Site Descartes et les Mathématiques

Le rectangle au collège avec GéoPlan

Deux thèmes autour du rectangle.

1. Comparer deux longueurs

Définitions et propriétés

• Les définitions et les propriétés contribuent à développer la connaissance des objets et leur intérêt pour représenter les situations. Elles constituent d'autre part, dans le cadre de la géométrie, les références nécessaires sur lesquelles peut se faire l'apprentissage du raisonnement déductif.

Ainsi, l'exemple suivant, dans lequel les justifications sont simples et accessibles aux élèves, permet de réinvestir d'une façon non triviale le fait que les diagonales d'un rectangle sont de même longueur (et que tous les rayons d'un même cercle sont de même longueur).

La figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires.
OIAJ et OKBL sont deux rectangles.
Comparer les longueurs des segments [IJ] et [KL] ?

L'étude ne vise pas un simple traitement instrumenté, mais concerne une configuration sur laquelle fonctionnent des propriétés. Il ne s'agit plus de modélisation pour résoudre un problème concret, mais d'une situation purement abstraite, représentative d'une autre famille de problèmes de géométrie, relative à l'utilisation directe (sans changement de cadre) d'un corpus de définitions et de propriétés pour établir une preuve.

Ressources pour les classes de 6^e, 5^e, 4^e et 3^e - Géométrie au collège
Projet de document d'accompagnement mathématique - Juillet 2007

Avec GéoPlan

Classe de sixième

La figure ci-contre représente un cercle de centre O, [MN] et [PQ] sont deux de ses diamètres perpendiculaires.

OHAI et OJBK sont deux rectangles.

Que peut-on dire des longueurs des deux segments [HI] et [JK] ?

L'étude ne vise pas un simple traitement instrumenté, mais concerne une configuration sur laquelle fonctionnent des propriétés. Il ne s'agit plus de modélisation pour résoudre un problème concret, mais d'une situation purement abstraite, représentative d'une autre famille de problèmes de géométrie, relative à l'utilisation directe (sans changement de cadre) d'un corpus de définitions et de propriétés pour établir une preuve.

Indications

Les justifications sont simples et accessibles aux élèves, et permettent de réinvestir d'une façon non triviale le fait que les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et que tous les rayons d'un même cercle sont de même longueur.

Télécharger la figure GéoPlan comparer_longueur.g2w

2. Quadrilatère dans un rectangle : napperon

Collège Bartholdi - Boulogne

Sur une table rectangulaire ABCD, on veut placer un napperon ayant la forme d’un quadrilatère MNPQ. On souhaite que l'aire du napperon soit égale à la moitié de l'aire de la table.

Les sommets du napperon sont situés sur les côtés du rectangle avec M un point de [AB], N un point de [BC], P un point de [CD] et Q un point de [DA].

1. Réaliser une figure en utilisant un logiciel de géométrie (pour les sommets du rectangle, choisir la longueur L et la largeur l de telle façon que les coordonnées de A, B, C et D soient entières).

2. Afficher l’aire du rectangle ABCD et l’aire du quadrilatère MNPQ.

Technique GéoPlan : on partage la surface des quadrilatères, avec une diagonale, en deux triangles et on additionne les aires :
« Créer > Affichage> Aire d’un triangle »

r1 aire du triangle ABC
r = 2r1
t1 aire du triangle MNP
t2 aire du triangle MPQ
t = t1+t2

3. En faisant varier la position des points M ou P, émettre une conjecture concernant une condition suffisante pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit la moitié de celle du rectangle ABCD.

4. Démontrer le résultat conjecturé.

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