René DescartesDescartes et les Mathématiques

Les mathématiques de la tarte à la crème

Les problèmes de partage en parts égales

Sélection d'articles sur le partage de surfaces.

Partage d'aires en parties égales

1. Diviser le triangle en 2, 3, 4, 6, 7

2. Diviser le carré en 4, 5

3. Diviser le rectangle en 3

4. Diviser le parallélogramme en 2, 5

6. Diviser le cercle en 2, 3, 4, 6…

7. Partage le demi-cercle en 3, 5…

Dans d'autres pages du site

Diviser en trois

Partage d'un segment en trois : constructions élémentaires,

règle à bords parallèles

Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages

Diviser en quatre

Partage de l'angle d'un triangle en quatre : construction de-ci, de-là

Partager les côtés du carré en quatre

Calculs d'aires

Calculs d'aires au collège

Calculs d'aires en cinquième

Calcul d'aires en seconde

Aires et triangles

Aires du parallélogramme et du trapèze

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès

      théorème de Pythagore

Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur

Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum

Analyse en option 1ère L - TL

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Vingt ans après la chute du mur de Berlin et la fin des utopies socialistes, il semble que le partage équitable n'intéresse plus grand monde.

Reste au géomètre le loisir de se poser le problème du partage en parts égales.
Comme chacun sait, le mathématicien est distrait et une bonne dose de crème chantilly masquera les inégalités éventuelles des découpages !

1. Partages du triangle

1.a. Partage du triangle en deux parties égales

Partage d'un triangle à partir d'un sommet

partage en 2 du triangle avec une médiane - copyright Patrice Debart 2009

Figure extraite de l'article aire et médiane

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan prop_medianes.g2w

Partage à partir d'un point M situé sur un des côtés

partage en deux du triangle - copyright Patrice Debart 2016

Extrait de l'article olympiades 2004

Deux polygones d'aires égales

Partage d'un triangle ABC par une droite passant par un point M situé sur le côté [BC].

Soit A' le milieu et M un autre point de [BC].

La droite, passant par M, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point P tel que (PA') soit parallèle à (AM).

GeoGebra Figures interactives dans GeoGebra Tube : partage en deux d'un triangle - recherche

Partage en deux d'un triangle

1.b. Partage d'un triangle en trois ou en six

avec les médianes, partage du triangle en 3 ou 6 - copyright Patrice Debart 2009

Commet partager un triangle en 3 triangles de même aire

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC, point d'intersection des médianes [AA’], [BB’] et [CC’].

Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales.

Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.

Extrait de l'article théorème du chevron

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médianes d'un triangle

1.c. Partage d'un triangle en quatre

partage du triangle en 4 avec les droites des milieux - copyright Patrice Debart 2009

Pour partager un triangle en 4 triangles d'aires égales, tracer le triangle médian.

Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport -1/2 pour le triangle médian, dans le rapport 1/2 pour les trois autres.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle médian

Partage du triangle en huit

Partager chacun des petits triangles ci-dessus en deux avec la médiane (AA’) et les deux parallèles passant par C’ et B’.

Partage du triangle en seize

Le partage en 16 se fait le partage de ces quatre triangles homothétiques, chacun en quatre triangles, seize fois plus petits que ABC.

1.d. Partage d'un triangle en sept triangles de même aire

partage du triangle en sept - copyright Patrice Debart 2009

Paragraphe extrait de la page triangles en seconde

Sur les côtés du triangle ABC, placer les points I, J, K tels que :
AK = 1/3 AB,
BI = 1/3 BC,
CJ = 1/3 CA.

P, Q et R sont les points d'intersection des droites (AI), (BJ) et (CK).

Le triangle PQR est 7 fois plus petit que le triangle ABC.

Aire(PQR) = Aire(ABC)/7.

Aire(APC) = Aire(AQB) = Aire(BRC) = 2 Aire(ABC)/7.

Avec les milieux M, N et P des côtés du triangle ABC, en traçant les médianes des trois triangles précédents, on obtient six triangles, représentés sur la figure en vert ou en blanc, d'aire égale à celle de PQR.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mul_triangle.g2w

2. Partages du carré

Partage d'un carré en quatre

Figure 1: partage par les médiatrices en quatre petits carrés.

Figure 2: partage par les diagonales en quatre triangles rectangles isocèles.

Figure 3: deux droites perpendiculaires, passant par le centre d'un carré, le partagent en quatre quadrilatères égaux.

Voir aussi : puzzle et carrés et puzzle de Périgal

partage du carré en quatre - copyright Patrice Debart 2009
partage du carré en 4 - copyright Patrice Debart 2009
partage du carré en quatrte - copyright Patrice Debart 2009

Carré d'aire cinq fois plus petite…

le carré - multiplication par cinq de l'aire - copyright Patrice Debart 2016

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).

PQRS est un carré, d'aire égale à 1/5 de l'aire de ABCD.

Un découpage de ABCD, en neuf pièces, permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, les 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Les triangles ABP, BCQ, CDR et DAS ont même aire que PQRS, soit 1/5a2.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré cinq fois plus petit - 5 pièces

Voir aussi : olympiades 2008 - un partage équitable

3. Partages du rectangle en trois

partage du rectangle en 3 - copyright Patrice Debart 2009

Dans ce découpage classique, la part du milieu a moins de croûte que les deux autres.

g2w Télécharger la figure GéoPlan rectangle_tiers.g2w

 

Bibliographie : groupe Jeux de l'Association des Professeurs de Mathématiques – Comment se jouer de la géométrie - 2009

partage du rectangle en trois - copyright Patrice Debart 2009

Le géomètre peut proposer cette solution où toutes les parts ont même quantité de croûte.

La troisième part est formée par le polygone croisé hachuré.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan rectangle_tiers_2.g2w

Partage du rectangle en deux

Le long de la diagonale, partage en deux d'un rectangle avec quatre rectangles : voir construction d'Euclide

4. Partages du parallélogramme

Partage en deux triangles égaux

Une diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales.

4.a. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés

partage d'aire et parallélogramme - copyright Patrice Debart 2009

M est un point variable à l'intérieur du parallélogramme ABCD.

La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés.

Paragraphe extrait de la page aire du parallélogramme.

g2w Télécharger la figure GéoPlan para_aire.g2w

4.b. Partage d'un parallélogramme en cinq parties égaules

Paragraphe extrait de la page parallélogramme.

partage d'aire et parallélogramme - copyright Patrice Debart 2009

On obtient le petit parallélogramme à partir du grand, en joignant les sommets aux milieux des côtés suivants (dans le sens direct).

g2w Télécharger la figure GéoPlan mul_parall.g2w

5. Partages de quadrilatères

Pour les amateurs de calcul :

Diviser en deux l'aire d'un trapèze

Diviser un trapèze en deux parties d'aires équivalentes par une parallèle aux bases.
Application : Diviser un trapèze en quatre parties égales

Partage en deux d'un trapèze par un sommet

Voir optimisation en seconde

6. Partages du disque

Comment partager un cercle en parts égales.

Tracer un polygone régulier.

6.a. Partage du cercle en 2, 4, 8, 16… parties égales

partage du cercle en 4

Diviser un cercle en 2 :

Tracez une corde et trouvez-en la médiatrice. C'est un diamètre qui partage le cercle en deux demi-cercles.

Diviser un cercle en 4 parties égales :

Pour un partage en quatre secteurs égaux, sur un diamètre repérer le centre par exemple à l'intersection d'un deuxième diamètre construit comme médiatrice d'une autre corde.
Il suffit enfin de tracer, à partir du centre, la perpendiculaire au premier diamètre.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_4parts.g2w

 

Partage en 8, 16… : il faut ensuite construire successivement la bissectrice de chaque angle créé.

6.b. Partage d'un cercle en trois parties égales

partage du disque en 3 - copyright Patrice Debart 2009

Les partages en 3 et 6 proposés ici et ci-dessous utilisent le fait que :
cos(60°) = 1/2.

Diviser un cercle en 3 :

Partager un diamètre en quatre parties égales.
Tracer la perpendiculaire en un des points obtenus, autres que le centre.
Cette perpendiculaire coupe le cercle aux deux points cherchés.

Construction

Sur la figure ci-contre, les points I, O et J partagent le diamètre [AB] en quatre parties égales. La perpendiculaire en I à [AB] coupent le cercle en C et D. Les points B, C et D partagent le cercle en 3.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_3parts.g2w

6.c. Partage du cercle en 6

partage du cercle en 6 - copyright Patrice Debart 2009

Commet diviser un cercle en six parts égales
Construction d'un hexagone régulier

Pour découper un disque (c) de centre O, en six parties égales, partager en quatre un diamètre [AD] avec les points I milieu de [OA] et J milieu de [OD].

Les perpendiculaires au diamètre, en I et J, rencontrent le cercle (c) aux points cherchés.

Indication

ABCDEF est un hexagone régulier de côtés de même longueur que le rayon du cercle.

OAB est un triangle équilatéral ayant (IB) comme médiatrice.

g2w Télécharger la figure GéoPlan disque_six.g2w

Autres méthodes

6.c.2. Il est aussi possible de prendre la mesure du rayon et de la reporter 5 fois sur le cercle.

6.c.3. À partir du diamètre [AB], construire le cercle de centre A passant par O qui coupe (c) en B et F, puis construire le cercle de centre D passant par O qui coupe (c) en C et E.

Voir : polygones réguliers

Partage en 12, 24… : il faut ensuite construire successivement la bissectrice de chaque angle créé.

Partager un cercle en 9

Tracer un ennéagone régulier, non constructible à la « règle et au compas »,

7. Partages du demi-cercle

7.a. Trisection du demi-cercle par les compagnons

partage du demi-cercle en 3 - copyright Patrice Debart 2009

Diviser un demi-cercle en 3 par les compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge

Pour couper en trois un demi-cercle de diamètre [BC], les bâtisseurs de cathédrales joignaient le sommet A du triangle équilatéral ABC aux deux points I et J qui divisent en trois le diamètre du demi-cercle.

Les intersections K et L des droites (AI) et (AJ) avec le demi-cercle le divisent en trois.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_549.g2w

Démonstration : cette solution est exacte

partage du demi-cercle en trois - copyright Patrice Debart 2009

Soit S le symétrique de A par rapport à C et L le milieu de [BS], O le centre du cercle et r le rayon du cercle.

  • La médiane [BC] du triangle ABS est égale à la moitié du côté [AS]. On en déduit que le triangle ABS est rectangle en B, il est de plus semi-équilatéral (l'angle en A vaut 60°).

  • J est au tiers de la médiane [BC], c'est donc le centre de gravité du triangle ABS et la droite (AJ), médiane issue du sommet A, coupe [BS] en son milieu L.

  • Le segment [LC], joignant les milieux des côtés [BS] et [AS], est égal à r moitié de [BA], et est parallèle à (BA), donc perpendiculaire à (BL).
BLC est un triangle rectangle en L. L est donc sur le demi-cercle de diamètre [AB].

  • Le triangle OLC est équilatéral de côté r. L'angle CÔL vaut 60° et L divise bien le demi-cercle en trois.

  • Par symétrie, il est en est de même pour K.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_549s.g2w

Indications pour une autre démonstration de cette solution

partage du demi-cercle en 3

L'arc BK correspond à une corde [BK] de longueur r égale au rayon du cercle.

En effet, si O est le centre du cercle et P le point d'intersection de (AI) avec la perpendiculaire en B à (BC). Les triangles rectangles IOA et IBP sont semblables avec un rapport de similitude égal à 2 car BI = 2 OI = 2/3r.

Comme BP = 2OA = 2rrac(3), si Q est le milieu de [BP], [OA] et [QP] sont symétriques par rapport au point K intersection de (AP) et (OQ).
Le triangle rectangle OBQ de côtés BO = r et BQ = rrac(3) est la moitié d'un triangle équilatéral comme ABC.
L'hypoténuse [OQ] mesure 2r est son milieu K est tel que OK = r, le point K est situé sur le demi-cercle de diamètre [BC].

Par symétrie, il est en est de même pour L, K et L divisent le demi-cercle en trois parties égales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_549t.g2w

Voir aussi : trisection de l'angle par les compagnons

Autres méthodes

7.a.2. Comme ci-dessus, partager le diamètre en quatre parties égales. Les perpendiculaires aux deux points autres que le centre coupent le demi-cercle aux deux points cherchés.

7.a.3. Il est aussi possible de prendre la mesure du rayon et de la reporter 2 fois sur le demi-cercle.

7.b. Partage d'un demi-cercle en cinq

partage du demi-cercle en 5 - copyright Patrice Debart 2009

Diviser un demi-cercle en 5 parties égales:

 

Pour partager en cinq un demi-cercle de diamètre [BC], les bâtisseurs de cathédrales du Moyen-Âge joignaient le sommet A du triangle équilatéral ABC aux quatre points qui divisent le diamètre du demi-cercle en cinq parties égales.

La construction n'est pas exacte, mais l'erreur est d'environ 2 %, ce qui rend la méthode acceptable et l'approximation n'est pas perceptible sur un dessin papier.

Il est possible de généraliser cette méthode au partage d'un demi-cercle en n parties égales.

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