René DescartesDescartes et les Mathématiques

Le rectangle au collège avec un logiciel de géométrie dynamique

Comment tracer un rectangle à la règle et au compas.

Sommaire

1. Dessiner un rectangle
2. Le rectangle dans la planche à clous avec GeoGebra
3. Dessiner un rectangle de longueur 5, de largeur 3
4. Comparer deux longueurs
5. Balade sur l'hypoténuse avec GéoPlan
6. Diagonale mobile
7. Quadrilatère dans un rectangle : napperon
8. Taille d'une bille inscrite dans un rectangle

Le rectangle au collège

Construire un rectangle connaissant la longueur d'un côté et de la diagonale

Rectangle d'or
Partages en trois du rectangle

Droites perpendiculaires dans un rectangle
Point variable dans un rectangle

Euclide : partage en deux d'un rectangle avec quatre rectangles

Le rectangle au lycée

Calculs d'aires dans un rectangle

Duplication du rectangle
Cinq quadratures du rectangle

Triangle inscrit dans un rectangle : pliage du coin d'une feuille, un devoir qui ne fait pas un pli !
Droites perpendiculaires dans un rectangle (ayant le format du papier A4)

Rectangle d'aire maximale

Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle rectangle – démonstration avec une parabole – démonstration géométrique

GeoGebra Aire minimale d'un triangle inscrit dans un rectangle
    – Figures interactives avec GeoGebra

Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un trapèze
Rectangle inscrit dans un rectangle

Rectangle maximal inscrit dans un triangle isocèle

GeoGebra Aire délimitée par un périmètre de baignade
      – Figure interactive avec GeoGebra

Carré d'aire maximale : olympiades Versailles 2005

Faire de la
géométrie dynamique

Parallélogramme

Le carré

Aire du parallélogramme

Calculs d'aires

Faire de la
géométrie au collège

1. Construire un rectangle

construire un rectangle - copyright Patrice Debart 2011Comment faire un rectangle avec GéoPlan

Dessiner le segment [AB], tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A,
placer un point D sur cette perpendiculaire,
tracer les parallèles à (AB) passant par C et à (BC) passant par A,
C est le point d'intersection de ces deux parallèles.

Tracer les segments [BC], [CD] et [AD].

Il est possible de tracer les diagonales et le cercle circonscrit au rectangle.

Commandes GéoPlan
Touche M : Masquer les constructions,
touche D : afficher les Diagonales,
touche C : afficher le Cercle circonscrit et son centre O.

g2w Télécharger la figure de base GéoPlan rectangle.g2w ; la figure GéoPlan rectangl.g2w

Comment calculer la longueur d'une diagonale d'un rectangle

Les deux diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu :
Pour la diagonale [AC], étudier un des des triangles rectangle ABC ou ADC, et y calculer AC  avec le théorème de Pythagore :

AC2 = AB2 + BC2 = L2 + l2 pour un rectangle de longueur AB = L et de largeur BC = l.

Aire d'un rectangle

L'aire du rectangle de longueur L et de largeur l est égale au produit Ll.

De tous les rectangles de périmètre donné, celui qui a l'aire maximum est le carré.

2.Le rectangle dans la planche à clous avec GeoGebra

Géoplan 3 × 3

la planche a clous - rectangle dans le geoplan 3 × 3 - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2011

Aire(ABCD) = 2.
longueur × largeur = AB × AD = 2.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : rectangle dans le géoplan 3 × 3

Géoplan 5 × 5

la planche a clous - rectangle dans le geoplan 5 × 5 - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2011

Aire(ABCD) = 6.

Les diagonales sont de même longueur 2rac(5).

GeoGebraFigure interactive dans GeoGebra Tube : rectangle dans le géoplan 5 × 5

3. Construire un rectangle de longueur 5 et de largeur 3

rectangle - construction - copyright Patrice Debart 2011 Comment construire un rectangle avec règle et compas

Placer un point A, dessiner une demi-droite d'origine A et un cercle de centre A et de rayon la longueur 5 ;
le point B est à leur intersection, tracer le segment [AB].

Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A et un cercle de centre A et de rayon la larguer 3 ;
placer le point D sur cette perpendiculaire, à une des intersections avec le cercle, dessiner le segment [AD].

Tracer les parallèles à (AB) passant par C et à (BC) passant par A ;
Le quatrième sommet C est le point d'intersection de ces deux parallèles ;
tracer les segments [BC] et [CD].

g2w Télécharger la figure GéoPlan dessiner_rectangle.g2w

4. Comparer deux longueurs

Définitions et propriétés

  • Les définitions et les propriétés contribuent à développer la connaissance des objets et leur intérêt pour représenter les situations. Elles constituent d'autre part, dans le cadre de la géométrie, les références nécessaires sur lesquelles peut se faire l'apprentissage du raisonnement déductif.

Ainsi, l'exemple suivant, dans lequel les justifications sont simples et accessibles aux élèves, permet de réinvestir d'une façon non triviale le fait que les diagonales d'un rectangle sont de même longueur (et que tous les rayons d'un même cercle sont de même longueur).

rectangle - comparer deux longueursLa figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires.
OIAJ et OKBL sont deux rectangles.
Comparer les longueurs des segments [IJ] et [KL] ?

L'étude ne vise pas un simple traitement instrumenté, mais concerne une configuration sur laquelle fonctionnent des propriétés. Il ne s'agit plus de modélisation pour résoudre un problème concret, mais d'une situation purement abstraite, représentative d'une autre famille de problèmes de géométrie, relative à l'utilisation directe (sans changement de cadre) d'un corpus de définitions et de propriétés pour établir une preuve.

Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e et 3e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement mathématique - Juillet 2007

Avec la géométrie dynamique

rectangle - comparer deux longueurs - copyright Patrice Debart 2011

Classe de sixième

La figure ci-contre représente un cercle de centre O, [MN] et [PQ] sont deux de ses diamètres perpendiculaires.

OHAI et OJBK sont deux rectangles.

Que peut-on dire des longueurs des deux segments [HI] et [JK] ?

Indications

Les justifications sont simples et accessibles aux élèves, et permettent de réinvestir, d'une façon non triviale, le fait que les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et que tous les rayons d'un même cercle sont de même longueur.

g2w Télécharger la figure GéoPlan comparer_longueur.g2w

Voir L@ feuille à problèmes : Transformations d'un problème

5. Balade sur l'hypoténuse avec GéoPlan

Recherche de minimum : comment caractériser le point solution ?

Il s'agit d'étudier le problème suivant :
Dans un triangle ABC rectangle en C, M est un point de l'hypoténuse, H et K sont sur les côtés de l'angle droit, tels que HMKC soit un rectangle.

Pour quelle position du point M la longueur du segment [HK] est-elle la plus petite possible ?

Variante : rectangle dans un triangle rectangle

Pour quelle position du point M, le rectangle inscrit dans le triangle rectangle OAB a t'il une aire maximale ?

rectangle - balade sur l'hypotenuse - copyright Patrice Debart 2011

rectangle - balade sur l'hypotenuse - copyright Patrice Debart 2011Solution

La résolution s'appuie sur l'isométrie des diagonales d'un rectangle et sur la notion de distance d'un point à une droite.

Le point solution est le pied de la hauteur issue de l'angle droit.

Rappel des commandes GéoPlan

Le déplacement de M se fait au clavier ou à la souris,

touche T : Trace du point S,
touche S : Sortir du mode trace,
la touche L fait apparaître ou disparaître le Lieu de S,

touche D : Démontrer la solution.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan balade_hypotenuse.g2w

6. Lieu de point : diagonale mobile

rectangle - lieu geometrique du sommet et diagonale moblile - figure Geogebra copyright Patrice Debart 2011

O est un point d'une droite (d1).
Une demi-droite (d2) est perpendiculaire en O à la droite (d1).
N est un point variable sur la droite (d1) et P est un point variable sur la demi-droite (d2) tels que PN = 5 cm.
On trace le point M tel que ONMP soit un rectangle.
Quel est le lieu géométrique du point M lorsque l'on déplace les points N ou P  ?

Voir L@ feuille à problèmes : Transformations d'un problème
un lieu mystérieux : revue.sesamath.net – le LGD mène l'enquête

rectangle - lieu geometrique du sommet et diagonale moblile - figure Geogebra copyright Patrice Debart 2011

La résolution s'appuie sur l'isométrie des diagonales d'un rectangle.

La construction d'un segment de longueur constante dont les extrémités sont mobiles sur des perpendiculaires nécessite la construction d'un cercle de rayon 5 cm, par exemple celui de centre N.

Le lieu solution est un demi-cercle de centre O et de rayon 5 cm.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : diagonale mobile d'un rectangle

7. Quadrilatère dans un rectangle : napperon

Petit x no 80 – Collège Bartholdi - Boulogne

Sur une table rectangulaire ABCD, on veut placer un napperon ayant la forme d'un quadrilatère MNPQ. On souhaite que l'aire du napperon soit égale à la moitié de l'aire de la table.

Les sommets du napperon sont situés sur les côtés du rectangle avec M un point de [AB], N un point de [BC], P un point de [CD] et Q un point de [DA].

7.a. Réaliser une figure en utilisant un logiciel de géométrie (pour les sommets du rectangle, choisir la longueur L et la largeur l de telle façon que les coordonnées de A, B, C et D soient entières).

quadrilatere inscrit dans un dans rectangle - copyright Patrice Debart 2011

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan Napperon.g2w

parallelogramme dans rectangle - copyright Patrice Debart 2011

Variante : le napperon est un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diagonales du rectangle.

Remarque : ce parallélogramme minimise alors le périmètre des parallélogrammes inscrits dans le rectangle.

C'est le parallélogramme de lumière dont les côtés se réfléchissent sur les bords du rectangle à la façon de rayons lumineux.

g2w Télécharger la figure GéoPlan Napperon_parallelogramme.g2w

7.b. Afficher l'aire du rectangle ABCD et l'aire du quadrilatère MNPQ.

Technique GéoPlan : on partage la surface des quadrilatères, avec une diagonale, en deux triangles et on additionne les aires :
« Créer > Affichage> Aire d'un triangle »

r1 aire du triangle ABC
r = 2r1
t1 aire du triangle MNP
t2 aire du triangle MPQ
t = t1+t2

7.c. En faisant varier la position des points M ou P, émettre une conjecture concernant une condition suffisante pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit la moitié de celle du rectangle ABCD.

7.d. Démontrer le résultat conjecturé.

8. Taille d'une bille inscrite dans un rectangle

la bille dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2011 Calculer l'aire de la surface hachurée.

AB = 2, BC = 1.

Le cercle a pour rayon r = rac(2) – 1.

L'aire de la surface hachurée est π(3 – 2rac(2)) + 1.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bille.g2w

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