Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesDix exercices de géométrie plane avec un logiciel de géométrie dynamique.
Un cercle est une courbe plane constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre.
La valeur de cette distance est appelée rayon. On nomme aussi rayon un segment joignant le centre à un point du cercle.
Un diamètre est un segment d'une droite passant par le centre et dont les extrémités sont deux points d'intersection de la droite avec le cercle. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment, égale au double du rayon.
Un disque est la région du plan à l'intérieur d'un cercle.
Un arc est une partie de cercle délimitée par deux points.
Une corde est un segment joignant les extrémités d'un arc du cercle. La corde sous-tend l'arc de cercle.
Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et de la corde qui le sous-tend.
Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons.
Un angle au centre est l'angle formé par deux rayons du cercle. C'est l'angle du secteur angulaire correspondant.
Un segment circulaire (segment de cercle ou lunule) est la figure mixtiligne comprise entre un arc de cercle AB et la corde [AB] qui le sous-tend.
Un angle inscrit est un angle ayant pour sommet un point d'un cercle, angle formé par les demi-droites joignant ce sommet à deux autres points du cercle.
Un cercle
O et C1sont deux points libres du plan. Le point C1 est placé sous l'étiquette (c), par l'instruction : A la place de C1, afficher: (c)
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Deux cercles sécants
O, O’, C1, C2, sont quatre points du plan. Les cercles (c), de centre O, passant par C1, et (c’), de centre O, passant par C2, se coupent en A et B. La ligne des centres (OO’) est la médiatrice de [AB]. Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’, ils sont sécants si :
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Deux cercles tangents
O et O’ sont deux points libres. Les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ sont tangents en A. La perpendiculaire en A à (OO’) est la tangente commune aux deux cercles. Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’,
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Classe de quatrième
D'un point A, situé sur un cercle de centre O, on peut mener une tangente à ce cercle, en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].
Construction à la « règle et au compas » (sans équerre).
Tracer le point B, symétrique de O par rapport à A, puis la médiatrice de [BO].
Indications
Le point B est le deuxième point d'intersection de la droite (OA) avec le cercle de centre A passant par O.
Les cercles de centre O, passant par B, et de centre B, passant par O, se coupent en C et D. La droite (CD), médiatrice de [BO], est la tangente cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan tangente_cer.g2w
Étant donné une droite (d) et un point O à l'extérieur de cette droite, tracer le point H projection orthogonale de O sur (d). Le cercle de centre O, passant par H, est tangent à la droite (d).
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».
b. Tangentes à un cercle passant par un point donnéClasse de 3e D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; Égalité des tangentes : D'un point M, extérieur au cercle, on peut mener deux segments tangents de même longueur. La droite (MO) est un axe de symétrie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB et la médiatrice de [AB].
Euclide, livre I, proposition 17 Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].
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Une réciproque Soit (c’) un cercle de diamètre [MO], A un point de ce cercle (OA < MA) et (c) le cercle de centre O, passant par A. La droite (MA) est tangente au cercle (c), en A. Propriétés
Soit P et Q les points d'intersection du cercle (c) et de la droite (OM) et H le milieu de la corde [AB]. Les cercles de centre P et Q passant par H sont tangents aux droites (OA) et (OB). Le cercle de centre P est inscrit dans le triangle isocèle MAB, le cercle de centre Q est exinscrit dans ce triangle.
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c. Une autre construction de la tangente en un point du cerclePrincipe : à partir du rayon [OA], tracer le triangle équilatéral OAB, puis le triangle OAC, avec C symétrique de O par rapport à B. OAC est un triangle rectangle en A. (AC) est la tangente en A.
À partir d'un point A du cercle (c) de centre O, placer, sur le cercle (c), le point B tel que AB = OB. B est un des points d'intersection du cercle (c) et du cercle de centre A passant par O. Indications OAB est un triangle équilatéral et OB = BC.
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d. Une construction d'Euclide des tangentes issues d'un pointLivre I, proposition 17
Le cercle de centre O et de rayon 2r rencontre le cercle de centre A passant par O aux points B et C. Les segments [OB] et [OC] rencontrent le cercle (c) en D et E. Démontrer que les droites (AD) et (AE) sont tangentes au cercle (c). Indications OA = OB = OC. OD = OE = r et OB = OC = 2r. D et E sont les milieux de [OB] et [OC].
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Tracer un cercle tangent à une ou deux droites, passant par un ou deux points.
Classe de quatrième
Cas particulier du problème de contact PPD : cercle tangent à une droite passant par deux points
On donne une droite (d), un point I situé sur cette droite et un point A à l'extérieur de la droite.
Indications
Tracer la droite (d’) perpendiculaire en I à (d).
Si A est sur la perpendiculaire (d’), le cercle de diamètre [IA] est la solution.
Sinon tracer la médiatrice de [IA]. Cette médiatrice coupe la perpendiculaire (d’) en O.
Le cercle de centre O, passant par A (et I), est l'unique solution.
Télécharger la figure GeoGebra cercle_tangent_droite.ggb
On donne deux droites (d1 ), (d2) sécantes, et un point O de leurs bissectrices, construire un cercle tangent à ces deux droites, centré en O.
Indications
Le centre du cercle appartient à une des bissectrices (d) ou (d’) de l'angle des deux droites.
Le centre O étant choisi, on trouve un des points H du cercle par projection orthogonale du centre sur une des sécantes.
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».
Télécharger la figure GéoPlan cercles_tg_2_droites.g2w
Construction classique à la règle et au compas utilisant une configuration faisant intervenir, de façon implicite, l'homothétie.
Pour le lycée, on trouve une autre construction de ce problème de contact PDD : cercle passant par un point tangent à deux droites
On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?
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Placer un point J sur la bissectrice de (d1, d2), située dans le même secteur angulaire que A, et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de J sur la droite (d1).
Ce cercle est tangent aux deux droites.
Avec GéoPlan, il suffit de déplacer le point J pour trouver deux solutions.
Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2.
La droite parallèle à (A1J), passant par A, rencontre (IJ) en O1. Le cercle (c1), de centre O1 passant par A, est tangent à (d1) et (d2).
De même, la droite parallèle à (A2J), passant par A, rencontre (IJ) en O2. Le cercle (c2), de centre O2 passant par A, est la deuxième solution du problème.
Télécharger la figure GéoPlan cercl_tg_2_droites.g2w
a. Cercles d'un même côté des tangentes
Soit (c) et (c’) sont deux cercles de centres O et O’ et de rayons r et r’ tel que r < r’, Le cercle de centre O’ et de rayon la différence r’ − r et le cercle de diamètre [OO’] se coupent en U1 et U2. De même (OU2) permet de déterminer la tangente (SS’).
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b. Cercles, non sécants, de part et d'autre des tangentes
Le cercle de centre O’ et de rayon la somme r’ + r et le cercle de diamètre [OO’] se coupent en U1 et U2.
Voir aussi : construction des tangentes par homothéties |
a. Triangle rectangle
Deux cercles sont tangents extérieurement en A. Calculer l'angle BÂC. SolutionLa tangente en A aux deux cercles coupe (BC) en I. Les deux tangentes à (c) issues de I sont de même longueur : IB = IA. Le point A est sur le demi-cercle de diamètre [BC]. Le triangle BAC est rectangle et l'angle BÂC est droit.
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b. Cercle de diamètre [OO’]
Deux cercles (c) et(c’) de centres O et O’ sont tangents extérieurement en A. Les deux cercles sont d'un même côté d'une tangente commune, tangente en B au cercle (c) et en B’ au cercle(c’). Le milieu I de [BB’] est sur la tangente en A, commune aux deux cercles. BAB’ est un triangle rectangle en A et le cercle de diamètre [BB’] est tangent en A à la droite des centres (OO’). Construction Soit J le milieu de [OO’] et I un point d'intersection du cercle de diamètre [OO’] et de la perpendiculaire en A à la ligne des centres (OO’). La tangente en I à ce cercle, perpendiculaire à (IJ) est la droite (BB’) cherchée.
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c. Chercher un rectangle
Chercher un rectangle : L@ feuille à problèmes Deux cercles (c) et (c’) sont tangents en A. (c) recoupe la ligne des centres (OO’) en E et (c’) en F. Prouver que la droite (BC) est tangente aux cercles (c) et (c’).
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Preuve
L'angle EDF, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF], est droit, de même pour EBA inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EA] et ACF inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AF]. Les diagonales de longueurs égales se coupent en leur milieu I et IA = IB = IC. On montre de même que O’AIC est un cerf-volant d'axe de symétrie (O’I). |
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ABCD est un carré de côté 16.
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Quatre cercles autour d'un carréReproduction de figure
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A étant un point quelconque du diamètre d'un cercle (c), B l'extrémité d'un rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène une droite (BA) qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé.
Démontrer que CA = CP.
Indications
Le triangle OBP est isocèle donc OBP = OPB = α.
L'angle OPC est droit donc APC = 90° − OBP = 90° − α.
Dans le triangle rectangle OAB, OAB = 90° − α comme complément de OBP.
Comme angles opposés par le sommet on a CAP = OAB = 90° − α.
Les angles APC et CAP étant égaux à 90° − α, le triangle CAP est isocèle et CA = CP.
Télécharger la figure GéoPlan tri_isoce.g2w
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Affaire de symétrie : L@ feuille à problèmes
M et N sont deux points quelconques d'un cercle, A et B leurs projections orthogonales sur un diamètre du cercle, I le milieu de [MN]. Prouver que le triangle ABI est isocèle.
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Indication
Soit H la projection orthogonale de I sur le diamètre. |
a. Construction d'Euclide, livre III, propriété ITracer une corde [AC],
tracer la médiatrice de cette corde qui coupe le cercle en B et D,
le centre est le milieu de [BD].
Euclide prouve, par l'absurde, que c'est bien le centre cherché.
Éléments d'Euclide − Livre III, propriété 25
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Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP), trouver le centre de ce cercle.
Technique GéoPlan Construction de deux médiatricesPlacer trois points distincts A, B et C sur le cercle, tracer les médiatrices des cordes [AB] et [BC]. Le point O, intersection de ces deux médiatrices, est le centre du cercle.
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c. Construction à la « règle et au compas » des médiatrices
Pour la construction de la médiatrice de [AB], tracer deux cercles de même rayon, suffisamment grand, de centres A et B. Ces deux cercles se coupent en F et G. La droite (FG) est la médiatrice de [AB]. De même, pour la médiatrice de [BC], tracer deux cercles de même rayon de centres B et C. Ces deux derniers cercles se coupent en K et L. La droite (KL) est la médiatrice de [BC]. Le point d'intersection O de ces deux droites (FG) et (KL) est le centre du cercle. Voir aussi : « règle à bords parallèles » - À la recherche du centre perdu d'un cercle |
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On donne un cercle (c) de centre O et de rayon r et un point A extérieur au cercle.
