René DescartesDescartes et les Mathématiques

Le cercle au collège

Dix exercices de géométrie plane sur le cercle avec un logiciel de géométrie dynamique.

Sommaire

1. Définitions
2. Figures de base avec GéoPlan
3. Constructions de tangentes
    – en un point du cercle
    – passant par un point donné (constructions d'Euclide)
4. Problèmes de contact
    – Cercle tangent à une droite en un point de la droite,
        passant par un autre point extérieur à cette droite
    – Cercle tangent à deux droites sécantes, de centre donné
    – Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné
5 Tangentes communes à deux cercles
    Tangente commune à deux cercles tangents
6. Cercle et carré
7. Triangle isocèle
8. Projection de deux points d'un cercle
9. Retrouver le centre (Éléments d'Euclide)

Le cercle au lycée

Problèmes de contact

Tangentes communes à deux cercles

Cercle passant par trois points
Cercle tangent à trois droites

Théorème de Descartes

Triangle équilatéral

Cercles et triangle équilatéral
Triangle équilatéral inscrit dans un carré :
        Problème d'Abul-Wafa

Hors programme : Rotation - Les problèmes du BOA
Carré et rotation
Construction de triangles isocèles autour d'un triangle BOA

Faire de la
géométrie dynamique

Angle inscrit

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Construction de triangles en 5e

Cabri-géomètre
TP en sixième

Cabri-géomètre
TP en troisième

1. Définitions

Un cercle est une courbe plane constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre.
La valeur de cette distance est appelée rayon. On nomme aussi rayon un segment joignant le centre à un point du cercle.

geometrie du cercle - segment circulaireUn diamètre est un segment d'une droite passant par le centre et dont les extrémités sont deux points d'intersection de la droite avec le cercle. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment, égale au double du rayon.

Un disque est la région du plan à l'intérieur d'un cercle.

Un arc est une partie de cercle délimitée par deux points.
Une corde est un segment joignant les extrémités d'un arc du cercle. La corde sous-tend l'arc de cercle.
Une flèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et de la corde qui le sous-tend.

Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons.
Un angle au centre est l'angle formé par deux rayons du cercle. C'est l'angle du secteur angulaire correspondant.
Un segment circulaire (segment de cercle) est la figure mixtiligne comprise entre un arc de cercle et la corde qui le sous-tend (le segment circulaire, déterminé par les points A et B, est hachuré en bleu sur la figure ci-contre, c'est la surface comprise entre l'arc AB et la corde [AB]).

Un angle inscrit est un angle ayant pour sommet un point d'un cercle, angle formé par les demi-droites joignant ce sommet à deux autres points du cercle.

Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d'un côté et concave de l'autre.

2. Construction de cercles avec GéoPlan

Cercle passant par un point

geometrie du cercle - un cercle

O et C1 sont deux points libres du plan.
(c) est le cercle de centre O, passant par C1.

Le point C1 est placé sous l'étiquette (c), par l'instruction :

A la place de C1, afficher: (c)

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle.g2w

Deux cercles sécants

geometrie du cercle - deux cercles secants

O, O’, C1, C2, sont quatre points du plan.

Les cercles (c), de centre O, passant par C1, et (c’), de centre O, passant par C2, se coupent en A et B.

La ligne des centres (OO’) est la médiatrice de [AB].

Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’, ils sont sécants si :
|r − r’| < OO’ < r + r’

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

Deux cercles tangents

geometrie du cercle - 2 cercles tangents

O et O’ sont deux points libres.
A est un point variable de la droite des centres (OO’).

Les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ sont tangents en A.

La perpendiculaire en A à (OO’) est la tangente commune aux deux cercles.

Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’,
alors r + r’ = OO’ si les cercles sont tangents extérieurement,
|r − r’| = OO’ si les cercles sont tangents intérieurement.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles_tangents.g2w

3. Constructions géométriques de tangentes

3.a. Tangente en un point du cercle

Comment construire une tangente à un cercle

Classe de quatrième

geometrie du cercle - tangente a un cercleD'un point A, situé sur un cercle de centre O, on peut mener une tangente à ce cercle, en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].

Construction à la « règle et au compas » (sans équerre).

Tracer le point B, symétrique de O par rapport à A, puis la médiatrice de [BO].

Indications

Le point B est le deuxième point d'intersection de la droite (OA) avec le cercle de centre A passant par O.

Les cercles de centre O, passant par B, et de centre B, passant par O, se coupent en C et D. La droite (CD), médiatrice de [BO], est la tangente cherchée.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tangente_cer.g2w

Construction d'un cercle de centre donné, tangent à une droite

Étant donné une droite (d) et un point O à l'extérieur de cette droite, tracer le point H projection orthogonale de O sur (d).
Le cercle de centre O, passant par H, est tangent à la droite (d).

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
    « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

3.b. Tangentes à un cercle passant par un point donné

Classe de 3e

D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ;
si A et B sont les points de contact avec le cercle, les rayons [OA] et [OB] sont perpendiculaires aux tangentes et on a MA = MB : le point M est équidistant de A et B.

Égalité des tangentes :

D'un point M, extérieur au cercle, on peut mener deux segments tangents de même longueur.

La droite (MO) est un axe de symétrie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB et la médiatrice de [AB].
Le quadrilatère MAOB est un cerf-volant (géométrie) ayant deux angles droits. C'est un carré si (OA) et (OB) sont perpendiculaires.

geometrie du cercle - tangentes a un cercle passant par un point

Euclide, livre I, proposition 17

Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].

g2w Télécharger la figure GéoPlan tangentes.g2w

Une réciproque : construction d'un cercle de centre O tangent à une droite (MA)

Soit (c’) un cercle de diamètre [MO], A un point de ce cercle (OA < MA) et (c) le cercle de centre O, passant par A.

La droite (MA) est tangente au cercle (c), en A.

Propriétés

geometrie du cercle - tangentes a un cercle

Soit P et Q les points d'intersection du cercle (c) et de la droite (OM) et H le milieu de la corde [AB].

Les cercles de centre P et Q passant par H sont tangents aux droites (OA) et (OB).

Le cercle de centre P est inscrit dans le triangle isocèle MAB, le cercle de centre Q est exinscrit dans ce triangle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tangentes_2.g2w

3.c. Une autre construction de la tangente en un point du cercle

Principe : à partir du rayon [OA], tracer le triangle équilatéral OAB, puis le triangle OAC, avec C symétrique de O par rapport à B. OAC est un triangle rectangle en A. (AC) est la tangente en A.

geometrie du cercle - tangente en un point du cercle

À partir d'un point A du cercle (c) de centre O, placer, sur le cercle (c), le point B tel que AB = OB. B est un des points d'intersection du cercle (c) et du cercle de centre A passant par O.
Soit C le point symétrique de O par rapport à B, deuxième point d'intersection de la droite (OB) et du cercle de centre B passant par O (et par A).
La droite (AC) est tangente au cercle en O.

Indications

OAB est un triangle équilatéral et OB = BC.
Le triangle OAC est inscrit dans le demi-cercle de centre B.
Il est rectangle en A. La droite (AC) perpendiculaire en A au rayon [OA] est tangente au cercle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan const_tangente2.g2w
Étude du triangle rectangle OAC : voir GéoPlan en quatrième

3.d. Une construction d'Euclide des tangentes issues d'un point

Livre I, proposition 17

geometrie du cercle - construction de tangentes a un cercle

On donne un cercle (c) de centre O et de rayon r et un point A extérieur au cercle.

Le cercle de centre O et de rayon 2r rencontre le cercle de centre A passant par O aux points B et C.

Les segments [OB] et [OC] rencontrent le cercle (c) en D et E.

Démontrer que les droites (AD) et (AE) sont tangentes au cercle (c).

Indications

OA = OB = OC.
Les triangles AOB et AOC sont isocèles.

OD = OE = r et OB = OC = 2r. D et E sont les milieux de [OB] et [OC].
Les droites (AD) et (AE), médianes issues de A des triangles isocèles AOB et AOC, sont les médiatrices de  [OB] et [OC]. Elles sont perpendiculaires aux rayons (OD) et (OE).
Ces droites sont tangentes au cercle (c) en D et E.

g2w Télécharger la figure GéoPlan const_tangente.g2w

4. Problèmes de contact

Tracer un cercle tangent à une ou deux droites, passant par un ou deux points.

4.1. Cercle tangent à une droite en un point de cette droite, passant par un autre point extérieur à la droite

geometrie du cercle - cercle tangent passant un point donneClasse de quatrième

Cas particulier du problème de contact PPD : cercle tangent à une droite passant par deux points

On donne une droite (d), un point I situé sur cette droite et un point A à l'extérieur de la droite.
Tracer le cercle tangent à (d) en I, passant par A.

Indications

Tracer la droite (d’) perpendiculaire en I à (d).

Si A est sur la perpendiculaire (d’), le cercle de diamètre [IA] est la solution.

Sinon tracer la médiatrice de [IA]. Cette médiatrice coupe la perpendiculaire (d’) en O.
Le cercle de centre O, passant par A (et I), est l'unique solution.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Cercle tangent à une droite et deux points

4.2. Cercle tangent à deux droites sécantes, de centre donné

geometrie du cercle - cercle tangent a deux droites On donne deux droites (d1 ), (d2) sécantes, et un point O de leurs bissectrices, construire un cercle tangent à ces deux droites, centré en O.

Indications

Le centre du cercle appartient à une des bissectrices (d) ou (d’) de l'angle des deux droites.
Le centre O étant choisi, on trouve un des points H du cercle par projection orthogonale du centre sur une des sécantes.

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercles_tg_2_droites.g2w

4.3. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné

Tracer un cercle tangent à deux droites

Construction classique à la règle et au compas utilisant une configuration faisant intervenir, de façon implicite, l'homothétie.
Pour le lycée, on trouve une autre construction de ce problème de contact PDD : cercle passant par un point tangent à deux droites

On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème
?

geometrie du cercle - cercle tangent a deux droites
geometrie du cercle - cercle tangent a deux droites, passant un point
geometrie du cercle - cercle tangent a deux droites
geometrie du cercle - 2 cercles tangent a deux droites

Analyse

Placer un point J sur la bissectrice de (d1, d2), située dans le même secteur angulaire que A, et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de J sur la droite (d1).
Ce cercle est tangent aux deux droites.
Avec GéoPlan, il suffit de déplacer le point J pour trouver deux solutions.

Construction

Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2.
La droite parallèle à (A1J), passant par A, rencontre (IJ) en O1. Le cercle (c1), de centre O1 passant par A, est tangent à (d1) et (d2).
De même, la droite parallèle à (A2J), passant par A, rencontre (IJ) en O2. Le cercle (c2), de centre O2 passant par A, est la deuxième solution du problème.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercl_tg_2_droites.g2w

5.1. Tangentes communes à deux cercles

5.1.a. Cercles d'un même côté des tangentes

geometrie du cercle - tangentes communes a 2 cercles

Soit (c) et (c’) sont deux cercles de centres O et O’ et de rayons r et r’ tel que r < r’,
le petit cercle (c) n'est pas à l'intérieur de (c’) : r + OO’ > r’.

Le cercle de centre O’ et de rayon la différence r’r et le cercle de diamètre [OO’] se coupent en U1 et U2.
Les perpendiculaires, issue de O et O’ à la tangente auxiliaire (OU1) permet de déterminer les points de contact T et T’. La droite (TT’) est une tangente commune.

De même (OU2) permet de déterminer la tangente (SS’).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tangente_commune.g2w

5.1.b. Cercles, non sécants, de part et d'autre des tangentes

geometrie du cercle - tangentes communes a 2 cercles

Le cercle de centre O’ et de rayon la somme r’ + r et le cercle de diamètre [OO’] se coupent en U1 et U2.
On détermine ainsi les tangentes auxiliaires (OU1) et (OU2) qui permettent de tracer les tangentes communes (TT’) et (SS’).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tangente_commune2.g2w

Voir aussi : construction des tangentes par homothéties
    Adaptation au collège de cette construction par homothéties

5.2. Tangente commune à deux cercles tangents

5.2.a. Triangle rectangle

geometrie du cercle - tangente commune a 2 cercles tangents

Deux cercles sont tangents extérieurement en A.
Une tangente commune à ces deux cercles touche le premier cercle en B et le deuxième en C.

Calculer l'angle BÂC.

Solution

La tangente en A aux deux cercles coupe (BC) en I.

Les deux tangentes à (c) issues de I sont de même longueur : IB = IA.
De même, pour les tangentes au cercle (c’), on a IA = IC.

Le point A est sur le demi-cercle de diamètre [BC]. Le triangle BAC est rectangle et l'angle BÂC est droit.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tan_2_cercles.g2w

5.2.b. Cercle de diamètre [OO’]

geometrie du cercle - tangente commune a 2 cercles

Deux cercles (c) et(c’) de centres O et O’ sont tangents extérieurement en A. Les deux cercles sont d'un même côté d'une tangente commune, tangente en B au cercle (c) et en B’ au cercle(c’).

Le milieu I de [BB’] est sur la tangente en A, commune aux deux cercles. BAB’ est un triangle rectangle en A et le cercle de diamètre [BB’] est tangent en A à la droite des centres (OO’).

Construction

Soit J le milieu de [OO’] et I un point d'intersection du cercle de diamètre [OO’] et de la perpendiculaire en A à la ligne des centres (OO’). La tangente en I à ce cercle, perpendiculaire à (IJ) est la droite (BB’) cherchée.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

5.2.c. Chercher un rectangle

geometrie du cercle - tangente commune a 2 cercles tangents

Chercher un rectangle : L@ feuille à problèmes

Deux cercles (c) et (c’) sont tangents en A. (c) recoupe la ligne des centres (OO’) en E et (c’) en F.
La perpendiculaire à (OO’) passant par A coupe en D le cercle de diamètre [EF].
Le cercle (c) coupe [ED] en B et le cercle (c’) coupe [DF] en C.

Prouver que la droite (BC) est tangente aux cercles (c) et (c’).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tan_2_cercles_rect.g2w

Preuve

geometrie du cercle - construction d'une tangente commune a 2 cercles

L'angle EDF, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF], est droit, de même pour EBA inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EA] et ACF inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AF].
Le quadrilatère ACDB, ayant trois angles droits, est un rectangle.

Les diagonales de longueurs égales se coupent en leur milieu I et IA = IB = IC.
On a aussi OA = OB, rayon du cercle (c), donc (OI) est la médiatrice de [AB].
OAIB est un cerf-volant (géométrie) d'axe de symétrie (OI). L'angle OBI, symétrique de OAI, est droit.
La droite (BC) est perpendiculaire au rayon [OB], elle est tangente au cercle (c).

On montre de même que O’AIC est un cerf-volant d'axe de symétrie (O’I).
La droite (BC) est perpendiculaire au rayon [O’C],
elle est tangente au cercle (c’).

6. Cercle et carré

6.a. Un carré

ABCD est un carré.
À l'intérieur, un point O est situé à égale distance des sommets C et D et du milieu T de [AB].

Si OC = OD = OT = 10, montrer que le côté du carré est 16.

geometrie du cercle - trouver un cercle dans un carre

Indication

Étudier le triangle rectangle ayant pour hypoténuse [OA], et comme côté la moitié de celui du carré, avec le milieu S de [CD].

Avec r = OA et x est le côté du carré, le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle OSC permet d'écrire :

r2 = (x/2)2 + (x - r)2.

Équation qui a pour solution strictement positive x = 8/5 r.

Au collège on simplifie le calcul en prenant 10 pour le paramètre r et on trouve x =16.

6.b. Cercle et carré

ABCD est un carré de côté 16.
Un cercle est tangent au milieu d'un des côtés du carré et contient les deux sommets du carré.
Le cercle a pour rayon 10.

geometrie du cercle - cercle et carre

Commandes GéoPlan
Touche C : afficher/effacer le cercle
Touche R : afficher/effacer les rayons

g2w Télécharger la figure GéoPlan cer_care.g2w

San Gaku :

Cercles tangents, tangents aux côtés d'un triangle
Trois cercles dans un cercle : théorème de Descartes

6.c. Un Sangaku simple

sangaku : cercle et carre

6.d. Quatre cercles autour d'un carré

Reproduction de figure

sangaku - 4 cercles autour d'un carre

Reproduire cet autre San Gaku.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_cercles.g2w

7. Triangle isocèle

geometrie du cercle - un triangle isocele A étant un point quelconque du diamètre d'un cercle (c), B l'extrémité d'un rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène une droite (BA) qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé.

Démontrer que CA = CP.

Indications

Le triangle OBP est isocèle donc OBP = OPB = α.

L'angle OPC est droit donc APC = 90° − OBP = 90° − α.

Dans le triangle rectangle OAB, OAB = 90° − α comme complément de OBP.
Comme angles opposés par le sommet on a CAP = OAB = 90° − α.

Les angles APC et CAP étant égaux à 90° − α, le triangle CAP est isocèle et CA = CP.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_isoce.g2w

8. Projection de deux points d'un cercle

Affaire de symétrie : L@ feuille à problèmes

geometrie du cercle - projection de 2 points d'un cercle

M et N sont deux points quelconques d'un cercle, A et B leurs projections orthogonales sur un diamètre du cercle, I le milieu de [MN].

Prouver que le triangle ABI est isocèle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan projection_isocele.g2w

Indication

geometrie du cercle - indications sur la projection de 2 points d'un cercle

Soit H la projection orthogonale de I sur le diamètre.
Comme I est le milieu de [MN], H est le milieu de [AB], (HI) est la médiatrice de [AB] et ABI est isocèle.

9. Retrouver le centre

9.a. Construction d'Euclide, livre III, propriété I

les elements d'Euclide - retrouver le centre d'un cercle avec une mediatrice

Tracer une corde [AC],

tracer la médiatrice de cette corde qui coupe le cercle en B et D,

le centre est le milieu de [BD].

 

Euclide prouve, par l'absurde, que c'est bien le centre cherché.

9.b. Construction de deux médiatrices

Éléments d'Euclide − Livre III, propriété 25

les elements d'Euclide - trouver le centre d'un cercle avec 2 mediatrices

Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP), trouver le centre de ce cercle.

geometrie du cercle - trouver le centre d'un cercle

Technique GéoPlan
Une instruction du « menu : créer>point>centre » permet de trouver directement le centre d'un cercle.

Construction de deux médiatrices

Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle, tracer les médiatrices des cordes [AB] et [BC].

Le point O, intersection de ces deux médiatrices, est le centre du cercle.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan trouver_centre.g2w
GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : centre d'un cercle

c. Construction à la « règle et au compas » des médiatrices

geometrie du cercle - constructions pour trouver le centre d'un cercle

Pour la construction de la médiatrice de [AB], tracer deux cercles de même rayon, suffisamment grand, de centres A et B.

Ces deux cercles se coupent en F et G. La droite (FG) est la médiatrice de [AB].

De même, pour la médiatrice de [BC], tracer deux cercles de même rayon de centres B et C.

Ces deux derniers cercles se coupent en K et L. La droite (KL) est la médiatrice de [BC].

Le point d'intersection O de ces deux droites (FG) et (KL) est le centre du cercle.

Voir aussi : « règle à bords parallèles » - À la recherche du centre perdu d'un cercle
Construction du centre au « compas seul » : problème de Napoléon
Construction avec une équerre

 

Angles inscrits
au collège

Démonstrations géométriques de Pythagore

Constructions au compas

Exercices de géométrie au collège

Triangle inscrit dans un carré

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Table des matières

1. Définitions
2. Figures de base avec GéoPlan
3. Constructions de tangentes
    – en un point du cercle
    – passant par un point donné (constructions d'Euclide)
4. Problèmes de contact
    – Cercle tangent à une droite en un point de la droite,
        passant par un point extérieur à cette droite
    – Cercle tangent à deux droites sécantes, de centre donné
    – Cercle tangent à deux droites passant par un point donné
5 Tangentes communes à deux cercles
    Tangente commune à deux cercles tangents
6. Cercle et carré
7. Triangle isocèle
8. Projection de deux points d'un cercle
9. Retrouver le centre (Éléments d'Euclide)

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