René DescartesDescartes et les Mathématiques

Géométrie en cinquième

Programme de géométrie en classe de cinquième : construction de triangles avec un logiciel de géométrie dynamique.

Sommaire

I Construction de triangles

1. Deux droites
2. Construire un triangle connaissant les trois côtés
3. Construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés
4. Construire un triangle connaissant un côté et deux angles adjacents
5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrés
6. Cerfs-volants inscrits dans deux cercles sécants

II Calcul d'aires

2.1. Goutte d'eau
2.2. Entre deux cercles - Une fleur de quatre pétales
2.3. Un triangle inscrit dans un rectangle
2.4. Un triangle inscrit dans un carré

Géométrie en cinquième

Médiatrices : géométrie du triangle
Hauteurs : géométrie du triangle

Somme des angles d'un triangle : triangle au collège
Construction du triangle équilatéral

Symétrique d'un point par rapport à un autre : construction au compas seul

Constructions avec contraintes - Reproduction de figures

Intersection inaccessible
  – Angle de deux droites
  – Tracer le symétrique d'un triangle
  – Construction, à la règle et l'équerre, d'une perpendiculaire ou d'un carré passant par un point inaccessible

Faire de la
géométrie dynamique

Parallélogramme

Constructions géométriques

Construction à la
règle et au compas

Problèmes de construction
au collège

Le carré

Quelques exercices où l'on regrette l'abandon des « cas d'égalité des triangles » qui fournissent un fondement de la géométrie, imparfait certes, mais sur lesquels les autres résultats reposaient solidement.

(D'après : quelques réflexions sur la géométrie et son enseignement - Daniel Perrin - Bulletin APMEP no 480 janvier-février 2009
Voir aussi : quels contenus pour l'enseignement)

Les problèmes de géométrie proposés dans les pages « Descartes et les Mathématiques » sont assez guidés. À partir d'exercices, souvent proposés en classe, nous avons abrégé la démarche expérimentale et, en raison de la nature du média Internet, nous livrons telles quelles des indications. Ceci est en général suffisant pour les élèves qui auront à s'approprier les solutions et à rédiger les démonstrations.
Les professeurs voulant utiliser ces activités en classe devront reconstituer la démarche pédagogique. Par exemple, la question « démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles » pourra être à remplacée par « que peut-on dire des droites (AB) et (CD) » ou encore de façon plus elliptique par « que peut-on dire », quitte à affronter le rigolo du fond de la classe qui répondra « rien ».

1. Deux droites

Deux droite presque parallèles ?Que dire des deux droites ci-contre ?
Avec GéoPlan, changer le cadrage en tapant sur la touche agrandir (>).

Modifier la droite (CD) en tapant sur la touche P.
Que dit alors GéoPlan, à propos de l'intersection des droites (AB) et (CD) ?

Deux droites parallélesIndications

Les deux droites ci-dessus semblent parallèles, mais GéoPlan accepte de tracer leur point d'intersection.
Vérifions avec un agrandissement où en déplaçant la vue (clic droit maintenu avec GéoPlan).

Par la touche P, l'affectation directe du point D permet de tracer une droite (CD) parallèle à (AB). GéoPlan renâcle alors à créer le point d'intersection.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_droites.g2w

Résolution de triangles

2. Construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés

Inégalité triangulaire

Programme de cinquième

Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire pour construire un triangle connaissant les longueurs des trois côtés.

Lorsque la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu.

L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC ≥ AC.
Le cas de l'égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC].

Ces constructions permettent un premier contact (implicite) avec les trois cas d'isométrie des triangles (théorèmes rencontrés en classe de 2nde).

Étant donné un segment [BC] de longueur a et deux nombres positifs b et c, construire un triangle ABC tel que AC = b et AB = c

Tracer les cercles (c1) de centre B, de rayon c
et (c2) de centre C de rayon b.

geometrie du triangle - construire un triangle connaissant trois cotes

Si les cercles (c1) et (c2) sont sécants en deux points distincts A et A’, le triangle ABC est une construction possible, le triangle A’BC est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (BC).

Dans ce cas a + bc, l'inégalité triangulaire BA + AC ≥ BC est vérifiée.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_cotes_donnes.g2w

geometrie du triangle - quatre constructions

Lorsqu'il y a une solution, si les longueurs sont distinctes, on peut construire quatre triangles, deux à deux symétriques par rapport au côté [BC], à sa médiatrice et à son milieu.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_cotes_donnes2.g2w

Commandes GéoPlan

Faire varier les longueurs BC, AB ou CA, en déplaçant les extrémités a, b ou c.

BC trop grand

geometrie du triangle - constuction du triangle impossible

Si b + c < a les cercles (c1) et (c2) sont extérieurs l'un à l'autre, la construction est impossible.

Si b + c = a les deux cercles sont tangents en A (confondu avec A’), l'égalité BA + AC = BC caractérise l'appartenance du point A au segment [BC].

BC trop petit

geometrie du triangle - constuction du triangle impossible

Si a + b < c ou a + c < b un des cercles (c1) ou (c2) est à l'intérieur de l'autre, la construction est impossible.

Si a + b = c ou a + c = b les deux cercles sont tangents intérieurement en A (confondu avec A’), le point A est sur la droite (BC).

3. Construire un triangle connaissant les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

Étant donné un segment [AB] de longueur c, un nombre positif b et un angle xÔy, tracer un triangle ABC tel que AC = b et que BÂC = xÔy.

geometrie du triangle - construire un triangle connaissant 2 cotes et un angle

Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [AB), on trace les cercles (c1) et (c2) de centres O et A et de rayon c. [Ox) rencontre (c1) en M et [Oy) en P.
Avec le compas, on reporte l'arc MP, en traçant le cercle (c3) de centre B et de rayon MP. Ce cercle coupe (c2) en Q et Q’. Les angles BÂQ et BÂQ’ sont égaux à xÔy.

[AQ) rencontre le cercle (c4) de centre A et de rayon b en C et [AQ’) en C’.

Le triangle ABC est une construction toujours possible (b > 0, c > 0 et 0 < xÔy < 180°), le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB).

Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en reportant l'angle xÔy en B sur la demi-droite [BA) on obtient deux autres triangles symétriques du triangle ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice.

Commandes GéoPlan

Faire varier les longueurs des côtés en cliquant sur b ou c ou l'angle en déplaçant les points x ou y.

La figure est plus lisible lorsque b < c, renommer éventuellement les points.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w
Voir aussi : construire un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres

4. Construire un triangle connaissant la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents

Étant donné un segment [AB] de longueur c, deux angles xÎy et zJt, dessiner un triangle ABC tel que BÂC = xÎy et ABC = zJt.

geometrie du triangle - construire un triangle connaissant un cote et 2 angles

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_2cotes_1angle.g2w

Commandes GéoPlan

Faire varier la longueur de [AB] en cliquant sur c
ou les angles en déplaçant les points x, y, z ou t

Pour reporter l'angle xÎy sur la demi-droite [AB) on trace les cercles (c1) et (c3) de centres I et A et de rayon c. [Ix) rencontre (c1) en M et [Iy) en N.
Avec le compas, on reporte l'arc MN, en traçant le cercle (c4) de centre B et de rayon MN. Ce cercle coupe (c2) en P et P’. Les angles BÂP et BÂP’ sont égaux à xÎy.

De même, pour reporter l'angle zJt sur la demi-droite [BA) on trace les cercles (c2) et (c5) et centres J et B et de rayon c. On reporte l'arc QR, en traçant le cercle (c6) de centre A et de rayon QR. Ce cercle coupe (c5) en S et S’. Les angles ABS et ABS’ sont égaux à zJt.

Si les demi-droites [AP) et [BS) sont sécantes en un point C, le triangle ABC est une construction possible. Les demi-droites [AP’) et [BS’) sont alors sécantes en C’, le triangle ABC’ est aussi une solution. Ces deux triangles sont symétriques par rapport à la droite (AB).

Si ABC n'est pas un triangle isocèle en C, en permutant les angles on obtient deux autres triangles symétriques du triangle ABC par rapport au milieu de [AB] et à sa médiatrice.

La somme des angles d'un triangle étant un angle plat :

angle A + angle B + angle C = 180°, la construction est possible lorsque angle A + angle B < 180°,
soit  xÎy + zJt < 180°.

5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrés

5.a. Construction d'un triangle isocèle ayant un angle au sommet de 80°

Report d'angle et construction du triangle isocèle avec un cercle de centre A.

Étant donné une longueur c et un angle xÔy, construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = c et que BÂC = xÔy.

geometrie du triangle - constuction d'un triangle isocele

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_iso.g2w

Commandes GéoPlan

Faire varier les longueurs des côtés égaux en cliquant sur c
ou l'angle en déplaçant x ou y.
Taper sur la touche A pour un angle de 80°.

En adaptant la construction du paragraphe 3, reporter la moitié de l'angle xÔy sur une demi-droite [AJ) passant par A.

On trace les cercles (c1) et (c2) de centres O et A et de rayon c. [Ox) rencontre (c1) en M et [Oy) en P.

La bissectrice de MÔP coupe le cercle (c1) en I qui partage l'arc MP en deux parties égales. Avec le compas, on reporte l'arc IM, en traçant le cercle (c3) de centre J et de rayon IM. Ce cercle coupe (c2) en B et C’.

L'angle BÂC est égal à xÔy.

La construction du triangle isocèle ABC est toujours possible.

Comme la somme des angles d'un triangle est 180°,
avec angle B = angle C
on a angle A + 2 angle B =180° et en divisant par 2 : angle B = 90 − A/2.

5.b. Construction d'un triangle isocèle ayant des angles à la base de 80°

Étant donné une longueur a et un angle xÔy, construire un triangle ABC isocèle en A tel que la base BC = a et que ABC = xÔy.

geometrie du triangle - constuction d'un triangle isocele

Pour reporter l'angle xÔy sur la demi-droite [BC) on trace les cercles (c1) et (c2) de centres O et B et de rayon a. [Ox) rencontre (c1) en M et [Oy) en P. Avec le compas, on reporte l'arc MP, en traçant le cercle (c3) de centre C et de rayon MP. Ce cercle coupe (c2) en A’ et l'angle A’BC est égal à xÔy.

Si la demi-droite [AA’) coupe la médiatrice de [BC], le point d'intersection A est le sommet du triangle isocèle ABC.

Cette construction n'est possible que si xÔy <90° (les angles égaux d'un triangle isocèle sont aigus).

Comme la somme des angles d'un triangle est 180°, avec angle B = angle C,
on a angle A + 2 angle B =180° et angle A = 180° −2 angle B.

Commandes GéoPlan

Faire varier la longueur de la base, en cliquant sur a
ou l'angle en déplaçant x ou y.
Taper sur la touche A pour un angle de 80°.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_iso2.g2w

6. Cerfs-volants (géométrie) inscrits dans deux cercles sécants

Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie.

Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts O et O’sont sécants en A et B.
La ligne des centres (OO’) coupe (c) en C et (c’) en D.
La droite (OO’) est la médiatrice de [AB] et est axe de symétrie de la figure.

Cercles de même rayon : chacun des cercles passe par le centre de l'autre

geometrie du cercle - 2 cercles passant par le centre de l'autre

Les droites (OO’) et (AB) sont deux axes de symétrie et leur point d'intersection I est centre de symétrie de la figure.

Les quadrilatères AOBO’ et ACBD sont des losanges d'angles 60° et 120°.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles_egaux.g2w

Voir : cercles et triangle équilatéral

Cas général : cercles de rayons différents

geometrie du cercle - cerfs-volants inscrits dans deux cercles

La ligne des centres (OO’) coupe le cercle (c) en C et E, et le cercle (c’) en D et F.
Les quadrilatères ACBD et AEBF sont des cerfs-volants, ainsi que ACBE et AFBD.
Remarquer aussi les pointes de flèche ACBF et ADBE.

g2w Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w

II. Reproduction de figures - Calculs d'aires

2.1. Goutte d'eau

reproduction de figure - goutte d'eau

A, B et C sont trois points alignés tels que : AB = 4 cm, BC = 6 cm.

Cette figure est formée de trois demi-cercles.

  – Calculer son périmètre.

  – Calculer son aire.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan goutte_eau.g2w

 

2.2. Entre deux cercles

reproduction de figure - entre deux cercles

ABCD est un carré de 1 cm de côté.

Calculer l'aire de la figure délimitée par les arcs de cercle, de centres A et C, passant par B et D.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_entre_2_cercles.g2w

Une fleur de quatre pétales : fleur du comportement

reproduction de figure - fleur du comportement

Dans un carré de 2 cm de côté, les quatre pétales sont formés par l'intersection de demi-cercles.

Calculer l'aire de la fleur formée par les quatre pétales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan fleur.g2w

Calcul d'aire d'un triangle inscrit dans un rectangle ou un carré

2.3. Un triangle dans un rectangle ou un carré

triangle inscrit dans un rectangletriangle inscrit dans un carreI, I’ et J, J’ sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD de centre O.

Un triangle est inscrit dans un rectangle de côtés de longueurs AB = 6 cm et BC = 3 cm sur la figure de gauche,
sur la figure de droite, un triangle est inscrit dans un carré de côté AB = 4 cm.

Quelle fraction de l'aire du quadrilatère ABCD représente l'aire du triangle CIJ ?

Pour cela, calculer quelles fractions de l'aire du quadrilatère représente l'aire de chacun des triangles AIJ, BIC et DCJ.

Indications

Aire(BIC) = 1/2Aire(BII’C) = 1/Aire(ABCD) ; Aire(DCJ) = 1/2Aire(DCJ’J) = 1/Aire(ABCD) ;

Aire(AIJ) = 1/2Aire(AIOJ) = 1/8Aire(ABCD),

Aire(BIC) + Aire(DCJ) + Aire(DCJ) = (1/2/ + 1/2/ + 1/8)Aire(ABCD) = 5/8 Aire(ABCD),

Aire(CIJ) = Aire(ABCD) - [Aire(BIC) + Aire(DCJ) + Aire(DCJ)] = 3/8 Aire(ABCD).

g2w Télécharger les figures GéoPlan triangle_ds_rectangle.g2w, triangle_ds_carre2.g2w

2.4. Aire d'un triangle dans un carré

geometrie du triangle - aire d'un triangle dans un carre

I est un point du côté [CD] d'un carré ABCD, de longueur AB = 4 cm.
ABI est un triangle inscrit dans le carré.

Quelle fraction de l'aire du carré représente l'aire du triangle ABI ?

Réponse
L'aire du triangle ABI est la moitié de l'aire du carré, soit 8 cm2.

g2w Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_carre_g2w

Calcul d'aires au collège :
Aire du parallélogramme, du trapèze, du triangle, aire et médiane.
Deux parallélogrammes d'aires égales
Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés
Théorème du papillon

 

Faire de la
géométrie dynamique

Carré et triangles équilatéraux
alignement de trois points

Exercice collège
angle inconnu

Construction du
pentagone régulier

Cabri-géomètre
en sixième

Table de matières

1. Deux droites
2. Construire un triangle connaissant les trois côtés
3. Construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle entre ces deux côtés
4. Construire un triangle connaissant un côté et deux angles adjacents
5. Triangles isocèles ayant un angle de 80 degrés
6. Cerfs-volants inscrits dans deux cercles sécants

II Calcul d'aires

2.1. Goutte d'eau
2.2. Entre deux cercles - Une fleur de quatre pétales
2.3. Un triangle dans un rectangle ou un carré
2.4. Un triangle dans un carré

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