René DescartesDescartes et les Mathématiques

Les quadrilatères au collège avec un logiciel de géométrie dynamique

Quadrilatère orthodiagonal, cerf-volant, pseudo-carré, quadrilatère inscriptible, antiparallélogramme.

Quadrilatères remarquables

1. Définitions
2. Quadrilatères particuliers
3. Trapèze
4. Chevron
5. Quadrilatère orthodiagonal
6. Cerf-volant (géométrie)
7. Pseudo-carré
8. Quadrilatère inscriptible
8.c;. Théorème de Ptolémée
8.d. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal
9. Antiparallélogramme

Droites remarquables dans un quadrilatère

10. Bissectrices d'un quadrilatère
11. Centre de gravité d'un quadrilatère
12. Médiatrices d'un quadrilatère

La planche à clous comme géoplan

Trapèze

Aire du trapèze
Trapèze isocèle

Parallélogramme

Collège : parallélogramme, losange, rectangle
Lycée

Aire du parallélogramme

Rectangle au collège
Carré au collège

Quadrilatère de Varignon

La géométrie dynamique

Polygones
réguliers

Constructions géométriques

Construction à
la règle et au compas

Problèmes de construction au collège

Calculs d'aires

Quadrilatères remarquables

Quels sont les quadrilatères remarquables ?

1. Définitions

Polygone convexe, concave

en : quadrilateral
de : Viereck

Polygone convexe : polygone plan dont les sommets sont dans un même demi-plan par rapport à n'importe quel côté du polygone.
Polygone concave : polygone qui n'est pas convexe, on dit aussi polygone non convexe.

Quadrilatère convexe, concave, croisé

Un quadrilatère ABCD est un polygone qui a quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les quatre points A, B, C, D, situés dans un même plan, tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés, sont les sommets du quadrilatère.
Les points A et C d'une part, B et D d'autre part, sont des sommets opposés.
Les diagonales [AC] et [BD] sont les segments qui joignent deux sommets opposés.

Un quadrilatère est convexe si les deux diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère est concave si (au moins) une des diagonales est à l'extérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère est croisé si les deux diagonales sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave (papillon).

2. Quadrilatères particuliers

On peut classer les quadrilatères suivant les longueurs des côtés ou des diagonales, le parallélisme des côtés (trapèze, parallélogramme) ou leurs angles, l'orthogonalité des diagonales (cerf-volant), les éléments de symétrie (antiparallélogramme) ou l'inscription d'un cercle.

En classe de 5e se fait l'étude du parallélogramme, préparée en 6e par les parallélogrammes particuliers : losange, rectangle ou carré.
Dans cette page, on trouvera l'étude de quadrilatères orthodiagonaux ou inscriptibles.

Quadrilatère quelconque

quadrilatere quelconque - copyright Patrice Debart 2007

Le quadrilatère ABCD est un polygone convexe qui a :
quatre sommets A, B, C et D ;
quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] ;
deux diagonales (AC), (BD) ;
le point d'intersection des diagonales I est le point diagonal.

g2w Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere.g2w

Quadrilatère complet

quadrilatere complet - copyright Patrice Debart 2007

Le quadrilatère complet, formé avec les points A, B, C et D, a :
quatre côtés, situés sur les droites (AB), (CD), (AD) et (BC) ;
six sommets A, B, C, D, E et F ;
trois diagonales (AC), (BD) et (EF) ;
leurs points d'intersection I, J, K sont les trois points diagonaux.

g2w Télécharger la figure GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu), quadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales)

Retrouver cette figure dans diagonales d'un quadrilatère complet

Quadrangle

quadrilatere - quadrangle - copyright Patrice Debart 2007

 

Les quatre points A, B, C et D sont les sommets du quadrangle.

Les six droites joignant les points deux à deux sont les côtés du quadrangle.

Si le quadrangle est complet, les trois points diagonaux I, E et F sont les intersections des paires de côtés opposés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan quadrangle.g2w

Quadrilatère complet

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques (lycée 1ère S - TS) : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Ici, nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :
le quadrilatère complet a quatre côtés, six sommets, trois diagonales et trois points diagonaux.

Lycée 1ère S - TS, voir : plan projectif et trapèze complet

Quadrangle

Un quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle.
Les six droites joignant ces points deux à deux sont les côtés du quadrangle.
Deux côtés qui n'ont pas de sommet en commun sont dits opposés.
Deux côtés opposés (non parallèles) ont un point commun appelé point diagonal du quadrangle.
Un quadrangle complet (dont les côtés ne sont pas parallèles) a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.

Voir : points caractéristiques du triangle

Quadrangle orthocentrique

Wikipédia :
Quadrilatère
Quadrilatère complet
Quadrangle

Quadrilatère gauche

C'est un quadrilatère dont les quatre sommets n'appartiennent pas au même plan.
Les côtés et les diagonales forment alors un tétraèdre. L'étude du quadrilatère gauche en lui-même n'a pas de grand intérêt pédagogique.
Nous nous limiterons ici, « avec GéoPlan », aux quadrilatères plans.

Quadrilatères quelconques

Un quadrilatère, autre que les quadrilatères usuels définis dans cette page, est dit quelconque. Un quadrilatère quelconque a ses côtés et ses diagonales de longueurs distinctes, ils ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires. Le quadrilatère quelconque n'a pas de symétrie et n'est pas inscrit dans un cercle.
Les quadrilatères quelconques offrent peu d'intérêt, mais permettent de voir ce qui se cache derrière les définitions des quadrilatères usuels.

Technique GéoPlan : calcul de l'aire d'un quadrilatère

Il n'y pas de fonction dans le logiciel pour calculer l'aire d'un quadrilatère. Avec GéoPlan, comme souvent dans la vie courante, on peut le décomposer en deux triangles le long d'une des diagonales. Calculer l'aire de chacun des triangles formés par cette diagonale et deux côtés consécutifs correspondants, puis additionner les deux aires.

s1 aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)
s2 aire du triangle ADC (unité de longueur Uoxy) s = s1+s2

Il est aussi possible de transformer un quadrilatère convexe en triangle.

3. Trapèze

quadrilatere - trapeze quelconque - copyright Patrice Debart 2007

Défintion du trapèze : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ;

lorsque le trapèze n'est pas un parallélogramme, les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base.

Certains imposent comme condition supplémentaire la convexité du quadrilatère, ce qui exclut le « trapèze croisé ».

g2w Télécharger la figure GéoPlan trapeze.g2w

Propriétés du trapèze

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s'il possède une paire d'angles consécutifs de somme égale à 180 degrés.
Remarque : Dans un trapèze, la somme de deux angles consécutifs n'est pas toujours égale à 180°. (contre-exemple lorsque le trapèze n'est pas un parallélogramme : les angles adjacents à une même base)

quadrilatere - trapeze rectangle - copyright Patrice Debart 2007Trapèzes particuliers

Quadrilatère ayant deux angles droits

Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède un angle droit.

Un trapèze rectangle, qui n'est pas un carré, a exactement deux angles droits.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trapeze_rect.g2w

Aire du trapèze rectangle

On applique la formule générale pour l'aire du trapèze :

L'aire d'un trapèze est égale au produit de la moyenne des bases par sa hauteur,

La hauteur est alors égale à la longueur du côté perpendiculaire aux bases,  ici égale à AD :

b = AB, b’ = CD, h =AD : Aire(ABCD) = (b+b')/2 × h.

Voir aussi : seconde : partage en deux d'un trapèze rectangle
1S : diagonales orthogonales d'un trapèze rectangle avec le produit scalaire
lL : aire maximum d'un rectangle inscrit dans un trapèze rectangle

Trapèze isocèle

Un quadrilatère est un trapèze isocèle si c'est un trapèze et s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
  • Les deux côtés opposés, non parallèles, sont de même longueur.
  • La médiatrice d'une des bases est axe de symétrie du trapèze. Elle est aussi la médiatrice de l'autre base.
  • Deux angles adjacents à une même base sont égaux,
    Les angles opposés sont supplémentaires.

Les côtés non parallèles se coupent en I, point situé sur l'axe de symétrie.
De même, les diagonales sont concourantes en un point J, situé sur l'axe de symétrie.

Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S).

Deux droites parallèles coupent un cercle selon un trapèze isocèle ; voir :
  • un exemple avec les angles inscrits
  • Réciproque : une construction de parallèle

Voir : aire du trapèze
Trapèzes dans la planche à clous

quadrilatere - trapeze isocele - copyright Patrice Debart 2007

Trapèze isocèle

g2w Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele.g2w

4. Quadrilatère concave : chevron

Quadrilatère non convexe

quadrilatere concave - chevron (geometrie) - copyright Patrice Debart 2007

g2w Télécharger la figure GéoPlan chevron.g2w

Quadrilatère concave

Le Chevron ABMC est un exemple de quadrilatère non convexe : la diagonale [BC] est à l'extérieur du quadrilatère.

Théorème du chevron

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC),
alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport BA'/A'C.

5. Quadrilatère orthodiagonal

Quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.

quadrilatere orthodiagonal convexe - copyright Patrice Debart 2007

Quadrilatère orthodiagonal convexe

quadrilatere orthodiagonal - chevron non convexe - copyright Patrice Debart 2007

Chevron orthodiagonal non convexe

quadrilatere orthodiagonal - non convexe - copyright Patrice Debart 2007

Autre chevron

quadrilatere orthodiagonal inscrit dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2007

Quadrilatère orthodiagonal
inscrit dans un rectangle.

quadrilatere - chevron inscrit dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2007

Chevron inscrit dans un rectangle.

quadrilatere orthodiagonal croise - copyright Patrice Debart 2007

Quadrilatère orthodiagonal croisé.

Quadrilatères orthodiagonaux particuliers : pseudo-carré, cerf-volant, losange, carré

g2w Télécharger la figure GéoPlan quadri_orthodiagonal.g2w

Calcul de l'aire du quadrilatère orthodiagonal non croisé

Le quadrilatère orthodiagonal convexe ABCD, de la figure ci-dessus à gauche, est inscrit dans un rectangle.
L'aire du rectangle est égale au produit des longueurs des diagonales AC × BD.
L'aire du quadrilatère orthodiagonal est alors égale à la moitié : 1/2 AC × BD.

Formule de l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal

L'aire d'un quadrilatère orthodiagonal ABCD est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales :

Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD.

(Conforme au cas général étudié au lycée : l'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment – Le sinus d'un angle droit vaut 1.)

Ce résultat est encore valable pour les chevrons orthodiagonaux :
par exemple, dans la figure du milieu l'aire du quadrilatère est égale à la somme des aires des triangles ABC et ABD. Leurs aires sont la moitié des aires des rectangles ACQP et ACRS, soit la moitié du rectangle PQRS.
L'aire du quadrilatère orthodiagonal ABCD, non croisé, est encore 1/2 AC × BD.

Ce calcul ne permet pas de trouver l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal croisé – Le décomposer en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des diagonales.

Exemple de calcul d'aire d'un quadrilatère non convexe, non croisé, voir : prenons de la hauteur

6. Cerf-volant (géométrie)

Classe de sixième

En géométrie plane, le cerf-volant est un quadrilatère orthodiagonal symétrique par rapport à une de ses diagonales.
C'est un quadrilatère isocèle.

On le nomme aussi rhomboïde : quadrilatère en forme de losange.
Dérivé de rhombe, l'ancien nom français du losange, provenant du latin rhombus, mot conservé en anglais pour le losange.

quadrilatere - cerf-volant (geometrie)
quadrilatere - cerf-volant inscrit dans un rectangle

quadrilatere - pointe de fleche (geometrie)

Pointe de flèche (ou fer de lance).

Le cerf-volant est un quadrilatère tangentiel quadrilatere - cercle inscrit dans le cerf-volant - copyright Patrice Debart 2007

g2w Télécharger les figures GéoPlan cerf_volant.g2w, cerf_volant_cercle_inscrit.g2w

Rétrolien Wikipédia :  Cerf-volant

Le cerf-volant ABCD étant un quadrilatère orthodiagonal non croisé, son aire est égale à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales :
Aire(ABCD) = 1/2 AC × BD.

La pointe de flèche, cerf-volant concave, ne doit pas être écartée de l'étude des quadrilatères en classe de 6e.

Cerf-volants particuliers : losange, carré.

Cercle inscrit

Le cerf-volant est un quadrilatère tangentiel : les quatre côtés sont tangents à un même cercle, inscrit dans le quadrilatère.

Classe de troisième

ABCD est un cerf-volant convexe. Tracer le point I, intersection de la bissectrice de l'angle ABC – angle de côtés de longueurs différentes – avec l'axe de symétrie (AC) du cerf-volant.

I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, et en raison de la symétrie, ce cercle est inscrit dans le quadrilatère.

Le cercle inscrit est construit grâce au point H, projection orthogonale de son centre I sur le côté [AB].

7. Pseudo-carré

Quadrilatère orthodiagonal dont les deux diagonales sont de même longueur.

quadrilatere - pseudo-carre - copyright Patrice Debart 2007
quadrilatere - pseudo-carre inscrit dans un carre - copyright Patrice Debart 2007

Le pseudo-carré convexe est inscrit dans un carré. L'aire du pseudo-carré ABCD est égale à la moitié de celle du carré, de côté la longueur d'une diagonale :
Aire(ABCD) = 1/2 AC2.

Exemples, voir : Quadrilatères dans la planche à clous
quadrilatère de Varignon, Carrés de Varignon
Configuration de Von Aubel

Cas particulier : carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan pseudo_carre.g2w

8. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques

Classe de 3e

Définitions

Des points cocycliques sont situés sur un même cercle.
Un quadrilatère est inscriptible si les quatre sommets sont cocycliques
.

Un quadrilatère est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires.

Exercice

ABCD est un quadrilatère inscrit, dans un cercle de centre O, tel que l'angle ADC = 72°.
  – Calculer l'angle ABC.

Figure : construire une diagonale [AC] qui sous-tend un angle de 72° avec la construction de Ptolémée
À partir de rayons perpendiculaires d'un cercle (c), tracer le cercle de Ptolémée (c2) de centre K, milieu de [OI’], passant par J. Ce cercle coupe [OI] en U.
Tracer le cercle (c3) de centre J, passant par U. Les points d'intersection des cercles (c) et (c3) déterminent la diagonale [AC].
Placer les deux autres sommets comme points variables sur le cercle (c).

8.a. Quadrilatère convexe

quadrilatere inscrit - copyright Patrice Debart 2007

Placer les deux sommets D et B sont de part et d'autre, au-dessus et en dessous, de la diagonale [AC].

Le quadrilatère convexe ABCD est inscriptible : deux angles opposés sont supplémentaires.

ABC + ADC = ABC + 72° = 180°, d'où ABC = 108°.

g2w Télécharger la figure GéoPlanquadri_inscrit_72.g2w

8.b. Quadrilatère croisé (papillon)

quadrilatere inscrit croise - copyright Patrice Debart 2007

Placer B et D d'un même côté, en dessous de la diagonale [AC].

Le quadrilatère croisé ABCD est inscriptible : deux angles opposés sont de même mesure.

ABC = ADC = 72°.

Pour d'autres figures, voir la page : angles inscrits

8.c. Théorème de Ptolémée

quadrilatere - theoreme de Ptolemee - copyright Patrice Debart 2007 Théorème : un quadrilatère convexe est inscriptible, si et seulement si la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales.

Avec les notations de la figure ci-contre : AB × CD + BC × DA = AC × BD.

 

Démonstration, voir : cercle en seconde

g2w Télécharger la figure GéoPlan ptolemee.g2w

8.d. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal

quadrilatere inscriptible orthodiagonal - copyright Patrice Debart 2007

g2w Télécharger la figure GéoPlan qua_insc.g2w

Classe de seconde

Théorème de Brahmagupta (mathématicien indien du VIIe siècle) :

si les diagonales d'un quadrilatère inscriptible sont perpendiculaires l'une à l'autre et se coupent en un point O, une droite passant par O et perpendiculaire à l'un quelconque des côtés coupe le côté opposé en son milieu.

Démonstration, voir : cercle en seconde

Cercle des huit points d'un quadrilatère orthodiagonal, voir en 1ère S : produit scalaire

L'aire du quadrilatère orthodiagonal, 1/2 AC × BD, est minimale lorsque le centre J du cercle est situé sur une des diagonales,
elle est maximale lorsque J est sur une des bissectrices de l'angle formé par les diagonales.

8.e. Quadrilatère tangentiel (ou circonscriptible)

Cercle inscrit

Pour qu'un quadrilatère convexe possède un cercle inscrit, il faut que ses bissectrices soient concourantes. Leur point d'intersection est alors le centre du cercle.
Un point de ce cercle se trouve en traçant la projection orthogonale du centre, sur l'un des côtés du quadrilatère.

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

Quadrilatére tangentiel

Les quatre côtés sont tangents à un même cercle, inscrit dans le quadrilatère.

Théorème de Pitot, démontré en 1725 par l'ingénieur français Henri Pitot : dans un quadrilatère tangentiel, la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres.

Pour le démontrer, il suffit de décomposer ces quatre longueurs, selon les points de tangence, en huit longueurs égales deux à deux.

Les cerfs-volants, losanges et carrés sont des quadrilatères tangentiels

Quadrilatère bicentrique : quadrilatère à la fois inscriptible et tangentiel.

9. Antiparallélogramme

Propriétés des quadrilatères croisés

Rappel : les deux diagonales d'un quadrilatère croisé sont à l'extérieur du quadrilatère.
C'est un quadrilatère concave dit papillon.

Pour calculer l'aire, décomposer le papillon en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des côtés.

Papillons particuliers :
  • orthodiagonal,
  • Inscriptible,
  • antiparallélogramme :

quadrilatere - antiparallelogramme - copyright Patrice Debart 2007Un antiparallélogramme ABCD est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés sont de même longueur, deux à deux :
    AB = CD et AD = CB.

Dans un antiparallélogramme les angles opposés ont la même mesure.

Les diagonales (AC) et (BD) sont parallèles.

L'antiparallélogramme admet un axe de symétrie qui est la médiatrice des diagonales.

Deux côtés opposés ont leur point d'intersection situé sur cette médiatrice.

Le quadrilatère convexe ABDC formé par les deux côtés non croisés et les diagonales est un trapèze isocèle.

Un antiparallélogramme est un quadrilatère inscriptible (les quatre sommets sont cocycliques, car les angles ABC et ADC sont égaux).

Un antiparallélogramme, n'étant pas convexe, n'est pas un parallélogramme.

g2w Télécharger la figure GéoPlan antiparallelogramme.g2w

Figure articulée

quadrilatere articule - copyright Patrice Debart 2007 AD = BC = a ; AB = CD = b ; a > b.

Si les sommets A, B, C et D sont articulés, la figure varie, mais le produit p = DB × CA reste constant.
Cette constante p est égale à a² − b².

Démonstration : elle se fait, après le bac, en considérant la puissance du point C par rapport au cercle de centre B passant par A :
p = CE × CA = DB × CA ; les côtés [CE] et [DB] sont égaux, car CEBD est un parallélogramme.

g2w Télécharger la figure GéoPlan antiparallelogramme_puissance.g2w

Droites remarquables des quadrilatères (au lycée)

10. Bissectrices d'un quadrilatère

quadrilatere - bissectrices - copyright Patrice Debart 2007Les intersections des bissectrices intérieures d'un quadrilatère forment un quadrilatère inscriptible.

Démonstration

Calcul d'angles en radians au lycée

Montrer que s = (vect(MN), vect(MQ)) + (vect(PQ), vect(PN)) = π (modulo 2π).

Par angles égaux (éventuellement opposés par le sommet) on a :
s = (vect(MN), vect(MQ)) + (vect(PQ), vect(PN)) = (vect(MA), vect(MD)) + (vect(PC), vect(PB)).

La somme des angles d'un triangle étant égale à π, dans les triangles MAD et PCB on a :
s = π − (vect(AD), vect(AM)) − (vect(DM), vect(DA)) + π − (vect(BP), vect(BC)) − (vect(CB), vect(CP)),
s = (vect(AM), vect(AD)) + (vect(DA), vect(DM)) + (vect(BC), vect(BP)) + (vect(CP), vect(CB)) (2π).

Les bissectrices partagent en deux les angles du quadrilatère :
s =1/2 [(vect(AB), vect(AD)) + (vect(DA), vect(DC)) + (vect(BC), vect(BA)) + (vect(CD), vect(CB))].

La somme des angles du quadrilatère est 2π : d'où s =1/2 [2π] = π.

Les angles opposés (vect(MN), vect(MQ)) et (vect(PQ), vect(PN)) sont supplémentaires. Le quadrilatère MNPQ est inscriptible.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bissectrice_quadrilatere.g2w

Cas particulier : bissectrices d'un parallélogramme

11. Centre de gravité d'un quadrilatère

isobarycentre d'un quadrilatere - copyright Patrice Debart 2007 Définition : les médianes (bimédianes) sont les segments reliant les milieux de deux côtés opposés d'un quadrilatère.

Propriété : les deux médianes et le segment joignant les milieux des diagonales sont concourants au point G, centre de gravité du quadrilatère, qui est leurs milieux.

Par abus de langage, on dit parfois que G est le centre du quadrilatère ;
c'est le centre de symétrie pour le parallélogramme.

Voir aussi le centre d'Euler du quadrilatère.

g2w Télécharger la figure GéoPlan quad_f16.g2w

Voir : théorème de Varignon

Retrouver cette figure et la démonstration sur la page barycentre.

12. Médiatrices d'un quadrilatère

Les médiatrices d'un quadrilatère ABCD se coupent en P, Q, R et S.
Que dire de PQRS ?

Déplacer les points A, B, C ou D. Étudier les cas particuliers.

Le point P est confondu avec Q, qu'en est-il de R et S. Montrer que les points A, B, C, D sont alors cocycliques sur un cercle de centre P.

mediatrices d'un quadrilatere - copyright Patrice Debart 2007

Les angles BAD et SPQ sont supplémentaires…

Commande GéoPlan : taper C pour le cercle circonscrit à BCD.

g2w Télécharger la figure GéoPlan quadri_mediatrice.g2w

Médiatrices d'un parallélogramme

quadrilatere - mediatrices d'un parallelogramme - copyright Patrice Debart 2007

(PQ) et (RS) sont parallèles…

g2w Télécharger la figure GéoPlan para_mediatrice.g2w

Médiatrices d'un cerf-volant (géométrie)

quadrilatere - mediatrices d'un cerf-volant - copyright Patrice Debart 2007

ABCD est un cerf-volant d'axe de symétrie (BD).
Montrer que PQRS est aussi un cerf-volant d'axe de symétrie (BD).

g2w Télécharger la figure GéoPlan cerf_volant_mediatrice.g2w

Médiatrices d'un losange

quadrilatere - mediatrices d'un losange

PQRS est aussi un losange ayant les mêmes diagonales que ABCD.

g2w Télécharger la figure GéoPlan losange_mediatrice.g2w

 

Triangle

Cercle

Exercices de géométrie
au collège

Construction du
pentagone régulier

Cabri-Géomètre
TP en sixième

Quadrilatères remarquables

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2. Quadrilatères particuliers
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7. Pseudo-carré
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8.d. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal
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Droites remarquables dans un quadrilatère

10. Bissectrices d'un quadrilatère
11. Centre de gravité d'un quadrilatère
12. Médiatrices d'un quadrilatère

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