Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesTravaux pratiques de mathématiques assistés par ordinateur - recherche de lieux.
Sommaire1. Lieu du transformé d'un point mobile sur un cercle |
Lieux faisant intervenir des paraboles Page no 182, réalisée le 29/10/2011, mise à jour le 28/3/2012 | ||||
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Faire de la géométrie |
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Deux figures-clefs proposées dans le « point de vue d'un auteur de manuel » de Terracher aux Journées Nationales de l'APMEP de Grenoble.
ÉnoncéSoit un cercle de centre O et un point I à l'extérieur du cercle, La droite (OI) coupe le cercle en A et B.
Étant donné un point M variable sur le cercle, le rayon (MO) recoupe le cercle en N.
Les droites (IM) et (NA) se coupent en M’.
Quel est le lieu du point M’ ?
Télécharger la figure GeoGebra point_sur_cercle.ggb
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Dessiner le segment [BM]. On fait apparaître une configuration de Thalès. Les cordes [BM] et [AN] étant parallèles, dans le triangle IAM, on a IM’/IM = IA/IB ( = k). En traçant la parallèle à (OM) passant par M’, qui coupe (IA) en O’, la configuration de Thalès dans le triangle IO’M’ permet d'écrire : O’M’/OM = IO’/IO = IM’/IM. Autrefois on montrait la réciproque, en remarquant que tout point M’ de ce dernier cercle est image de M, l'un des points d'intersection de la droite (IM’) et du cercle de diamètre [AB]. |
Dualité
Il est possible de réaliser la même transformation avec le point N.
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Avant la réforme du lycée, il était possible de traiter ce lieu avec l'homothétie de centre I et de rapport IA/IB.
Voir aussi : cordes de cercles tangents et point fixe : angles - rotations
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Classe de troisième ou de seconde ; épreuve externe du CAPES
ÉnoncéC est un point libre sur un segment [AB]. Quel est le lieu du point I, milieu de [MN], lorsque le point C est variable sur [AB]. Recherche en géométrie dynamiqueDéplacer le point C. Le point I semble appartenir à une droite parallèle à (AB). Démonstration (figure ci-contre)Tracer le triangle équilatéral direct ABD. Le quadrilatère MCND, ayant ses côtés deux à deux parallèles, est un parallélogramme. Le point I milieu de la diagonale [MN] est aussi le milieu de la diagonale [CD]. Le point I est aussi situé sur la droite [M’N’] où M’ et N’ sont les milieux de [AD] et [BD]. Réciproquement, on montre que quelque soit le point I du segment [M’N’], le point C intersection de (DI) et (AB) permet de trouver les deux triangles équilatéraux ACM et CBN correspondants à I. Conclusion : le lieu du point I est le segment [M’N’].
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Voir aussi : cas particulier du triangle de Napoléon |
L’exercice
Soit [AB] un segment de longueur 1 et soit C un point de [AB] distinct de A et B.
On construit,
du même côté du segment [AB], les triangles équilatéraux ACM et CBN.
1) Existe-t-il une position du point C telle que le triangle CMN ait une aire maximale ?
2) Expliquez pourquoi cette position du point C rend minimale l’aire du quadrilatère ABNM.
La solution proposée par un élève à la question 1) dans un devoir à la maison
Comme je ne trouvais rien malgré le temps qui passait, j’ai cherché « aire d'un triangle » sur Wikipédia et j'ai trouvé trois formules :
• une qui utilise base fois hauteur mais je ne connais pas la hauteur de CMN, alors je l’ai éliminée ;
• une autre la formule de Héron, mais il faut connaître les trois côtés et je n’en connais que deux ;
• donc j’ai utilisé la troisième S = 
ab sin(C)
Je trouve S = x(1 – x) sin(60°) = 
x – x2
Le maximum est obtenu au sommet de la parabole pour x = 
= 0,5 et ce maximum
vaut f(0,5) = 
.
Le travail à exposer devant le jury
1– Quelles sont les connaissances et les compétences mises en jeu dans l’exercice ?
2– Analysez la production de l’élève. En particulier
– que dire de sa démarche ?
– son raisonnement vous semble-t-il valable ?
– comment pourriez-vous amener l’élève à justifier au niveau de la classe de seconde la formule
de l’aire du triangle qu’il utilise ?
3– Proposez une correction de la question 2) comme vous l’exposeriez devant une classe de seconde.
4– Présentez deux ou trois exercices sur le thème « optimisation ».
Conjecture avec un logiciel de géométrie dynamique
Dans un repère (O, I1, J) , représenter les points S et Q d'abscisse x et d'ordonnées les aires de CMN et AMNB.
Les traces de S et Q permettent de conjecturer que les extremums se trouvent pour x = , lorsque C, M et N sont les milieux du triangle équilatéral ABD.
Télécharger la figure GeoGebra 2_triangles_equilateraux3.ggb
Démonstration géométrique
Comme souvent dans ce site, aux calculs analytiques, nous préférons une preuve synthétique par la méthode des aires.
À une symétrie près par rapport à la médiatrice de [AB], nous pouvons choisir le point C sur [AC’] où C’ est le milieu de [AB].
Minimum de l'aire du triangle CMN
Pour montre que l'aire de CMN est inférieure à l'aire de C’M’N’, nous comparons l'aire de DMN et celle de DM’N’.
La symétrie de centre I, milieu du parallélogramme MCND, transforme le triangle CMN en DNM, triangles de même aire.
Le point M’, situé sur le côté [DM], a pour symétrique M1, intersection de (M’N’) et de (CM).
Le triangle IMM’a pour symétrique INM1, triangles de même aire.
Le triangle DMN a donc même aire que le quadrilatère DM’M1N. En ajoutant, à cette surface, le triangle équilatéral NM1N’, de côté de longueur | – x|, on obtient le triangle DM’N’.
Les triangles C’M’N’ et DM’N’, symétriques par rapport à (M’N’) ont même aire.
L'aire de CMN est égale à l'aire de C’M’N’ diminuée de l'aire du triangle équilatéral NM1N’. L'aire de ce triangle équilatéral est minimale lorsque N et N’ sont confondus. L'aire du triangle CMN est alors maximale pour x = , C est en C’.
Télécharger la figure GeoGebra 2_triangles_equilateraux4.ggb
Minimum de l'aire du quadrilatère AMNB
De la symétrie des triangles IMM’et INM1, on déduit que l'aire du quadrilatère AMNB est égale à l'aire su polygone AM’M1NB.
Cette aire est égale à celle du quadrilatère AM’N’B augmentée de celle du triangle équilatéral NM1N’.
Cette aire est minimale lorsque le triangle équilatéral est plat, avec C en C’.
On construit ensuite un troisième triangle équilatéral NMD selon la figure ci-contre (tels que les triangles ACM, CBM et NMC soient, par exemple, « directs »).
Montrer que le point D appartient à la droite (AB).
Démonstration par les angles inscrits :
Tracer la droite (d) perpendiculaire à (AB) en C.
L'angle MDN étant égal à 60°, les points M, N C et D sont cocycliques. Traçons le cercle (c) en question qui recoupe (d) en E.
Les demi-droites [CM) et [CN) font avec (d) un angle de 30° : les angles inscrits MCE et ECN interceptent les arcs égaux ME et EN ; ME = EN et la médiatrice de [MN] coupe (d) en E.
La médiatrice [ED] de [MN] est un diamètre du cercle passant par D : le triangle ECD est rectangle en C.
Par construction la droite (CE) est perpendiculaire à (AB) ; on en déduit que le point D appartient à la droite (AB).
Télécharger la figure GéoPlan 3_tri_qui.g2w
Autres figures-clefs proposées par Terracher :
– deux carrés autour de BOA ;
– aire délimitée par un périmètre de baignade ;
– aire minimale de deux carrés dans un carré
Variante du problème de l'équerre contre un mur proposé au lycée.
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Classe de troisième
Un carré ABCD, de côté de longueur a, est placée de telle façon que le point A est un point variable de l'axe des abscisses (Ox) et le point B est sur le demi-axe des ordonnées [Oy). On déplace le carré en « faisant glisser » les sommets A et B sur les axes. Montrer que le centre I du carré se déplace sur une droite issue du point O.
VariantesEn classe de quatrième avec l'étude du déplacement du milieu d'une échelle glissant contre un mur vertical, on a montré que la trajectoire du milieu J de [AB] est un quart de cercle de centre O. |
Indication
BIA et BOA sont deux triangles rectangles inscrits dans le cercle de diamètre [BA]. Dans ce cercle, les angles inscrits AOI et ABI sont égaux, égaux à 45°. Le point I se trouve sur la droite fixe passant par O faisant cet angle égal à ABC avec l'axe (Ox). Le lieu L des points est un segment porté par cette bissectrice des deux axes.
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Terminale S L'ellipse est hors programme On s'intéresse à l'étude du lieu de certains points du carré lorsque l'on fait glisser les points A et B. On a montré que pour un point G du carré situé sur le demi-cercle de diamètre [AB], le lieu est un segment porté par une droite passant par O, droite faisant un angle égal à ABG avec l'axe (Ox). La trajectoire d'un point quelconque G du carré est une demi-ellipse.
Exemple : lieu du sommet D.
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Étude du lieu du sommet D avec GeoGebra
En déplaçant le point A, on peut conjecturer que le point D semble appartenir à une conique. On trouve alors cinq positions particulières du point D : A1(a, 0) ; D1(a, a) ; D2(a GeoGebra permet de tracer la conique passant par ces cinq points.
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Deux carrés ABEF et BCDE forment un rectangle ACDF. Un point M est variable sur la demi-droite [BE). Déterminer le lieu géométrique du point I,
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L'angle AIC est droit : le point I est situé sur le demi-cercle |
Montrer que les triangles ABM et CDP sont isométriques ,
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GéoPlan |
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) ; D3(0, – a
