René DescartesDescartes et les Mathématiques

« La Géométrie » de René Descartes - Livre troisième

Texte en français modernisé d'après l'édition de 1637 publiée dans The geometry of Rene Descartes de David Eugene Smith et Marcia L. Latham, avec quelques notes.

Table des matières

De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème

page 369

Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles

page 370

De la nature des équations

page 371

Les racines des équations :
Combien il peut y avoir de racines en chaque équation

page 372

Quelles sont les fausses racines

Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on connaît quelqu'une de ses racines

Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine

page 373

Combien il peut y avoir de vraies racines en chaque équation

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses

Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation

page 374

Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, et au contraire

page 375

Comment on peut ôter le second terme d'une équation

page 376

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses

page 377

Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies

page 378

Comment on peut multiplier ou diviser les racines sans les connaître

page 379

Comment on ôte les nombres rompus d'une équation

Les imaginaires :
Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle autre qu'on veut

page 380

Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires

La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan

La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine

page 381

Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique

page 383

La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ;
et quels sont ceux qui sont solides

Exemple de l'usage de ces réductions

page 387

Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré

page 389

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions

page 389

Racine cubique et trisection

L'invention de deux moyennes proportionnelles

page 395

La division de l'angle en trois

page 396

Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions

page 397

La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques,
et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu'au carré de carré

page 400

Conclusions sur les équations et les problèmes :
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées

page 401

Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point plus de six dimensions

page 402

Conclusions de Descartes
L'invention de quatre moyennes proportionnelles

page 411

Livre troisième

De la construction des problèmes, qui sont solides, ou plus que solides

Page 369 : fac-similé et commentaires

De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème

Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par quelque mouvement régulier doivent être reçues en la Géométrie, ce n'est pas à dire qu'il soit permis de se servir indifféremment de la première qui se rencontre pour la construction de chaque problème, mais il faut avoir soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le résoudre.

Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposée plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.

page 370 : fac-similé et commentaires

Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles

La Géométrie de Descartes - équerres glissantes - figure 7

Comme, par exemple, je ne crois pas qu'il y ait aucune façon plus facile pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu'on veut, ni dont la démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui se décrivent par l'instrument XYZ ci-dessus expliqué.

Car, voulant trouver deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et parce que ce cercle coupe la courbe AD au point D, YD est l'une des moyennes proportionnelles cherchées, dont la démonstration se voit à l'œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD ; car, comme YA ou YB, qui lui est égale, est à YC, ainsi YC est à YD, et YD à YE.

Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre YA et YG, ou pour en trouver six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG qui, coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l'une de ces quatre proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH au point H, détermine YH l'une des six ; et ainsi des autres.

Mais pourceque la ligne courbe AD (du montage d'équerres) est du second genre, et qu'on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier (genre) et aussi pourcequ'on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce serait une faute en géométrie que les y employer (les lignes du deuxième genre).
Et c'est une faute aussi, d'autre côté, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet.

page 371 : fac-similé

De la nature des équations

Conseil pour l'écriture des équations : transférer tous les termes à gauche.

Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l'une et l'autre de ces deux fautes, il faut que je dise quelque chose en général de la nature des équations, c'est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus, et partie inconnus, dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte

page 372 : fac-similé et commentaires

Les racines des équations :

Combien il peut y avoir de racines en chaque équation

Descartes énonce le théorème fondamental de l'algèbre inventé par Albert de Girard en 1629.

Sachez donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de valeurs de cette quantité.

Car, par exemple, si on suppose x égale à 2, ou bien x – 2 égal à rien ; et derechef x = 3, ou bien x – 3 = 0 ; en multipliant ces deux équations

x – 2 = 0, et x – 3 = 0,

l'une par l'autre, on aura

x2 – 5x + 6 = 0,

ou bien

x2 = 5x – 6,

qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout ensemble vaut 3.
Que si derechef on fait

x – 4 = 0,

et qu'on multiplie cette somme par

x2 – 5x + 6 = 0,

on aura

x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0,

qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.

Page 372

Quelles sont les fausses racines

Mais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines soient fausses ou moindres que rien (négatives) ; comme si on suppose que x désigne aussi le défaut d'une quantité qui soit 5 (Solution négative – 5), on a

x + 5 = 0,

qui, étant multiplié par

x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0,

fait

x4 – 4x3– 19x2 + 106x – 120 = 0

pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2, 3, 4,
et une fausse qui est 5 (x = – 5).

Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on connaît quelqu'une de ses racines

Il formule le théorème sur la factorisation d'un polynôme :

Et on voit évidemment de ceci que la somme (membre de gauche) d'une équation qui contient plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue moins la valeur de l'une des vraies racines, laquelle que ce soit, ou plus la valeur de l'une des fausses ; au moyen de quoi on diminue d'autant ses dimensions.

page 373 : fac-similé

Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine

Dans ce paragraphe, Descartes formule le théorème sur la factorisation d'un polynôme.

Il entrevoit, mais n'établi pas explicitement, le théorème fondamental de l'algèbre.

Et réciproquement que si la somme d'une équation ne peut être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue + ou – quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de ses racines.

Comme cette dernière

x4 – 4x3– 19x2 + 106x – 120 = 0

peut bien être divisée, par x – 2, et par x – 3, et par x – 4, et par x + 5 ; mais non point par x + ou – aucune autre quantité.

Ce qui montre qu'elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4, et 5 (5 est ici une « fausse racine », maintenant on écrirait – 5).

Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation

Règle des signes de Descartes

Le nombre de racines positives est, au plus, égal au nombre de variations de signes de ses coefficients, le nombre de racines négatives est, au plus, le nombre de permanences de ces signes.

On connaît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines, et combien de fausses en chaque Équation.

À savoir il y en peut avoir autant de vraies, que les signes + et – s'y trouvent de fois être changés ; et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes – qui s'entresuivent.

Comme en la dernière, à cause qu'après + x4 il y a – 4x3, qui est un changement du signe + en –,
et après –19x2 il y a +106x, et après +106x il y a –120 qui sont encore deux autres changements, on connaît qu'il y a trois vraies racines (positives)  ; et une fausse (négative), à cause que les deux signes –, de 4x3 et 19x2 s'entresuivent.

Comment on fait que les fausses racines d'une équation deviennent vraies, et les vraies fausses

De plus il est aisé de faire en une même Équation, que toutes les racines qui étaient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étaient vraies deviennent fausses : à savoir en changeant tous les signes + ou – qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième et semblables qui se désignent par les nombres impairs.

Comme si au lieu de + x4 – 4x3– 19x2 + 106x – 120 = 0,
on écrit + x4 + 4x3– 19x2 – 106x – 120 = 0,
on a une Équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine, qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4 (racine négatives –2, –3 et –4).

page 374 : fac-similé

Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation

Descartes indique l'absence d'un terme par l'astérisque *, mis à la place de ce terme, nous l'ôterons ainsi que le facteur 1 qu'il laisse parfois (Note Victor Cousin).

Que si sans connaître la valeur des racines d'une Équation, on la veut augmenter, ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du terme inconnu en supposer un autre, qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.

Comme si on veut augmenter de 3 la racine de cette Équation x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0,
il faut prendre y au lieu d’ x, et penser que cette quantité y est plus grande qu' x de 3, en forte que y – 3 est égal à x, et au lieu d’ x2, i1 faut mettre le carré d’ y – 3 qui est y2 – 6y + 9 et au lieu d’ x3 il faut mettre son cube qui est y3 – 9y2 + 27y – 27, et enfin au lieu d’ x4 il faut mettre son carré de carré (puissance 4) qui est y4 – 12y3 + 54y2 – 108y + 81.

Et ainsi décrivant la somme précédente en substituant par tout y au lieu d’ x on a

y4 - 12y3 + 54y2 - 108y + 81  
  + 4y3 - 36y2 + 108y - 108  
    - 19y2 + 114y - 171  
      - 106y + 318  
        - 120  
---- ---- ---- ---- ----  
y4 - 8y3 - y2 + 8y * = 0

ou bien y3 – 8y2y + 8 = 0, où la vraie racine qui était 5 est maintenant 8, à cause du nombre trois qui lui est ajouté.

Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même Équation,
il faut faire y + 3 = x et y2 + 6y + 9 = x2 et ainsi des autres de façon
qu'au lieu de x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0 on met

y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81  
  + 4y3 + 36y2 + 108y + 108  
    - 19y2 - 114y - 171  
      - 106y - 318  
        - 120  
---- ---- ---- ---- ----  
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y - 420 = 0

page 375 : fac-similé

Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, et au contraire

Et il est à remarquer qu'en augmentant les vraies racines d'une Équation, on diminue les fausses de la même quantité ; ou au contraire en diminuant les vraies, on augmente les fausses.

Et que si on diminue soit les unes soit les autres, d'une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles, et que si c'est d'une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou de fausses vraies.

Comme ici en augmentant de 3 la vraie racine qui était 5, on a diminué de 3 chacune des fausses, en sorte que celle qui était 4 n'est plus que 1, et celle qui était 3 est nulle, et celle qui était 2 est devenue vraie et est 1, à cause que – 2 + 3 fait + 1.

C'est pourquoi en cette Équation y3 – 8y2y + 8 = 0 il n'y a plus que 3 racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies, 1 et 8, et une fausse qui est aussi 1.

Et en cette autre y4 + 16y3 + 71y2 – 4y – 420 = 0 il n'y en a qu'une vraie qui est 2, à cause que + 5 – 3 fait + 2, et trois fausses qui sont 5, 6 et 7.

page 376 : fac-similé et commentaires

Comment on peut ôter le second terme d'une équation

Or par cette façon de changer la valeur des racines sans les connaître, on peut faire deux choses, qui auront ci-après quelque usage : la première est qu'on peut toujours ôter le second terme de l'Équation qu'on examine, à savoir en diminuant les vraies racines, de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l'un de ces deux termes étant marqué du signe +, l'autre est marqué du signe – ; ou bien en l'augmentant de la même quantité, s'ils ont tous deux le signe +, ou tous deux le signe –.

Comme pour ôter le second terme de la dernière Équation qui est y4 + 16y3 + 71y2 – 4y – 420 = 0 ayant divisé 16 par 4, à cause des 4 dimensions du terme y4, il vient derechef 4, c'est pourquoi je fais z – 4 = y, et j'écris

z4 - 16z3 + 96z2 - 256z + 256  
  + 16z3 - 192z2 + 768z - 1024  
    + 71z2 - 568z + 1136  
      - 4z + 16  
        - 420  
___ ______ _______ _______ ______  
z4 * - 25z2 - 60 z - 36 = 0

où la vraie racine qui était 2 est 6, à cause qu'elle est augmentée de 4 ; et les fausses qui étaient 5, 6, et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3 ; à cause qu'elles sont diminuées chacune de 4.

Tout de même si on veut ôter le second terme de x4 – 2ax3 + (2a2c2)x2 – 2a3x + a4 = 0,
pourceque divisant 2a par 4 il vient 1/2 a il faut faire z + 1/2 a = x

et écrire

z4 + 2 az3 + 3/2a2z2 + 1/3a3z + 1/16a4  
  - 2 az3 - 3a2z2 - 3/2a3z + 1/4a4  
    + 2a2z2 + 2a3z + 1/2a4  
    - c2z2 - 2ac2z - 1/4a2c2  
      - 2a3z - a4  
        + a4  
___ ______ __________ ___________ _______________  
z4 * +(1/2a2-c2)z2 -(a3+ac2)z +5/16a4 - 1/4a2c2 = 0

et si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutant 1/2 a a on aura celle de x.

page 377 : fac-similé

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses

La seconde chose, qui aura ci-après quelque usage est, qu'on peut toujours en augmentant la valeur des vraies racines, d'une quantité qui soit plus grande que n'est celle d'aucune des fausses, faire qu'elles deviennent toutes vraies, en sorte qu'il n'y ait point deux signes + ou deux signes – qui s'entrent-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré la moitié de celle du second.

Car encore que cela se fasse, lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur grandeur, et de prendre une quantité, qui les surpasse d'autant, ou de plus, qu'il n'est requis à cet effet.

Comme si on a

x6 + nx5 – 6n2x4 + 36n3x3 – 216n4x2 + 1296n5x – 7776n6 = 0,

en faisant y – 6n = 0, on trouvera

y6 -36n}y5 +540n2}y4 -4320n3}y3 +19440n4}y2 +46656n5}y +46656n6
  + n - 30n2 + 360n3 -2160n4 +6480n5 -7776n6
    - 6n2 + 144n3 -1296n4 +5184n5 -7776n6
      + 36n3 - 648n4 + 3888n5 - 7776n6
        - 216n4 + 2592n5 - 7776n6
          + 1296n5 - 7776n6
            - 7776n6
__ ______ _________ __________ __________ __________ ________
y6 - 35ny5 + 504n2y4 - 3780n3y3 + 15120n4y2 + 27216n5y *     = 0

Où il est manifeste, que 504n2, qui est la quantité connue du troisième terme est plus grande, que le carré de 35/2 n qui est la moitié de celle du second.

Et il n'y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vraies racines, ait besoin à cet effet d'être plus grande, à proportion de celles qui sont données, que pour celui-ci.

page 378 : fac-similé

Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies

Mais à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne désire pas que cela soit, il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines ; et ce ne saurait être de si peu, que ce ne soit assez pour cet effet.

Non plus que lorsqu'on veut accroître le nombre des dimensions de quelque Équation, et faire que toutes les places de ses termes soient remplies.

Comme si au lieu de x5 * * * * – b = 0, on veut avoir une Équation, en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions, et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour
x5 * * * * – b = 0 écrire
x6 * * * * – bx * = 0
puis ayant fait y – a = x on aura
y6 – 6ay5 + 15a2y4 – 20a3y3 + 15a4y2 – (6a5 + b)y + a6 + ab = 0.

Qu'il est manifeste que tant petite que la quantité a soit supposée, toutes les places de l'Équation ne laissent pas d'être remplies.

Page 379 : fac-similé

Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation sans les connaître

De plus on peut, sans connaître la valeur des vraies racines d'une Équation (Schooten a omis, avec raison, de traduire ce mot « vraies »), les multiplier ou diviser toutes, par telle quantité connue qu'on veut.

Ce qui le fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée, ou divisée, par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque autre.

Puis multipliant, ou divisant la quantité connue du second terme, par cette même qui doit multiplier, ou diviser les racines, et par son carré, celle du troisième, et par son cube, celle du quatrième, et ainsi jusqu'au dernier.

Page 379

Comment on réduit les nombres rompus (nombre rationnel) d'une équation à des entiers

Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds (nombre irrationnel), qui se trouvent dans les termes des équations.

Comme si on a x^3 - \sqrt{3}x^2 + \frac{26}{27} x - \frac{8}{27 \sqrt{3}} = 0 ,
et qu'on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s'expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer y = xrac(3), et multiplier par rac(3) la quantité connue du second terme, qui est aussi rac(3), et par son carré qui est 3 celle du troisième qui est 26/27, et par son cube qui est 3rac(3) ; celle du dernier, qui est \frac{8}{27\sqrt{3}}, ce qui fait

y3 – 3 y2 + 26/9 y8/9 = 0.

Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer z = 3y, et multipliant 3 par 3, 26/9 par 9, et 8/9 par 27,
on trouve

z3 – 9z2 + 26z – 24 = 0,

où les racines étant 2, 3 et 4, on connaît de là que celles de l'autre d'auparavant étaient 2/3, 1, et 4/3
et que celles de la première étaient \frac 29 \sqrt 3, rac(3)/9 et \frac 49 \sqrt 3.

page 380 : fac-similé et commentaires

Les imaginaires :

Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle autre qu'on veut

Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme si ayant

x3b2 x + c3 = 0.

On veut avoir en sa place une autre Équation, en laquelle la quantité connue, du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b2,
soit 3a2, il faut supposer y = x \sqrt{\frac {3a^2}{b^2}}

puis écrire y^3 - 3a^2y + \frac {3a^3c^3}{b^3} \sqrt 3 = 0.

Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires

Les racines positives sont dites « vrayes », les négatives « fausses » ou « moindres que rien ».

Le mot « imaginaire » de Descartes sera utilisé par la suite pour désigner les nombres complexes, qu'il ne savait pas calculer.

Au reste tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles ; mais quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.

Comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci,
x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une réelle, qui est 2, et pour les deux autres, quoi qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne saurait les rendre autres qu'imaginaires.

Page 380

La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan

Les deux membres 16 de la quatrième ligne sont affectés du signe –.

Or quand pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une Équation, en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions ; premièrement si les quantités connues, qui y sont, contiennent quelques nombres rompus (fractions numériques), il les faut réduire à d'autres entiers, par la multiplication tantôt expliquée ; et s'ils en contiennent de sourds (Nombres irrationnels), il faut aussi les réduire à d'autres rationaux, autant qu'il sera possible, tant par cette même multiplication que par divers autres moyens, qui sont assez faciles à trouver.

Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuvent diviser sans fraction le dernier terme, il faut voir, si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe + ou –, peut composer un binôme, qui divise toute la somme ; et si cela est le Problème est plan, c'est-à-dire il peut être construit avec la règle et de compas ; car ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou bien l'équation étant divisée par lui, se réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine, par ce qui a été dit au premier livre (équation du second degré, page 302).

Par exemple si on a y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0, le dernier terme, qui est 64, peut être divisé sans fraction par 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64.

C'est pourquoi il faut examiner par ordre si cette Équation ne peut point être divisée par quelqu'un des binômes, y2 – 1 ou y2 + 1,
y2 – 2 ou y2 + 2, y2 – 4 etc. et on trouve qu'elle peut l'être par y2 – 16, en cette sorte.

+ y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0
- y6 – 8y4 – 4y2 _______
_______ _______ _______ - 16
0 – 16y4 – 128y2  
  _______ _______  
  - 16 - 16  
_______ _______ _______ _______
  y4 + 8y2 + 4 = 0.

page 381 : fac-similé et commentaires

La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine

Je commence par le dernier terme, et divise – 64 par – 16 ce qui fait + 4, que j'écris dans le quotient, puis je multiplie + 4 par + y2, ce qui fait – 4y2 ; c'est pourquoi j'écris – 4y2 en la somme, qu'il faut diviser, car il y faut toujours écrire le signe + ou – tout contraire à celui que produit la multiplication et joignant que je divise derechef par – 16, et j'ai + 8y2, pour mettre dans le quotient et en le multipliant par y2, j'ai – 8y4, pour joindre avec le terme qu'il faut diviser, qui est aussi – 8y4, et ces deux ensemble font – 16y4, que je divise par – 16, ce qui fait + y4 pour le quotient, et – y6 pour joindre (ajouter) avec + y6, ce qui fait 0, et montre que la division est achevée.

Mais s'il était resté quelque quantité, ou bien qu'on n'eut pu diviser sans fraction quelqu'un des termes précédents, on eut par là reconnu, quelle ne pouvait être faite.

Tout de même si on a y6 + (a2c2) y4 + (– a4 + c4) y2 – (a6 + 2a4c2 + a2c4) = 0, le dernier terme se peut diviser sans fraction par a, a2, a2 + c2, a3 + ac2 et semblables.

Mais il n'y en a que deux qu'on ait besoin de considérer, à savoir a2, a2 + c2 ; car les autres donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient, qu'il n'y en a en la quantité connue du pénultième terme, empêcheraient que la division ne s'y pût faire.

Et notez, que je ne compte ici les dimensions de y6, que pour trois, à cause qu'il n'y a point de y5, ni de y3, ni de y en toute la somme.

Or en examinant le binôme y2a2c2 = 0, on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte

+ y6 + a2} y4 a4} y2   – a6 }
  – 2c2} + c4}   – 2a4c2} = 0
        – a2c4 }
y6 – 2a2} y4 a4} y2   – a6 }
  + c2} a2c2}   – a2y4}
_______ _________ _________ ___________
0 ÷ – a2c2 ÷ – a2c2 ÷ – a2c2
_______ _________ _________ ___________
  + y4 + 2a2} y2 + a4 }  = 0
      – c2} + a2c2}

Le résultat de la division est alors y4 + (2a2c2) y2 + a4 + a2c2 = 0

ce qui montre que la racine cherchée est a2 + c2.

Et la preuve en est aisée à faire par la multiplication.

page 383 : fac-similé

Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique

Mais lorsqu'on ne trouve aucun binôme, qui puisse ainsi diviser toute la somme de l'équation proposée, il est certain que le Problème qui en dépend est solide.

Et ce n'est pas une moindre faute après cela, de tâcher à le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce serait d'employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n'a besoin que de cercles : car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s'appelle faute.

page 383

La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ;
et quels sont ceux qui sont solides

WikiPédia Méthode de Descartes

L'invention de Descartes, par coefficients indéterminés, permet de résoudre des équations du quatrième degré.

Que si on a une Équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds (irrationnels) et rompus (fractions) s'il y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme, qui divise toute la somme, en le composant de l'une des quantités, qui divisent sans fraction le dernier terme.

Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou du moins après cette division, il ne reste en l'équation que trois dimensions, en suite de quoi il faut derechef l'examiner en la même sorte.

Mais lorsqu'il ne se trouve point de tel binôme, il faut en augmentant, ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la somme, en la façon tantôt expliquée.

Et après la réduire à une autre, qui ne contienne que trois dimensions.

Ce qui se fait en cette sorte.

Au lieu de + x4 ± px2 ± qx ± r = 0,
il faut écrire + y6 ± py4 + (p2 ± 4r)y2 – 4q = 0.

Et pour les signes (ambigus) + ou – que j'ai omis, s'il y a eu + p en la précédente Équation, il faut mettre en celle-ci + 2p,ou s'il y a eu – p, il faut mettre – 2p, et au contraire s'il y a eu + r, il faut mettre – 4r, ou s'il y a eu – r, il faut mettre + 4r, et soit qu'il y ait eu + q, ou – q, il faut toujours mettre – q2, et + p2, au moins si on suppose que x4, et y6 sont marqués du signe +, car ce serait tout le contraire si on y supposait le signe –.

Par exemple si on a

x4 – 4x2 – 8x + 35 = 0

il faut écrire en son lieu

y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0,

car la quantité que j'ai nommé p étant – 4, il faut mettre – 8y4 pour 2py4 ;
et celle, que j'ai nommée r étant 35, il faut mettre (16 – 140)y2, c'est-à-dire – 124y2, au lieu de (p2 – 4r)y2 ;
et enfin q étant 8, il faut mettre – 64, pour – q2. Tout de même au lieu de

x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0

il faut écrire

y6 – 34y4 + 313y2 – 400 = 0 ;

Car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6, et 400 est le carré de 20.

Tout de même aussi au lieu de

z^4+\left(\frac{1}{2}a^2-c^2 \right) z^2-\left(a^3 +ac^2 \right) z-\frac{5}{16}a^4-\frac 14 a^2c^2 = 0

Il faut écrire

y6 + (a2 – 2c2)y4 + (c4a4)y2a6 – 2a4c2a2c4 = 0 ;

Car p est à \frac 12a2c2, et p2 est \frac 14a4a2c2 + c4,
et 4r est – \frac 54a4 + a2c2,
et enfin – q2 est – a6 – 2a4c2a2c4.

Après que l'équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur de y2 par la méthode déjà expliquée ; et si elle ne peut être trouvée, on n'a point besoin de passer outre ; car il suit de là infailliblement que le problème est solide.

Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la précédente Équation en deux antres, en chacune desquelles la quantité inconnue n'aura que deux dimensions, et dont les racines seront les mêmes que les siennes.

À savoir, au lieu de

+ x4 ± px2 ± qx ± r = 0,

il faut écrire ces deux autres

+ x2yx + \frac 12 y^2 ± 1/2 p ± q/2y = 0 et

+ x2 + yx + \frac 12 y^2 ± 1/2 p ± q/2y = 0.

Et pour les signes + et – que j'ai omis, s'il y a +p en l'équation précédente, il faut mettre 1/2 p en chacune de celles-ci ; et –1/2 p, s'il y a en l'autre –p.

Mais il faut mettre + q/2y en celle où il y a –yx ; et – q/2yen celle où il y a + yx, lorsqu'il y a +q en la première ;
et au contraire s'il y a – q, il faut mettre –q/2y, en celle où il y a –yx ; et + q/2y en celle où il y a +yx.

Ensuite de quoi il est aisé de connaître toutes les racines de l'équation proposée, et par conséquent de construire le problème, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles, et des lignes droites.

Par exemple à cause que faisant y6 – 34y4 + 313y2 – 400 = 0,

pour x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0,

on trouve que y2 est 16, on doit au lieu de cette équation

x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0,

écrire ces deux autres + x2 – 4x – 3 = 0,
et + x2 + 4x + 2 = 0,
car y est 4, \frac 12 y^2 est 8, p est 17, et q est 20, de façon que
+\frac 12 y^2 - \frac 12 p - \frac{q}{2y} fait –3, et +\frac 12 y^2 - \frac 12 p + \frac{q}{2y} fait + 2.

Et tirant les racines de ces deux Équations, on trouve toutes les mêmes, que si on les tirait de celle où est x4,
à savoir on en trouve vue vraie, qui est \sqrt 7+ 2, et trois fausses, qui sont \sqrt 7– 2, 2 + 2 + \sqrt 2 et 2 – 2 + \sqrt 2.

Ainsi ayant x4 – 4x2 – 8x + 35 = 0,
pourceque la racine de

y6 – 8y4 – 124y2 + 64 = 0,

est derechef 16, il faut écrire

x2 – 4x + 5 = 0 et x2 + 4x + 7 = 0.

Car ici +\frac 12 y^2 - \frac 12 p - \frac{q}{2y} fait 5, et +\frac 12 y^2 - \frac 12 p + \frac{q}{2y} fait 7.

Et pourcequ'on ne trouve aucune racine, ni vraie, ni fausse, en ces deux dernières Équations, on connaît delà que les quatre de l'Équation dont elles procèdent sont imaginaires ; et que le Problème, pour lequel on l'a trouvée, est plan de sa nature ; mais qu'il ne saurait en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.

Tout de même ayant

z4 + (1/2 a2c2)z2 – (a2 + ac2)z5/16a41/4 a2c2 = 0,

pourcequ'on trouve a2 + c2 pour y2, il faut écrire

z2sqrt{a^2+c^2} z + 3/4a21/2 asqrt{a^2+c^2} = 0, et

z2 + sqrt{a^2+c^2} z + 3/4a2 + 1/2 asqrt{a^2+c^2} = 0.

Car y est sqrt{a^2+c^2} et \frac 12 y^2 + 1/2 p est 3/4a2, et q/2y est 1/2 asqrt{a^2+c^2}.

D'où on connaît que la valeur de z est

\frac 12\sqrt{a^2+c^2}+ \sqrt{-\frac 12 a^2+\frac 14 c^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}},

ou bien

\frac 12\sqrt{a^2+c^2}- \sqrt{-\frac 12 a^2+\frac 14 c^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}}.

Et pourceque nous avons fait ci-dessus z + \frac 12 a = x, nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est

\frac 12 a+\sqrt{\frac 14 a^2+\frac 14 c^2}-\sqrt{\frac 14 c^2-\frac 12 a^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}}

page 387 : fac-similé et commentaires

Exemple de l'usage de ces réductions

Mais afin qu'on puisse mieux connaître l'utilité de cette règle, il faut que je l'applique à quelque problème.

Si le carré AD, et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusqu'à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé BD jusqu'à G, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu'on demandait.

Mais pour ceux qui ne sauraient point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseraient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, (ou CE,) à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l'Équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d'expliquer.

La Géométrie de Descartes - exemple de l'usage de ces reductions - figure 26

Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a – x, et comme CF ou a – x est à FE ou c (sur certaines figures, c est noté le long du segment FE), ainsi FD ou x est à BF, qui par conséquent est cx/(a-x).

Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l'un x et l'autre a, leurs carrés, qui sont x2 + a2, sont égaux à celui de la base, qui est c²x²/(x²-2ax=a²) ; de façon que, multipliant le tout par x2 – 2ax + a2, on trouve que l'équation est

x4 – 2ax3 + 2a2x2 – 2a3x + a4 = c2x2,

ou bien

x4 – 2ax3 + (2a2c2) x2 – 2a3x + a4 = 0 ;

et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

a/2 + rac(…) - rac(…)

que si on posait BF, (ou CE,) ou BE, pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une Équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y viendrait assez aisément ; au lieu que si c'était DG qu'on supposait, on viendrait beaucoup plus difficilement à l'Équation, mais aussi elle serait très simple.

Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le Problème proposé n'est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une Équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrais encore ajouter diverses règles pour démêler les Équations qui vont au cube ou au carré de carré, mais elles seraient superflues ; car lorsque les Problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.

page 389 : fac-similé et commentaires

Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré

Je pourrais aussi en ajouter d'autres pour les équations qui montent jusqu'au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j'aime mieux les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu'on a tâché de les réduire à même forme que celles d'autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose n'a pu succéder par aucun, on doit s'assurer qu'elles ne sauraient être réduites à de plus simples ; en sorte que si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres.

Humour de Descartes

Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j'ai dit, à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine d'examiner méthodiquement si j'ai failli, elles se présenteront à vous d'elles-mêmes; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu'en les lisant.

page 389 : fac-similé et commentaires

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 27

Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soit que l'équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré (puissance 4), soit qu'elle ne monte que jusqu'au cube, on peut toujours en trouver la racine par l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou même par quelque partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être ; en ne se servant au reste que de lignes droites et de cercles.

Mais je me contenterai ici de donner une règle générale pour les trouver toutes par le moyen d'une Parabole, à cause qu'elle est en quelque façon la plus simple.

Premièrement il faut ôter le second terme de l'équation proposée, s'il n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme
z3 = ± apz2 ± a2q, si la quantité inconnue n'a que trois dimensions ;
ou bien à telle z4 = ± apz2 ± a2qz ± a3r, si elle en a quatre ;
ou bien en prenant a pour l'unité, à telle z3 = ± az ± q,
et à telle z4 = ± pz2 ± qz ± r.

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 27 bis

Après cela supposant que la Parabole FAG est déjà décrite, et que son essieu est ACDKL, et que son côté droit est a ou 1, dont AC est la moitié, et enfin que le point C est au dedans de cette Parabole, et que A en est le sommet ; il faut faire CD = \frac 12 p, et la prendre du même côté, qu'est le point A au regard du point C (lire « qu'est le point C au regard du point A »), s'il y a + p en l'équation ; mais s'il y a – p il faut la prendre de l'autre côté.

Et du point D, ou bien, si la quantité p était nulle, du point C il faut élever une ligne à angles droits jusqu'à E, en sorte qu'elle soit égale à \frac 12 q, et enfin du centre E il faut décrire le cercle FG, dont le demi-diamètre soit AE, si l'équation n'est que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle.

Mais quand il y a + r il faut dans cette ligne AE prolongée, prendre d'un côté AR égale à r, et de l'autre AS égale au côté droit de la Parabole qui est r, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendiculaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H, qui est celui par où l'autre cercle FHG doit passer.

Et quand il y a – r il faut après avoir ainsi trouvé la ligne AH, inscrire AI, qui lui soit égale, dans un autre cercle, dont AE soit le diamètre, et lors c'est par le point I, que doit passer FIG le premier cercle cherché.

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 28

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 29

Or ce cercle FG peut couper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 points, desquels tirant des perpendiculaires sur l'essieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies, que fausses.

À savoir si la quantité q est marqué du signe +, les vraies racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouveront du même côté de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses : mais au contraire si cette quantité q est marquée du signe –, les vraies seront celles de l'autre côté ; et les fausses, ou moindres que rien seront du côté où est E le centre du cercle.

Et enfin si ce cercle ne coupe, n'y ne touche la Parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires.

En sorte que cette règle est la plus générale, et la plus accomplie qu'il soit possible de souhaiter.

Et la démonstration en est fort aisée.

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 27

Car si la ligne GK, trouvée par cette construction, se nomme z, AK sera z2 à cause de la Parabole, en laquelle GK doit être moyenne proportionnelle, entre AK, et le côté droit qui est 1 ; puis si de AK j'ôte AC, qui est \frac 12, CD qui est \frac 12 p,
il reste DK, ou EM, qui est z^2 - \frac 12 p - \frac 12,
dont le carré est

z4pz2z2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14

et à cause que DE, ou KM est \frac 12 q, la toute GM est z + \frac 12 q ,
dont le carré est z^2 + qz + \frac 14 q^2,
et assemblant ces deux carrés, on a

z4pz + qz + \frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14,

pour le carré de la ligne GE, à cause qu'elle est la base du triangle rectangle EMG.

Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d'autres termes, à savoir ED étant \frac 12 q
et AD étant \frac 12 q + \frac 12,
EA est \sqrt {\frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14}

à cause de l'angle droit ADE, puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est \sqrt r, et à cause de l'angle droit EAH, le carré de HE,
où EG est \frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14 + r ;

si bien qu'il y a Équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que

z4 = pz2qz + r.

Et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette Équation, ainsi qu'il fallait démontrer.

Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes + et – selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit besoin que je m'y arête.

Page 395 : fac-similé et commentaires

Racine cubique et trisection

L'invention de deux moyennes proportionnelles

Descartes veut résoudre l'équation

z3 = a2 q.

z et z’ sont deux moyennes proportionnelles de a et q si a, z, z, z’ forment une proportion ainsi que z, z’, z’, q. Maintenant on dirait que a, z, z’, q sont en progression géométrique.

On a alors z’ = z²/a et q = z^3/a^2 et ces quatre nombres sont égaux à a, z, z²/a et z^3/a^2.

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 28

Si on veut donc suivant cette règle trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et q ; chacun sait que posant z pour l'une, comme a est à z, ainsi z à z²/a, et z²/a àz^3/a^2

de façon qu'il y a Équation entre q et z^3/a^2, c'est-à-dire

z3 = a2 q.

Et la Parabole FAG étant décrite, avec la partie de son essieu AC, qui est 1/2a la moitié du côté droit (corde, perpendiculaire à l'axe au milieu de [AC], de longueur a) ; il faut du point C élever la perpendiculaire CE égale à 1/2q et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA, pour les deux moyennes cherchées.

Page 396 : fac-similé et commentaires

La division de l'angle en trois

La trisection de l'angle ne peut être construite à la règle et au compas, car l'équation z3 = 3zq n'est pas réductible au second degré dans le corps Q.

La Géométrie de Descartes - la division de l'angle en trois - figure 30

Tout de même si on veut diviser l'angle NOP, ou bien l'arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties égales ; faisant NO = 1, pour le rayon du cercle et, pour la subtendue de l'arc donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc ; l'équation vient z3 = 3zq, car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT ; et faisant QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte que NO étant 1, et NQ étant z, QR est z2, et RS est z3 ; et à cause qu'il s'en faut seulement RS ou z3 que la ligne NP, qui est q, ne soit triple de NQ, qui est z, on a q = 3z – z3

ou bien z3 = 3z – q.

Puis la Parabole FAG étant décrite et CA la moitié de son côté droit principal étant 1/2 on prend CD = 3/2 et la perpendiculaire DE = 1/2q, et que du centre E, par A, on décrive le cercle FAgG, il coupe cette Parabole aux trois points F, g et G, sans compter le point A qui en est le sommet.

Ce qui montre qu'il y a trois racines en cette Équation, à savoir les deux GK et gk, qui sont vraies ; et la troisième qui est fausse, à savoir FL.
Et de ces deux vraies c'est gk la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne NQ qui était cherchée.

Car l'autre GK est égale à NV, la subtendue de la troisième partie de l'arc NVP, qui avec l'autre arc NQP achève le cercle.

Et la fausse FL est égale à ces deux ensembles QN et NV, ainsi qu'il est aisé à voir par le calcul.

page 397 : fac-similé

Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions

Il serait superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres exemples ; car tous les Problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point, qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu'elle sert a trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois parties égales.

Ainsi que vous connaîtrez en considérant, que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des Équations, qui ne montent que jusqu'au carré de carré, ou au cube : et que toutes celles qui montent au carré de carré, se réduisent au carré, par le moyen de quelques autres, qui ne montent que jusqu'au cube : Et enfin qu'on peut ôter le second ternie de celles-ci.

En sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :

z3 = – pz + q
z3 = + pz + q
z3 = + pz – q

Or si on a z3 = – pz + q, la règle dont Cardan attribue l'invention à un nommé Scipio Ferreus, nous apprend que la racine est :

\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 + \frac{1}{27}p^3}}-\sqrt[3]{-\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2+\frac{1}{27}p^3}}.

Comme aussi lorsqu'on a z3 = + pz + q, et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est :

\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 + \frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}.

Ces formules peuvent être traduites en problèmes géométriques du troisième degré comme la trisection de l'angle.
Ces références à l'Antiquité, justifient Descartes quand il pense ainsi avoir réalisé l’unification des mathématiques.

D'où il parait qu'on peut construire tous les Problèmes, dont les difficultés se réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l'unité.

La Géométrie de Descartes - la division de l'angle en 3 - figure 30

Puis si on a z3 = + pz – p, et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le cercle NQPV, dont le demi-diamètre NO soit \sqrt {\frac 13 p}, c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l'unité ; et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce cercle qui soit \frac {3q}{p}, c'est-à-dire qui soit à l'autre quantité donne q comme l'unité est au tiers de p ; il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ, la subtendue du tiers de l'un, et NV la subtendue du tiers de l'autre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.

Enfin si on a z3 = pz – q en supposant derechef le cercle NQPV, dont le rayon NO soit \sqrt{\frac 13 p} et l'inscrite NP soit \frac {3p}{q}, NQ la subtendue du tiers de l'arc NQP sera l'une des racines cherchées, et NV la sustendue du tiers de l'autre arc sera l'autre.

Au moins si le carré de la moitié du dernier terme, n'est point plus grand, que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, car s'il était plus grand, la ligne NP ne pourrait être inscrite dans le cercle, à cause quelle serait plus longue que son diamètre.

Ce qui serait cause que les deux vraies racines de cette Équation ne seraient qu'imaginaires, et qu'il n'y en aurait de réelles que la fausse (en valeur absolue conformément à l'habitude de Descartes quand il énonce des racines fausses -négatives), qui suivant la règle de Cardan serait

\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}

page 400 : fac-similé et commentaires

La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques,
et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu'au carré de carré

Au reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a que le contenu qu'on connaisse, n'est en rien plus intelligible, ni plus simple, que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains arcs, ou portions de cercles, dont le triple est donné.

En sorte que toutes celles des Équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.

Car si par exemple, on pense connaître la racine de cette Équation

z3 = – qz + p,

à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes, dont l'une est le côté d'un cube, duquel le contenu est \frac 12 q, ajouté au côté d'un carré, duquel derechef le contenu est \frac 14 q^2 - \frac {1}{27}p^3 ; et l'autre est le côté d'un autre cube, dont le contenu est la différence qui est entre \frac 12 q, et le côté de ce carré dont le contenu est \frac 14 q^2 - \frac {1}{27}p^3, qui est tout ce qu'on en apprend par la règle de Cardan.

Il n'y a point de doute qu'on ne connaisse autant ou plus distinctement la racine de celle-ci

z3 = + qz – p,

en la considérant inscrite dans un cercle, dont le demi-diamètre est \sqrt {\frac13 p}, et sachant qu'elle y est la subtendue d'un arc dont le triple a pour subtendue \frac {3q}{p}.

Même ces termes sont beaucoup moins embarrassés que les autres, et ils se trouveront beaucoup plus cours si on veut user de quelque chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du chiffre \sqrt C pour exprimer le côté des cubes.

Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusqu'au carré de carré, par les règles ci–dessus expliquées.

En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.

Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusqu'au carré de carré, par les règles ci-dessus expliquées.

En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.

Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

page 401 : fac-similé

Conclusions sur les équations et les problèmes :

Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées

Phrases clefs et aboutissement de la Géométrie : par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à ... chercher la valeur des racines de quelqu'Équation ;
En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.

Il est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde, pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas.

Mais, si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à un même genre de Problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelqu'Équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple.

Et particulièrement pour ce qui est des Problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construis, sans qu'on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on peut assez trouver, de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions ; en l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points, qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l'autre les deux points, qui divisent en trois parties égales un arc donné : car d'autant que la courbure du cercle ne dépend, que d'un simple rapport de toutes ses parties, au point qui en est le centre ; on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents.

Mais pour cette même raison, il est impossible qu'aucun des Problèmes qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent l'invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d'un angle en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections coniques.

C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l'intersection d'une Parabole et d'une ligne droite en la façon ci-dessus expliquée.

Car j'ose assurer qu'il n'y en a point de plus simple en la nature, qui puisse servir à ce même effet ; et vous avez vu comme elle suit immédiatement les sections coniques, en cette question tant cherchée par les Anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doivent être reçues en Géométrie.

page 402 : fac-similé

Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point plus de six dimensions

Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces Problèmes, on les peut toujours réduire a quelque Équation, qui ne monte que jusqu'au carré de cube, ou au sursolide.

Puis vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette Équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies ; et avec cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second ; et enfin comment, si elle ne monte que jusqu'au sursolide, on la peut hausser jusqu'au carré de cube ; et faire que la place d'aucun de ses termes ne manque d'être remplie.

Or afin que toutes les difficultés, dont il est ici question, puissent être résolues par une même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on les réduise toujours à une Équation de telle forme

y6py5 + qy4ry3 + sy2ty + v = 0

et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p.

La Géométrie de Descartes - équation du sixième degré - figure 31

Parabole de Descartes

Puis ayant fait la ligne BK indéfiniment longue des deux côtés du point B ayant tiré la perpendiculaire AB, dont la longueur soit \frac 12 p il faut dans un plan séparé décrire une Parabole, comme CDF dont le côté droit principal soit

\sqrt{\frac t{\sqrt u}+q-\frac14 p^2}

que je nommerai n pour abréger.

Après cela il faut poser le plan dans lequel est cette Parabole sur celui ou sont les lignes AB et BK, en sorte que son essieu DE se rencontre justement au-dessus de la ligne droite BK ; et ayant pris la partie de cet essieu, qui est entre les points E et D, égale à \frac{2\sqrt u}{pn}, il faut appliquer sur ce point E une longue règle, en telle façon qu'étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure toujours jointe à ces deux points, pendant qu'on haussera ou baissera la Parabole tout le long de la ligne BK, sur laquelle son essieu est appliqué au moyen de quoi l'intersection de cette Parabole et de cette règle, qui se fera au point C, décrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous avons besoin de nous servir pour la construction du Problème proposé.

Car après qu'elle est ainsi décrite, si on prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné le sommet de la Parabole, et qu'on face BL égale à DE, c'est-à-dire à frac {2\sqrt u}{pn} ;

puis du point L, vers B, qu'on prenne en la même ligne BK, la ligne LH, égale à frac t{2n\sqrt u}, et que du point H ainsi trouvé, on tire à angles droits, du côté qu'est la courbe ACN, la ligne HI, dont la longueur soit

\frac r{2n^2} + \frac {\sqrt u}{n^2} + \frac {pt}{4n^2\sqrt u},

qui pour abréger sera nommée frac m{n^2} ; et après, ayant joint les points L et I, qu'on décrive le cercle LPI, dont IL soit le diamètre ; et qu'on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit \sqrt{\frac{s+p\sqrt u}{n^2}}.

Puis enfin du centre I, par le point P ainsi trouvé, qu'on décrive le cercle PCN.

Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN, en autant de points qu'il y aura de racines en l'équation : en sorte que les perpendiculaires tirées de ces points sur la ligne BK, comme CG, NR, QO, et semblables, seront les racines cherchées.

Sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette règle.

Car si la quantité s était si grande, à proportion des autres p, q, r, t et v, que la ligne LP se trouvât plus grande que le diamètre du cercle cercle IL, en sorte qu'elle n'y put être inscrite, il n'y aurait aucune racine en l'équation proposée qui ne fût imaginaire ; non plus que si le cercle IP était si petit, qu'il ne coupât la courbe ACN en aucun point.

Et il la peut couper en six différents ainsi qu'il peut y avoir six diverses racines en l'équation.

Mais lorsqu'il la coupe en moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imaginaires.

La Géométrie de Descartes - équation du sixième degré - figure 32

Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouvement d'une Parabole vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour la décrire.

Comme si ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL ; et la même pour BK, qu'on avait posée pour le côté droit principal de la Parabole; on décrit le demi-cercle KST dont le centre soit pris à discrétion dans la ligne BK, en sorte qu'il coupe quelque part la ligne AB, comme au point S, et que du point T, du il finit, on prenne vers K la ligne TV, égale à BL; puis ayant tiré la ligne SV, qu'on en tire une autre, qui lui soit parallèle, par le point A, comme AC; et qu'on en tire aussi une autre par S, qui soit parallèle à BK, comme SC ; le point C, ou ces deux parallèles se rencontrent, sera l'un de ceux de la ligne courbe cherchée.

Et on en peut trouver, en même sorte, autant d'autres qu'on en désire (Construction point par point de laparabole).

Or la démonstration de tout ceci est assez facile, car appliquant la règle AE avec la Parabole ED sur le point C ; comme il est certain qu'elles peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point C est en la courbe ACN, qui est décrite par leur intersection ;

si CG se nomme y, GD sera \frac {y^2}{n}, à cause que le côté droit, qui est n, est à CG, comme CG à GD, et ôtant DE, qui est \frac {2\sqrt u}{pn} de GD, on a \frac {y^2}{n}\frac {2\sqrt u}{pn}, pour GE.

Puis à cause que AB est a BE comme CG est à GE ;

AB étant \frac 12 p, BE est \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny}

Et tout de même en supposant que le point C de la courbe a été trouvé par l'intersection des lignes droites, SC parallèle à BK, et AC parallèle à SV. SB gui est égale à CG, est y : et BK étant égale au côté droit de la Parabole, que j'ai nommé n, BT est \frac {y^2}{n} car comme KB est à BS, ainsi BS est à BT.

Et TV étant la même que BL, c'est-à-dire \frac {2\sqrt u}{pn}, BV est \frac {y^2}{n} _ \frac {2\sqrt u}{pn} et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par conséquent \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny} comme devant, d'où on voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit en ces deux façons.

Après cela, pourceque BL et DE sont égales, DL et BE le sont aussi : de façon qu'ajoutant LH, qui est frac t{2n\sqrt u}, à DL qui est \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny},
on a la toute DH, qui est \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny} + frac t{2n\sqrt u}

et en ôtant GD, qui est \frac {y^2}{n}
on a GH, qui est
\frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny} + frac t{2n\sqrt u}\frac {y^2}{n}

Ce que j'écris par ordre en cette sorte

GH = \frac {-y^2+\frac 12 py^2+\frac {ty }{2n\sqrt u}-\sqrt u}{ny}.

Et le carré de GH est

frac {y^6-py^5+\left(\frac 14 p^2-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(2\sqrt u +\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-p\sqrt u\right)y^2-ty+u}{n^2y^2},

Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de là ligne droite, qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes, et avec les mêmes signes + et –.

La Géométrie de Descartes - équation du sixième degré - figure 33

De plus IH étant frac m{n^2} et LH étant frac t{2n\sqrt u},
IL est \sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{2n\sqrt u}}
à cause de l'angle droit IHL ; et LP étant \sqrt{\frac{s}{n^2} + \frac{p\sqrt u }{n^2}},
IP ou IC est \sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt u}{n^2}},
à cause aussi de l'angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la différence qui est entre IH et HM ou CG, c'est-à-dire entre frac m{n^2} et y,
en sorte que son carré est toujours \frac{m^2}{n^4} - \frac{2my}{n^2} + y^2

qui étant ôté du carré de IC il reste \frac{t^2}{4n^2u}-\frac{s}{n^2}-\frac{p\sqrt u}{n^2}-\frac{2my}{n^2}-y^2.

pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par n2y2,
on a \frac{-n^2y^4+2my^3-p\sqrt u y^2-sy^2+\frac{t^2}{4u}y^2}{n^2y^2}.

Puis remettant \frac{t}{\sqrt u}y^4 + q y^4 - \frac14 p^2y^4, pour n2y4 ;

Et ry^3 + 2\sqrt u y^3 +\frac{pt}{2\sqrt u} y^3 pour 2my3 ;

et multipliant l'une et l'autre somme par n2y2, on a

y^6-py^5+\left(\frac 14 p^2-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(2\sqrt u +\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-p\sqrt u\right)y^2-ty+u

égal à

\left(\frac 14 p^2-q-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(r+2 \sqrt u+\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-s-p\sqrt u\right)y^2.

C'est-à-dire qu'on a,

y6py5 + qy4ry3 + sy2ty + u = 0.

D'où il paraît que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu'il fallait démontrer.

page 411 : fac-similé

Conclusions de Descartes

L'invention de quatre moyennes proportionnelles

Titre de paragraphe oublié

Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a et b, ayant posé x pour la première, l'Équation est x5a4b = 0, ou bien x6a4b x = 0.

Et faisant y – a = x il vient

y6 – 6 ay5 + 15 a2y4 – 20 a3y3 + 15 a4y2 – (6a5 + a4b) + a6 + a5b = 0.

C'est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB,
et LH = \sqrt{\frac{6a^3+a^2b}{\sqrt{a^2+ab}}+6a^2} pour BK, ou le côté droit de la parabole que j'ai nommé n, et \frac{2a}{3n}\sqrt{a^2+ab} pour DE ou BL.

Et après avoir décrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire

LH = LH = \frac{6a^3+a^2b}{2n\sqrt{a^2+ab}}
et HI = HI = \frac{10a^3}{n^2} + \frac{a^2}{n^2}\sqrt{a^2+ab} + \frac{18a^4+3a^3b}{2n^2\sqrt{a^2+ab}}

et LP = LP = \frac{a}{n}\sqrt{15a^2+6a\sqrt{a^2+ab}},

car le cercle qui, ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouvé, coupera la courbe aux deux points C et N, desquels ayant tiré les perpendiculaires NR et CG, si la moindre NR est ôtée de la plus grande CG, le reste sera x, la première des quatre moyennes cherchées.

Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et d'inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de trouver une infinité d'autres exemples de cette règle.

Toutefois il est à remarquer qu'en plusieurs de ces exemples il peut arriver que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre, que le point de leur intersection soit difficile à reconnaître, et ainsi que cette construction ne soit pas commode pour la pratique ; à quoi il serait aisé de remédier en composant d'autres règles à l'imitation de celle-ci, comme on en peut composer de mille sortes.

Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j'ai fait, si on considère qu'ayant réduit à une même construction tous es problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux en une infinité de façons.

Puis outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus composés en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini. (Il a réitéré la transformation de Descartes avec un cercle et une droite pour le degré 2, un cercle et une parabole pour les degrés 3 et 4, un cercle et une parabole de Descartes pour les degrés 5 et 6, mais il est inexact que l’on puisse aller au delà ; une équation de degré 8, en général, ne peut être résolue par une parabole de Descartes et une conchoïde)

Car, en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres.

L'humour de Descartes passé à la postérité :

Et j'espère que nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.

FIN

Fac-similé et commentaires de la Géométrie

Livre premier
texte et notes pour mobiles

Début du
Livre Premier

Le problème de Pappus

Note sur
le Problème de Pappus

Livre Second
texte et notes pour mobiles

Début du Livre deuxième
Les coordonnées cartésiennes

La méthode des tangentes

Ovales
de Descartes

Livre Troisième
Cette page pour mobiles

Début du
Livre Troisième

Fin du Livre Troisième
Racine cubique

Notes pour
« La Géométrie »

Œuvre mathématique
de René Descartes

WikiSource
Livre : La Géométrie

 Statistiques Orange histoiree visite des pages « histoire ».

Page no 177
créée le 9/1/2008 sur WikiSource
déplacée le 30/7/2011