René DescartesDescartes et les Mathématiques

La Géométrie de Descartes

Début du livre troisième - L'algèbre

Fac-similés et commentaires de « La Géométrie » de René Descartes sur les problèmes du troisième et quatrième degré :
d'après l'édition de 1637 publiée dans The geometry of Rene Descartes de David Eugene Smith et Marcia L. Latham.

Sommaire

La Géométrie - Livre troisième

1. Les racines des équations

    Règle des signes de Descartes

2. Exemple de l'usage de réductions

Fin du livre troisième

Équations du troisième et quatrième degré

La racine cubique

Équations jusqu'au sixième degré

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Livre premier - texte et notes pour mobiles

Les opérations algébriques

Le problème de Pappus

Livre second - texte et notes pour mobiles

De la nature des lignes courbes

La méthode des tangentes

Ovales

Table des matières

De la construction des problèmes, qui sont solides, ou plus que solides

De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème

page 369

Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles

page 370

De la nature des équations

page 371

Combien il peut y avoir de racines en chaque équation

page 372

Quelles sont les fausses racines

page 372

Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on connaît quelqu'une de ses racines

page 372

Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine

page 373

Combien il peut y avoir de vraies racines en chaque équation

page 373

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses

page 373

Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation

page 374

Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, ou au contraire

page 375

Comment on peut ôter le second terme d'une équation

page 376

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses

page 377

Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies

page 378

Comment on peut multiplier ou diviser les racines sans les connaître

page 379

Comment on ôte les nombres rompus d'une équation

page 379

Les imaginaires :
Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle autre qu'on veut

page 380

Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires

page 380

La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan

page 380

La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine

page 381

Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique

page 383

La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ;
et quels sont ceux qui sont solides

page 383

Exemple de l'usage de ces réductions

page 387

Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré

page 389

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions

page 389

Théorie de Descartes

Ce livre troisième est plus un manuel d'algèbre qu'un de géométrie. C'est une nouvelle théorie algébrique des équations, avec des conseils pour bien mener les calculs. Les équations sont écrites sous forme polynomiale p(x) = 0.

On y trouve ici la règle des signes et le théorème fondamental de l'algèbre avec la factorisation des polynômes.

Au reste, permettez-moi que je vous demande comment vous gouvernez ma Géométrie ; je crains bien que la difficulté des calculs ne vous en dégoûte d'abord, mais il ne faut que peu de jours pour la surmonter, et par après on les trouve beaucoup plus courts et plus commodes que ceux de Viète. On doit aussi lire le troisième Livre avant le second, à cause qu'il est beaucoup plus aisé.

Lettre de Descartes à Mydorge, le 1er mars 1638

1. Les racines des équations

Dans ce livre troisième Descartes construit des lignes courbes afin de résoudre des problèmes du troisième degré (« Problèmes solides »).

Soit x et y deux moyennes proportionnelles entre a et b
Nous avons \frac a x = \frac x y = \frac y b, d'où x2 = ay ; y2 = bx et xy = ab.
Donc x et y peuvent être trouvés en déterminant des intersections avec des paraboles ou hyperboles.
Ces paraboles permettront de trouver graphiquement les racines cubiques.

La Géométrie. LIVRE TROISIÈME - Page 369

la Géométrie de Descartes - bas de la page 369

De la construction des problèmes, qui sont solides, ou plus que solides

De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème

Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par quelque mouvement régulier doivent être reçues en la Géométrie, ce n'est pas à dire qu'il soit permis de se servir indifféremment de la première qui se rencontre pour la construction de chaque

La Géométrie - Équerres mobiles - Page 370

La Géométrie de Descartes - équerres glissantes - figure 7 - page 370

problème, mais il faut avoir soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le résoudre.

Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposée plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.

 

Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles

Comme, par exemple, je ne crois pas qu'il y ait aucune façon plus facile pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu'on veut, ni dont la démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui se décrivent par l'instrument XYZ ci-dessus expliqué.

Car, voulant trouver deux moyennes proportionnelles entre YA et YE, il ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et parce que ce cercle coupe

La Géométrie - Livre troisième - Page 371

La Géométrie de Descartes - page 371

la courbe AD au point D, YD est l'une des moyennes proportionnelles cherchées, dont la démonstration se voit à l'œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD ; car, comme YA ou YB, qui lui est égale, est à YC, ainsi YC est à YD, et YD à YE.

Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre YA et YG, ou pour en trouver six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG qui, coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l'une de ces quatre proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH au point H, détermine YH l'une des six ; et ainsi des autres.

Mais pourceque la ligne courbe AD (du montage d'équerres) est du second genre, et qu'on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier (genre) et aussi pourcequ'on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce serait une faute en géométrie que les y employer (les lignes du deuxième genre).
Et c'est une faute aussi, d'autre côté, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet.


La Géométrie de Descartes - équerres glissantes - copyright Patrice Debart 2010

Avec deux moyennes proportionnelles, Descartes transforme des problèmes du deuxième genre (troisième ou quatrième degré) en problèmes du premier genre (premier et second degré : intersections de droite, cercle ou parabole). Ce serait une faute en géométrie de ne pas le faire !

Ici une faute de Descartes : le point D décrit la courbe d'équation y = \frac{x^2}{R} du premier genre, mais sa méthode fonctionne pour les courbes y^2 = \frac{x^3}{R} pour le point F et y^3 = \frac{x^4}{R} pour H qui sont bien du deuxième genre.

g2w Télécharger la figure GéoPlan pb_solid.g2w

De la nature des équations

Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l'une et l'autre de ces deux fautes, il faut que je dise quelque chose en général de la nature des équations, c'est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus, et partie inconnus, dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte

Conseil pour l'écriture des équations : transférer tous les termes à gauche.
L'avantage de cet arrangement avait été reconnu par plusieurs auteurs avant Descartes.

Combien il peut y avoir de racines en chaque équation

La Géométrie de Descartes - page 372

Descartes énonce le théorème fondamental de l'algèbre inventé par Albert de Girard en 1629 :

Sachez donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de valeurs de cette quantité.

D'Alembert donnera son nom au théorème et Gauss le démontra en 1799.
Descartes ne considère que les racines positives, d'où le nombre de racines inférieur ou égal au degré de l'équation (cette quantité).

Car, par exemple, si on suppose x égale à 2, ou bien x – 2 égal à rien ; et derechef x = 3, ou bien x – 3 = 0 ; en multipliant ces deux équations

x – 2 = 0, et x – 3 = 0,

l'une par l'autre, on aura

x2 – 5x + 6 = 0,

ou bien

x2 = 5x – 6,

qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout ensemble vaut 3.
Que si derechef on fait

x – 4 = 0,

et qu'on multiplie cette somme par

x2 – 5x + 6 = 0,

on aura

x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0,

qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.

Quelles sont les fausses racines

Mais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines soient fausses ou moindres que rien (négatives) ; comme si on suppose que x désigne aussi le défaut d'une quantité qui soit 5 (Solution négative –5), on a

x + 5 = 0,

qui, étant multiplié par

x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0,

fait

x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0

pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2, 3, 4,
et une fausse qui est 5 (x = –5).

Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on connaît quelqu'une de ses racines

Il formule le théorème sur la factorisation d'un polynôme :

Et on voit évidemment de ceci que la somme (membre de gauche) d'une équation qui contient plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue moins la valeur de l'une des vraies racines, laquelle que ce soit, ou plus la valeur de l'une des fausses ; au moyen de quoi on diminue d'autant ses dimensions.

Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine

(Titre sur la page suivante)

Et réciproquement que si la somme d'une équation

La Géométrie - Livre troisième - Page 373

La Géométrie de Descartes - page 373

ne peut être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue + ou – quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de ses racines.

Comme cette dernière

x4 – 4x3– 19x2 + 106x – 120 = 0

peut bien être divisée, par x – 2, et par x – 3, et par x – 4, et par x + 5 ; mais non point par x + ou – aucune autre quantité.

Ce qui montre qu'elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4, et 5 (5 est ici une « fausse racine », maintenant on écrirait –5).
Dans ce paragraphe, Descartes entrevoit, mais n'établi pas explicitement, le théorème fondamental de l'algèbre.

Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation

Règle des signes de Descartes

Le nombre de racines positives est, au plus, égal au nombre de variations de signes de ses coefficients, le nombre de racines négatives est, au plus, le nombre de permanences de ces signes.

D'après Cantor, Descartes l'a apprise dans les écrits de Cardan, mais fut le premier à l'exposer comme règle générale.

On connaît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines, et combien de fausses en chaque Équation.

À savoir il y en peut avoir autant de vraies, que les signes + et – s'y trouvent de fois être changés ; et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes – qui s'entresuivent.

Comme en la dernière, à cause qu'après + x4 il y a – 4x3, qui est un changement du signe + en –,
et après –19x2 il y a +106x, et après +106x il y a –120 qui sont encore deux autres changements, on connaît qu'il y a trois vraies racines (positives)  ; et une fausse (négative), à cause que les deux signes –, de 4x3 et 19x2 s'entresuivent.

Comment on fait que les fausses racines d'une équation deviennent vraies, et les vraies fausses

De plus il est aisé de faire en une même Équation, que toutes les racines qui étaient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étaient vraies deviennent fausses : à savoir en changeant tous les signes + ou – qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième et semblables qui se désignent par les nombres impairs.

La Géométrie - Livre troisième - Page 374

La Géométrie de Descartes - page 374

Comme si au lieu de
+ x4 – 4x3– 19x2 + 106x – 120 = 0

on écrit

+ x4 + 4x3– 19x2 – 106x – 120 = 0

on a une Équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine, qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4 (Racine négatives –2, –3 et –4).

Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation sans les connaître

Que si sans connaître la valeur des racines d'une Équation, on la veut augmenter, ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du terme inconnu en supposer un autre, qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.

Comme si on veut augmenter de 3 la racine de cette Équation
x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0 il faut prendre y au lieu d' x, et penser que cette quantité y est plus grande qu' x de 3, en forte que y – 3 est égal à x, et au lieu d' x2, i1 faut mettre le carré d' y – 3 qui est y2 – 6y + 9 et au lieu d' x3 il faut mettre son cube qui est

y3 – 9y2 + 27y – 27,

et enfin au lieu d' x4 il faut mettre son carré de carré (Puissance 4) qui est

y4 – 12y3 + 54y2 – 108y + 81.


Et ainsi décrivant la somme précédente en substituant par tout y au lieu d' x on a

y4 – 12y3 + 54y2 - 108y + 81  
  + 4y3 - 36y2 + 108y - 108  
    - 19y2 + 114y - 171  
      - 106y + 318  
        - 120  
---- ---- ---- ---- ----  
y4 - 8y3 - y2 + 8y * = 0

Descartes indique l'absence d'un terme par le caractère *, mis à la place de ce terme, nous l'ôterons ainsi que le facteur 1 qu'il laisse parfois (Note Victor Cousin).

Page 375

ou bien y3 – 8y2y + 8 = 0, où la vraie racine qui était 5 est maintenant 8, à cause du nombre trois qui lui est ajouté.

Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même Équation,
il faut faire y + 3 = x et y2 + 6y + 9 = x2 et ainsi des autres de façon
qu'au lieu de x4 + 4x3 – 19x2 – 106x – 120 = 0 on met

y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81  
  + 4y3 + 36y2 + 108y + 108  
    - 19y2 - 114y - 171  
      - 106y - 318  
        - 120  
---- ---- ---- ---- ----  
y4 + 16y3 + 71y2 - 4y - 420 = 0

La Géométrie - Livre troisième - Page 375

La Géométrie de Descartes - page 375

Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, et au contraire

Et il est à remarquer qu'en augmentant les vraies racines d'une Équation, on diminue les fausses de la même quantité ; ou au contraire en diminuant les vraies, on augmente les fausses.

Et que si on diminue soit les unes soit les autres, d'une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles, et que si c'est d'une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou de fausses vraies.

Comme ici en augmentant de 3 la vraie racine qui était 5, on a diminué de 3 chacune des fausses, en sorte que celle qui était 4 n'est plus que 1, et celle qui était 3 est nulle, et celle qui était 2 est devenue vraie et est 1, à cause que – 2 + 3 fait + 1.

C'est pourquoi en cette Équation

y3 – 8y2y + 8 = 0

il n'y a plus que 3 racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies,

La Géométrie - Livre troisième - Page 376

La Géométrie de Descartes - page 376

1 et 8, et une fausse qui est aussi 1.

Et en cette autre

y4 + 16y3 + 71y2 – 4y – 420 = 0

il n'y en a qu'une vraie qui est 2,
à cause que + 5 – 3 fait + 2,
et trois fausses qui sont 5, 6 et 7.

Comment on peut ôter le second terme d'une équation

Or par cette façon de changer la valeur des racines sans les connaître, on peut faire deux choses, qui auront ci-après quelque usage : la première est qu'on peut toujours ôter le second terme de l'Équation qu'on examine, à savoir en diminuant les vraies racines, de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l'un de ces deux termes étant marqué du signe +, l'autre est marqué du signe – ; ou bien en l'augmentant de la même quantité, s'ils ont tous deux le signe +, ou tous deux le signe –.

Comme pour ôter le second terme de la dernière Équation qui est

y4 + 16y3 + 71y2 – 4y – 420 = 0

ayant divisé 16 par 4, à cause des 4 dimensions du terme y4, il vient derechef 4,
c'est pourquoi je fais z – 4 = y, et j'écris


z4 - 16z3 + 96z2 - 256z + 256  
  + 16z3 - 192z2 + 768z - 1024  
    + 71z2 - 568z + 1136  
      - 4z + 16  
        - 420  
___ ______ _______ _______ ______  
z4 * - 25z2 - 60 z - 36 = 0

où la vraie racine qui était 2 est 6, à cause qu'elle est augmentée de 4 ; et les fausses qui étaient 5, 6, et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3 ; à cause qu'elles sont diminuées chacune de 4.

Page 377

Tout de même si on veut ôter le second terme de

x4 – 2ax3 + (2a2c2)x2 – 2a3x + a4 = 0,

pourceque divisant 2a par 4 il vient 1/2 a il faut faire z + 1/2 a = x

et écrire

z4 + 2 az3 + 3/2 a2z2 + 1/3 a3z + 1/16 a4  
  - 2 az3 - 3 a2z2 - 3/2 a3z + 1/4 a4  
    + 2 a2z2 + 2 a3z + 1/2a4  
    - c2z2 - 2 ac2z - 1/4 a2c2  
      - 2 a3z - a4  
        + a4  
___ ______ __________ ___________ _______________  
z4 * +(1/2a2-c2)z2 -(a3+ac2)z +5/16 a4 - 1/4 a2c2 = 0

La Géométrie - Livre troisième - Page 377

La Géométrie de Descartes - page 377

et si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutant 1/2 a a on aura celle de x.

Comment on peut faire que toutes les fausses racines d'une équation deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses

La seconde chose, qui aura ci-après quelque usage est, qu'on peut toujours en augmentant la valeur des vraies racines, d'une quantité qui soit plus grande que n'est celle d'aucune des fausses, faire qu'elles deviennent toutes vraies, en sorte qu'il n'y ait point deux signes + ou deux signes – qui s'entrent-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré la moitié de celle du second.

Car encore que cela se fasse, lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur grandeur, et de prendre une quantité, qui les surpasse d'autant, ou de plus, qu'il n'est requis à cet effet.

Comme si on a

Page 378

x6 + nx5 – 6n2x4 + 36n3x3 – 216n4x2 + 1296n5x – 7776n6 = 0,

en faisant y – 6n = 0, on trouvera

y6 -36n}y5 +540n2}y4 -4320n3}y3 +19440n4}y2 +46656n5}y +46656n6
  + n - 30n2 + 360n3 -2160n4 +6480n5 -7776n6
    - 6n2 + 144n3 -1296n4 +5184n5 -7776n6
      + 36n3 - 648n4 + 3888n5 - 7776n6
        - 216n4 + 2592n5 - 7776n6
          + 1296n5 - 7776n6
            - 7776n6
__ ______ _________ __________ __________ __________ ________
y6 - 35ny5 + 504n2y4 - 3780n3y3 + 15120n4y2 + 27216n5y *     = 0

La Géométrie - Livre troisième - Page 378

La Géométrie de Descartes - page 378

Où il est manifeste, que 504n2, qui est la quantité connue du troisième terme est plus grande, que le carré de
35/2 n qui est la moitié de celle du second.

Et il n'y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vraies racines, ait besoin à cet effet d'être plus grande, à proportion de celles qui sont données, que pour celui-ci.

Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies

Mais à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne désire pas que cela soit, il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines ; et ce ne saurait être de si peu, que ce ne soit assez pour cet effet.

Non plus que lorsqu'on veut accroître le nombre des dimensions de quelque Équation, et faire que toutes les places de ses termes soient remplies.

Comme si au lieu de x5 * * * * – b = 0 (Errata : b au lieu de 6), on veut avoir une Équation, en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions, et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour
x5 * * * * – b = 0 écrire
x6 * * * * – bx * = 0
puis ayant fait y – a = x on aura

y6 – 6ay5 + 15a2y4 – 20a3y3 + 15a4y2 – (6a5 + b)y + a6 + ab = 0.

Qu'il est manifeste que tant petite que la quantité a soit

La Géométrie - Livre troisième - Page 379

La Géométrie de Descartes - page 379

supposée, toutes les places de l'Équation ne laissent pas d'être remplies.

Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation sans les connaître

De plus on peut, sans connaître la valeur des vraies racines d'une Équation (Schooten a omis, avec raison, de traduire ce mot « vraies »), les multiplier ou diviser toutes, par telle quantité connue qu'on veut.

Ce qui le fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée, ou divisée, par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque autre.

Puis multipliant, ou divisant la quantité connue du second terme, par cette même qui doit multiplier, ou diviser les racines, et par son carré, celle du troisième, et par son cube, celle du quatrième, et ainsi jusqu'au dernier.

Comment on réduit les nombres rompus (nombre rationnel) d'une équation à des entiers

Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationaux, les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds (nombre irrationnel), qui se trouvent dans les termes des équations.

Comme si on a x^3 - \sqrt{3}x^2 + \frac{26}{27} x - \frac{8}{27 \sqrt{3}} = 0
et qu'on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes s'expriment par des nombres rationaux ; il faut supposer y = xrac(3),

et multiplier par rac(3) la quantité connue du second terme, qui est aussi rac(3), et par son carré qui est 3 celle du troisième qui est 26/27, et par son cube qui est 3rac(3) ; celle du dernier, qui est \frac{8}{27\sqrt{3}}, ce qui fait

y3 – 3 y2 + 26/9 y8/9 = 0.

Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers ; il faut supposer z = 3y, et multipliant 3 par 3, 26/9 par 9, et 8/9 par 27,
on trouve

z3 – 9z2 + 26z – 24 = 0,

où les racines étant 2, 3 et 4, on connaît de là que celles de l'autre d'auparavant

Les imaginaires

La Géométrie - Livre troisième - Page 380

La Géométrie de Descartes - page 380

étaient 2/3, 1, et 4/3 et que celles de la première étaient \frac 29 \sqrt 3, rac(3)/9 et \frac 49 \sqrt 3.

Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle autre qu'on veut

Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme si ayant

x3b2 x + c3 = 0.

On veut avoir en sa place une autre Équation, en laquelle la quantité connue, du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b2, soit 3a2, il faut supposer y = x \sqrt{\frac {3a^2}{b^2}}

puis écrire

y^3 - 3a^2y + \frac {3a^3c^3}{b^3} \sqrt 3 = 0

Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires

Les racines positives sont dites « vrayes », les négatives « fausses » ou « moindres que rien ».

Au reste tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles ; mais quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.

Le mot « imaginaire » de Descartes sera utilisé par la suite pour désigner les nombres complexes, qu'il ne savait pas calculer.

Comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci,
x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une réelle, qui est 2, et pour les deux autres, quoi qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne saurait les rendre autres qu'imaginaires.

La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan

Or quand pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une Équation, en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions ; premièrement si les quantités connues, qui y sont, contiennent quelques nombres rompus (fractions numériques), il les faut réduire à d'autres entiers, par la multiplication tantôt expliquée ; et s'ils en contiennent de sourds (Nombres irrationnels), il faut aussi les réduire à d'autres rationaux, autant qu'il sera possible, tant par cette même multiplication

La Géométrie - Livre troisième - Page 381

La Géométrie de Descartes - page 381

que par divers autres moyens, qui sont assez faciles à trouver.

Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuvent diviser sans fraction le dernier terme, il faut voir, si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe + ou –, peut composer un binôme, qui divise toute la somme ; et si cela est le Problème est plan, c'est-à-dire il peut être construit avec la règle et de compas ; car ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou bien l'équation étant divisée par lui, se réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine, par ce qui a été dit au premier livre (équation du second degré, page 302).

Par exemple si on a
y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0, le dernier terme, qui est 64, peut être divisé sans fraction
par 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64.

C'est pourquoi il faut examiner par ordre si cette Équation ne peut point être divisée par quelqu'un des binômes,
y2 – 1 ou y2 + 1, y2 – 2
ou y2 + 2, y2 – 4 etc. et on trouve qu'elle peut l'être par y2 – 16, en cette sorte.


+ y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0
- y6 – 8y4 – 4y2 _______
_______ _______ _______ - 16
0 – 16y4 – 128y2  
  _______ _______  
  - 16 - 16  
_______ _______ _______ _______
  y4 + 8y2 + 4 = 0.

Les deux membres 16 de la quatrième ligne sont affectés du signe –

La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine

Je commence par le dernier terme, et divise – 64 par – 16 ce qui fait + 4, que j'écris dans le quotient, puis je multiplie + 4 par + y2, ce qui fait – 4y2 ;
c'est pourquoi j'écris – 4y2 en la somme, qu'il faut diviser, car il y

La Géométrie - Livre troisième - Page 382

La Géométrie de Descartes - page 382

faut toujours écrire le signe + ou – tout contraire à celui que produit la multiplication et joignant que je divise derechef par – 16, et j'ai + 8y2, pour mettre dans le quotient et en le multipliant par y2, j'ai – 8y4, pour joindre avec le terme qu'il faut diviser, qui est aussi – 8y4, et ces deux ensemble font – 16y4,
que je divise par – 16,
ce qui fait + y4 pour le quotient,
et – y6 pour joindre (ajouter) avec + y6, ce qui fait 0, et montre que la division est achevée.

Mais s'il était resté quelque quantité, ou bien qu'on n'eut pu diviser sans fraction quelqu'un des termes précédents, on eut par là reconnu, quelle ne pouvait être faite.

Tout de même si on a

y6 + (a2c2) y4 + (– a4 + c4) y2 – (a6 + 2a4c2 + a2c4) = 0,

le dernier terme se peut diviser sans fraction
par a, a2, a2 + c2, a3 + ac2 et semblables.

Mais il n'y en a que deux qu'on ait besoin de considérer, à savoir a2, a2 + c2 ; car les autres donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient, qu'il n'y en a en la quantité connue du pénultième terme, empêcheraient que la division ne s'y pût faire.

Et notez, que je ne compte ici les dimensions de y6, que pour trois, à cause qu'il n'y a point de y5, ni de y3, ni de y en toute la somme.

Or en examinant le binôme

y2a2c2 = 0,

on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte


+ y6 + a2} y4 a4} y2   – a6 }
  – 2c2} + c4}   – 2a4c2} = 0
        – a2c4 }
y6 – 2a2} y4 a4} y2   – a6 }
  + c2} a2c2}   – a2y4}
_______ _________ _________ ___________
0 ÷ – a2c2 ÷ – a2c2 ÷ – a2c2
_______ _________ _________ ___________
  + y4 + 2a2} y2 + a4 }  = 0
      – c2} + a2c2}

Le résultat de la division est alors y4 + (2a2c2) y2 + a4 + a2c2 = 0

La Géométrie - Livre troisième - Page 383

La Géométrie de Descartes - page 383

ce qui montre que la racine cherchée
est a2 + c2.

Et la preuve en est aisée à faire par la multiplication.

Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique

Mais lorsqu'on ne trouve aucun binôme, qui puisse ainsi diviser toute la somme de l'équation proposée, il est certain que le Problème qui en dépend est solide.

Et ce n'est pas une moindre faute après cela, de tâcher à le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce serait d'employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n'a besoin que de cercles : car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s'appelle faute.

La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ; et quels sont ceux qui sont solides

WikiPédia Méthode de Descartes

L'invention de Descartes, par coefficients indéterminés, permet de résoudre des équations du quatrième degré.

Que si on a une Équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds (irrationnels) et rompus (fractions), s'il y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme, qui divise toute la somme, en le composant de l'une des quantités, qui divisent sans fraction le dernier terme.

Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée ; ou du moins après cette division, il ne reste en l'équation que trois dimensions, en suite de quoi il faut derechef l'examiner en la même sorte.

Mais lorsqu'il ne se trouve point de tel binôme, il faut en augmentant, ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la somme, en la façon tantôt expliquée.

Et après la réduire à une autre, qui ne contienne que trois dimensions.

Ce qui se fait en cette sorte.

Au lieu de + x4 ± px2 ± qx ± r = 0,
il faut écrire + y6 ± py4 + (p2 ± 4r)y2 – 4q = 0.

Et pour les signes (ambigus) + ou – que j'ai omis, s'il y a

La Géométrie - Livre troisième - Page 384

La Géométrie de Descartes - page 384

eu + p en la précédente Équation, il faut mettre en celle-ci + 2p,ou s'il y a eu – p, il faut mettre – 2p, et au contraire s'il y a eu + r, il faut mettre – 4r, ou s'il y a eu – r, il faut mettre + 4r, et soit qu'il y ait eu + q, ou – q, il faut toujours mettre – q2, et + p2, au moins si on suppose que x4, et y6 sont marqués du signe +, car ce serait tout le contraire si on y supposait le signe –.

Par exemple si on a

x4 – 4x2 – 8x + 35 = 0

il faut écrire en son lieu

y6 – 8y4 – 124y2 – 64 = 0,

car la quantité que j'ai nommé p étant – 4, il faut mettre – 8y4 pour 2py4 ; et celle, que j'ai nommée r étant 35,
il faut mettre (16 – 140)y2,
c'est-à-dire – 124y2, au lieu de (p2 – 4r)y2 ;
et enfin q étant 8, il faut mettre – 64, pour – q2. Tout de même au lieu de

x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0

il faut écrire

y6 – 34y4 + 313y2 – 400 = 0 ;

Car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6, et 400 est le carré de 20.

Tout de même aussi au lieu de


z^4+\left(\frac{1}{2}a^2-c^2 \right) z^2-\left(a^3 +ac^2 \right) z-\frac{5}{16}a^4-\frac 14 a^2c^2 = 0

Il faut écrire

y6 + (a2 – 2c2)y4 + (c4a4)y2a6 – 2a4c2a2c4 = 0 ;

Car p est à \frac 12a2c2, et p2 est \frac 14a4a2c2 + c4,
et 4r est – \frac 54a4 + a2c2,
et enfin – q2 est – a6 – 2a4c2a2c4.

Après que l'équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher la valeur de y2 par la méthode déjà expliquée ; et si elle ne peut être trouvée, on n'a point

La Géométrie - Livre troisième - Page 385

La Géométrie de Descartes - page 385

besoin de passer outre ; car il suit de là infailliblement que le problème est solide.

Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la précédente Équation en deux antres, en chacune desquelles la quantité inconnue n'aura que deux dimensions, et dont les racines seront les mêmes que les siennes.

À savoir, au lieu de

+ x4 ± px2 ± qx ± r = 0,

il faut écrire ces deux autres

+ x2yx + \frac 12 y^2 ± 1/2 p ± q/2y = 0 et

+ x2 + yx + \frac 12 y^2 ± 1/2 p ± q/2y = 0.

Et pour les signes + et – que j'ai omis, s'il y a +p en l'équation précédente, il faut mettre 1/2 p en chacune de celles-ci ; et –1/2 p, s'il y a en l'autre –p.

Mais il faut mettre + q/2y en celle où il y a –yx; et – q/2yen celle où il y a + yx, lorsqu'il y a +q en la première ;
et au contraire s'il y a –q, il faut mettre – q/2y, en celle où il y a –yx ;
et + q/2y en celle où il y a +yx.

Ensuite de quoi il est aisé de connaître toutes les racines de l'équation proposée, et par conséquent de construire le problème, dont elle contient la solution, sans y employer que des cercles, et des lignes droites.

Par exemple à cause que faisant y6 – 34y4 + 313y2 – 400 = 0,

pour x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0,

on trouve que y2 est 16, on doit au lieu de cette équation

x4 – 17x2 – 20x – 6 = 0,

écrire ces deux

La Géométrie - Livre troisième - Page 386

La Géométrie de Descartes - page 386

autres + x2 – 4x – 3 = 0,
et + x2 + 4x + 2 = 0,
car y est 4, \frac 12 y^2 est 8, p est 17, et q est 20, de façon que

+\frac 12 y^2 - \frac 12 p - \frac{q}{2y}

fait –3, et

+\frac 12 y^2 - \frac 12 p + \frac{q}{2y}

fait + 2.

Et tirant les racines de ces deux Équations, on trouve toutes les mêmes, que si on les tirait de celle où est x4, à savoir on en trouve vue vraie, qui est \sqrt 7+ 2, et trois fausses,
qui sont \sqrt 7– 2, 2 + 2 + \sqrt 2 et 2 – 2 + \sqrt 2.

Ainsi ayant x4 – 4x2 – 8x + 35 = 0,

(x4 * – 4x2 – 8x + 35 : l'astérisque, omis par Descartes, a été rétabli par Schooten)

pourceque la racine de

y6 – 8y4 – 124y2 + 64 = 0,

est derechef 16, il faut écrire

x2 – 4x + 5 = 0 et x2 + 4x + 7 = 0.

Car ici

+\frac 12 y^2 - \frac 12 p - \frac{q}{2y}

fait 5, et

+\frac 12 y^2 - \frac 12 p + \frac{q}{2y}

fait 7.

Et pourcequ'on ne trouve aucune racine, ni vraie, ni fausse, en ces deux dernières Équations, on connaît delà que les quatre de l'Équation dont elles procèdent sont imaginaires ; et que le Problème, pour lequel on l'a trouvée, est plan de sa nature ; mais qu'il ne saurait en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.

Tout de même ayant

z4 + (1/2 a2c2)z2 – (a2 + ac2)z5/16a41/4 a2c2 = 0,

pourcequ'on trouve a2 + c2 pour y2, il faut écrire

z2sqrt{a^2+c^2} z + 3/4a21/2 asqrt{a^2+c^2} = 0, et

z2 + sqrt{a^2+c^2} z + 3/4a2 + 1/2 asqrt{a^2+c^2} = 0.

Car y est sqrt{a^2+c^2} et \frac 12 y^2 + 1/2 p est 3/4a2, et q/2y est 1/2 asqrt{a^2+c^2}.

2. Exemple de l'usage de ces réductions

D'où on connaît que la valeur de z

Page 387

est

\frac 12\sqrt{a^2+c^2}+ \sqrt{-\frac 12 a^2+\frac 14 c^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}},

ou bien

\frac 12\sqrt{a^2+c^2}- \sqrt{-\frac 12 a^2+\frac 14 c^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}}.

Et pourceque nous avons fait ci-dessus z + \frac 12 a = x, nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est

\frac 12 a+\sqrt{\frac 14 a^2+\frac 14 c^2}-\sqrt{\frac 14 c^2-\frac 12 a^2+\frac 12 a\sqrt{a^2+c^2}}.

Exemple de l'usage de ces réductions - Page 387

La Géométrie de Descartes - exemple de l'usage de ces reductions - figure 26 - page 387

Mais afin qu'on puisse mieux connaître l'utilité de cette règle, il faut que je l'applique à quelque problème.

Si le carré AD, et la ligne BN étant donnés, il faut prolonger le côté AC jusqu'à E, en sorte que EF, tirée de E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé BD jusqu'à G, en sorte que DG soit égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit BG, si on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E qu'on demandait.

Mais pour ceux qui ne sauraient point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseraient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, (ou CE,) à cause que ce

La Géométrie - Livre troisième - Page 388

La Géométrie de Descartes - page 388

sont elles qui conduisent le plus aisément à l'Équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d'expliquer.

Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a – x, et comme CF ou a – x est à FE ou c (sur certaines figures, c est noté le long du segment FE), ainsi FD ou x est à BF,
qui par conséquent est cx/(a-x).

Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l'un x et l'autre a, leurs carrés, qui sont x2 + a2, sont égaux à celui de la base,
qui est c²x²/(x²-2ax=a²) ;
de façon que, multipliant le tout par

x2 – 2ax + a2,

on trouve que l'équation est

x4 – 2ax3 + 2a2x2 – 2a3x + a4 = c2x2,

ou bien

x4 – 2ax3 + (2a2c2) x2 – 2a3x + a4 = 0 ;

et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

a/2 + rac(…) - rac(…)

que si on posait BF, (ou CE,) ou BE, pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une Équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y viendrait assez aisément ; au lieu que si c'était DG qu'on supposât, on viendrait beaucoup plus difficilement à l'Équation, mais aussi elle serait très simple.


Équation du quatrième degré

La Géométrie de Descartes - exemple de l'usage de ces reductions - figure 26

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Ce que je mets ici pour vous avertir que, lorsque le Problème proposé n'est point solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une Équation fort composée, on peut ordinairement venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrais encore ajouter diverses règles pour démêler les Équations qui vont au cube ou au carré de

La Géométrie - Livre troisième - Page 389

La Géométrie de Descartes - page 389

carré, mais elles seraient superflues ; car lorsque les Problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par celles-ci.

Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré

Je pourrais aussi en ajouter d'autres pour les équations qui montent jusqu'au sursolide (puissance 5), ou au carré de cube, ou au-delà, mais j'aime mieux les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu'on a tâché de les réduire à même forme que celles d'autant de dimensions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose n'a pu succéder par aucun, on doit s'assurer qu'elles ne sauraient être réduites à de plus simples ; en sorte que si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres.

Humour de Descartes

Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j'ai dit, à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la peine d'examiner méthodiquement si j'ai failli, elles se présenteront à vous d'elles-mêmes; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu'en les lisant.

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions

Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soit que l'équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré (puissance 4), soit qu'elle ne monte que jusqu'au cube, on peut toujours en trouver la racine par l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou même par quelque partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être ; en ne se servant au reste que de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de

Pages suivantes, voir : le troisième degré

Remarques

Équation du quatrième degré

La Géométrie de Descartes - équation du quatrième degré - copyright Patrice Debart 2010

L'équation du quatrième degré a une autre solution réelle

a/2 + rac(…) + rac(…)

qui correspond au point F’ aligné avec le point E’ d'intersection du cercle et du segment [AC] et le point B.

Les deux autres solutions sont imaginaires :

a/2 + rac(…) ±i rac(…)

Lorsque selon le conseil de Descartes on choisit BF comme inconnue x, on sait que DG = ND et que dans le triangle rectangle DBN on a DN2 = a2 + c2.

Les triangles rectangles BDF et BEG sont semblables,

d'où BF/BD=BG/BE, soit x/a = (a+rac(a²+c²)/(x+c).

L'équation du second degré x(x+c)=a(a+rac(a²+c²) admet bien la solution positive :

- c/2 + rac(…).

Par ailleurs, si effectivement on choisit b = DG comme paramètre on a : b2 = a2 + c2.

La proportion précédente devient x/a = (a+b)/(x+c) qui conduit à l'équation du second degré : x(x + c) = a(a + b).

Cette équation admet comme solution positive :

BF.

L'expression de DF devient :

DF = DF.

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La Géométrie
Livre premier

Le problème de Pappus

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