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Géométrie en quatrième avec GéoPlan

Trois exercices de géométrie plane pour la classe de quatrième.

1. Médianes et centre de gravité

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Voir ci-dessous deux démonstrations de cette propriété en classe de quatrième.

2. D'un triangle équilatéral à un triangle rectangle

Construire un triangle équilatéral basé sur le rayon d'un cercle, puis basé sur le diamètre, construire le triangle équilatéral double à l'aide d'un triangle rectangle d'angles aigus 60° et 30°. Où l'on retrouve la tangente à un cercle.

À partir de deux points A et B, construire le triangle équilatéral ABC.

Le point C est à l'intersection du cercle (c) de centre A passant par B et du cercle (c’) de centre B passant par A.
Soit D le symétrique de A par rapport à B, deuxième point d'intersection de (AB) et (c’).

Triangle rectangle

Le triangle ACD, inscrit le demi-cercle de diamètre [AD], est rectangle en C.
L'angle CAD mesure 60°, l'angle complémentaire ADC mesure 30°.

Si a est la longueur d'un côté du triangle équilatéral,
le triangle ADC a une hypoténuse de longueur 2a et BC = a.

L'aire du triangle isocèle BCD est égale à l'aire du triangle équilatéral ABC (bases de même longueur a et même hauteur CH, où H est la projection, sur la droite (AB), du point C).

Grand triangle équilatéral

Le triangle rectangle ACD est la moitié du triangle équilatéral ADE, où E est le symétrique de A par rapport à C.
(CD) est une des médiatrices de ce triangle équilatéral.
Ce triangle, de côté de longueur 2a, a une aire quatre fois plus grande que celle du triangle ABC.

Tangente

Cette figure permet de construire, sans équerre, la droite (CD), tangente en C au cercle (c) ; voir : cercle au collège

Télécharger la figure GéoPlan tr_equi_rectangle.g2w

3. Diamètres de deux cercles sécants

Alignement : trois points B, E et F sont alignés si les droites (BE) et (BF) sont perpendiculaires à une même troisième.

Deux cercles (c) et (c’) de centres distincts I et J sont sécants en A et B.
La droite (IA) recoupe le cercle (c) en E et le cercle (c’) en D.
La droite (JA) recoupe le cercle (c’) en F et le cercle (c) en C.

Les points E, B et F sont alignés.

Le triangle ABE est inscrit dans un demi-cercle, les droites (AB) et (BE) sont perpendiculaires.
On montre, de même, que la droite (AB) est perpendiculaire à (BF).
Ce qui permet d'en déduire l'alignement des points E, B et F.

Les points E, C, D et F sont cocycliques

Le triangle ECA est inscrit dans un demi-cercle, les droites (EC) et (CA) sont perpendiculaires.
ECF est donc un triangle rectangle en C, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF].

De même, le triangle ADE est rectangle en D.
Le triangle rectangle EDF est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EF].

Les quatre points E, C, D et F, inscrits dans le demi-cercle de diamètre [EF], sont cocycliques.

Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w
Voir deux cercles sécants
Problème d'alignement, voir aussi : deux carrés

4. La ligne d’horizon

La plate forme du phare de la Hague (près de Cherbourg) est située à 52 mètres au-dessus de l'eau. Jusqu'à quelle distance un observateur, placé sur cette plate forme, peut-il espérer apercevoir un objet au ras de l'eau (par beau temps et mer calme) ?

Cette situation (problème de la ligne d'horizon) s'appuie sur la courbure de la surface de la sphère terrestre. Un travail préalable d'explicitation peut aider à bien appréhender le problème, avec une première schématisation « naïve ».

La modélisation proprement dite fait appel à la représentation de la sphère par un de ses grands cercles et fait donc passer de l'espace au plan.

La longueur cherchée est la longueur de la tangente au cercle, issue du sommet S (P est le pied du phare). Le passage de la première représentation à la seconde est une démarche délicate qui peut nécessiter l'intervention de l'enseignant. C'est surtout l'occasion de développer la
capacité à substituer un problème plan à un problème de l'espace.

D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle SOH rectangle en H, SH² = OS² − OH².

Deux directions d'exploitation se présentent :

1 - Le rayon de la sphère terrestre est approximativement de 6400 km, d'où le calcul à mener :
SH² ≈ 6400,052² − 6400², puis SH ≈25,8 km, solution approchée dont on peut se satisfaire dans le cadre du problème.

2 - Cette égalité peut être transformée en SH² = (R+h)² − R², qui peut conduire à un travail, plus ambitieux mais accessible sur le plan du calcul, sur la transformation d'une expression algébrique. Nous obtenons aussi une expression qui permet d'obtenir la distance d'horizon pour n'importe quel phare (ou gratte-ciel ou aéronef !). La possibilité de faire varier h permet aussi de basculer naturellement dans le domaine des fonctions.

Ressources pour les classes de 6^e, 5^e, 4^e et 3^e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement mathématique - Juillet 2007

5. Trouver un milieu

Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et I et J des points de [AC] tels que AI = IJ = JC = AC.

La droite (IM) coupe (BC) en K.

Montrer que B est le milieu de [KC].

6. Deux cercles

Soit le cercle C de centre B et de diamètre [AD] et le cercle C’ de diamètre [AB].

F est un point de C.

La droite (AF) coupe C’ en E.

Montrer que E est le milieu de [AF].

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