Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesSélection d'articles sur le partage d'aires.
Vingt ans après la chute du mur de Berlin et la fin des utopies socialistes, il semble que le partage équitable n'intéresse plus grand monde.
Reste au géomètre le loisir de se poser le problème du partage en parts égales.
Comme chacun sait, le mathématicien est distrait et une bonne dose de crème chantilly masquera les inégalités éventuelles des découpages !
Partage à partir d'un sommetFigure extraite de l'article aire et médiane
Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
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Partage à partir d'un point I situé sur un des côtésExtrait de l'article olympiades 2004
Soit I le milieu de [AC] La droite, passant par P, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point M tel que (MI) est parallèle à (BP).
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1.2. Partage du triangle en trois ou en sixSoit G le centre de gravité d'un triangle ABC, point d'intersection des médianes [AA’], [BB’] et [CC’]
Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales. Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales. Extrait de l'article théorème du chevron
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1.3. Partage du triangle en quatrePour partager un triangle en quatre triangles d'aires égales, tracer le triangle médian.
Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport
Remarque : le partage en 9 se fait avec un triangle homothétique trois fois plus petit, et en général pour n carré d'un entier p, construire les triangles homothétiques dans un rapport p. |
Sur les côtés du triangle ABC, placer les points I, J, K tels que :
AK =
AB,
BI = BC,
CJ = CA.
P, Q et R sont les points d'intersection des droites (AI), (BJ) et (CK).
Le triangle PQR est 7 fois plus petit que le triangle ABC.
Aire(PQR) = Aire(ABC)/7.
Aire(APC) = Aire(AQB) = Aire(BRC) = 2 Aire(ABC)/7.
Avec les milieux M, N et P des côtés du triangle ABC, en traçant les médianes des trois triangles précédents, on obtient six triangles, représentés sur la figure en vert ou en blanc, d'aire égale à celle de PQR.
Télécharger la figure GéoPlan mul_triangle.g2w
Paragraphe extrait de la page triangles en seconde
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Partage par les médiatrices en quatre petits carrés.
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Partage par les diagonales en quatre triangles rectangles isocèles.
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Deux droites perpendiculaires, passant par le centre d'un carré, le partagent en quatre quadrilatères égaux.
Voir aussi : puzzle et carrés et puzzle de Périgal
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I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).
PQRS est un carré, d'aire égale à 
de l'aire de ABCD.
Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, les 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.
Les triangles ABL, BCP, CDQ et DAR ont même aire que PQRS, soit a2.
Paragraphe importé de la page produit scalaire
Le retrouver dans : carré au collège
Télécharger la figure GéoPlan p_s_car.g2w
Voir aussi : olympiades 2008 - un partage équitable
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Dans ce découpage classique, la part du milieu a moins de croûte que les deux autres.
Bibliographie : groupe Jeux de l'Association des professeurs de mathématiques - Comment se jouer de la Géométrie - 2009 |
Le géomètre peut proposer cette solution où toutes les parts ont même quantité de croûte. La troisième part est formée par le polygone croisé hachuré.
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Partage en deuxUne diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales. 4.1. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisésM est un point variable à l'intérieur du parallélogramme ABCD.
La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés. Paragraphe extrait de la page aire du parallélogramme.
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Partage en cinq
On obtient le petit parallélogramme à partir du grand, en joignant les sommets aux milieux des côtés suivants (dans le sens direct). Paragraphe extrait de la page parallélogramme.
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Pour les amateurs de calcul :
Diviser en deux l'aire d'un trapèzeDiviser un trapèze en deux parties d'aires équivalentes par une parallèle aux bases. |
Partage en deux d'un trapèze par un sommet |
a. Partage en 2, 4, 8, 16...Tracez une corde et trouvez-en la médiatrice. C'est un diamètre qui partage le cercle en deux.
Pour un partage en quatre, sur ce diamètre repérer le centre par exemple à l'intersection d'un deuxième diamètre construit comme médiatrice d'une autre corde.
Il suffit enfin de tracer, à partir du centre, la perpendiculaire au premier diamètre.
Télécharger la figure GéoPlan cercle_4parts.g2w
Partage en 8, 16... : il faut ensuite construire successivement la bissectrice de chaque angle créé.
b. Partage du cercle en 3Les partages en 3 et 6 proposés ici et ci-dessous utilisent le fait que cos(60°) = 
.
Partager un diamètre en quatre parties égales. Tracer la perpendiculaire en un des points obtenus, autre que le centre. Cette perpendiculaire coupe le cercle en deux des points cherchés.
Construction
Sur la figure ci-contre, les points I, O et J partagent le diamètre [AB] en quatre parties égales. La perpendiculaire en I à [AB] coupent le cercle en C et D. Les points B, C et D partagent le cercle en 3.
Pour découper un disque (c) de centre O, en six parties égales, partager en quatre un diamètre [AD] avec les points I milieu de [OA] et J milieu de [OD].
Les perpendiculaires au diamètre en I et J rencontre le cercle (c) aux points cherchés.
Indication
ABCDEF est un hexagone régulier de côtés de même longueur que le rayon du cercle.
OAB est un triangle équilatéral ayant (IB) comme médiatrice.
Télécharger la figure GéoPlan disque_six.g2w
Autres méthodes
c.2. Il est aussi possible de prendre la mesure du rayon et de la reporter 5 fois sur le cercle.
c.3. À partir du diamètre [AB], construire le cercle de centre A passant par O qui coupe (c) en B et F, puis construire le cercle de centre D passant par O qui coupe (c) en C et E.
Voir : polygones réguliers
Partage en 12, 24... : il faut ensuite construire successivement la bissectrice de chaque angle créé.
Pour couper en trois un demi-cercle de diamètre [BC], les bâtisseurs de cathédrales joignaient le sommet A du triangle équilatéral ABC aux deux points I et J qui divisent en trois le diamètre du demi-cercle.
Les intersections K et L des droites (AI) et (AJ) avec le demi-cercle le divisent en trois.
Télécharger la figure GéoPlan mon_549.g2w
Solution exacte
Soit S le symétrique de A par rapport à C et L le milieu de [BS], O le centre du cercle et r le rayon du cercle.
• La médiane [BC] du triangle ABS est égale à la moitié du côté [AS]. On en déduit que le triangle ABS est rectangle en B, il est de plus semi-équilatéral (l'angle en A vaut 60°).
• J est au tiers de la médiane [BC], c'est donc le centre de gravité du triangle ABS et la droite (AJ), médiane issue du sommet A, coupe [BS] en son milieu L.
• Le segment [LC], joignant les milieux des côtés [BS] et [AS], est égal à r moitié de [BA], et est parallèle à (BA), donc perpendiculaire à (BL).
BLC est un triangle rectangle en L. L est donc sur le demi-cercle de diamètre [AB].
• Le triangle OLC est équilatéral de côté r. L'angle CÔL vaut 60° et L divise bien le demi-cercle en trois.
• Par symétrie, il est en est de même pour K.
Télécharger la figure GéoPlan mon_549s.g2w
Indications pour une autre démonstration de cette solution
L'arc BK correspond à une corde [BK] de longueur r égale au rayon du cercle.
En effet, si O est le centre du cercle et P le point d'intersection de (AI) avec la perpendiculaire en B à (BC). Les triangles rectangles IOA et IBP sont semblables avec un rapport de similitude égal à 2 car BI = 2 OI = 
r.
Comme BP = 2OA = 2r
, si Q est le milieu de [BP], [OA] et [QP] sont symétriques par rapport au point K intersection de (AP) et (OQ).
Le triangle rectangle OBQ de côtés BO = r et BQ = r est la moitié d'un triangle équilatéral comme ABC.
L'hypoténuse [OQ] mesure 2r est son milieu K est tel que OK = r, le point K est situé sur le demi-cercle de diamètre [BC].
Par symétrie, il est en est de même pour L, K et L divisent le demi-cercle en trois parties égales.
Télécharger la figure GéoPlan mon_549t.g2w
Autres méthodes
a.2. Comme ci-dessus, partager le diamètre en quatre parties égales. Les perpendiculaires aux deux points autres que le centre coupent le demi-cercle aux deux points cherchés.
a.3. Il est aussi possible de prendre la mesure du rayon et de la reporter 2 fois sur le demi-cercle.
Pour partager en cinq un demi-cercle de diamètre [BC], les bâtisseurs de cathédrales joignaient le sommet A du triangle équilatéral ABC aux quatre points qui divisent le diamètre du demi-cercle en cinq parties égales.
La construction n'est pas exacte, mais l'erreur est d'environ 2%, ce qui rend la méthode acceptable et l'approximation n'est pas perceptible sur un dessin papier.
Il est possible de généraliser cette méthode au partage d'un demi-cercle en n parties égales.
Télécharger la figure GéoPlan cathe_arc_en 5.g2w
Triangle |
GéoPlan 5e |
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