Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesDix exercices de géométrie plane avec GéoPlan.
Sommaire1. Constructions de tangentes Hors programme : Rotation - Les problèmes du BOA Page no 73, réalisée le 19/7/2004, mise à jour le 17/4/2010 |
Triangle équilatéralCercles et triangle équilatéral Problème de tangenceTangentes communes à deux cercles Le cercleCercle passant par trois points |
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Faire de la géométrie |
GéoPlan en 3e |
Cabri-géomètre |
Cabri-géomètre | ||
Un cercle
O et C1sont deux points libres du plan. Le point C1 est placé sous l'étiquette (c), par l'instruction : A la place de C1, afficher: (c)
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Deux cercles sécants
O, O’, C1, C2, sont quatre points libres du plan. Les cercles (c), de centre O passant par C1, La ligne des centres (OO’) est la médiatrice de [AB]. Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’, ils sont sécants si :
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Deux cercles tangents
O et O’ sont deux points libres. Les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ sont tangents en A. La perpendiculaire en A à (OO’) est la tangente commune aux deux cercles. Si les cercles (c) et (c’) ont pour rayons r et r’,
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Classe de quatrième
D'un point A, situé sur un cercle de centre O, on peut mener une tangente à ce cercle, en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].
Construction à la « règle et au compas » (sans équerre).
Tracer le point B symétrique de O par rapport à A et puis la médiatrice de [BO].
Indications
Le point B est le deuxième point d'intersection de la droite (OA) avec le cercle de centre A passant par O.
Les cercles de centre O passant par B et de centre B passant par O se coupent en C et D. La droite (CD), médiatrice de [BO], est la tangente cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan tangente_cer.g2w
Étant donné une droite (d) et un point O à l'extérieur de cette droite, tracer le point H projection orthogonale de O sur (d). Le cercle de centre O passant par H est tangent à la droite (d).
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».
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Classe de 3e b. Tangentes à un cercle passant par un point donnéD'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; si A et B sont les points de contact avec le cercle, les rayons [OA] et [OB] sont perpendiculaires aux tangentes et on a MA = MB.
Euclide, Livre I proposition 17 Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].
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Une réciproque Soit (c’) un cercle de diamètre [MO], A un point de ce cercle (OA < MA) et La droite (MA) est tangente au cercle (c) en A. Propriétés
Soit P et Q les points d'intersection du cercle (c) et de la droite (OM) et H le milieu de la corde [AB]. Les cercles de centre P et Q passant par H sont tangents aux droites (OA) et (OB). Le cercle de centre P est inscrit dans le triangle isocèle MAB, le cercle de centre Q est exinscrit dans ce triangle.
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c. Une autre construction de la tangente en un point du cerclePrincipe : à partir du rayon [OA], tracer le triangle équilatéral OAB, puis le triangle OAC, avec C symétrique de O par rapport à B. OAC est un triangle rectangle en A. (AC) est la tangente en A.
À partir d'un point A du cercle (c) de centre O, placer, sur le cercle (c), le point B tel que AB = OB. B est un des points d'intersection du cercle (c) et du cercle de centre A passant par O. Indications OAB est un triangle équilatéral et OB = BC.
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d. Une construction d'Euclide des tangentes issues d'un pointLivre I proposition 17
Le cercle de centre O et de rayon 2r rencontre le cercle de centre A passant par O aux points B et C. Les segments [OB] et [OC] rencontre le cercle (c) en D et E. Démontrer que les droites (AD) et (AE) sont tangentes au cercle (c). Indications OA = OB = OC. OD = OE = r et OB = OC = 2r. D et E sont les milieux de [OB] et [OC].
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On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes, construire un cercle tangent à ces deux droites.
Indications
Le centre du cercle appartient à une des bissectrices (d) ou (d’) de l'angle des deux droites.
Le centre O étant choisi, on trouve un des points H du cercle par projection orthogonale du centre sur une des sécantes.
GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».
Télécharger la figure GéoPlan cercles_tg_2_droites.g2w
Construction classique à la règle et au compas utilisant une configuration faisant intervenir, de façon implicite, l'homothétie.
On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites.
Existe-t-il un cercle (c) passant par A tangent à ces deux droites ?
Combien y a-t-il de solutions à ce problème ?
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Placer un point J sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que A et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de J sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites.
Avec GéoPlan, il suffit de déplacer J pour trouver deux solutions.
Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2.
La droite parallèle à (A1J) passant par A rencontre (IJ) en O1. Le cercle (c1), de centre O1 passant par A, est tangent à (d1) et (d2).
De même, la droite parallèle à (A2J) passant par A rencontre (IJ) en O2. Le cercle (c2), de centre O2 passant par A, est la deuxième solution du problème.
Télécharger la figure GéoPlan cercl_tg_2_droites.g2w
Retrouver cette construction au lycée : seconde - homothétie
Cercles tangents à des droites ou à des cercles : voir construction de cercles
a. Triangle rectangle
Deux cercles sont tangents extérieurement en A. Calculer l'angle BÂC. SolutionLa tangente en A aux deux cercles coupe (BC) en I. Les deux tangentes à (c) issues de I sont de même longueur : IB = IA. Le point A est sur le demi-cercle de diamètre [BC]. Le triangle BAC est rectangle et l'angle BÂC est droit.
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b. Cercle de diamètre [OO’]
Deux cercles c et c’ de centres O et O’ sont tangents extérieurement en A. Les deux cercles sont d'un même côté d'une tangente commune, tangente en B au cercle c et en B’ au cercle c’. Le milieu I de [BB’] est sur la tangente en A, commune aux deux cercles. BAB’ est un triangle rectangle en A et le cercle de diamètre [BB’] est tangent en A à la droite des centres (OO’). Construction Soit J le milieu de [OO’] et I un point d'intersection du cercle de diamètre [OO’] et de la perpendiculaire en A à la ligne des centres (OO’). La tangente en I à ce cercle, perpendiculaire à (IJ) est la droite (BB’) cherchée.
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c. Chercher un rectangle
Deux cercles (c) et (c’) sont tangents en A. (c) recoupe la ligne des centres (OO’) en E et (c’) en F. Prouver que la droite (BC) est tangente aux cercles (c) et (c’).
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Preuve
L'angle EDF, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF], est droit, de même pour EBA inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EA] et ACF inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AF]. Les diagonales de longueurs égales se coupent en leur milieu I et IA = IB = IC. On montre de même que O’AIC est un cerf-volant d'axe de symétrie (O’I). |
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ABCD est un carré de côté 16.
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Quatre cercles autour d'un carréReproduction de figure
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A étant un point quelconque du diamètre d'un cercle (c), B l'extrémité d'un rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène une droite (BA) qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé.
Démontrer que CA = CP.
Indications
Le triangle OBP est isocèle donc OBP = OPB = α.
L'angle OPC est droit donc APC = 90° - OBP = 90° - α.
Dans le triangle rectangle OAB, OAB = 90° - α comme complément de OBP.
Comme angles opposés par le sommet on a CAP = OAB = 90° - α.
Les angles APC et CAP étant égaux à 90° - α, le triangle CAP est isocèle et CA = CP.
Télécharger la figure GéoPlan tri_isoce.g2w
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M et N sont deux points quelconques d'un cercle, A et B leurs projections orthogonales sur un diamètre du cercle, I le milieu de [MN]. Prouver que le triangle ABI est isocèle.
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Indication Soit H la projection orthogonale de I sur le diamètre. |
a. Construction d'Euclide Livre III, propriété ITracer une corde [AC],
tracer la médiatrice de cette corde qui coupe le cercle en B et D,
le centre est le milieu de [BD].
Euclide prouve, par l'absurde, que c'est bien le centre cherché.
Éléménts d'Euclide Livre III, propriété 25
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Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP),
Avec GéoPlan, une instruction du « menu : créer>point>centre » permet de trouver directement le centre d'un cercle. Construction de deux médiatricesPlacer trois points distincts A, B et C sur le cercle, tracer les médiatrices des cordes [AB] et [BC]. O, point d'intersection de ces deux médiatrices, est le centre du cercle.
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c. Construction à la « règle et au compas » des médiatrices
Pour la construction de la médiatrice de [AB], tracer deux cercles de même rayon, suffisamment grand, de centres A et B. Ces deux cercles se coupent en F et G. La droite (FG) est la médiatrice de [AB]. De même, pour la médiatrice de [BC], tracer deux cercles de même rayon de centres B et C. Ces deux derniers cercles se coupent en K et L. La droite (KL) est la médiatrice de [BC]. Le point d'intersection O de ces deux droites (FG) et (KL) est le centre du cercle. Voir aussi : Règle à bords parallèles - le centre perdu d'un cercle |
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Démonstrations géométriques de Pythagore |
Construction du pentagone régulier |
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On donne un cercle (c) de centre O et de rayon r et un point A extérieur au cercle.
