René DescartesDescartes et les Mathématiques

Vocabulaire, notes et tables des matières de « La Géométrie »

Références pour La Géométrie de Descartes.

Livre Premier
texte et notes pour mobiles

Début du
Livre Premier

Le problème de Pappus

Note sur le
Problème de Pappus

Livre Second
texte et notes pour mobiles

Début du Livre deuxième
Les coordonnées cartésiennes

La méthode des tangentes

Ovales
de Descartes

Livre Troisième
texte et notes pour mobiles

Début du
Livre Troisième

Fin du Livre Troisième
Racine cubique

 

Œuvre mathématique
de René Descartes

WikiSource WikiSource
Livre : La Géométrie

WikiSource Mode texte
La Géométrie (éd. Cousin)

WikiSource Mon travail
sur WikiSource

Sommaire

Le Discours de la méthode
Dictionnaire

Notations

Table des matières

Bibliographie

La parabole chez les Anciens

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Le Discours de la méthode

discours de la méthode de Descartes - couveture de 1637

Édition de 1637 chez Jan Maire à Leyde sans nom d'auteur :
édition en deux tomes. Un premier tome pour le Discours de la méthode proprement dit et un tome II contenant les trois essais : la Dioptrique (l'optique), les Météores (phénomènes naturels) et La Géométrie qui y commence à la page 295.

Pour la publication des fac-similés, à partir de la page 297, j'utilise l'édition de David Eugene Smith et Marcia L. Latham qui ne contient que La Géométrie.

Mon texte est en français modernisé, avec transcription des formules mathématiques.
Ceci est plus utile que de vieillir la prose de Descartes avec des formes désuètes qui ne reproduisent pas son usage, mais celui de son imprimeur (Étienne Gilson).

Cette transcription impose des commentaires prenant en compte :
  – la comparaison entre les diverses éditions,
  – le respect de la pagination originale,
  – la rectification des erreurs (en espérant ne pas trop en rajouter !),
  – l'explication du vocabulaire cartésien,
  – la traduction des paragraphes en latin,
  – l'indication de renseignements historiques
  – le développement des problèmes spécifiquement mathématiques.

Mon scan est plus soigné, mais les pages y sont identiques à celles de l'édition complète de Gallica-bnf.

Mes figures sont extraites du polycopié de l'IREM de Caen.

Y-a-t'il une autre version d'un livre vraiment complet, comme le laisse supposer :

  — la page de couverture ci-contre (cette première page du Discours de la méthode ne fait pas partie de La Géométrie, et je ne l'ai ajoutée que pour expliquer pourquoi les fac-similés commencent à la page 297)

      et la postface ?

  — l'existence de figures plus rudimentaires comme celle de la page 387 ci-dessous (polycopié IREM) ?

La Géométrie de Descartes - exemple de l'usage de ces reductions - figure 26
La Géométrie de Descartes - exemple de l'usage de ces reductions - figure 26

Dictionnaire

Page

Note

301

Carré de carré : puissance 4,
sursolide : puissance 5,
carré de cube : puissance 6.

306

Rectangle : le produit de deux longueurs de segments.
Parallélépipède : le produit de trois longueurs de segments.

315

Problèmes plans : qui peuvent se résoudre à l'aide de droites et de cercles,
problèmes solides : qui utilisent les coniques, permettent de résoudre des problèmes du troisième degré,
problèmes plus que solides : au-delà du troisième degré,
problèmes mécaniques (c'est-à-dire transcendant) comme les spirales, les conchoïdes, les cissoïdes ou les quadratrices.

322

Droite donnée par position : droite parallèle à une direction (position) donnée.

320

(appliquée) par ordre : perpendiculairement à l'axe ; d'où le mot ordonnée.
Dans le repère de Descartes, situé dans le deuxième quadrant, l'ordonnée x est « appliquée par ordre » sur l'axe horizontal, et l'abscisse y est positive. Ces coordonnées, positives, ne sont pas nommées par Descartes.
Hyperbole de Descartes

336

La cubique d'équation y3 - 2ay2 - a2y + 2a2 = axy est appelée « parabole cartésienne » par Newton et « trident de Newton » par d'autres mathématiciens.

341

Essieu : axe d'une courbe.

341

Contingente : tangente.

343

Côté droit  : corde perpendiculaire à l'axe d'une conique, au milieu du diamètre.

 

Diamètre : côté ; pour une conique, c'est la droite formée par les milieux de cordes parallèles coupant la conique ;
Pour une parabole, c'est aussi un segment de longueur le paramètre, porté par l'axe, une des extrémités étant le sommet de la parabole.

343

(Rayon) traversant : grand axe d'une ellipse.

349

Pénultième : avant-dernier. Pénultième employé comme nom est du masculin chez Descartes.

352

Ovale est du féminin chez Descartes.

359

Points brûlants : foyers d'une conique ou d'une ovale.

371

Pourceque : locution synonyme de parce que, utilisée par Descartes pour marquer la raison, la cause.

371

Courbe du premier genre : paraboles et ellipses.
Courbe du second genre : regroupe les troisième et quatrième degrés, car une équation du quatrième degré peut se ramener à une du troisième.

372

Racine vraie : positive,
racine fausse ou moindre que rien : négative.

372

Somme : membre de gauche d'une équation f(x) = 0.

379

Nombres rompus : fraction rationnelle.
Nombre sourd : irrationnel.

380

Le mot « imaginaire » de Descartes sera utilisé par la suite pour désigner les nombres complexes, qu'il ne savait pas calculer.

382

Joindre : ajouter.

383

Méthode de Descartes

Notations

 

Descartes utilisera le premier les lettres du début de l'alphabet a, b, c, d… pour les lignes connues et celles de la fin pour les lignes inconnues x, y, z.

 

Descartes aurait inventé le symbole Π (Pi majuscule) pour désigner le produit de plusieurs facteurs ; par exemple : x1 x2 ... xn =\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}.

René Descartes -Vikidia

 

Dans les figures, les traits pleins correspondent aux données, et les constructions déduites sont en pointillé.

299

401

Pour faciliter la lecture, nous avons substitué à quelques signes employés par Descartes d'autres signes universellement adoptés, toutes les fois que ces changements n'en n'apportaient pas dans le principe de la notation.

La soustraction est notée au moyen de deux tirets successifs : nous remplacerons a -- b par a - b.

Symbole racine carrée :

Fibonacci utilisait le symbole racine carrée √ pour les radicaux.
En 1525, Christophe Rudolff a inventé le signe moderne Symbole racine Christophe Rudolff sans la barre supérieure. C'est Descartes; en 1637 dans la Géométrie, qui a inventé le signe Symbole racine, en ajoutant le vinculum, trait horizontal placé au-dessus de l'expression. Il 'utilise ce symbole racine indifféremment pour la racine carrée ou avec la constante C homogène Racine cubique indique la racine cubique Symbole racine cubique.

Descartes a systématisé la notation xn des exposants pour les puissances. Cependant il répète presque toujours les facteurs égaux xx lorsqu'ils ne sont qu'au nombre de deux.
Dans ces pages, à la suite de Victor Cousin, nous avons constamment adopté la notation x2.

300

Descartes utilise comme symbole de l'égalité le signe égal, déformation de la diphtongue de ce mot en latin : æquare. Ce signe sera en usage jusqu'à Leibniz, et comme lui nous le remplacerons par le signe =.

324

Dans une expression polynomiale, les coefficients formés de plusieurs termes que nous écrivons entre deux parenthèses sont placés par Descartes l'un sous l'autre.

374

Descartes remplace par des astérisques les monômes manquant dans une expression polynomiale ; nous ôterons ces caractères *, ainsi que le facteur 1 qu'il laisse parfois.

390

Descartes utilise le point pour noter le signe plus ou moins : ±.


Table des matières de La Géométrie

La Géométrie - Édition de 1637

Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites.

Livre Premier

Fac-similé et
commentaires

WikiSource

Le calcul et les opérations de géométrie

page 297

page 297

Multiplication, division et racine carrée
User de chiffres en géométrie

page 298

page 298

Équations pour résoudre les problèmes

page 300

page 300

L'équation du second degré :
Quels sont les problèmes plans

page 302

page 302

Exemple tiré de Pappus

page 304

page 304

Réponse à la question de Pappus

page 307

page 307

Poser les termes pour l'équation

page 310

page 310

Ce problème proposé en moins de cinq lignes

page 313

page 313

Discours Second

De la nature des lignes courbes

Fac-similé et
commentaires

WikiSource

Quelles sont les lignes courbes qu'on peut recevoir en géométrie

page 315

page 315

La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport
qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites

page 319

page 319

Suite de l'explication de la question de Pappus :

Solution de cette question quand elle n'est proposée qu'en trois ou quatre lignes

page 323

page 323

Démonstration de cette solution

page 332

page 332

Conclusions sur le problème de Pappus :

Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver tous

page 334

page 334

Lieu de Pappus à cinq droites :

Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la question
des anciens quand elle est proposée en cinq lignes

page 335

page 335

La méthode des tangentes

Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant leurs points qui peuvent être reçues en géométrie
Quelles sont aussi celles qu'on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues

page 339

page 339

Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport qu'ont leurs points à ceux des lignes droites ; et la façon de tirer d'autres lignes qui les coupent en tous ces points à angles droits

page 341

page 341

Façon générale pour trouver des droites qui coupent les courbes données ou leurs contingentes à angles droits

page 342

page 342

Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre

page 343

page 343

Autre exemple en une ovale du second genre

page 344

page 344

Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde

page 351

page 351

Ovales de Descartes

Explication de quatre nouveaux genres d'ovales qui servent à l'optique

page 352

page 352

Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions

page 357

page 357

Démonstration de ces propriétés

page 360

page 360

Comment on peut faire un verre autant convexe ou concave en l'une de ses superficies qu'on voudra, qui rassemble à un point donné tous les rayons qui viennent d'un autre point donné

page 363

page 363

Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l'une de ses superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l'autre

page 366

page 366

Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions, ou bien sur une superficie courbe

page 368

page 368

Livre Troisième

De la construction des problèmes, qui sont solides, ou plus que solides

Fac-similé et
commentaires

WikiSource

De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème

page 369

page 369

Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles

page 370

page 370

De la nature des équations

page 371

page 371

Les racines des équations :
Combien il peut y avoir de racines en chaque équation
Quelles sont les fausses racines
Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on connaît quelqu'une des racines

page 372

page 372

Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine
Combien il peut y avoir de vraies racines en chaque équation
Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses

page 373

page 373

Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation

page 374

page 374

Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, et au contraire

page 375

page 375

Comment on peut ôter le second terme d'une équation

page 376

page 376

Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que les vraies deviennent fausses

page 377

page 377

Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies
Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation sans les connaître

page 378

page 378

Comment on ôte les nombres rompus d'une équation

page 379

page 379

Les imaginaires :
Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle autre qu'on veut
Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires
La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan

page 380

page 380

La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine

page 381

page 381

Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique
La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ;
et quels sont ceux qui sont solides

page 383

page 383

Exemple de l'usage de ces réductions

page 387

page 387

Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré
Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions

page 389

page 389

Racine cubique et trisection

L'invention de deux moyennes proportionnelles

page 395

page 395

La division de l'angle en trois

page 396

page 396

Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions

page 397

page 397

La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques,
et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu'au carré de carré

page 400

page 400

Conclusions sur les équations et les problèmes :
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées

page 401

page 401

Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point plus de six dimensions

page 402

page 402

Conclusions de Descartes
L'invention de quatre moyennes proportionnelles

page 411

page 411

Postface

La Géométrie de Descartes - postface

On trouvera aussi en plusieurs endroits des définitions fort mal mises, et quantité d'autres fautes de peu d'importance : lesquelles on excusera facilement quand on saura que l'Auteur ne fait pas profession d'être Grammairien, et que le Compositeur dont le Libraire s'est servi n'entend pas un mot de Français, et que le contributeur ne brille pas en orthographe !

La Géométrie de Descartes - permission

Par grâce et privilège du Roi Très-Chrétien il est permis à l'Auteur du livre intitulé Discours de la Méthode etc.

plus la Dioptrique,

les Météores, et la Géométrie etc. de le faire imprimer en telle part que bon lui semblera dedans et dehors le royaume de France, et ce pendant le terme de dix années consécutives, à compter du jour qu'il sera parachevé d'imprimer…

Ainsi qu'il est plus amplement déclaré dans les lettres données à Paris le 4e jour de mai 1637.

Signé par le roi en son conseil Ceberet et scellées du grand sceau de cire jaune sur simple queue.

L'auteur à permis à Jean Maire, marchand libraire à Leyde, d'imprimer le dit livre et de jouir du dit privilège pour le temps et aux conditions entre eux accordées.

Peut-être l'auteur permettrait, à titre posthume, à PDebart, de scanner le dit livre… !

Bibliographie

La Géométrie de Descartes - couverture dover publications
editions Jacques Gabay

La Géométrie

Fac-similé de l'édition de 1637 : The geometry of Rene Descartes de David Eugene Smith et Marcia L. Latham - 1925 - Réédition Dover - New York, 1954.

Éditions Jacques Gabay (1991) - édition librairie scientifique Herman - 1886.

Commentaires sur La Géométrie

Logo Google Commentaires sur La Géométrie de Descartes, de Claude Rabuel - 1730

Debart.fr

Bibliographie (suite)

Project Gutenberg : édition librairie scientifique Herman - 1886.

Warusfel

Analyse du livre premier

L’oeuvre mathématique de Descartes dans La Géométrie - Thèse 2010

La Géométrie - collection Tel Gallimard

Rétroliens

L'histoire de la géométrie analytique

Annuaire des cours gratuits

Sciences de secondaire 5 : René Descartes

Icône GéoPlanAvec GéoPlan

Icône GéoSpaceavec GéoSpace

Icône GeoGebra Avec GeoGebra 2D

Icône GeoGebra Avec GeoGebra 3D

Rétroliens (suite)

Le mathouriste

M@ths et tiques

Savants et histoire des sciences

Vikidia: René Descartes

Rétroliens (étranger)

it : Italien, Bibliografia Latina - Il linguaggio della nuova scienza

       Il latino come lingua di elezione e comunicazione

      WikiPédia, La geometria

en : mathoverflow.net : who first cared about singular points ? [By the way, if you know French you will be delighted by Descartes's old-fashioned but easily understandable language]

Analyse - Coniques

Histoire des mathématiques

Culture mathématique

Logo Google

WikiSource WikiSource : livre La Géométrie

Mode texte : La Géométrie (éd. Cousin)

Bibliothèque numérique d'un seul livre ?

Parfois, la puissance de l'appareillage autour d'un livre signale celui que l'on attendrait de toute bibliothèque et donne l'impression que ce livre est multiple: on peut s'en offrir plusieurs lectures. C'est le cas de «La Géométrie», de René Descartes, ou plus précisément de l'URL-outil http://debart.pagesperso-orange.fr/geometrie/geom_descartes.htm ou WikiSource. Le lecteur peut relire Descartes, dans le français du XVIIe siècle ou dans celui d'aujourd'hui. Les formules mathématiques sont retranscrites dans leur forme contemporaine, commentées, et redémontrées quand c'est nécessaire. Même les citations latines sont traduites. Ici la combinaison de l'outil et du travail éditorial réconcilie avec le concept de bibliothèque: le lecteur n'est plus un client à qui on force l'usage d'une machinerie plus ou moins bien pensée, mais une personne qui se sent d'emblée accompagnée dans les dédales d'un savoir aussi complexe que rude.

Ainsi un site web passe du statut de pur dépôt de texte(s) à celui de bibliothèque à partir du moment où il se complète de programmes, d'outils de mise en perspective des données qui lui sont propres et de lecteurs-utilisateurs. Ce constat renvoie à la bibliothèque des informaticiens: pour eux, une bibliothèque (de programmes) est avant tout un ensemble d'outils facilitant l'usage d'un logiciel ou d'un ordinateur à la fois un ensemble de textes (de livres?) et d'instruments (textuels) travaillant sur ces textes, tous sans cesse affinés collectivement.

Éric Guichard

Bibliothèques numériques - Dictionnaire critique de la mondialisation

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mise à jour le 4/8/2011