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Le théorème de Thalès

Les mathématiques en quatrième et troisième : démonstration de Thalès par Euclide et dix exercices.

Les théorèmes de Thalès

Thalès a vécu à Milet au VI^e siècle avant J.-C.

Mathématicien et philosophe grec de l'école ionienne, l'un des sept sages de la Grèce, il fut le premier à donner une explication rationnelle, et non mythologique, de l'univers, en faisant de l'eau l'élément premier.
Il connaissait l'égalité des angles du triangle isocèle et des angles opposés par le sommet ainsi que la somme des angles d'un triangle.

On attribue le premier raisonnement géométrique à Thalès : pour mesurer la hauteur d'une pyramide, il eut l'idée de mesurer la longueur de l'ombre de la pyramide sur le sol et la longueur de l'ombre d'un bâton. Il montrera que le rapport de la pyramide avec son ombre était le rapport que le bâton avec la sienne.

Deux grands théorèmes de géométrie lui sont attribués :

  — Notre théorème de géométrie affine étudié dans les classes de la quatrième à la seconde.
Nous pouvons distinguer trois versions de ce théorème :

• le grand théorème direct de Thalès :
  des droites parallèles déterminent sur deux sécantes des segments homologues proportionnels ;
• le théorème de Thalès appliqué au triangle :
  pour un triangle ABC, si M est un point de (AB), N un point de (AC) et si (MN) est parallèle à (BC), alors = = ,
  deux triangles en configuration de Thalès sont semblables, ou de même forme,
  une homothétie de centre A transforme le triangle ABC en AMN ;
• sa réciproque :
  dans un triangle ABC, si les points A, B et M sont alignés, si les points A, C et N sont alignés dans le même ordre que A, B et M et si, de plus, les rapports et sont égaux alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

  — On attribue plus sûrement à Thalès l'inscription du triangle rectangle dans un demi-cercle, plus connue comme théorème de Thalès outre-Manche ou outre-Rhin que chez nous :

À cette occasion, d'après la légende, il sacrifia un bœuf.

Extrait du programme de géométrie de 4^e (2007)

Accompagnement des programmes de 4^e (1998)

En classe de 4^e, on demande de façon plus systématique de repérer et de mettre en œuvre les théorèmes appropriés. Le recours, si besoin est, à plusieurs pas de démonstration amène à comprendre le changement de statut d'une assertion au fil d'une démonstration : un résultat intermédiaire est une conclusion dans un pas de démonstration et une hypothèse dans un pas ultérieur.

Par exemple, à propos des « triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes », l'étude d'un cas particulier de « l'égalité des rapports » (valeur ) repose sur une telle démarche.
On a coupé un des côtés d'un triangle ABC en trois segments de même longueur :
AI = IK = KB.
Par I et K, on a mené les parallèles au côté [BC], qui coupent [AC] en J et L respectivement.
À l'aide des résultats sur les milieux de deux côtés d'un triangle, on souhaite établir que le côté [AC] se trouve lui aussi coupé en trois régulièrement :
AJ = JL = LC.

On pourra remarquer que contrairement aux deux cas évoqués pour la classe de 5^e, l'évidence « visuelle » du résultat ne fait ici guère de doute ; la question qui se pose est donc celle de l'établir au moyen des résultats déjà acquis.
La première des deux égalités ci-dessus est simple à établir, dès que l'on a remarqué que I est le milieu de [AK]. Le second (dans l'ordre des programmes) théorème des milieux appliqué au triangle AKL permet alors de conclure. La seconde égalité est autrement plus difficile et il se peut très bien que dans une classe, l'idée du tracé d'un segment auxiliaire convenable, par exemple celui du segment [BJ], ne surgisse pas d'elle-même et doive être indiquée par le professeur. La mise en forme de la démonstration a tout son intérêt dans un cas comme dans l'autre. Notons M le point d'intersection des droites (BJ) et (KL). Le second (dans l'ordre des programmes) théorème des milieux appliqué au triangle BIJ permet de conclure que le point M est le milieu de [BJ]. Ce résultat acquis devient alors une hypothèse, qui permet à nouveau l'application du second théorème des milieux, cette fois au triangle JBC, pour conclure que L est le milieu de [IC]. Ainsi, deux pas de démonstration enchaînés ont conduit à la conclusion : JL = LC.

Si l'on considère la même figure, mais maintenant avec les hypothèses que les côtés du triangle sont coupés en trois segments de même longueur :
AI = IK = KB et AJ = JL = LC, la démonstration du parallélisme des droites (IJ), (KL) et (BC) repose sur la même idée de tracé d'un segment auxiliaire.

Mais on s'aperçoit que la démonstration suppose ici l'utilisation des deux théorèmes des milieux.
La différence des compétences mises en jeu par la recherche d'une démonstration et par sa rédaction se trouve ainsi bien mise en évidence.

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1. Démonstration d'Euclide par la méthode des aires

Méthode des aires : démonstration utilisant la propriété d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».

a. Thalès a découvert le théorème, mais c'est Euclide qui l'a prouvé.

Éléments d'Euclide : livre VI, proposition 2

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Les triangles MBC et NBC ont le côté [BC] commun ; les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun ; ils ont des hauteurs MP et NQ égales ; ces deux triangles ont la même aire et par complément dans le triangle ABC on a l'égalité des aires A(AMC) = A(ABN).
En divisant les deux termes de cette égalité par A(ABC) on a : = .

Soit h’ = CI la hauteur en C des triangles AMC et ABC. On a : A(AMC) = AM × et A(ABC) = AB × ,
enfin h = BH la hauteur en B des triangles ABN et ABC. On a : A(ABN) = AN × et A(ABC) = AC × .

Les rapports des aires sont = = et = = .

Conclusion : = .

b. Calcul de

Soit [AH] la hauteur en A du triangle ABC qui coupe (MN) en I.
Dans les triangles rectangles ABH et AHC la propriété de Thalès permet d'écrire = = .
Les triangles INH et INC ont la même aire, car le côté [IN] est commun et les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun. En ajoutant l'aire du triangle AIN on a : A(AHN) = A(AIC).

Or A(AHN) = × AH × IN et A(AIC) = × AI × HC soit AH × IN = AI × HC d'où = .

On démontre, de même, que = .

Un calcul sur les proportions = = = = =
permet de conclure que : = = .

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c. Autre démonstration par les aires

On étudie l'égalité des aires des triangles MNB et MNC et on calcule de deux façons l'aire de AMN.
On en déduit une première égalité du grand théorème de Thalès :
« Toute parallèle à l'un des côtés d'un triangle divise les deux autres côtés en segments proportionnels ».
On transforme cette égalité pour obtenir le Théorème de Thalès dans le triangle.

(MN) est parallèle à (BC).

Les triangles MNB et MNC ont même base [MN] et leurs hauteurs sont égales à la distance entre les deux parallèles. Leurs aires A(MNB) et A(MNC) sont égales (propriété du trapèze).

Les triangles AMN et MNB ont pour hauteur commune [NH], où H est la projection de N sur le support des bases (AB). Leurs aires sont :
A(AMN) = AM × NH et A(MNB) = MB × NH.Le rapport de ces deux aires est = .

Les triangles AMN et MNC ont pour hauteur commune [MI]. Le rapport de leurs aires est = .

Ces deux rapports d'aires, avec un numérateur égal à A(AMN) et des dénominateurs A(MNB) et A(MNC) égaux, sont des rapports égaux :

= , donc = .

En permutant les « moyens » = . Ce calcul a donc permis d'obtenir le grand théorème de Thalès :
les droites parallèles (BC), (MN), et une troisième parallèle passant par A, déterminent sur les sécantes (AB) et (AC) des segments homologues proportionnels.

De là, le calcul sur les proportions : = = = , permet, en permutant les « moyens » entre le premier et le dernier rapport,
de démontrer la formule de Thalès appliquée au triangle : = .

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2. Thalès et médiane

ABC est un triangle, [BB’] est une médiane.

M est le point du segment [BC] tel que BM = BC.
Les parallèles menées par M à (AC) et à (AB) coupent respectivement (AB) et (AC) en D et en E.

En utilisant deux fois le théorème de Thalès, calculer les rapports et .

Montrer, avec la réciproque de Thalès, que les droites (DE) et (BB’) sont parallèles.

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3. Concours au centre de gravité

Chacun des côtés d'un triangle ABC est partagé en trois segments de même longueur ;
grâce aux points : I et J sur [AB], K et L sur [BC], M et N sur [CA].

1. Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est le milieu de [JM].

2. En déduire que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en G.

Remarque : Il est aussi possible de montrer que KLNI est un parallélogramme.
Voir l'utilisation de barycentres

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4. Quadrilatère et droites parallèles

5. Parallèle à une diagonale d'un quadrilatère

ABCD est un quadrilatère quelconque,
I un point sur le côté [DA].
Nous construisons la parallèle à (CD) menée par I. Cette parallèle coupe la diagonale [AC] en K.

Par K nous menons la parallèle à (BC) qui recoupe [AB] en J.

Montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles.

Indication : en utilisant deux fois la propriété de Thalès nous pouvons montrer l'égalité des rapports et , puis démontrer que (IJ) et (BD) sont parallèles avec la réciproque de Thalès.

Variante : I est le milieu du côté [DA]. Montrer que le point K est le milieu de [AC], que J est le milieu de [AB] et en déduire que (IJ) et (BD) sont parallèles.

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6. Moyennes géométriques

Classe de 3^e

Dans un triangle ABC, D est un point du segment [AB].
Placer le point E tel que : (DE) // (BC) et (EF) // (CD).

En utilisant ces deux hypothèses l'une après l'autre, en écrivant les rapports de Thalès égaux, démontrer que l'on a :

AD² = AF × AB.

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Classe de 2^nde

Soit A et B deux points sur une demi-droite [OX) et E un point sur [OY).

Placer les points F sur [OY) et C sur [OX) tels que les droites (AE) et (BF) soient parallèles, ainsi que les droites (BE) et (CF).

En écrivant des rapports de Thalès égaux, montrer que OB² = OA × OC.

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7. Barrière

Un chemin bordé par deux murs [AA’] et [BB’], de hauteurs a et b est barré par deux chevrons en bois [AB’] et [BA’].

De quoi peut bien dépendre la hauteur h laissée libre ?

Commande GéoPlan

Déplacer A’ ou B’ montre que h dépend certainement de a et b.

Déplacer A ou B pour montrer que contrairement à ce que l'on pourrait penser, cette hauteur h ne dépend pas de la distance AB.

Démonstration

Les droites (A’A) et (IH) perpendiculaires à (AB) sont parallèles.
La propriété de Thalès dans le triangle BAA’ permet d'écrire = .
Et = d'après la propriété de Thalès dans le triangle ABB’.
D'où il vient + = = 1 ou encore h( + ) = 1 soit = + et h = .

A’H + HB’ est la plus courte distance de A’ à B’ en passant par la droite (AB)

Extrait de : Villiers Claude - La démonstration en géométrie plane - Société Belge des Professeurs de Mathématiques - 2005

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b. Deux échelles

Une échelle AB’ de 2 mètres et une échelle BA’ de 3 mètres se croisent à un mètre du sol dans un chemin bordé par deux murs.
Quelle est la largeur du chemin ?

Recherche avec GéoPlan

Déplacer le point B avec la souris ou les flèches du clavier jusqu'à ce que h soit égal à 1.
On trouve un chemin de 1,23 m de large.

Solution (TS)

On a montré dans l'exercice ci-dessus que + = .

Si x est la largeur du chemin (0 < x < 2), d'après le théorème de Pythagore,
dans le triangle AA’B rectangle en A : 9 - x² = a²
et dans le triangle BB’A rectangle en B : 4 - x² = b².

Pour h = 1, la relation + = 1 donne l'équation .

Une méthode numérique permet de résoudre cette équation.
La calculatrice TI-92 permet de trouver deux solutions opposées.
La solution positive x ≈ 1,23 convient.

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8. Constructions des inverses des premiers naturels

Classe de seconde

Réciproque du théorème de Thalès (hors programme)

1. Cordes parallèles

Deux cercles (c₁) et (c₂) de rayons r et r’ ont même centre O.

Deux droites (d₁) et (d₂), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer.

Faire une figure où ce n'est pas le cas.

. D'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (CD) sont parallèles.

Oui, mais le contre-exemple de la figure de droite montre que c'est faux. Il faut préciser que les points O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d₁) et (d₂), ce qui n'est le cas que sur cette figure de droite.

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2. Petit théorème de Pappus

Pappus d'Alexandrie (vers l'an 300)

Placer un point O,
tracer deux demi-droites (d₁) et (d₂), issues de O.

Placer les points A et B sur la première demi-droite, D et E sur la deuxième demi-droite et tracer les segments [AE] et [BD],
tracer la droite passant par B parallèle à la droite (AE). Cette droite coupe la demi-droite [OD) en F.
Tracer la droite passant par E parallèle à la droite (BD). Cette droite coupe la demi-droite [OA) en C.

Déplacer les points libres A, B, D ou E sur les demi-droites. Que peut dire des droites (AD) et (CF) ?

Il est possible réaliser ces figures avec Cabri sur la TI-92 :

3. Quadrilatère et parallèles

ABCD est un quadrilatère convexe.
On suppose que la parallèle à (BC), passant par A, coupe (BD) en E et que la parallèle à (AD), passant par B, coupe (AC) en F.

Montrer que la droite (EF) est parallèle à (CD).

Indications

Soit I le point d'intersection des diagonales.

Sachant que (AE)//(BC), la propriété de Thalès dans les triangles IAE et ICB permet d'écrire l'égalité :
= ,
De même, comme (AD)//(BF), la propriété de Thalès dans les triangles IDA et IBF permet d'écrire :
= .

En effectuant le quotient de ces deux égalités et après simplification de IA et IB, on trouve = .
La réciproque de Thalès permet de conclure que (EF) est parallèle à (CD).

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La géométrie au collège	Démonstrations géométriques de Pythagore	Constructions géométriques	Construction à la règle et au compas	Échelle contre un mur	6e - 5e Parallélogramme
Sommaire 1. Démonstration d'Euclide 2. Thalès et médiane 3. Concours au centre de gravité 4. Quadrilatère et droites parallèles 5. Parallèle à une diagonale d'un quadrilatère 6. Moyennes géométriques 7. Barrière - Deux échelles 8. Constructions des inverses des premiers naturels Réciproque du théorème de Thalès 1. Cordes parallèles 2. Figure de Pappus 3. Quadrilatère et parallèles			Extrait de l'ancien programme de 4e Accompagnement des programmes de 4e
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