René DescartesDescartes et les Mathématiques

Construction avec une équerre

Perpendiculaire, médiatrice, parallèles, parallélogramme, losange, carré.

Sommaire

1. Une perpendiculaire

2. Deux parallèles

3. Deux parallèles : angles alternes-internes, angles correspondants

4. Une parallèle avec une équerre glissant sur une règle

5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment

6. Une médiatrice : règle graduée et équerre

7. Un losange, une médiatrice uniquement à l'équerre

8. Un carré

9. À la recherche du centre perdu

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Tracer la perpendiculaire à une droite lorsque le point de concours n'est pas sur la feuille.

Carré avec deux sommets inaccessibles

Construction à l'équerre du milieu d'une corde

Lieux géométriques : l'équerre contre un mur (classe de quatrième - seconde - épreuve pratique de terminale S)

 

Les constructions à l'équerre sont assez imprécises. Elles font toutefois partie de l'apprentissage normal des élèves de 9 à 13 ans.
Bien qu'ensuite on préférera les constructions à la règle au compas, certaines constructions à l'équerre ne manquent pas de piment, entre autres en utilisant un angle aigu de cet instrument comme « gabarit d'angle ».

equerre demi-carre - copyright Patrice Debart 2007

Les figures de GéoPlan sont dynamiques et il est possible de déplacer les points de base et les équerres. Taper S pour vérifier la solution.
Pour la lisibilité des figures, la taille des équerres a été minorée. On peut la régler avec le paramètre l, qui représente la longueur de l'hypoténuse. t est la mesure d'un des angles aigus de l'équerre, en radians.

On utilise, le plus souvent, deux types d'équerre :
  – le « demi-carré » : triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45° (t = pi/4 radians),
    de côtés (1, 1, racine de 2) ;

g2w Télécharger la figure GéoPlan demi_carre.g2w,

equerre - triangle de l'ecolier - copyright Patrice Debart 2007

  – le « triangle de l'écolier » : demi-triangle équilatéral avec des angles aigus de 30° et 60°
(t = pi/6) ou t = pi/).

g2w Télécharger les figures GéoPlan triangle_ecolier.g2w,   dessin_equerre.g2w

1. Tracer une perpendiculaire

construction avec une equerre - tracer une perpendiculaire - copyright Patrice Debart 2007

Avec une équerre, on trace un angle droit qui permet de dessiner une perpendiculaire.

 

Perpendiculaire à la droite [BC], élevée en A

Construction à l'équerre

Placer l'angle droit de l'équerre en A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan perpendiculaire_en_A.g2w

Perpendiculaire abaissée de A sur la droite [BC]

construction avec une équerre - tracer une perpendiculaire - copyright Patrice Debart 2007

Construction à la règle et l'équerre

Placer un des petits côtés [HP] de l'équerre le long de la droite [BC] et la faire glisser jusqu'à ce que la perpendiculaire (HQ) passe par le point A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan perpendiculaire_passant_par_A.g2w

2. Construire deux parallèles

construction avec une équerre - tracer une parallèle - copyright Patrice Debart 2007

Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur.

Savoir : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.

Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par un point A extérieur

En sixième, deux droites parallèles sont définies comme deux droites non sécantes et caractérisées par le fait que si l'une est perpendiculaire à une troisième droite, l'autre l'est également.

En faisant glisser une équerre le long d'une droite, on trace des parallèles.

Construction :

Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (AB) et tracer (EG) perpendiculaire à (AB).

Faire glisser l'équerre le long d'une règle bordant (EG) jusqu'à ce que la perpendiculaire (HQ) passe par A.

Les droites (AH) et (BC), perpendiculaires à (EG), sont parallèles.

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Image illustrant les Épisodes parallèles

3. Construire deux parallèles

construction avec une équerre - tracer des parallèles avec des angles correspondants - copyright Patrice Debart 2007

Angles alternes-internes, angles correspondants

Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur avec une règle et «l'angle aigu » d'une équerre.

Grâce à la propriété : « deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure », on peut utiliser un des angles aigus de l'équerre comme « gabarit d'angle », en faisant glisser l'hypoténuse de l'équerre le long d'une règle.

Tracer la parallèle à une droite (BC) passant par un point A extérieur
Construction à la règle et l'équerre

Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles correspondants de même mesure.

Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (BC), et tracer la sécante (EG).
Faire glisser cette équerre le long d'une règle, bordant (EG), jusqu'au point H, de telle façon que (HQ) passe par A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallele_angle_aigu.g2w

construction avec une équerre - tracer des parallèles avec des angles alternes-internes - copyright Patrice Debart 2007

Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles alternes-internes de même mesure.

Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (BC), et tracer la sécante (EG).

Retourner l'équerre et faire glisser cette équerre le long d'une règle, bordant (EG), jusqu'au point H, de telle façon que (HQ) passe par A.

g2w  la figure GéoPlan parallele_angle_alterne.g2w

4. Une parallèle avec équerre sur une règle

construction avec une équerre glissant sur une règle - tracer une parallèle - copyright Patrice Debart 2007

Construction, avec une équerre glissant sur une règle, de la parallèle à une droite (BC), menée à partir d'un point M donné.

Utilisation « dynamique » d'une équerre glissant sur une règle,de bord (BC), pour construire une parallèle.

Avec papier crayon, au départ les élèves repèrent un point A sur l'équerre qui coïncide avec le point M.
Ensuite, ils font glisser l'équerre le long de la règle et tracent différents points A1, A2, A3… à partir du point A marqué sur l'équerre.
Ils constatent que les points A1, A2, A3… sont alignés avec le point M et qu'ils déterminent la droite parallèle à (BC), passant par le point M.

Avec GéoPlan, créer le lieu L des points A en déplaçant l'équerre avec le point E comme pilote.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallele_glissee.g2w

Indication

Les distances des traces de A à la droite sont égales à la distance de M à la droite. Ces points sont donc alignés sur la parallèle à la droite (BC) passant par M.

5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment

Construction d'un parallélogramme avec une équerre pour trouver le milieu de la diagonale - copyright Patrice Debart 2007

Trouver le milieu d'un segment avec une équerre

Tracer le milieu de [AC] : Pour cela, construire un parallélogramme de diagonale [AC] en plaçant convenablement un point B.

Comme à la règle et à l'équerre, on sait tracer des couples de parallèles, on sait donc dessiner le quatrième sommet de ce parallélogramme de sommets A, B et C.

Le point d'intersection des diagonales détermine le milieu. On peut donc trouver le milieu d'un segment uniquement à la règle et à l'équerre.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme.g2w

6. Tracer une médiatrice avec l'équerre

Définition :
la médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est une droite perpendiculaire à (AB) au milieu I de [AB].

La médiatrice est l'axe de symétrie du segment.

6.a. Construction de la médiatrice

construction avec une équerre - perpendiculaire au milieu du segment - copyright Patrice Debart 2007

par pliage d'une feuille

Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].

6.b. Dessiner une médiatrice avec règle graduée et équerre

Apprentissage de base :

Avec la règle, mesurer le segment et pointer le milieu I du segment [AB].

Placer l'angle droit l'équerre au milieu, en appuyant un des petits bords de l'équerre le long du segment.

Tracer la perpendiculaire (IQ), passant par le milieu I, qui est la médiatrice de [AB].

g2w Télécharger la figure GéoPlan mediatrice.g2w

5.c. Dessiner une médiatrice avec compas et équerre

construction de la médiatrice avec une équerre et compas - copyright Patrice Debart 2007

Configuration du triangle équilatéral

À utiliser lorsque le segment [AB] est sur un bord de la feuille, lorsqu'on ne sait pas placer un deuxième point de la médiatrice.

Tracer les cercles de centre A passant par et de centre B passant par A.
Soit C un des points d'intersection de ces deux cercles.
ABC est un triangle équilatéral ayant AB comme longueur des côtés.

Le point C, équidistant de A et B, est un point de la médiatrice de [AB].

Il suffit de tracer, avec une équerre, la perpendiculaire à (AB) passant par C.

Pour cela, sur la droite (AB), faire glisser le côté [IP] de l’équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C.

La médiatrice est alors la droite (IC) où I est le milieu de [AB].

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6.d. Dessiner une médiatrice avec règle non graduée et équerre

construction de la médiatrice avec règle et équerre - copyright Patrice Debart 2007

Configuration du triangle isocèle

Placer un des sommets de l'équerre en A, le petit côté [AD] de l'équerre le long du segment [AB] et tracer la droite (AE) le long de l'hypoténuse.

Retourner l'équerre et tracer la droite (BG) en plaçant ce même sommet en B.

Les droites (AE) et (BG) se coupent en C.
Le triangle ABC, ayant deux angles égaux à celui de l'équerre, est isocèle.
C est un point de la médiatrice.

Tracer la médiatrice de [AB], en faisant glisser le côté [IP] de l'équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C.

I est alors le milieu de [AB] et (IC) la médiatrice.

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6.e. Dessiner une médiatrice avec avec un compas (sans équerre)

7. Une médiatrice uniquement à l'équerre

construction d'une médiatrice avec une équerre - tracer un losange - copyright Patrice Debart 2007

Pour construire la médiatrice de [AB], tracer un losange ACBD de diagonale [AB]. La médiatrice est l'autre diagonale [CD]

En plaçant l'hypoténuse de l'équerre le long du segment [AB] et en posant successivement un des angles aigus en A et B, de part et d'autre de la droite (AB), on trace un losange ACBD de diagonale [AB].

L'autre diagonale [CD] du losange est la médiatrice cherchée.

 

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8. Tracer un carré à la règle et l'équerre

construction avec une équerre - carré - copyright Patrice Debart 2007

8.a. Construction à la règle (non graduée) à partir d'un côté

Tracer le côté [AB], puis en plaçant l'angle droit de l'équerre en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB).
Placer un des coins de l'équerre en A, un des petits côtés [AE] sur (AB) et tracer une perpendiculaire [EF) à (AB).
Retourner l'équerre, ce même petit côté sur (AN), tracer une deuxième perpendiculaire [HG) à (AN).
Ces deux perpendiculaires se coupent en I et font apparaître un petit carré AEIH de diagonale [AI].

Il suffit par un agrandissement ou réduction (au lycée on parlera d'homothétie de centre A) du carré AEIH, de trouver le carré ABCD.

Pour cela, tracer le sommet C intersection de la droite (AI), diagonale du carré cherché, et de la perpendiculaire à (AB) en B.

La perpendiculaire à (AN) passant par C permet de trouver le dernier sommet D du carré ABCD.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre1.g2w

8.b. Autre tracé du carré à la règle et l'équerre

construction avec une équerre - carré - copyright Patrice Debart 2007

En plaçant l'angle droit d'une équerre, qui n'est pas isocèle, en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB) et marquer l'hypoténuse [EF] sur la feuille.

Retourner l'équerre, en permutant les petits côtés, faire un deuxième tracé de l'hypoténuse [GH].

Ces deux droites (EF) et (GH) se coupent en I et la droite (AI) est la bissectrice de BAN. Les angles BAI et NAI mesurent 45° et (AI) est une diagonale du carré.

Comme ci-contre, on construit le sommet C du carré, intersection de (AI) et de la perpendiculaire à (AB) en B, et on termine le côté [CD] du carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre2.g2w

Retrouver ces constructions dans : carré avec deux sommets inaccessibles

9. À la recherche du centre perdu

construction avec une équerre - retrouver le centre d'un cercle en traçant 2 diamètres - copyright Patrice Debart 2007

On ne dispose que d'une équerre et d'une règle non graduée, retrouver le centre d'un cercle (c) ?

Indications

Placer deux points A et B sur le cercle et, en plaçant l'équerre AB’C’ en A le long de (AB), tracer la perpendiculaire en A à (AB).
Cette perpendiculaire recoupe le cercle en C.

Le triangle ABC, rectangle en A, est inscrit dans un demi-cercle. [AC] est donc un diamètre de (c).

De même construire deux autres points D et E et le triangle rectangle DEF, inscrit dans (c).
[EF] est un deuxième diamètre.

Les deux diamètres se coupent en O, centre du cercle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan centre_perdu.g2w

Comment trouver le centre d'un cercle sans compas :

Construction avec les médiatrices de deux cordes : le cercle au collège

Construction avec la « règle à bords parallèles » : à la recherche du centre perdu

Construction du centre au « compas seul » : problème de Napoléon

 

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