à partir d'une diagonale [AC]Placer deux sommets opposés A et C (ou bien le centre O et un sommet A),
tracer le cercle (c) de de centre O milieu de [AC]. Tracer [AC], diamètre du cercle circonscrit au carré.
Tracer la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et D.
ABCD est un carré.
Remarque : la règle et le compas permettent de construire une médiatrice, en traçant le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre C passant par A, qui se coupent en E et F.
(EF) est la médiatrice de [AC].
En classe de quatrième, on calculera la longueur du côté du carré avec la relation de Pythagore dans le triangle OAB :
AB = r 
où r est le rayon du cercle.
Remarque : La meilleure façon de construire un carré n'est pas de le générer à partir d'un côté, mais de le générer à partir d'un centre de rotation O et d'un sommet A. Le carré ainsi fabriqué est invariant par quart de tour, a ses côtés égaux et ses angles égaux à 90°.
La figure ci-contre permet aussi de construire un carré à partir du cercle circonscrit.
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D'après Marie-Noëlle Racine
Géométries : différentes manières de les enseigner
Histoire et enseignement des Mathématiques
INRP - IREM de Clermont-Ferrand - 2007
Textes rituels de l'Inde, rédigés en sanskrit vers le VIIIe siècle avant J.-C., issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère.
Si l'on veut un carré, prendre une corde de longueur égale au carré donné, faire des nœuds aux deux extrémités et une marque en son milieu.
On trace la ligne et on plante un piquet en son milieu. On fixe les deux nœuds et on trace un cercle avec la marque.
Deux piquets sont plantés aux deux extrémités du diamètre. Un nœud étant fixé à l'est, on trace un cercle avec l'autre. Même chose à l'ouest.
Le second diamètre est obtenu des points d'intersection de ces deux ; on plante deux piquets aux deux extrémités du diamètre.
Avec deux nœuds fixés à l'est, on trace un cercle avec la marque ; on fait la même chose au sud, à l'ouest et au nord.
Les points d'intersection donnent le carré.
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Voir : la quadrature du rectangle
constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés
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Classe de sixième
Sur du papier quadrillé, construire un carré ABCD, puis les triangles équilatéraux ABI, à l'intérieur du carré, et BCJ, à l'extérieur.
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ABCD est un carré et E le milieu [BD]. Vérifier que les points A, E, C et F sont alignés. Voir carré et deux triangles équilatéraux : angles - rotations
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Calculs d'anglesClasse de cinquième
Indications CDJ = 15°. Le triangle isocèle ADI a un angle au sommet de 30°. Dans l'angle droit ADC, CDJ est le complémentaire de ADI, d'où CDI = 90° − 75° = 15°. DLB = 105°. Dans le triangle DCL, rectangle en C, l'angle CLD complémentaire de CDL mesure 75°.
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Autre angle de 105°
Construire un carré ABCD, puis le triangle équilatéral ABI, à l'intérieur du carré. Calculer la mesure de l'angle BKC. Indication Le triangle BKC a deux angles de 30° et 45°. La somme des angles d'un triangle est 180°.
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Tracer à la « règle et au compas » un carré d'aire double d'un carré donné.
Classe de quatrième
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Dans Menon, un dialogue de Platon, Socrate explique la construction ci-dessus à un jeune esclave. La diagonale du « petit carré » le partage en deux triangles isocèles rectangles. Le « grand carré » est formé de quatre triangles isocèles rectangles, de même aire. Le rapport des aires des carrés est 2,
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Carrés de Léonard de VinciProblèmes de construction – À partir d'un point A, construire le carré ABCD inscrit dans le cercle (c) ;
Le carré circonscrit à un cercle a une aire double de celle du carré inscrit dans ce cercle.
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Solution de Léonard de Vinci |
Retrouvez ce paragraphe dans la page grands problèmes de la géométrie grecque.
Olympiades 2008 - Toulouse
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Un cloître est constitué d'une cour intérieure centrale entourée d'une galerie latérale.
La forme des cloîtres est généralement carrée et, est telle que l'aire de la galerie est égale à celle de la cour centrale.
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Proposer une méthode permettant de tracer dans l'enclos un carré délimitant la future cour intérieure centrale du cloître
En effet, si L est la longueur du côté du grand carré, le rayon du cercle est L/2.
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Constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés.
a. Sulbasutra : construire un carré somme de deux carrés
Si l'on rassemble deux carrés de tailles différentes, que l'on trace à l'aide du côté du plus petit une bande du plus grand, la corde diagonale de cette bande est le côté du carré constitué des deux carrés rassemblés. EB est la longueur du côté du carré d'aire égale à la somme des aires des carrés contigus ACDE de côté a et ABFG de côté b. Avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore. Dans le triangle rectangle ABC, on a :
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b. Sulbasutra : construire un carré différence de deux carrés |
c. Construire un carré somme de deux carrésRéaliser la figure du moulin à vent d'Euclide par la construction de deux carrés CBED et ACFG de côtés a et b à l'extérieur d'un angle droit en C.
Commande GéoPlan : déplacer les points A ou B sur les côtés de l'angle droit.
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d. Construire un carré différence de deux carrés de côtés c et aRéaliser la figure du moulin à vent par la construction d'un carré ABIH de côté c. L'aire de ce carré est égale à la différence des aires des deux premiers carrés.
e. Construction de Bhaskara : construire un carré de côté b−a
Construire un triangle rectangle A’O’B’ en O’ tel que O’A’ = a et O’B’ = b, avec b > a.
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f. Carrés contigusConstruction à partir de deux carrés contigus BCFG et DEHF, de côtés a et b.
Une recherche guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus permet dans le cas général, aux élèves, de trouver une solution autour de la diagonale [BE] :
On voit apparaître deux triangles rectangles, on construit alors un carré et on complète en traçant les verticales et les horizontales, pour obtenir la figure de Clairaut, à droite ci-contre. |
Clairaut
Le carré ABKE de diagonale [BE] est solution. Justifier cette construction par l'isométrie des triangles rectangles de sommets C, D, J, I.
Puzzle de Clairault Adaptation à GéoPlan de : |
g. Carrés opposés par le sommetConstruire deux carrés EBCF et EDHK, de côtés a et b, aux côtés parallèles, ayant uniquement le sommet E en commun.
Une recherche, guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus, permet aux élèves, dans le cas général, de trouver une solution en construisant un carré autour de [BK] ou autour de [FD].
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Carré ABKG solution, construit à partir du segment [BK].
On retrouve la figure de la démonstration de Pythagore des quatre triangles. |
Chine : puzzle reconstitué d'après les commentaires de Liu Hui, époque Han, IIIe siècle
Tanslation hors programme
Puzzle de cinq pièces.
Par translation de trois triangles parallèlement aux diagonales du grand carré, on passe de deux carrés contigus au grand carré d'aire égale à la somme des aires de deux petits carrés.
Ce puzzle est une des preuves du théorème de Pythagore.
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Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan.
Autour d'un carré ABCD de côté a, on place quatre rectangles isocèles identiques de telle façon que le sommet d'un des deux angles de 45° de chaque triangle tombe sur un des sommets du carré ABCD et l'hypoténuse le long du côté du carré.
En joignant les sommets des angles droits des triangles rectangles, on obtient un carré EGIK.
On montre facilement que EGIK est un carré.
On montre ensuite que chacun des quatre triangles dépassant du carré EGIK est égal à un triangle manquant à l'intérieur du carré.
Par exemple, EDGF est un parallélogramme, car (EF)//(DG) et EF = DG.
Le point M d'intersection de [EG] et de [DF] est le milieu de ces diagonales.
Le triangle excédent EMF est symétrique, par rapport à M, du triangle manquant GMD. Leurs aires sont égales.
Le carré EGIK a une aire égale à l'aire de ABCD et quatre fois l'aire du triangle rectangle AFE.
Lorsque AE = AD = a, le triangle ABCD a une aire triple du carré ABCD.
Si a est le côté de ABCD et b est la longueur des petits côtés des triangles rectangles isocèles ;
AE = DG = CI = BK = b ; le carré EGIK une aire égale à a2 + 2b2.
Le carré EGIK a alors une aire égale à l'aire d'un carré de côté a et de deux carrés de côtés b.
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Voir : problème d'Abul-Wafa - Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré
ABCD est un carré, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A.
Montrer que PQRS est un carré d'aire cinq fois plus grande.
La rotation de centre O et d'angle 90° transforme [AP] en [BQ], [BQ] en (CR)…
P a pour image Q, Q a pour image R, R a pour S et S a pour image P. Le quadrilatère PQRS globalement invariant par la rotation a ses quatre côtés de même longueur, deux côtés consécutifs forment un angle de 90°, égal à l'angle de la rotation. ADCD est un carré.
Si le côté du petit carré AB = a, la propriété de Pythagore dans le triangle BPQ permet de calculer PQ = a
. PQRS a une aire égale à 5a2.
Voir : pavages
Découpage d'aires dans un carré en classe de seconde : exercices de-ci, de-là
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Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.
Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.
Paragraphe importé de la page angles rotations
Voir : carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire
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I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD
(longueur du côté AB = a).
Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,
justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à 
de l'aire de ABCD.
Paragraphe importé de la page produit scalaire
Cas général : voir multiplication de l'aire d'un parallélogramme
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d. PuzzleOn aligne comme sur la figure ci-contre cinq carrés égaux.
Reconstituer un carré.
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On aligne sur les figures ci-dessous trois carrés égaux.
a. Somme de deux anglesQuelle est la somme des deux angles marqués x et y ?
La somme des deux angles vaut 45°. Cinq méthodes pour le démontrer : Calculs trigonométriquesa.1. En choisissant comme unité le côté d'un carré, a.2. Pour amateurs de trigonométrie plus chevronnés,
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Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle
a.3. La rotation de centre B d'angle 90° transforme le triangle rectangle BEC en BFA, C a pour image A, d'où l'angle CBA mesure 90°. [BC] a pour image [BA], donc BC = BA. L'angle aigu BÂC du triangle rectangle isocèle, égal à somme x + y, vaut 45°.
a.4. La réciproque de la propriété de Pythagore permet de le vérifier : en choisissant comme unité le côté d'un carré, ceux du triangle ont pour longueurs
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a.5. Triangles rectangles semblables
En choisissant comme unité le côté d'un carré, on a : Soit P le symétrique de C par rapport à F et Q le symétrique de G par rapport à B, APQE est un rectangle. Dans le triangle rectangle APE,
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b. L'embarras du choix
Pour montrer que les deux angles marqués x et z sont égaux, utiliser une des quatre autres méthodes suivantes : b.1. Calculs géométriques faisant intervenir la somme d'angles Avec y = DÂF, on a x + y = x + DÂF = 45° trouvée ci-dessus : Classe de seconde ou première b.2. Calculer cos(x + 45°) dans le triangle AHF. b.3. Calculer cos x avec Al-Kashi dans le triangle AGF. b.4. Utiliser la loi des sinus : HF/sin x =… dans le triangle AHF.
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Classes de troisième - seconde
J est le milieu de [AG].
Montrer que les points C, I et J sont alignés.
Pour cela, trouver la position du point I sur [BG] et dire ce que représentent le point I et la droite (CJ) dans le triangle ACG.
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On aligne comme sur la figure ci-dessous huit carrés égaux.
Quelle est la somme des trois angles marqués x, y et z ?
La somme des trois angles vaut 45°.
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Exercice du groupe de mutualisation - série S
Classe de 5e: un triangle dans un rectangle
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Dans la figure réalisée comme ci-dessus, calculer les mesures des angles CDJ et DLB.
Tracer les deux diagonales et le centre O du grand carré,
; cos x = 
;
sin x = 
;
;
sin y = 
et la formule d'addition :
, d'où x+y = 45°.
, tan y = 
.
