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René Descartes

Contributions de René Descartes aux mathématiques : « La Géométrie » ; théorème et relation de Descartes…

Et c'eſt vne faute auſſy, d'autre coſté, de fe trauailler inutilement…

I. René Descartes (1596-1650) philosophe et mathématicien

II. La Géométrie de Descartes

La Géométrie a été publiée en 1637 comme appendice au Discours de la méthode, écrit par René Descartes. Dans le Discours, il présente les « fondements de la science admirable » avec sa méthode pour obtenir des idées claires sur n'importe quel sujet. La Géométrie et deux autres appendices, la Dioptrique (l'optique) et les Météores (phénomènes naturels), ont été publiés avec le Discours pour donner des exemples de succès qu'il a obtenus en suivant sa méthode.

La méthode de Descartes est de traiter tout problème de géométrie par le calcul. Il l'applique aux calculs algébriques et aux équations du second degré dans le livre premier.

Sa réflexion sur la nature des courbes planes lui permet de mettre de l'ordre en géométrie. Il introduit les coordonnées x et y, permettant de mettre en équation un lieu de points, ce qui lui permet de classer les courbes par genre, préfigurant le classement par degré.

Il illustre sa méthode par la solution du problème de Pappus, puis dans le livre troisième, il termine par la résolution d'équations au-delà du deuxième degré.

La Géométrie - Livre premier I.  La Géométrie - Introduction II. Le théorème de Thalès III. La racine carrée Le problème de Pappus Des coniques comme lieux de points 1. La méthode de Descartes 2. La mise en équation du problème : géométrie cartésienne 3. La solution de Descartes : Cercle Les coniques comme solution Les coniques du problème de Pappus avec GeoGebra Note sur le Problème de Pappus Livre second - texte et notes De la nature des lignes courbes La méthode des tangentes Ovales de Descartes Livre troisième - texte et notes Les équations La racine cubique   Notes pour « La Géométrie » Table des matières

La difficulté qui apparut dans la lecture de La Géométrie de 1637 chez les adversaires comme les disciples de Descartes nécessita assez rapidement la rédaction d'une introduction et de notes de commentaires par des disciples de Descartes comme Haestrecht, Schooten, Debeaune ou Huygens.
Un édition latine avec des commentaires en 1646, suivie d'une deuxième édition en 1659 rendit le texte accessible à l'ensemble de l'Europe mathématique et connut une large diffusion qui influença grandement les mathématiciens de la fin du dix-septième, comme Newton, pour qui elle constitua un traité de formation mathématique et permit ainsi la diffusion des méthodes analytiques.

La théorie des courbes et des équations dans la Géométrie cartésienne

Démarche en géométrie

J'observe toujours, en cherchant une question de Géométrie, que les lignes, dont je me sers pour la trouver, soient parallèles, ou s'entrecoupent à angles droits, le plus qu'il est possible ; et je ne considère point d'autres Théorèmes, sinon que les côtés des triangles semblables ont semblable proportion entre eux, et que, dans les triangles rectangles, le carré de la base est égal aux deux carrés des côté. Et je ne crains point de supposer plusieurs quantités inconnues, pour réduire la question à tels termes, qu'elle ne dépende que de ces deux Théorèmes ; au contraire, j'aime mieux en supposer plus que moins.

Car, par ce moyen, je vois plus clairement tout ce que je fais, et en les démêlant je trouve mieux les plus courts chemins, et m'exempte de multiplications superflues ; au lieu que, si l'on tire d'autres lignes, et qu'on se serve d'autres Théorèmes, bien qu'il puisse arriver, par hasard, que le chemin qu'on trouvera fort plus court que le mien, toutefois il arrive quasi toujours le contraire.

Lettre à Élisabeth - Descartes - novembre 1643

« Problema astronomicum » ou « problème des trois bâtons »,

Le gnomon est constitué d'un bâton vertical planté en terre. L'ombre du soleil à l'extrémité du gnomon, définit, sur le plan horizontal un arc de conique, souvent une branche d'hyperbole. L'étude de cette courbe constitue la gnomonique

À la fin du seizième siècle, le hollandais Adrien Métius a posé le « problème des trois ombres » dont le but est de déterminer, par trois observations astronomiques, la latitude du lieu et la date du jour dans l'année.

Un problème de gnomonique encore plus complexe est le « Problema astronomicum » : problème posé à Descartes par Stampioen, un autre mathématicien hollandais.
Ce problème, dit « des trois bâtons » est de déterminer le lieu et le jour de l'année dans lesquels trois bâtons, placés verticalement sur un plan horizontal, produiront des ombres dont l'extrémité passera par le pied de chacun des deux autres bâtons.
Problème que Descartes mettra en relation avec celui d'un « cercle tangent à trois cercles donnés » et aussi, ses commentateurs, avec celui consistant à trouver une « sphère tangente à quatre sphères » données.
Dans sa correspondance, Descartes juge que ces problèmes relèvent  du « Calcul » c'est-à-dire du calcul littéral et sont une bonne occasion de mettre en œuvre sa méthode.

Règle des signes de Descartes

Soit p(x) = 0 une équation où p(x) est un polynôme à une variable et à coefficients réels, ordonné par ordre décroissant des exposants.

Lorsque les solutions de l'équation sont toutes réelles, le nombre de solutions positives est au nombre de variations de signes de ses coefficients (en ne tenant pas compte des coefficients nuls), le nombre de solutions négatives est le nombre de permanences de ses signes.

En général, le nombre de solutions positives est, au plus égal, au nombre de variations de signes de ses coefficients (en ne tenant pas compte des coefficients nuls), le nombre de solutions négatives est, au plus égal, le nombre de permanences de ses signes.

S'il y a n variations de signes, il y n solutions ou n – 2, ou n – 4,… n peut être diminué d'un nombre pair correspondant à des solutions complexes. Par exemple s'il y a 3 changements de signe, il y a une ou trois solutions positives.

Pour les solutions négatives, en changeant la variable x en – x, la règle, pour les solutions positives, permet de trouver le nombre de solutions négatives, à un multiple de 2 près, puisque la transformation a permuté les solutions positives et négatives.

Méthode de Descartes

La méthode de Descartes, par coefficients indéterminés, permet de résoudre des équations du quatrième degré.

La Dioptrique : loi de la réfraction

La loi des sinus est attribuée à Snell dans le monde entier sauf en France où la question est de savoir si Descartes a lui-même découvert cette loi qui loi est attribuée.

Descartes énonce la loi de la réfraction sous forme de proportions : = .

Maintenant on écrit :

• le rayon réfracté est dans le plan d'incidence
• les indices de réfraction n₁ et n₂ de chacun des milieux et les angles incident θ₁ et réfracté θ₂ sont liés par la relation dite de Snell-Descartes :

n₁ sin(θ₁) = n₂ sin(θ₂).

Et toujours Descartes :

« Je n'ajoute pas ici les démonstrations de plusieurs choses qui appartiennent à la géométrie, car ceux qui sont un peu versés en cette science les pourront assez entendre d'eux-mêmes, et je me persuade que les autres seront plus aises de m'en croire que d'avoir la peine de les lire. »

Les coniques

Descartes s'est intéressé aux propriétés des coniques pour la confection des lentilles en optique.

L'ellipse

« L'ellipse ou l'ovale est une ligne courbe que les mathématiciens ont accoutumé de nous exposer en coupant de travers un cône ou un cylindre, et que j'ai vu aussi quelquefois employer par des jardiniers dans les compartiments de leurs parterres, où ils la décrivent d'une façon qui est véritablement fort grossière et peu exacte, mais qui fait, ce me semble, mieux comprendre sa nature que la section du cylindre ni du cône. »

Voir la suite et aussi les hyperboles dans la page coniques à centre
         la parabole chez les Anciens
         l'hyperbole de Descartes

Les Météores

Dans ce deuxième essai, suivant le discours de la méthode, Descartes donne une des premières explications scientifiques de l'arc-en-ciel. Il montre comment la lumière traverse une goutte d'eau avec une réfraction, deux réflexions et une réfraction.

III. Œuvre mathématique de René Descartes

Relation de Descartes

Quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si, et seulement si, on a la relation : .

Théorème de Descartes en géométrie

Ce théorème, découvert par René Descartes en 1643, établit une relation entre les rayons de quatre cercles tangents entre eux.

Il peut être utilisé pour construire un quatrième cercle tangent à trois autres.

Voir Wikipédia : Théorème de Descartes

Théorème de Descartes pour les équations

une variation d'un polynôme est un changement de signe entre deux termes consécutifs.

Dans une équation algébrique, à coefficients réels, le nombre des racines positives ne surpasse pas le nombre de variations ; et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.

Folium de Descartes

Cubique d'équation cartésienne : x³ + y³ = 3kxy (où k est un paramètre réel).

Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Pour un polyèdre convexe, on a la formule f + s = a + 2, où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.
Cette formule, énoncée par Descartes, sera démontrée par Euler.

Inversion

Transformation découverte par Descartes, mais qu'il a peu précisée et peu exploitée.

Source : Marcel Berger - Géométrie vivante ou l'échelle de Jacob - Cassini 2009

Pi, la méthode des isopérimètres

On doit à Descartes le calul de π par la méthode des isopérimètres.
Π : Descartes aurait inventé le signe PI majuscule pour la multiplication.

IV. Philosophie
Arithmétique et Géométrie

Deuxième règle pour la direction de l'esprit

[…] Mais comme nous avons dit plus haut que, parmi les sciences faites, il n'existe que l'Arithmétique et la Géométrie qui soient entièrement exemptes de fausseté ou d'incertitude, pour en donner la raison exacte, remarquons que nous arrivons à la connaissance des choses par deux voies, c'est à savoir, l'expérience et la déduction. De plus, l'expérience est souvent trompeuse ; la déduction, au contraire, ou l'opération par laquelle on infère une chose d'une autre, peut ne pas se faire, si on ne l'aperçoit pas, mais n'est jamais mal faite, même par l'esprit le moins accoutumé à raisonner. Cette opération n'emprunte pas un grand secours des liens dans lesquels la dialectique embarrasse la raison humaine, en pensant la conduire ; encore bien que je sois loin de nier que ces formes ne puissent servir à d'autres usages. Ainsi, toutes les erreurs dans lesquelles peuvent tomber, je ne dis pas les animaux, mais les hommes, viennent, non d'une induction fausse, mais de ce qu'on part de certaines expériences peu comprises, ou qu'on porte des jugements hasardés et qui ne reposent sur aucune base solide.

Tout ceci démontre comment il se fait que l'Arithmétique et la Géométrie sont de beaucoup plus certaines que les autres sciences, puisque leur objet à elles seules est si clair et si simple, qu'elles n'ont besoin de rien supposer que l'expérience puisse révoquer en doute, et que toutes deux procèdent par un enchaînement de conséquences que la raison déduit l'une de l'autre. Aussi sont-elles les plus faciles et les plus claires de toutes les sciences, et leur objet est tel que nous le désirons ; car, à part l'inattention, il est à peine supposable qu'un homme s'y égare. Il ne faut cependant pas s'étonner que beaucoup d'esprits s'appliquent de préférence à d'autres études ou à la philosophie. En effet chacun se donne plus hardiment le droit de deviner dans un sujet obscur que dans un sujet clair, et il est bien plus facile d'avoir sur une question quelconque quelques idées vagues, que d'arriver à la vérité même sur la plus facile de toutes. De tout ceci il faut conclure, non que l'arithmétique et la géométrie soient les seules sciences qu'il faille apprendre, mais que celui qui cherche le chemin de la vérité ne doit pas s'occuper d'un objet dont il ne puisse avoir une connaissance égale à la certitude des démonstrations arithmétiques et géométriques.

Dans ce texte Descartes appelle arithmétique ce que désignons maintenant par algèbre.

L'intuition lui permet de concevoir clairement une figure géométrique sans aucun doute. Pour Descartes, les mathématiques se limitent alors à une déduction rigoureuse, simple et claire de nature calculatoire, faisant l'impasse sur l'analyse et le transcendant.

Première méditation métaphysique – 1641

C'est pourquoi peut-être que de là nous ne conclurons pas mal, si nous disons que la physique, l'astronomie, la médecine, et toutes les autres sciences qui dépendent de la considération des choses composées sont fort douteuses et incertaines ; mais que l'arithmétique, la géométrie, et les autres sciences de cette nature, qui ne traitent que de choses fort simples et fort générales, sans se mettre beaucoup en peine si elles sont dans la na-ture, ou si elles n'y sont pas, contiennent quelque chose de certain et d'indubitable. Car, soit que je veille ou que je dorme, deux et trois joints ensemble formeront toujours le nombre de cinq, et le carré n'aura jamais plus de quatre côtés ; et il ne semble pas possible que des vérités si apparentes puissent être soupçonnées d'aucune fausseté ou d'incertitude.

Les « romantiques » préfèrent la « géométrie pure »…

L'algébrisation de la géométrie ne plut pas à Jean-Jacques Rousseau : « Je n'ai jamais été assez loin pour bien sentir l'application de l'algèbre à la géométrie. Je n'aimais point cette manière d'opérer sans savoir ce qu'on fait, et il me semblait que résoudre un problème de géométrie par les équations, c'était jouer un air en tournant une manivelle.

La première fois que je trouvais par le calcul que le carré d'un binôme était composé du carré de chacune de ses parties et du double produit de l'une par l'autre, malgré la justesse de ma multiplication, je n'en voulus rien croire jusqu'à ce que j'eusse fait la figure. Ce n'était pas que je n'eusse un grand goût pour l'algèbre en n'y considérant que la quantité abstraite ; mais appliquée à l'étendue, je voulais voir l'opération sur les lignes, autrement je n'y comprenais plus rien. » (Les Confessions).

D'après Marcel Berger - Cinq siècles de mathématiques en France (Pdf incomplet)

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