René DescartesDescartes et les Mathématiques

Le triangle au collège
Milieux et parallèles

Six exercices de géométrie plane avec un logiciel de géométrie dynamique - Construction de triangles.

Sommaire

1. Triangles particuliers
2. Somme des angles d'un triangle
3. Droite des milieux
4. Construction de deux triangles rectangles autour de BOA
5. Angles et triangles
6. Triangle rectangle isocèle
7. Droites parallèles
8. Trouver un triangle isocèle
9. Triangle bisocèle
        Tr. isocèles

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Triangles en seconde

Triangles rectangles
Triangles équilatéraux

Aire du triangle

Faire de la
géométrie dynamique

Résolution de triangles
en 5e

6e - 5e
Parallélogramme

Calcul d'aires

Exercices de géométrie
au collège

Collège
Cercle

1. Triangles particuliers

Classe de sixième (sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième)

Triangle isocèle

geometrie du triangle - triangle isocele

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.

Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.

g2w Télécharger les figures GéoPlan tri_iso.g2w ou tri_iso2.g2w
GeoGebra Télécharger la figure tri_iso.ggb

Triangle équilatéral

geometrie du triangle - triangle equilateral

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés.

Les trois médiatrices sont axes de symétrie du triangle.

g2w Télécharger les figures GéoPlan tri_equi.g2w ou triangle_equilateral.g2w

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra triangle_equilateral.ggb

Triangle rectangle

geometrie du triangle - triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_rect.g2w

Triangle quelconque

On dit qu'un triangle est quelconque s'il n'est ni rectangle, ni isocèle.

geometrie du triangle - triangle quelconque

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_quel.g2w

geometrie du triangle - mesure des angles

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_quel2.g2w

Arrondi

Avec les angles BAC = 87°, ABC = 33°, ACB = 59°, la somme de ces angles est égale à 179°. Plus bas vous dites que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Les mathématiques étant maintenant loin derrière pour moi, et étant un brin fatigué au moment où je vous écris ce mail, il subsiste encore un doute, mais je pense qu'un degré s'est perdu en route.
S'il s'agissait d'un centime, nous n'aurions pas chipoté, mais là il s'agit de mathématiques.

MonsieurPommeDeTerre

Pas d'erreur, mais un souci d'arrondi : les calculs étant faits « au degré près », GéoPlan arrondi les trois angles par défaut et on perd un degré pour l'arrondi de la somme.
Avec un calcul au dixième les angles BAC = 87,5°, ABC = 33,5° sont arrondis par excès et ACB = 59,0° par défaut : la somme est bien arrondie à 180,0°.

Technique GéoPlan

Pour nommer a un côté comme [BC], placer un point comme A8 milieu de [BC], et écrire à la fin du texte de la figure l'instruction :

A la place de A8, afficher: $ia

(pour italique avec $i, voir formatage d'un texte).

Ou bien avec la valeur de a, la longueur de BC :

Ou avec le menu créer> numérique>calcul géométrique >longueur d'un segment, nommer a la longueur de BC ; puis l'instruction :

A la place de A8, afficher: \val(a,1)\

Instruction qui affiche la longueur le long du segment.

La commande affichage du texte : $ia$m = BC = val(a,1) permet d'écrire a = BC = 9.6.

Le prototype marquer un angle trace un arc de cercle dans le coin d'un angle (dans le sens trigonométrique).
Le prototype point dans angle renvoie un point de la bissectrice dans le coin de l'angle.
Associé à l'instruction A la place de … afficher : \hat… \ il permet de nommer les angles angle A, angle B, angle C.

A9 point dans angle BAC
A la place de A9, afficher: \hat(A)\

Avec a’ mesure de l'angle Angle BAC, la commande affichage du texte : \hat(BAC)\ = val(a',0)° permet d'écrire Angle BAC = 87°.
Remplacer val(a',0) par val(a',1), pour écrire Angle BAC = 87.5° avec une décimale.

Périmètre du triangle

Somme des côtes d'un triangle :

Le périmètre d'un triangle est égal à la somme des longueurs des côtés du triangle.

Le périmètre du triangle ABC est p = AB + BC + CA.

2. Somme des angles d'un triangle

Classe de cinquième

La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat : angle A + angle B + angle C = 180°.

Pour un triangle isocèle en A, angle B = angle C donc angle A = 180 - 2angle B et angle B = angle C = 90 - A/2 : les angles égaux sont aigus.
Pour un triangle équilatéral angle A = angle B = angle C = 180°/3 = 60°.
Un triangle a au moins deux angles aigus. Si le troisième angle est :
  • droit, on parle de triangle rectangle  : pour un triangle rectangle en A, angle A = 90°, angle B + angle C = 90° : les deux angles aigus sont complémentaires.
  • obtus, on parle de triangle obtusangle : un triangle admet au maximum un angle obtus : si angle A > 90°, angle B + angle C < 90°, les deux autres angles sont aigus.
  • aigu, on parle de triangle acutangle : les trois angles sont aigus.

2.a. Démonstration des « anciens Grecs »

geometrie du triangle - triangle rectangle inscrit dans un rectangle

g2w Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_rectangle.g2w

Le résultat donnant la somme des angles d'un triangle est connu des anciens. Il aurait été découvert par Thalès et les disciples de Pythagore auraient rédigé une démonstration.

ABC est un triangle et [AH] une hauteur (si le triangle est obtusangle, on choisira la hauteur issue du sommet de l'angle obtus, [BC] étant alors le plus grand côté).
On peut inscrire le triangle dans un rectangle BCED.

Dans le rectangle BHAD, les angles BAH et ABD sont de même mesure (angles alternes internes par rapport à la diagonale [AB] et les côtés parallèles [AH] et [BD]).
De même HAC = ECA.

La somme des angles du triangle ABC + BAC + ACB = ABC + BAH + HAC+ ACB.
Avec les angles alternes internes, on trouve que cette somme est ABC + ABD + ECA+ ACB = CBD + ECB, soit 2 angles droits ou 180°.

2.b. Figure des disciples de Pythagore, vers le Ve siècle avant J.-C.

On mène par A une parallèle (d) à (BC). La somme des angles du triangle est égale à l'angle plat en A.

geometrie du triangle - symetire et somme des angles d'un triangle

g2w Télécharger la figure GéoPlan somme_angles.g2w

Démonstration des pythagoriciens

La symétrie centrale, et la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle, permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.

2.b. On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d), pour établir les égalités d'angles CBA = C’ÂB et ACB = CÂB’
et on conclut avec l'angle plat C’ÂB’ = C’AB + BÂC + CÂB’ = CBA + BÂC + ACB = angle B + angle A + angle C = 180°.

2.c. Dans la figure d'Euclide ci-dessous, en traçant la parallèle au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à la somme de deux angles, angle B pour les angles correspondants et angle A pour les angles alternes-internes.

2.d. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux, voir : construction par pliage

2.c. Figure d'Euclide

Livre I, proposition 32 des éléments
III e siècle avant J.-C.

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

geometrie du triangle - angle exterieur et somme des angles d'un triangle

g2w Télécharger la figure GéoPlan angle_exterieur.g2w

Angles orientés

Classe de seconde

La somme des angles orientés (vect(AB), vect(AC)) + (vect(BC), vect(BA)) + (vect(CA), vect(CB)) est un angle plat.

En effet, par translation de vecteur vect(BC) on a :
(vect(BC), vect(BA)) = (vect(CD), vect(CE))
et par symétrie de centre le milieu de [AC] :
(vect(AB), vect(AC)) = (vect(CE), vect(CA)).

D'où la relation de Chasles :
(vect(CE), vect(CA)) + (vect(CD), vect(CE)) + (vect(CA), vect(CB)) = (vect(CD), vect(CB)).

Éléments d'Euclide - Page 54 - bnf Gallica

3. Droite des milieux

Classe de quatrième

Premier théorème des milieux (théorème direct de la droite des milieux)

geometrie du triangle - droite des milieuxSi une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC).

Deuxième théorème des milieux (théorème réciproque)

Si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
J est alors le milieu [AC].

Troisième théorème des milieux (théorème direct)

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors IJ = 1/2 BC.

Théorème direct

Formulation des deux énoncés du théorème direct :

Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d'un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.

geometrie du triangle - demonstration du theoreme des milieuxDémonstration du théorème de la droite des milieux

Création d'un point auxiliaire K qui fait apparaître deux parallélogrammes : KBJA et KBCJ.

Soit I le milieu de [AB] et J le milieu [AC]. Tracer le symétrique K de J par rapport à I. I est alors le milieu de [KJ] et IJ = 1/2 KJ.

Comme par hypothèse I est le milieu de [AB], les diagonales de KBJA se coupent en leur milieu commun I, donc KBJA est un parallélogramme.
Les côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB],
donc KBCJ, quadrilatère non croisé, est aussi un parallélogramme.

Par les propriétés de ce parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC) ce qui prouve le premier théorème des milieux.
On sait que IJ = 1/2 KJ. Comme les côtés opposés du parallélogramme sont égaux, de KJ = BC on déduit le troisième théorème des milieux :
IJ = 1/2 BC.

Démonstration du deuxième théorème des milieux

Le deuxième théorème des milieux est la réciproque du premier et est un cas particulier du théorème direct de Thalès : l'unicité de la parallèle à (BC) passant par I, on en déduit que la droite des milieux est confondue avec cette parallèle : elle coupe (AC) au milieu J de [AC].

geometrie du triangle - demonstration du theoreme du milieu par la methode des aires

Autre démonstration par la méthode des aires

Méthode des aires : démonstration utilisant la propriété d'Euclide :
« les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».

Montrer que AJ = JC.

D'après la propriété du trapèze, les triangles IBC et JBC ont la même aire.
Cette aire est égale à la moitié de l'aire du triangle ABC.
En effet, Aire(ABC) = Aire(IBC) + Aire(IAC).
Or IA = IB, donc Aire(IBC) = Aire(IAC) = 1/2(CN × IB) où CN est la hauteur du triangle ABC issue de C.
Donc, l'aire du triangle ABJ (complément dans ABC du triangle CBJ) est aussi égale à la moitié de celle de ABC et donc égale à l'aire du triangle CBJ.

En revenant à l'expression de l'aire d'un triangle, comme les deux triangles ABJ et CBJ ont la hauteur BM, issue de B, en commun,
Aire(ABJ) = 1/2(BM × AJ) est égal à Aire(CBJ) = 1/2(BM × JC).
Les longueurs AJ et JC sont alors égales et J est le milieu de [AC].

g2w Télécharger la figure GéoPlan milieux.g2w

WikiPédia Wikipédia : Théorème des milieux

4. Construction de deux triangles rectangles à l'extérieur d'un triangle BOA

geometrie du triangle - deux triangles rectangles exterieurs au triangle BOA

À l'extérieur d'un triangle BOA on construit deux triangles rectangles :
  – Le triangle OAC, ayant pour hypoténuse le coté [OA], tel que le sommet C de l'angle droit soit situé sur la bissectrice extérieure de OAB.
  – Le triangle OBE, ayant pour hypoténuse le coté [OB], tel que le sommet E de l'angle droit soit situé sur la bissectrice extérieure de OBA.

Que dire de [EC] ?

Figure

Les triangles rectangles OAC et OBE sont inscrits dans les cercles de diamètres [OA] et [OB].

Le deuxième point I d'intersection de ces cercles est le pied de la hauteur de BOA, issue de O.

Commande GéoPlan

Taper S pour la Solution

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_boa.g2w

geometrie du triangle - deux triangles rectangles exterieurs au triangle BOA

Indications

Prolonger (OC) et (OE), en D et F, jusqu'à la droite (AB).

[AC] est la hauteur et la bissectrice issue de A du triangle OAD. Les angles DAC et CAO des triangles rectangles CDA et COA sont de même mesure.
Les deux autres angles aigus CDA et COA sont égaux : OAD est isocèle.
De même le triangle OBF est isocèle.
D'où DF = DA + AB + BF = OA + AB + BO est égal au périmètre du triangle OAB.

(EC) est une droite des milieux du triangle ODF et contient les milieux A’ et B’ de [OB] et [OA].
Elle est parallèle à (AB) et [EC] est de longueur égale à la moitié du périmètre DF du triangle OAB.

Autre calcul : avec CE = CB’ + B’A’ + A’E, les rayons des cercles sont :
CB’ = 1/2 OA et A’E = 1/2 OB.
(B’A’) est une droite des milieux du triangle BOA, d'où B’A’ = 1/2 AB.
CE = 1/2(OA + OB + AB) est bien égal à la moitié du périmètre de BOA.

Autre figure : voir diamètres de deux cercles sécants

 

5. Angles et triangles

geometrie du triangle - mesures d'angles

OBC est un triangle équilatéral.
OAC est un triangle rectangle (B milieu de l'hypoténuse).
OCD est un triangle rectangle isocèle en C.

Trouver les mesures des angles de cette figure.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan triang_1.g2w

6. Triangle rectangle isocèle

geometrie du triangle - triangle rectangle isocele

ABCD est un carré.
E est le symétrique de C par rapport à D.
I est le milieu de [BC], J est le milieu de [DE].

Montrer que le triangle AIJ est rectangle isocèle en A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan triang_2.g2w

7. Droites parallèles

Droites parallèles

Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O.
A’ est le point diamétralement opposé à A sur le cercle (c).
La hauteur (AH) issue de A du triangle ABC recoupe le cercle (c) au point D.

Montrer que la droite (DA’) est parallèle à (BC).

Indication

Le triangle rectangle ADA’ est inscrit dans un demi-cercle.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan dr_para.g2w

8. Trouver un triangle isocèle

ABC est un triangle,
M un point du segment [AB],
la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.

Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ?

Classe de quatrième, troisième ou seconde

trouver un triangle isocele - probleme
trouver un triangle isocele - recherche
trouver un triangle isocele - solution

Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan ch_t_iso.g2w

9.a. Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.

Triangle isocèle rectangle

geometrie du triangle - triangle rectangle isocele

Ce découpage de ABC en deux triangles
isocèles est le seul cas où les angles aux
sommets (aigus au sens large) sont
adjacents sur un même côté du triangle
ABC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan rect_iso.g2w

Trouver un autre triangle bisocèle

Un raisonnement simple sur les angles, par exemple l'angle A, nous permet une recherche avec un logiciel de géométrie dynamique.

Dans un triangle isocèle ABC, de base [BC], si une sécante (BD) le partage en deux triangles isocèles, un des triangles aura pour base [AB], l'autre pour base [CD].
Si D est le point d'intersection de la médiatrice de [AB] avec [AC], ABD est un triangle isocèle d'angles α = BÂC = ABD. Le supplément de l'angle au sommet est BDC = 2α.
La médiatrice de [CD] coupe (BC) en B’.

geometrie du triangle - chercher un triangle bisocele

Il est possible de faire une recherche en déplaçant le point A, afin que le point B’ coïncide avec le sommet B.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bisocele.g2w

Triangle d'or

Solution pour α = 36°

geometrie du triangle - triangle d'or

Le triangle d'or comme solution :

ABC et BCD sont des triangles d'or d'angles 36° et 72°.

ABD est un triangle d'argent d'angles 108 ° et 36°.

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Soit ABC un triangle isocèle de base [BC] et d'angle à la base ABC = 2α (α > 0) et une bissectrice qui coupe le côté opposé en D.

Si la bissectrice est issue du sommet A, c'est aussi la médiatrice et (AD) partage le triangle ABC en deux triangles rectangles isocèles ADB et ADC. Les angles aigus sont de 45°. L'angle en A est de 90° et le triangle ABC est rectangle isocèle.

Si la bissectrice (AD) est issue d'un des sommets de la base, B par exemple, le triangle BDC doit être isocèle. L'angle BDC est alors égal à α ou à 2α.

α est une valeur impossible :
en effet, les droites (AD) et (AB) déterminant deux angles alternes-internes égaux à α par rapport (BD) seraient parallèles, ce qui est contradictoire avec l'existence du sommet A.

Si BDC = 2α alors la somme des angles du triangle BDC est 5α = 180°, ce qui donne un angle α = 36°.
BDC est alors égal à 72°, c'est aussi l'angle extérieur de ABD, angle égal à ABD + BÂD, d'où BÂD = ABD = 36°, ABD est aussi isocèle. Le triangle ABC est un triangle d'or.

Conclusion : il n'y a que deux types de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.

WikiPédia  Wikipédia : triangle isocèle

9.b. Tr. isocèles

À partir du centre du cercle circonscrit d'un triangle acutangle, on peut le partager en trois traits, en trois triangles isocèles.
Mais il n'est pas toujours possible de diviser, d'un seul trait, un triangle en deux triangles isocèles.
Quels sont les triangles isocèles que l'ont peut partager en deux tr. isocèles ?

Indications

Ci-dessus deux cas où la sécante est une bissectrice du triangle : ce sont les triangles bisocèles.
Une recherche analogue permet de trouver ci-dessous deux autres formes de tr. isocèles où les sécantes sont des trisectrices.

Trouver un tr. isocèle

Comme ci-dessus, explorer le cas où un des triangles isocèles aura pour base [AB], l'autre pour base [BD].
Si D est le point d'intersection de la médiatrice de [AB] avec [AC], ABD est un triangle isocèle d'angles α = BÂC = ABD.
Le supplément de l'angle au sommet est BDC = 2α.
La médiatrice de [BD] coupe (AC) en C’.

geometrie du triangle - trouver un tr. isocele

La trisectrice (BD) partage le triangle ABC’, d'angles α et 3α, en deux triangles isocèles.

Recherche d'un triangle isocèle :
déplacer le point A, de telle sorte que le point C’ coïncide avec le sommet C.

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Trisection d'un angle de la base

Angle en A égal à 1/7 de l'angle plat,
soit α = pi/7 radians.

Le triangle solution ABC, d'angles pi/7 et γ = 3pi/7, est partagé en deux triangles isocèles d'angles 5pi/7 et pi/7 pour l'un,
3pi/7 et 2pi/7 pour l'autre.

trouver un tr. isocele - solution par trisection d'un angle de la base

Trisection de l'angle au sommet

Cas où un des triangles isocèles aura pour base [AB], l'autre pour base [AD].
Si D est le point d'intersection de la médiatrice de [AB] avec [BC], ABD est un triangle isocèle d'angles β = ABC = BÂD = ABD.
Le supplément de l'angle au sommet est ADC = 2β.
La médiatrice de [AD] coupe (BC) en C’.

La trisectrice (AD) partage le triangle ABC’, d'angles β et 3β, en deux triangles isocèles.

trouver un tr. isocele - recherche par trisection de l'angle au sommet

Recherche d'un triangle isocèle : déplacer le point A, pour que C’ coïncide avec le sommet C.

Triangle d'argent

La sécante trisecte l'angle BÂC de 108°.
β = ABC = ACB = 36°.
ABC et DAB sont des triangles d'argent, CAD est un triangle d'or.

trouver un tr. isocele - solution avec deux triangles d'argent et un triangle d'or

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Conclusion : il existe quatre formes de tels tr. isocèles :
 – deux types de triangles bisocèles, partagés par une bissectrice : triangle d'or et demi-carré ;
 – deux autres types de triangles, partagés par une trisectrice : le triangle d'argent et le triangle isocèle d'angle 180/7 degrés.

 

Trisection

Trisection
au CAPES

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Problèmes de construction

Triangle inscrit dans un carré

Index
triangles

Sommaire

1. Triangles particuliers
2. Somme des angles d'un triangle
3. Droite des milieux
4. Construction de deux triangles rectangles autour de BOA
5. Angles et triangles
6. Triangle rectangle isocèle
7. Droites parallèles
8. Trouver un triangle isocèle
9. Triangle bisocèle
        Tr. isocèles

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