René DescartesDescartes et les Mathématiques

La planche à clous comme geoplan

Activités avec le geoplan pour construire des objets de la géométrie.

Sommaire

1. Le geoplan

2. Les figures de base

3. D'autres quadrilatères

4. Théorème de Pick

5. Théorème de Pythagore : figure du moulin à vent

Dans d'autres pages du site

Calculs d'aire - Théorème de Pick

Parabole dans un geoplan 5 × 5

Aire d'un quadrilatère dans un geoplan 5 × 5

GeoGebra GeoGebraBook : la planche à clous comme geoplan

C'est quoi un geoplan ?

1. Le geoplan

la planche à clous - maison dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Le geoplan, inventé par Caleb Gattegno, est un carré de bois de 30 cm de côté où sont plantées 25 pointes. Il est structuré par un réseau de (4 × 4) carrés isométriques.
On peut aussi envisager des planchettes à 9 ou 16 clous…

Les clous permettent de tendre des élastiques et de former ainsi des figures représentant des segments, des angles, des polygones, etc.

Le geoplan permet la création de multiples situations de géométrie, avec comme unité de longueur la distance entre 2 clous consécutifs situés sur une ligne parallèle aux bords du geoplan, et comme unité d’aire, l'aire d'un petit carré du réseau.

On alternera la construction avec les élastiques, le dessin sur un quadrillage et le travail sur ordinateur.

Comme ci-contre, dès la maternelle, on peut commencer par des créations libres.

geoplan vierges

la planche à clous - geoplan 3 × 3 - copyright Patrice Debart 2012

geoplan 3 × 3

9 points ; 4 unités d'aire

geoplan 4 × 4

la planche à clous - geoplan 4 × 4 - copyright Patrice Debart 2012

16 points ; 9 unités d'aire

geoplan 5 × 5

la planche à clous - geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : geoplan 3 sur 3 vierge,

  geoplan 4 sur 4 vierge,

   geoplan 5 sur 5 vierge

2. Les figures de base du geoplan

La géométrie avec une planche à clous

2.a. geoplan 3 × 3

Découpage des polygones du geoplan 3 × 3

Dans le geoplan 3 × 3, tous les triangles et les polygones (non-croisés) peuvent être obtenus à partir de deux types de triangles de base le demi-carré ABC et le triangle DEF (ou son symétrique).

Il est possible de calculer l'aire des figures avec cette décomposition en carrés et demi-carrés et en triangles de base, d'aires un demi.

Triangles de base

la planche à clous - triangles de base dans le geoplan 3 × 3 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABC) = Aire(DEF) = 0,5.

Un autre triangle

la planche à clous - triangle dans le geoplan 3 × 3 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABC) = Aire(ABI) + Aire(IBC) = 1.

GeoGebra Deux triangles du geoplan 3 × 3 ; triangle dans le geoplan 3 × 3

2.b. Approche de la notion d'aire et de périmètre du triangle

Comment calculer l'aire d'un triangle inscrit dans un carré (un carré ou un rectangle du geoplan).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : aire d'un triangle du geoplan 5 sur 5

Diverses possibilités d'étude :

  • Étude d'aire avec GeoGebra

la planche à clous - triangle dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

En cliquant successivement les sommets B, C puis A, dans cet ordre, et en terminant par le point B, GeoGebra crée le triangle poly1 et renvoie l'aire de ce du triangle dans la fenêtre algèbre.

Les côtés sont alors a = BC, b = CA et c = AB.

En validant la formule p=a+b+c dans la ligne de saisie, on obtient une valeur approchée du périmètre.

  • Par déformation en triangles d'aires équivalentes :
Méthode utilisable lorsque des éléments de la figure sont parallèles aux bords du geoplan.

  • Procéder par addition en décomposant la figure en éléments primaires (impossible sur cette figure).

  • Procéder par soustraction

en enlevant à l'aire du grand carré, les aires des triangles ou polygones extérieurs à la figure.

la planche à clous - aire d'un triangle dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABC) = Aire(MBPQ) – { Aire(MBC) + Aire(PAB) + Aire(QAC) }
Aire(ABC) = 16 – {2 + 6 + 1,5} = 6,5.

  • Utiliser la formule de Pick (cf. ci-dessous).

Aire(ABC) = i + 1/2 b – 1, où i = 6 est le nombre de points de la grille à l'intérieur du triangle

et b = 3 le nombre de points sur le bord du triangle,

  • soit Aire(ABC) = 6 + 1/2 × 3 – 1 = 6,5.

2.c. Figures, dans les geoplan 3 × 3 et 5 × 5

Figures d'aire maximale, en évitant, le plus possible, les côtés parallèles aux bords du geoplan.

Triangle

la planche à clous - triangle dans le geoplan 3 × 3

Aire(ABC) = 1,5.

Le triangle est la réunion de trois triangles d'aires 0,5 : le demi-carré GBC et les deux triangles de base GAB et GAC.

GeoGebra Triangle du geoplan 3 × 3

Carré d'aire égale à 2

la planche à clous - carré dans le geoplan 3 × 3 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 4 × 1/2 = 2.

Les diagonales se coupent en leur milieu O, sont de même longueur et sont perpendiculaires.

GeoGebra Carré dans le geoplan 3 × 3

Trapèze isocèle

la planche à clous - trapèze dans le geoplan 3 × 3 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 2 – 0,5 = 1,5.

(AB)//(DC) et AD = BC.

GeoGebra Trapèze isocèle dans un geoplan 3 × 3

Parallélogramme

la planche à clous - parallélogramme dans le geoplan 3 × 3 - copyright Patrice Debart 2012

base × hauteur = AD × DB = 2.
Aire(ABCD) = 2.

Avec les diagonales, décomposer en deux demi-carrés, plus deux triangles de base OAB et OCD.

GeoGebra Parallélogramme du geoplan 3 × 3

Triangle du geoplan 4 × 4

la planche à clous - triangle dans le geoplan 4 × 4 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABC) = 3,5.

Aire(ABC) = 9 – {1+3+1,5} = 3,5.

GeoGebra Triangle du geoplan 4 sur 4

Carré d'aire égale à 5

la planche à clous - carré dans le geoplan 4 × 4 - copyright Patrice Debart 2012

Le carré ABCD, formé du carré central A’B’C’D’ unitaire, et de quatre triangles rectangles AA’B, BB’C, CC’D, DD’A d'aires 1.

Aire(ABCD) = 1 + 4 × 1 = 5.

GeoGebra Carré dans le geoplan 4 sur 4

Trapèze isocèle particulier

la planche à clous - trapèze isocèle dans le geoplan 4 × 4 - copyright Patrice Debart 2012

(AB)//(DC) et AD = BC.
Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 4,5.

Ici, les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires ; ABCD est aussi un pseudo-carré.

GeoGebra Pseudo carré du geoplan 4 sur 4

Quadrilatère croisé

la planche à clous - quadrilatère croisé dans le geoplan 4 × 4 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABI) = 2 ;
Aire(CDI) = 0,5 ;

Aire(ABCD) = 2 + 0,5 = 2,5.

GeoGebra Quadrilatère croisé du geoplan 4 sur 4

Quatre carrés

la planche à clous - carré dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(MNPQ) = 16,
Aire(ABCD) = 8,

Aire(IJKL) = 4,
Aire(A’B’C’D’) = 2.

GeoGebra Carrés du geoplan 5 × 5

Carré d'aire égale à 10

la planche à clous - carré dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 4 + 4 × 1,5 = 10,
Aire(ABCD) = 16 – 4 × 1;5 = 10.

L'aire est obtenue en ajoutant ou en retranchant, à l'aire d'un carré, les aires de quatre triangles rectangles, d'aires 1,5.

GeoGebra Carré dans le geoplan 5 × 5

Rectangle

la planche à clous - rectangle dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 6.

Les diagonales sont de même longueur.

GeoGebra Rectangle dans le geoplan 5 × 5

Rectangle dans le geoplan 3 × 3

Voir le rectangle au collège

Parallélogramme

La planche à clous - parallélogramme dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 8.

Le nombre impair de points sur les diagonales permet de vérifier qu'elles se coupent en leur milieu.

GeoGebra Parallélogramme dans le geoplan 5 × 5

Aux isométries près, on trouve 8 familles de triangles différents dans le geoplan 3 × 3 et 29 familles de triangles dans le geoplan 4 × 4 :
voir le site de Jean-Louis Sigrist

2.d. Réseau de triangles équilatéraux

Dans les geoplans précédents, il n'est pas possible de tracer un triangle équilatéral.
Pour cela, on peut utiliser une planche à mailles triangulaires :

Réseau triangulaire

la planche à clous - réseau triangulaire 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : réseau triangulaire

Triangle équilatéral

la planche à clous - triangle équilatéral dans un réseau triangulaire 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Hexagone

la planche à clous - hexagone dans un réseau triangulaire 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Réseau d'hexagones

la planche à clous - hexagones dans un réseau triangulaire 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hexagone_reseau

Voir réseaux de triangles équilatéraux et réseaux d'hexagones

3. Autres quadrilatères

Trapèze

la planche à clous - trapèze dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 9.

(AB)//(DC)

Trapèze rectangle

la planche à clous - trapèze rectangle dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 7,5.

(AB)//(DC) et (BC) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).

Trapèze isocèle

la planche à clous - trapèze isocèle dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 12.

(AB)//(DC) et AD = BC.

Trapèze isocèle particulier

la planche à clous - trapèze isocèle dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 8.

Ici, dans ce cas particulier, les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur ; ABCD est aussi un pseudo-carré.

Losange

la planche à clous - losange dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 4.

Les diagonales se coupent en leur milieu O et sont perpendiculaires.

Autre losange

la planche à clous - losange dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 8.

Cerf-volant (géométrie)

la planche à clous - cerf-volant dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 8.

Les diagonales sont perpendiculaires et leur point d'intersection O est le milieu d'une des deux diagonales.

GeoGebra Cerf-volant du geoplan 5 sur 5

Cerf-volant pseudo-carré

la planche à clous - cerf-volant dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 8.

Ici, les deux diagonales perpendiculaires sont de même longueur, ABCD est aussi un pseudo-carré

Quadrilatère orthodiagonal

la planche à clous - quadrilatère orthodiagonal dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 6.

Les diagonales se coupent à angle droit.

GeoGebra Quadrilatère orthodiagonal du geoplan 5 sur 5

Pseudo-carré

la planche à clous - pseudo-carré dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD = 8,5.

Les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur.

GeoGebra Quadrilatère orthodiagonal du geoplan 5 sur 5

Fer de lance

la planche à clous - fer de lance dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Aire(ABCD) =
Aire(ABD) - Aire(CBD) = 6.

Exemple de quadrilatère non convexe.

GeoGebra Fer de lance du geoplan 5 sur 5

Quadrilatère croisé

la planche à clous - quadrilatère croisé dans le geoplan 5 × 5

Pas plus que GeoGebra, je ne sais pas calculer cette aire.

GeoGebra Quadrilatère croisé du geoplan 5 sur 5

Aire d'un quadrilatère inscrit dans un carré

Cas général : à l'aire du carré, retrancher l'aire des triangles bordant le quadrilatère (convexe).

4. Théorème de Pick pour le calcul d'une aire

la planche à clous - quadrilatère inscrit dans un triangle dans le geoplan 5 × 5 - copyright Patrice Debart 2012

Figure extraite de l'article aire d'un quadrilatère dans un geoplan 5 × 5

On peut calculer l'aire du quadrilatère MNQL avec la formule de Pick

Aire(MNQL) = i + 1/2 b – 1,

i = 3 est le nombre de points de la grille à l'intérieur du quadrilatère et b = 5 le nombre de points sur le bord du quadrilatère,
soit Aire(MNQL) = 3 + 1/2 × 5 – 1 = 4,5.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : transformer un quadrilatère en triangle dans le geoplan

      Cocher la case geoplan 5 × 5

5. Théorème de Pythagore

Figure d'Euclide dite du « moulin à vent »

la planche à clous - moulin à vent dans le geoplan 4 × 4 - copyright Patrice Debart 2012

Soit OAB un triangle rectangle en O, tel que :
a = OA = 1 ; b = OB = 1;
Aire(OACD) = a2 = 1 ; Aire(OEFB) = b2 = 1.

c = AB ; le carré ABGH, formé de quatre demi-carrés unitaires, a pour aire c2 = 4 × 1/2 = 2 ;
on a bien la propriété de Pythagore : a2 + b2 = c2, d'où c = racine de 2.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : moulin à vent du geoplan 4 × 4

Voir : théorème de Pythagore et Euclide

la planche à clous - moulin à vent dans le geoplan 6 × 6 - copyright Patrice Debart 2012

Soit OAB un triangle rectangle en O, tel que :
a = OA = 1 ; b = OB = 2 ;
Aire(OACD) = a2 = 1 ; Aire(OEFB) = b2 = 4.

c = AB ; le carré ABGH, formé d'un carré central unitaire, et de quatre triangles rectangles d'aire 1, a pour aires c2 = 5 ;
on a bien la propriété de Pythagore : a2 + b2 = c2, d'où c = rac(5).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : moulin à vent du geoplan 6 sur 6

Retrouver ces carrés dans la page carré d'aire 5

et dans GeoGebra Tube : moulin à vent d'Euclide dans un quadrillage

Table des matières

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Bibliographie : APMEP – Plot no 32 – Quatrième trimestre 2010 – « Le geoplan, alias la planche à clous » – Renée Vanderstraeten

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