Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesPerpendiculaire, médiatrice, parallèles, parallélogramme, losange, carré.
Sommaire1. Une perpendiculaire Page no 115, réalisée le 11/12/2007, modifiée le 10/1/2010 |
Voir aussiTracer la perpendiculaire à une droite lorsque le point concours n'est pas sur la feuille. Carré avec deux sommets inaccessibles Construction à l'équerre du milieu d'une corde Lieux géométriques : l'équerre contre un mur (classe de quatrième - seconde - épreuve pratique de terminale S) | ||||
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Les constructions à l'équerre sont assez imprécises. Elles font toutefois partie de l'apprentissage normal des élèves de 9 à 13 ans.
Bien qu'ensuite on préférera les constructions à la règle au compas, certaines constructions à l'équerre ne manquent pas de piment, entre autres en utilisant un angle aigu de cet instrument comme « gabarit d'angle ».
Les figures de GéoPlan sont interactives et il est possible de déplacer les points de base et les équerres. Taper S pour vérifier la solution.
Pour la lisibilité des figures, la taille des équerres a été minorée. On peut la régler avec le paramètre l qui représente la longueur de l'hypoténuse. t est la mesure d'un des angles aigus de l'équerre, en radians.
On utilise, le plus souvent, deux types d'équerre :
– le « demi-carré » : triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45° (t = 
radians),
de côtés (1, 1, 
),
– le « triangle de l'écolier » : demi-triangle équilatéral avec des angles aigus de 30° et 60°
(t = 
ou t = 
).
Télécharger les figures GéoPlan demi_carre.g2w, triangle_ecolier.g2w
Avec une équerre, on trace un angle droit qui permet de dessiner une perpendiculaire.
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Perpendiculaire à la droite [BC], élevée en A
Construction à l'équerre Placer l'angle droit de l'équerre en A.
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Perpendiculaire abaissée de A sur la droite [BC]
Construction à la règle et l'équerre Placer un des petits côtés [HP] de l'équerre le long de la droite [BC] et la faire glisser jusqu'à ce que la perpendiculaire (HQ) passe par le point A. Commandes GéoPlan :
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Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur.
Savoir : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.
Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par un point A extérieur
En sixième, deux droites parallèles sont définies comme deux droites non sécantes et caractérisées par le fait que si l'une est perpendiculaire à une troisième droite, l'autre l'est également.
En faisant glisser une équerre le long d'une droite, on trace des parallèles.
Construction :
Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (AB) et tracer (EG) perpendiculaire à (AB).
Faire glisser l'équerre le long d'une règle bordant (EG) jusqu'à ce que la perpendiculaire (HQ) passe par A.
Les droites (AH) et (BC), perpendiculaires à (EG), sont parallèles.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_passant_par_A.g2w
Image illustrant : Épisodes parallèles
Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur avec une règle et «l'angle aigu » d'une équerre.
Grâce à la propriété : « deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure », on peut utiliser un des angles aigus de l'équerre comme « gabarit d'angle », en faisant glisser l'hypoténuse de l'équerre le long d'une règle.
Tracer la parallèle à une droite (BC) passant par un point A extérieur
Construction à la règle et l'équerre
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Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles correspondants de même mesure.
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Deux droites parallèles découpent sur une sécante (EG) des angles alternes-internes de même mesure.
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Placer un des petits côtés [EF] de l'équerre le long de la droite (BC), et tracer la sécante (EG).
Retourner l'équerre, dans la figure ci-dessus à droite, et faire glisser cette équerre le long d'une règle, bordant (EG), jusqu'au point H, de telle façon que (HQ) passe par A.
Construction, avec une équerre glissant sur une règle, de la parallèle à une droite (BC), menée à partir d'un point M donné.
Utilisation « dynamique » d'une équerre glissant sur une règle,de bord (BC), pour construire une parallèle.
Avec papier crayon, au départ les élèves repèrent un point A sur l'équerre qui coïncide avec le point M. Ensuite ils font glisser l'équerre le long de la règle et tracent différents points A1, A2, A3… à partir du point A marqué sur l'équerre. Ils constatent que les points A1, A2, A3… sont alignés avec le point M et qu'ils déterminent la droite parallèle à (BC), passant par le point M.
Avec GéoPlan, créer le lieu des points A en déplaçant l'équerre avec le point E.
Touche T pour créer le Lieu des points,
touche S pour Sortir du mode trace.
Indication
Les distances des traces de A à la droite sont égales à la distance de M à la droite. Ces points sont donc alignés sur la parallèle à la droite (BC) passant par M.
Comme à la règle et à l'équerre, on sait tracer des couples de parallèles, on sait donc dessiner le quatrième sommet d'un parallélogramme de sommets A, B et C.
Le point d'intersection des diagonales détermine le milieu. On peut donc trouver le milieu d'un segment uniquement à la règle et à l'équerre.
Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme.g2w
Définition :
la médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est une droite perpendiculaire à (AB) au milieu I de [AB].
La médiatrice est l'axe de symétrie du segment.
Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].
Règle graduée et équerre
Apprentissage de base : Avec la règle, mesurer le segment et pointer le milieu I du segment [AB]. Placer l'angle droit l'équerre au milieu, en appuyant un des petits bords de l'équerre le long du segment. Tracer la perpendiculaire (IQ), passant par le milieu I, qui est la médiatrice de [AB].
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Compas et équerreConfiguration du triangle équilatéral À utiliser lorsque le segment [AB] est sur un bord de la feuille.
Tracer les cercles de centre A passant par et de centre B passant par A. Le point C, équidistant de A et B, est un point de la médiatrice de [AB]. Il suffit de tracer la perpendiculaire à (AB) passant par C. Pour la tracer avec une équerre, faire glisser le côté [IP] de cette équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C.
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Règle non graduée et équerreConfiguration du triangle isocèle
Placer un des sommets de l'équerre en A, le petit côté [AD] de l'équerre le long du segment [AB] et tracer la droite (AE) le long de l'hypoténuse. Retourner l'équerre et tracer la droite (BG) en plaçant ce même sommet en B. Les droites (AE) et (BG) se coupent en C. Tracer la médiatrice de [AB], en faisant glisser le côté [IP] de l'équerre jusqu'à ce que la perpendiculaire (IQ) passe par C. I est alors le milieu de [AB] et (IC) la médiatrice.
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Dessiner la médiatrice d'un segment [AB] avec règle non graduée et compas (sans équerre)Configuration du losange Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.)
Dessiner deux points A, B et le segment [AB]. En effet, ACBD est un losange de côtés de longueur AB. Placer un point M sur la médiatrice et vérifier l'égalité des longueurs AM = BM. (Avec GéoPlan, commande : taper M) Voir : construction de la médiatrice à la règle et au compas
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En plaçant l'hypoténuse de l'équerre le long du segment [AB] et en posant successivement un des angles aigus en A et B, de part et d'autre de la droite (AB), on trace un losange ACBD de diagonale [AB]. L'autre diagonale [CD] du losange est la médiatrice cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan mediatrice_losange.g2w
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Construction à partir d'un côté
Tracer le côté [AB], puis en plaçant l'angle droit de l'équerre en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB). Il suffit par un agrandissement ou réduction (au lycée on parlera d'homothétie de centre A) du carré AEIH, de trouver le carré ABCD. Pour cela, tracer le sommet C intersection de la droite (AI), diagonale du carré cherché, et de la perpendiculaire à (AB) en B. La perpendiculaire à (AN) passant par C permet de trouver le dernier sommet D du carré ABCD.
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Autre tracé à la règle et à l'équerre
En plaçant l'angle droit d'une équerre, qui n'est pas isocèle, en A, tracer la perpendiculaire (AN) à (AB) et marquer l'hypoténuse [EF] sur la feuille. Retourner l'équerre, en permutant les petits côtés, faire un deuxième tracé de l'hypoténuse [GH]. Ces deux droites (EF) et (GH) se coupent en I et la droite (AI) est la bissectrice de BAN. Les angles BAI et NAI mesurent 45° et (AI) est une diagonale du carré. Comme ci-contre, on construit le sommet C du carré, intersection de (AI) et de la perpendiculaire à (AB) en B, et on termine le côté [CD] du carré.
Retrouver ces constructions dans : carré avec deux sommets inaccessibles |
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Sommaire1. Une perpendiculaire |
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