René DescartesDescartes et les Mathématiques

Construction avec une équerre

Perpendiculaire, médiatrice, parallèles, parallélogramme, losange, carré.

Sommaire

1. Une perpendiculaire
2. Deux parallèles
3. Deux parallèles : angles alternes-internes, angles correspondants
4. Une parallèle avec une équerre glissant sur une règle
5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment
6. Une médiatrice : règle graduée et équerre
7. Un losange, une médiatrice uniquement à l'équerre
8. Un carré
9. À la recherche du centre perdu

Voir aussi

Tracer la perpendiculaire à une droite lorsque le point de concours n'est pas sur la feuille.

Carré avec deux sommets inaccessibles

Construction à l'équerre du milieu d'une corde

Lieux géométriques : l'équerre contre un mur (classe de quatrième - seconde - épreuve pratique de terminale S)

Faire de la
géométrie dynamique

Théorème de Thalès
en 3e

Construction de triangles en 5e

Problèmes de construction


Les constructions à l'équerre sont assez imprécises. Elles font toutefois partie de l'apprentissage normal des élèves de 9 à 13 ans.
Bien qu'ensuite on préférera les constructions à la règle au compas, certaines constructions à l'équerre ne manquent pas de piment, entre autres en utilisant un angle aigu de cet instrument comme « gabarit d'angle ».

equerre demi-carre - copyright Patrice Debart 2007Les figures de GéoPlan sont dynamiques et il est possible de déplacer les points de base et les équerres. Taper S pour vérifier la solution.
Pour la lisibilité des figures, la taille des équerres a été minorée. On peut la régler avec le paramètre l, qui représente la longueur de l'hypoténuse. t est la mesure d'un des angles aigus de l'équerre, en radians.

On utilise, le plus souvent, deux types d'équerre :
  – le « demi-carré » : triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45° (t = pi/4 radians),
    de côtés (1, 1, racine de 2) ;

g2w Télécharger la figure GéoPlan demi_carre.g2w,

equerre - triangle de l'ecolier - copyright Patrice Debart 2007   – le « triangle de l'écolier » : demi-triangle équilatéral avec des angles aigus de 30° et 60°
(t = pi/6) ou t = pi/).

g2w Télécharger les figures Géo>Plan triangle_ecolier.g2w,   dessin_equerre.g2w

construction avec une equerre - tracer une perpendiculaire - copyright Patrice Debart 20071. Tracer une perpendiculaire

Avec une équerre, on trace un angle droit qui permet de dessiner une perpendiculaire.

 

Perpendiculaire à la droite [BC], élevée en A

Construction à l'équerre

Placer l'angle droit de l'équerre en A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan perpendiculaire_en_A.g2w

construction avec une equerre - tracer une perpendiculaire - copyright Patrice Debart 2007Perpendiculaire abaissée de A sur la droite [BC]

Construction à la règle et l'équerre

Placer un des petits côtés [HP] de l'équerre le long de la droite [BC] et la faire glisser jusqu'à ce que la perpendiculaire (HQ) passe par le point A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan perpendiculaire_passant_par_A.g2w

2. Construire deux parallèles

construction avec une equerre - tracer une parallele - copyright Patrice Debart 2007 Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur.

Savoir : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.

Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par un point A extérieur

En sixième, deux droites parallèles sont définies comme deux droites non sécantes et caractérisées par le fait que si l'une est perpendiculaire à une troisième droite, l'autre l'est également.

En faisant glisser une équerre le long d'une droite, on trace des parallèles.

Construction :

Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (AB) et tracer (EG) perpendiculaire à (AB).

Faire glisser l'équerre le long d'une règle bordant (EG) jusqu'à ce que la perpendiculaire (HQ) passe par A.

Les droites (AH) et (BC), perpendiculaires à (EG), sont parallèles.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallele_passant_par_A.g2w

Image illustrant les Épisodes parallèles

3. Construire deux parallèles : angles alternes-internes, angles correspondants

Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur avec une règle et «l'angle aigu » d'une équerre.

construction avec une equerre - tracer des paralleles avec des angles correspondants - copyright Patrice Debart 2007Grâce à la propriété : « deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure », on peut utiliser un des angles aigus de l'équerre comme « gabarit d'angle », en faisant glisser l'hypoténuse de l'équerre le long d'une règle.

Tracer la parallèle à une droite (BC) passant par un point A extérieur
Construction à la règle et l'équerre

Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles correspondants de même mesure.

Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (BC), et tracer la sécante (EG).
Faire glisser cette équerre le long d'une règle, bordant (EG), jusqu'au point H, de telle façon que (HQ) passe par A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallele_angle_aigu.g2w

construction avec une equerre - tracer des paralleles avec des angles alternes-internes - copyright Patrice Debart 2007Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles alternes-internes de même mesure.

Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (BC), et tracer la sécante (EG).

Retourner l'équerre et faire glisser cette équerre le long d'une règle, bordant (EG), jusqu'au point H, de telle façon que (HQ) passe par A.

g2w  la figure GéoPlan parallele_angle_alterne.g2w

4. Tracer une parallèle avec une équerre glissant sur une règle

construction avec une equerre glissant sur une regle - tracer une parallele - copyright Patrice Debart 2007Construction, avec une équerre glissant sur une règle, de la parallèle à une droite (BC), menée à partir d'un point M donné.

Utilisation « dynamique » d'une équerre glissant sur une règle,de bord (BC), pour construire une parallèle.

Avec papier crayon, au départ les élèves repèrent un point A sur l'équerre qui coïncide avec le point M.
Ensuite, ils font glisser l'équerre le long de la règle et tracent différents points A1, A2, A3… à partir du point A marqué sur l'équerre.
Ils constatent que les points A1, A2, A3… sont alignés avec le point M et qu'ils déterminent la droite parallèle à (BC), passant par le point M.

Avec GéoPlan, créer le lieu L des points A en déplaçant l'équerre avec le point E comme pilote.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallele_glissee.g2w

Indication

Les distances des traces de A à la droite sont égales à la distance de M à la droite. Ces points sont donc alignés sur la parallèle à la droite (BC) passant par M.

5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment

Trouver le milieu d'un segment avec une équerre

Tacer le milieu de [AC] : Pour cela, construire un parallélogramme de diagonale [AC] en plaçant convenablement un point B.

Comme à la règle et à l'équerre, on sait tracer des couples de parallèles, on sait donc dessiner le quatrième sommet de ce parallélogramme de sommets A, B et C.

construction d'un parallelogramme avec une equerre pour trouver le milieu de la diagonale - copyright Patrice Debart 2007

Le point d'intersection des diagonales détermine le milieu. On peut donc trouver le milieu d'un segment uniquement à la règle et à l'équerre.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme.g2w

6. Tracer une médiatrice

Définition :
la médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est une droite perpendiculaire à (AB) au milieu I de [AB].

La médiatrice est l'axe de symétrie du segment.

Construction de la médiatrice

Par pliage d'une feuille

Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].

construction avec une equerre - perpendiculaire au milieu du segment - copyright Patrice Debart 2007Règle graduée et équerre

Apprentissage de base :

Avec la règle, mesurer le segment et pointer le milieu I du segment [AB].

Placer l'angle droit l'équerre au milieu, en appuyant un des petits bords de l'équerre le long du segment.

Tracer la perpendiculaire (IQ), passant par le milieu I, qui est la médiatrice de [AB].

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan mediatrice.g2w

construction de la mediatrice avec une equerre et compas - copyright Patrice Debart 2007Compas et équerre

Configuration du triangle équilatéral

À utiliser lorsque le segment [AB] est sur un bord de la feuille, lorsqu'on ne sait pas placer un deuxième point de la médiatrice.

Tracer les cercles de centre A passant par et de centre B passant par A.
Soit C un des points d'intersection de ces deux cercles.
ABC est un triangle équilatéral ayant AB comme longueur des côtés.

Le point C, équidistant de A et B, est un point de la médiatrice de [AB].

Il suffit de tracer la perpendiculaire à (AB) passant par C.
C'est la droite (IC) où I est le milieu de [AB].

Pour la tracer avec une équerre, faire glisser le côté [IP] de cette équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mediatrice_compas_equerre.g2w

construction de la mediatrice avec regle et equerre - copyright Patrice Debart 2007Règle non graduée et équerre

Configuration du triangle isocèle

Placer un des sommets de l'équerre en A, le petit côté [AD] de l'équerre le long du segment [AB] et tracer la droite (AE) le long de l'hypoténuse.

Retourner l'équerre et tracer la droite (BG) en plaçant ce même sommet en B.

Les droites (AE) et (BG) se coupent en C.
Le triangle ABC, ayant deux angles égaux à celui de l'équerre, est isocèle.
C est un point de la médiatrice.

Tracer la médiatrice de [AB], en faisant glisser le côté [IP] de l'équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C.

I est alors le milieu de [AB] et (IC) la médiatrice.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mediatrice_equerre.g2w

construction de la mediatrice au compas, sans equerre - OEnopide de Chio - copyright Patrice Debart 2007Dessiner la médiatrice d'un segment [AB] avec compas (sans équerre)

Configuration du losange
Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.)

Dessiner deux points A, B et le segment [AB].
Tracer les cercles de centres A et B et de rayon AB.
Soit C et D les points d'intersection de ces deux cercles.
Tracer la droite (CD) passant par ces deux points d'intersection, c'est la médiatrice de [AB].

En effet, ACBD est un losange de côtés de longueur AB.
Les points C et D sont équidistants de A et B et appartiennent à la médiatrice.
[CD] diagonale du losange est perpendiculaire à [AB] et le coupe en son milieu.

Placer un point M sur la médiatrice et vérifier l'égalité des longueurs AM = BM

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction de la médiatrice au compas

Voir : construction de la médiatrice au compas

Wikipédia : Œnopide de Chios

7. Un losange, une médiatrice uniquement à l'équerre

construction d'une mediatrice avec une equerre - tracer un losange - copyright Patrice Debart 2007

Pour contruire la médiatrice de [AB], tracer un losange ACBD de diagonale [AB]. La médiatrice est l'autre diagonale [CD]

En plaçant l'hypoténuse de l'équerre le long du segment [AB] et en posant successivement un des angles aigus en A et B, de part et d'autre de la droite (AB), on trace un losange ACBD de diagonale [AB].

L'autre diagonale [CD] du losange est la médiatrice cherchée.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan mediatrice_losange.g2w

8. Construction du carré à la règle (non graduée) et l'équerre

construction avec une equerre - carre - copyright Patrice Debart 2007Construction du carré à partir d'un côté

Tracer le côté [AB], puis en plaçant l'angle droit de l'équerre en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB).
Placer un des coins de l'équerre en A, un des petits côtés [AE] sur (AB) et tracer une perpendiculaire [EF) à (AB).
Retourner l'équerre, ce même petit côté sur (AN), tracer une deuxième perpendiculaire [HG) à (AN).
Ces deux perpendiculaires se coupent en I et font apparaître un petit carré AEIH de diagonale [AI].

Il suffit par un agrandissement ou réduction (au lycée on parlera d'homothétie de centre A) du carré AEIH, de trouver le carré ABCD.

Pour cela, tracer le sommet C intersection de la droite (AI), diagonale du carré cherché, et de la perpendiculaire à (AB) en B.

La perpendiculaire à (AN) passant par C permet de trouver le dernier sommet D du carré ABCD.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre1.g2w

construction avec une equerre - carre - copyright Patrice Debart 2007Autre tracé du carré à la règle et à l'équerre

En plaçant l'angle droit d'une équerre, qui n'est pas isocèle, en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB) et marquer l'hypoténuse [EF] sur la feuille.

Retourner l'équerre, en permutant les petits côtés, faire un deuxième tracé de l'hypoténuse [GH].

Ces deux droites (EF) et (GH) se coupent en I et la droite (AI) est la bissectrice de BAN. Les angles BAI et NAI mesurent 45° et (AI) est une diagonale du carré.

Comme ci-contre, on construit le sommet C du carré, intersection de (AI) et de la perpendiculaire à (AB) en B, et on termine le côté [CD] du carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre2.g2w

Retrouver ces constructions dans : carré avec deux sommets inaccessibles

9. À la recherche du centre perdu

construction avec une equerre - retrouver le centre d'un cercle en tracant 2 diametres - copyright Patrice Debart 2007 On ne dispose que d'une équerre et d'une règle non gradué, retrouver le centre d'un cercle (c) ?

Indications

Placer deux points A et B sur le cercle et, en plaçant l'équerre AB’C’ en A le long de (AB), tracer la perpendiculaire en A à (AB).
Cette perpendiculaire recoupe le cercle en C.

Le triangle ABC, rectangle en A, est inscrit dans un demi-cercle. [AC] est donc un diamètre de (c).

De même construire deux autres points D et E et le triangle rectangle DEF, inscrit dans (c).
[EF] est un deuxième diamètre.

Les deux diamètres se coupent en O, centre du cercle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan centre_perdu.g2w

Construction avec les médiatrices de deux cordes : le cercle au collège

Construction avec la « règle à bords parallèles » : à la recherche du centre perdu

Construction du centre au « compas seul » : problème de Napoléon

 

Collège
Problèmes de construction

Constructions à la
règle et au compas

Constructions géométriques

La géométrie
au collège

Table de matières

1. Une perpendiculaire
2. Deux parallèles
3. Deux parallèles : angles alternes-internes, angles correspondants
4. Une parallèle avec une équerre glissant sur une règle
5. Un parallélogramme, le milieu d'un segment
6. Une médiatrice : règle graduée et équerre
7. Un losange, une médiatrice uniquement à l'équerre
8. Un carré
9. À la recherche du centre perdu

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