Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesFaire des maths … avec Derive : calculs, fonctions, équations, intégrales, suites, graphe 3D.
Sommaire1. Interface du logiciel - production de document |
7. Équation pas à pas : Page no 81, réalisée le 7/4/2005, mise à jour le 30/12/2006 | ||
|
Index algorithme |
TI-92 |
TI-92 en T ES |
Casio 9850 G |
Ce logiciel outil permet :
Dans ce cas pour Derive version 5 vérifier l'installation de la police de caractères dfW5. Installation réussie sur votre ordinateur si vous visualisez racine de 2, à faire si <2 est affiché : ‹2.
Texas Instruments diffuse le logiciel dérive sur PC, et son équivalent est disponible sur les calculatrices TI-92, 89 ou voyage 200.
En classe, il devait être à la disposition des élèves ou du professeur comme assistant calculatoire (rétroprojecteur).
Derive est un logiciel merveilleusement puissant dans son aspect « calcul formel » très utile pour l'enseignant, ouvrant de nouvelles pistes pour l'enseignement, mais présentant aussi des « pièges », posant des problèmes spécifiques, nécessitant une bonne connaissance du logiciel et une réflexion non négligeable sur quelques difficultés du calcul formel. (Formateurs IUFM Strasbourg)
Se familiariser avec l'écran : menu, barre d'outils, commandes.
Expression, écrire un calcul, résultats des calculs ;
barre d'état, édition des expressions.
Caractères grecs et symboles mathématiques,
fenêtre graphique.
π : taper pi, Ctrl+P ou utiliser le menu symboles.
Choisir le nombre de chiffres significatifs avec la commande Déclarer > Paramètres de Simplification :
PrecisionDigits := 80
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089
ê base des logarithmes naturels. Taper #e, Ctrl+E ou utiliser le menu symboles.
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475
Toutes ces décimales sont exactes.
Décomposition d'un naturel en facteurs premiers :
FACTOR(960, Trivial) 26 3·5
Calculs sur les fractions avec résultats simplifiés.
1
———— 0.7071067811
‹2
€ 1 ‚ ‹2
EXPAND¦————, Rational¦ ————
‹2 ƒ 2
‹23 2.828427124
EXPAND(‹23, raDical) 2·‹2
€ ¹ ‚ ‹2
SIN¦———¦ = ————
4 ƒ 2
€ ¹ ‚ € 1 ‹2 ‚
SIN¦———¦ = ‹¦——— - ————¦
8 ƒ 2 4 ƒ
1 ‹3 + 1
————————
————————
‹3 - 1 2
‹2 - 1 ‹6 - ‹3 + ‹2 - 1
————————
——————————————————
‹3 - 1 2
Factoriser ‹6 = ‹2·‹3
‹(a·b) n'est pas factorisé. Déclarer le domaine des variables et obtenir :
a : Real (0, –)
b : Real (0, –)
‹(a·b) = ‹a·‹b
(‹x)2 = x mais problème pour -1 en substituant x par -1 : ‹(-1)2 = -1
À ne pas confondre avec ‹(x2) qui donne bien ¦x¦.
Sommaire
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Étude de y = -2·x2 + x + 3
TABLE(-2·x2 + x + 3, x, -2, 2, 1)
„ -2 -7 †
¦ -1 0 ¦
¦ 0 3 ¦
¦ 1 2 ¦
… 2 -3 ‡
Le changement de variable obtenu par substitution de x par x + 1/4
€ 1 ‚2 € 1 ‚
-2·¦x + ———¦ + ¦x + ———¦ + 3
4 ƒ 4 ƒ
permet d'obtenir la fonction paire
2 25
g(x) := - 2·x + ———— montrant que la droite d'équation x=1/4 est axe de symétrie.
8
Vérifier la parité en calculant
25 2
g(-x) = ———— - 2·x
8
d 2
Dérivée ——(- 2·x + x + 3) = 1 - 4·x
dx
L'équation de la tangente au point d'abscisse a se calcule avec la fonction TANGENT(f(x),x,a)
TANGENT(- 2·x2 + 3, x, 1) 5 - 3·x
Équation f(x) = 0
SOLVE(- 2·x2 + x + 3, x)
3
x = ——— x = -1
2
Intégrales
ˆ 2 2·x3 x2
‰ (- 2·x + x + 3) dx = — ————— + ———— + 3·x
3 2
3/2
ˆ 2 125
‰ (- 2·x + x + 3)dx = ————
-1 24
PlotInt(u, f, a, b) trace l'aire associée à l'intégrale définie de la fonction f(x) de x = a à b. Pour que PlotInt fonctionne, l'option
Options > Simplification avant tracé de la fenêtre Graphe-2D doit être activée.
PlotInt(-2·x2 + x + 3, x, -1, 3/2)
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Étude de f(x) = x3 - 3·x2 + x + 1
Factorisation
f(x) = (x - 1)·(x2 - 2·x - 1)
= (x - 1)·(x + ‹2 - 1)·(x - ‹2 - 1)
Dérivée :
d
——(x3 - 3·x2 + x + 1) = 3·x2 - 6·x + 1
dx
Pour l'équation de la tangente au point d'abscisse a, n'utilisons pas la fonction TANGENT(f(x),x,a), mais aidons-nous du logiciel pour le calcul de l'équation y = df(a) (x-a) + f(a) :
Substituer x par a :
f(a) = a3 - 3·a2 + a + 1 et df(a) = 3·a2 - 6·a + 1
L'équation est alors : (3·a2 - 6·a + 1)·(x - a) + a3 - 3·a2 + a + 1
En substituant a par 2, on trouve : x - 3
Pour trouver les abscisses des points d'intersection de cette tangente et de la courbe, résoudre :
SOLVE(x3 - 3·x2 + x + 1 = x - 3, x, Real) soit x = 2 x = -1
En déclarant a := 1 le calcul de (3·a2 - 6·a + 1)·(x - a) + a3 - 3·a2 + a + 1
donne 2 - 2·x équation de la tangente au point d'inflexion I(1, 0).
Pour supprimer la valeur de a déclarer : a:=
Il est intéressant de déclarer la définition de la fonction et de sa dérivée :
f(x) := x3 - 3·x2 + x + 1
df(x) := 3·x2 - 6·x + 1
L'équation de la tangente s'écrit alors :
df(a)·(x - a) + f(a)
La substitution de a par -1 :
df(-1)·(x+1) + f(-1) permet le calcul de l'équation 10·x + 6
Tous ces calculs peuvent se faire ou se vérifier avec la fonction de Derive :
TANGENT(x3 - 3·x2 + x + 1, x, a)
Le changement de variable obtenu par substitution de x par x + 1
(x + 1)3 - 3·(x + 1)2 + (x + 1) + 1
permet d'obtenir la fonction impaire x3- 2·x montrant que I(1, 0) est centre de symétrie.
Équation x3 - 3·x + 1 = 0
SOLVE(x3 - 3·x + 1, x, Real)
€ 2·¹ ‚
x = 2·COS¦—————¦
9 ƒ
€ ¹ ‚
x = - 2·COS¦———¦
9 ƒ
€ ¹ ‚
x = 2·SIN¦————¦
18 ƒ
S'explique par la méthode trigonométrique de résolution basée sur la linéarisation de cos3x
J.P. Sorribas Bulletin APM no 398
Derive sait aussi pour l'équation : x3 - 5·x2 + 3·x + 2 = 0 trouver ce genre de solutions exactes !
SOLVE(x3 - 5·x2 + 3·x + 2, x, Real)
€ € ‹1407 ‚ ‚
¦ 2·ACOT¦- ———————¦
¦
¦ 63 ƒ ¦
8·COS¦———————————————————¦
5 3 ƒ
x = ——— - ———————————————————————————
3 3
€ € ‹1407 ‚ ‚
¦ 2·ATAN¦———————¦
¦
¦ 63 ƒ ¹ ¦
8·SIN¦—————————————————
+ ———¦
5 3 6 ƒ
x = ——— - ———————————————————————————————
3 3
€ € ‹1407 ‚ ‚
¦ 2·ATAN¦———————¦ ¦
¦ 63 ƒ ¦
8·COS¦—————————————————¦
3 ƒ 5
x = ——————————————————————————
+ ———
3 3
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x2 + 5·x - 10
f(x) = ———————————————
x - 2
Développer pour obtenir la décomposition en éléments simples
4
——————— + x + 7
x - 2
Le calcul de la dérivée est :
d x2 + 5·x - 10 x·(x - 4)
—— ———————————————
= ——————————
dx x - 2 (x - 2)2
En substituant x par x-1 puis en retranchant 4 on obtient une nouvelle fonction dont l'étude sera similaire à la précédente.
x2 + 3·x - 14 4 x2 - x - 2
———————————————
- 4 = ——————— + x + 2 = ———————————
x - 3 x - 3 x - 3
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SOLVE(2·x4 + 3·x3 - 12·x2 - 7·x + 6, x, Real)
1
x = ——— x = -3 x = 2 x = -1
2
Résoudre 6·x4 - 5·x3 - 38·x2 - 5·x + 6 = 0
Diviser par x2 :
2 5 6
6·x - 5·x - ——— + ———— -
38 et faire le changement de variable :
x x2
1
u = x + ———
x
2 € 1 ‚2 2 6
6u = 6·¦x + ———¦ = 6·x + ———— + 12
x ƒ x2
On est amené à résoudre l'équation du second degré : 6·u2 - 5·u - 50 = 0
10 5
u = ———— u = - ———
3 2
Le retour à la variable x permet de résoudre deux équations :
1 10
x + ——— = ———— Multiplier
par x et trouver les deux solutions de l'équation du second degré :
x 3
1
x = ——— x = 3
3
1 5 1
x + ——— = - ——— a pour solutions
x = - ——— x = -2
x 2 2
La factorisation est bien (x + 2)·(x - 3)·(2·x + 1)·(3·x - 1)
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a. Forme canonique du trinôme : Exemple - 2·x2 + x + 3
Diviser par - 2 :
- 2·x2 + x + 3 2 x 3
———————————————
= x - —— - ———
-2 2 2
est le double de 
qui a pour carré 
que l'on ajoute aux deux
membres de l'égalité :
€ 2 x 3 ‚ 1
¦x - ——— = ———¦ + ————
2 2 ƒ 16
2 x 1 25
x - ——— + ———— = ————
2 16 16
En factorisant
(4·x - 1)2 52
———————————— = ————
16 24
La forme canonique est donc :
€ (4·x - 1)2 52 ‚
-2·¦———————————— - ———— ¦
16 24 ƒ
La factorisation est (x + 1)·(3 - 2·x)
Affecter les deux équations à deux variables a et b
a := 2·x - 3·y = 7
b := 3·x + 4·y = 2
Dérive permet de trouver les solutions :
SOLVE([a, b], [x, y]) [x = 2 y = -1]
Le calcul des combinaisons 4·a + 3·b donne 17·x = 34, et en divisant par 17 :
17·x = 34
———————————, on a x = 2.
17
De même, le calcul de -3·a + 2·b donne 17·y = -17, d'où y = -1.
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Par exemple, on peut considérer la définition suivante :
f(x) = 2x si x est inférieur ou égal à 3 et f(x) = x + 3 si x est supérieur à 3.
Pour utiliser cette fonction avec le logiciel
— soit : déclarer>fonction avec comme nom f(x) et comme définition de la fonction : IF( x <= 3, 2x, x + 3),
— soit écrire directement f(x) := IF( x <= 3, 2x, x + 3).
D'une façon générale, on utilise la syntaxe du « si » suivante :
IF(<condition>, <valeur vraie>, <valeur fausse>).
Exemple 1 : la fonction x ® f(x) = x²-3 sur [-2, 3]
Il existe dans Derive la fonction caractéristique d'un intervalle, c'est la fonction CHI : CHI(-2,x,3) = 1 si -2 £ x £ 3 sinon CHI(-2,x,3) = 0.
Par défaut l'intervalle est fermé. Un quatrième paramètre égal à 1 est sous-entendu dans CHI : CHI(-2,x,3) correspond à CHI(-2,x,3,1) pour -2 £ x £ 3. Si on remplace le 1 final par 0, l'intervalle est ouvert : CHI(-2,x,3,0) = 1 lorsque -2 < x < 3.
Pour définir la fonction f sur [-2, 3] il suffit donc de diviser par CHI(-2,x,3) (en effet, le quotient n'existe que si x appartient à [-2;3]).
La ligne d'instruction f(x):=(x^2-3)/CHI(-2,x,3) répond à la question.
Exemple 2 : Pour étudier la fonction x ® f(x) = 1 − sin x sur [0, π], trois possibilités :
Avec des IF : IF(x < 0, 1/0, IF(x ≤ π, 1 - SIN(x), 1/0))
avec CHI : (1 - SIN(x))/CHI(0, x, π)
avec des conjonctions : (1 - SIN(x)) Λ (x≥0) Λ (x≤π)
Fonction périodique
Pour étudier la fonction f de période π telle que : f(x) = 1 - sinx sur [0, π], représenter f sur [0, π] avec (1 - SIN(x))/CHI(0, x, π).
Pour l'intervalle [-π, 0] à x substituer x + π et tracer (1 - SIN(x + π))/CHI(-π, x, 0).
Pour l'intervalle [π, 2π] à x substituer x - π et tracer (1 - SIN(x - π))/CHI(π, x, 2π),
pour l'intervalle [2π, 3π] à x substituer x - 2π et tracer (1 - SIN(x - 2π))/CHI(2π, x, 3π),
et ainsi de suite…
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Intégration par partie de xn sin(x)
d
——(x·COS(x))= COS(x) - x·SIN(x)
dx
ˆ
‰ x·SIN(x) dx = SIN(x) - x·COS(x)
d 2 2
——(x ·COS(x)) = 2·x·COS(x) - x ·SIN(x)
dx
ˆ 2 2
‰ x ·SIN(x) dx =(2 - x )·COS(x) + 2·x·SIN(x)
d 3 2 3
——(x ·COS(x)) = 3·x ·COS(x) - x ·SIN(x)
dx
ˆ 3 2 2
‰ x ·SIN(x) dx = x·(6 - x )·COS(x) + 3·(x - 2)·SIN(x)
d n n-1 n
——(x ·COS(x)) = n·x ·COS(x) - x ·SIN(x)
dx
Intégration par partie de xn ln x
d
——(x·LN(x)) = LN(x) + 1
dx
ˆ
‰ LN(x) dx = x·LN(x) - x
d 2
——(x ·LN(x)) = 2·x·LN(x) + x
dx
ˆ x2 ·LN(x) x2
‰ x·LN(x) dx = —————————— - ————
2 4
d 3 2 2
——(x ·LN(x)) = 3·x ·LN(x) + x
dx
ˆ 2 x3 ·LN(x) x3
‰ x ·LN(x) dx = —————————— - ————
3 9
Derive calcule cette primitive pour tout, sans s'embarrasser du fait que n soit un entier naturel.
ˆ n xn+1·LN(x) xn+1
‰ x ·LN(x) dx = ——————————— - ————————
n + 1 (n + 1)2
Un exemple de bug
1
ˆ n 1 1
‰ x dx = ——————— - ————————————————
0 n + 1 n + 1
– ·(n + 1)
Bug qui disparaît si l'on déclare n naturel non nul :
n : Integer (1, –)
1
ˆ n 1
‰ x dx = ———————
0 n + 1
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10. Suites
On peut définir la suite comme une fonction u de n par exemple : u(n):=(2n-1)/(n + 1)
puis représenter les points de coordonnées (n, u(n)).
Avec Derive, les coordonnées d'un point sont définies par une liste de deux nombres (donc deux nombres séparés par une virgule, le tout entre crochets [n, u(n)]).
Pour représenter plusieurs points, il suffit de définir une liste des coordonnées de ces points. Pour cela, on peut utiliser l'outil VECTOR.
VECTOR([n,u(n)],n,0,9) va créer la liste des coordonnées des 10 premiers points.
Si vous allez alors dans la fenêtre graphique, pensez à deux choses :
1) dans le menu options, cochez la case simplifier avant de tracer,
2) dans le menu affichage > points, choisissez les cases non liées et larges.
Le logiciel Derive utilise la récursivité, c'est-à-dire la possibilité pour définir une fonction f d'utiliser cette fonction.
Attention de ne pas tomber dans une boucle infernale ! Pensez à définir le premier terme en utilisant la fonction IF (<n =
0>, <premier terme>, <formule de récurrence>).
Exemple : soit à définir la suite définie si n>0 par un+1 = 1-un/2 et u0= 5.
Décaler de 1 les indices, u(n) = 1-u(n-1)/2 et u(0)=5,
déclarer dans Derive u(n):=IF(n=0,5,1-u(n-1)/2)
Attention cependant à n'utiliser cette fonction u qu'avec des constantes entières positives : demander u(n) provoque une erreur et il n'y a pas de traitement d'erreur dans cette définition.
Voir le graphique « mode toile d'araignée WEB » avec la TI-92: les suites en S
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Tracer des surfaces de l'espace d'équation z = f(x, y)
Utiliser les flèches du clavier pour faire tourner les figures en changeant de point de vue.
|
Paraboloïde elliptique (bol) : solide de révolution d'équation z = x2 + y2.
|
Paraboloïde à selle : paraboloïde hyperbolique d'équation z = x2 - y2 (ou z = xy).
|
|
Hyperboloïde à une nappe x2 + y2 = z2 + 1.
|
Hyperboloïde à deux nappes x2 + y2 = z2 - 1.
|
Voir : paraboloïde avec GéoPlan
Solutions numériques approchées d'équations du premier ordre
Le fichier ODE_APPR.MTH définit la fonction EULER_ODE(r, x, y, x0, y0, h, n) : un vecteur de n+1 points approximation des solutions de l'équation y’=(r,y) avec y=y0 en x=x0, en commençant par x=x0 avec un pas de h. EULER utilise la méthode d'Euler pour produire un vecteur de n+1 couples de coordonnées de la forme :
[[x0, y0], [x0+h, y1], [x0+2·h, y2]…, [x0+n·h, yn]]
Ce vecteur se trace comme un ensemble de points de la courbe solution de l'équation. Par exemple, pour engendrer cinq points d'une solution approchée de l'équation y’ = 26/(3+(x+y)²) pour lequel y=−2, à x=2, cherchez une valeur approchée de :
€ 26 1 ‚
EULER_ODE¦——————————————,
x, y, 1, -2, ———, 4¦
¦ 2 4 ¦
3 + (x + y) ƒ
Ce qui donne :
€ 1 -2 ‚
¦ 1.25 -0.375 ¦
¦ 1.5 1.35114 ¦
¦ 1.75 1.93520 ¦
2 2.32722 ƒ
La méthode d'Euler a un intérêt éducatif, car c'est la méthode numérique la plus simple pour résoudre des systèmes d'équations différentielles ordinaires du premier ordre, mais elle est de façon typique, celle qui a la marge d'erreur la plus importante parmi les méthodes standard.
Voir : Méthode d'Euler avec GéoPlan
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