René DescartesDescartes et les Mathématiques

La Géométrie de Descartes - Fin du Livre troisième

Les équations du troisième degré et au-delà

Fac-similés et commentaires de textes de « La Géométrie » de René Descartes sur les problèmes du troisième et quatrième degré.

Sommaire

Livre troisième de La Géométrie

Fin du livre

1. Équations du troisième et quatrième degré

2. La racine cubique

3. Équations jusqu'au sixième degré

4. Les conclusions de Descartes

Début du livre troisième

Les racines des équations

    Règle des signes de Descartes

Exemple de l'usage de réductions

Livre premier - texte et notes pour mobiles

Les opérations algébriques

Le problème de Pappus

Livre second – texte et notes pour mobiles

De la nature des lignes courbes

La méthode des tangentes

Premier ovale de Descartes

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Œuvre mathématique de René Descartes

Notes pour « La Géométrie »

Table des matières

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions

page 389

L'invention de deux moyennes proportionnelles

page 395

La division de l'angle en trois

page 396

Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions

page 397

La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques,
et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu'au carré de carré

page 400

Conclusions sur les équations et les problèmes :
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées

page 401

Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point plus de six dimensions

page 402

Conclusions de Descartes
L'invention de quatre moyennes proportionnelles

page 411

Théorie de Descartes

Ce livre troisième est plus un manuel d'algèbre qu'un de géométrie. C'est une nouvelle théorie algébrique des équations, avec des conseils pour bien mener les calculs. Les équations sont écrites sous forme polynomiale p(x) = 0.

On y trouve dans cette page la résolution d'équation du troisième degré, une résolution de problème avec une équation du quatrième degré et le calcul de la racine cubique à l'aide d'une parabole, puis la trisection de l'angle.

1. Équations du troisième et quatrième degré

La Géométrie - Livre troisième - Page 390

La Géométrie de Descartes- recherche graphique d'une racine cubique - figure 27 - page 390

Page 389

 

Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions

Or quand on est assuré, que le Problème proposé est solide, soit que l'équation par laquelle on le cherche monte au carré de carré (puissance 4), soit qu'elle ne monte que jusqu'au cube, on peut toujours en trouver la racine par l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit ou même par quelque partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être ; en ne se servant au reste que de lignes droites et de cercles.

Mais je me contenterai ici de

Page 390

donner une règle générale pour les trouver toutes par le moyen d'une Parabole, à cause qu'elle est en quelque façon la plus simple.

Premièrement il faut ôter le second terme de l'équation proposée, s'il n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme

z3 = ± apz2 ± a2q, si la quantité inconnue n'a que trois dimensions ;

ou bien à telle z4 = ± apz2 ± a2qz ± a3r, si elle en a quatre ;

ou bien en prenant a pour l'unité, à telle
z3 = ± az ± q,
et à telle z4 = ± pz2 ± qz ± r.

La Géométrie - Livre troisième - Page 391

La Géométrie de Descartes- recherche graphique d'une racine cubique - figure 27 - page 391

Après cela supposant que la Parabole FAG est déjà décrite, et que son essieu est ACDKL, et que son côté droit est a ou 1, dont AC est la moitié, et enfin que le point C est au dedans de cette Parabole, et que A en est le sommet ; il faut faire CD = \frac 12 p, et la prendre du même côté, qu'est le point A au regard du point C (lire « qu'est le point C au regard du point A »), s'il y a + p en l'équation ; mais s'il y a – p il faut la prendre de l'autre côté.

Et du point D, ou bien, si la quantité p était nulle, du point C il faut élever une ligne à angles droits jusqu'à E, en sorte qu'elle soit égale à \frac 12 q, et enfin du centre E il faut décrire le cercle FG, dont

La Géométrie - Livre troisième - Page 392

La Géométrie de Descartes- recherche graphique d'une racine cubique - figures 28 et 29 - page 392

le demi-diamètre soit AE, si l'équation n'est que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle.

Mais quand il y a + r il faut dans cette ligne AE prolongée, prendre d'un côté AR égale à r, et de l'autre AS égale au côté droit de la Parabole qui est r, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendiculaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point H, qui est celui par où l'autre cercle FHG doit passer.

Et quand il y a – r il faut après avoir ainsi trouvé la ligne AH, inscrire AI, qui lui soit égale, dans un autre cercle, dont AE soit le diamètre, et lors c'est par le point I,

La Géométrie - Livre troisième - Page 393

La Géométrie de Descartes - page 393

que doit passer FIG le premier cercle cherché.

Or ce cercle FG peut couper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 points, desquels tirant des perpendiculaires sur l'essieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies, que fausses.

À savoir si la quantité q est marqué du signe +, les vraies racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouveront du même côté de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses : mais au contraire si cette quantité q est marquée du signe –, les vraies seront celles de l'autre côté ; et les fausses, ou moindres que rien seront du côté où est E le centre du cercle.

Et enfin si ce cercle ne coupe, n'y ne touche la Parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires.

En sorte que cette règle est la plus générale, et la plus accomplie qu'il soit possible de souhaiter.

Et la démonstration en est fort aisée.

Car si la ligne GK, trouvée par cette construction, se nomme z, AK sera z2 à cause de la Parabole, en laquelle GK doit être moyenne proportionnelle, entre AK, et le côté droit qui est 1 ; puis si de AK j'ôte AC, qui est \frac 12, CD qui est \frac 12 p,
il reste DK, ou EM, qui est

z^2 - \frac 12 p - \frac 12

dont le carré est

z4pz2z2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14
et à cause que DE, ou KM est \frac 12 q, la toute GM est z + \frac 12 q,
dont le carré est z^2 + qz + \frac 14 q^2,
et assemblant ces deux carrés, on a

z4pz + qz + \frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14,

La Géométrie - Livre troisième - Page 394

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 27 - page 394

pour le carré de la ligne GE, à cause qu'elle est la base du triangle rectangle EMG.

Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d'autres termes, à savoir ED étant \frac 12 q

et AD étant \frac 12 q + \frac 12,
EA est

\sqrt {\frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14}

à cause de l'angle droit ADE, puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est \sqrt r, et à cause de l'angle droit EAH, le carré de HE,
où EG est

\frac 14 q^2 + \frac 14 p^2 + \frac 12 p + \frac 14 + r

si bien qu'il y a Équation

2. La racine cubique

La Géométrie - Livre troisième - Page 395

La Géométrie de Descartes - recherche graphique d'une racine cubique - figure 28 - page 395

entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que

z4 = pz2qz + r.

Et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette Équation, ainsi qu'il fallait démontrer.

Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes + et – selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit besoin que je m'y arête.

L'invention de deux moyennes proportionnelles

Descartes veut résoudre l'équation

z3 = a2 q.

(il l'écrit sous la forme z3 égal ** a2q avec un symbole ressemblant à l'infini pour l'égalité et deux étoiles indiquant que l'équation ne comporte pas de monômes en z2, ni en z).

Le carré a2 est introduit pour que le terme de droite soit aussi de dimension 3 suivant ainsi la règle des homogènes de Viète.

Mais Descartes s'en affranchit aussitôt, faisant a égal 1
(a = 1) et inventant l'introduction de l'unité.

z et z’ sont deux moyennes proportionnelles de a et q si a, z, z, z’ forment une proportion ainsi que z, z’, z’, q. Maintenant on dirait que a, z, z’, q sont en progression géométrique.

On a alors z’ = z²/a et q = z^3/a^2 et ces quatre nombres sont égaux à a, z, z²/a et z^3/a^2.

Si on veut donc suivant cette règle trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et q ; chacun sait que posant z pour l'une,
comme a est à z, ainsi z à z²/a, et z²/a àz^3/a^2

de façon qu'il y a Équation entre q et z^3/a^2, c'est-à-dire

z3 = a2 q.

Et la Parabole FAG étant

La Géométrie - Livre troisième - Page 396

La Géométrie de Descartes- la division de l'angle en trois - figure 30 - page 396

décrite, avec la partie de son essieu AC, qui est 1/2a la moitié du côté droit (corde, perpendiculaire à l'axe au milieu de [AC], de longueur a) ; il faut du point C élever la perpendiculaire CE égale à 1/2q et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA, pour les deux moyennes cherchées.

Avec la méthode des coordonnées, dont Descartes a jeté les bases (et en conservant son orientation : l'origine est A, les abscisses z sont dirigées vers la gauche, les ordonnées y vers le bas), la géométrie analytique permet de trouver l'équation du cercle de centre
E(q/2, a/2) passant par A :

z2 – q z + y2 – a y = 0.

La parabole (FAG) d'équation z²/a admet [AC) comme axe et C comme foyer.

L'équation du troisième degré admet des solutions correspondant aux points d'intersection de la parabole et du cercle. Deux solutions fausses kg et KG et une troisième solution avec le point F de coordonnées FL et LA.

En éliminant y dans ces deux équations, on trouve z = rac cubique(a²q) = FL et z²/a = LA.

g2w Télécharger la figure GéoPlan rac_cubi.g2w


La façon de diviser un angle en trois

La trisection de l'angle ne peut être construite à la règle et au compas, car l'équation z3 = 3zq n'est pas réductible au second degré dans le corps Q.

Tout de même si on veut diviser l'angle NOP, ou bien l'arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties égales ; faisant NO = 1, pour le rayon du cercle et, pour la subtendue de l'arc donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc ; l'équation vient z3 = 3zq, car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT ; et faisant QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte

La Géométrie - Livre troisième - Page 397

La Géométrie de Descartes - page 397

que NO étant 1, et NQ étant z, QR est z2, et RS est z3 ; et à cause qu'il s'en faut seulement RS ou z3 que la ligne NP, qui est q, ne soit triple de NQ, qui est z,
on a q = 3z – z3

ou bien z3 = 3z – q.

Puis la Parabole FAG étant décrite et CA la moitié de son côté droit principal étant 1/2 on prend CD = 3/2 et la perpendiculaire DE = 1/2q, et que du centre E, par A, on décrive le cercle FAgG, il coupe cette Parabole aux trois points F, g et G, sans compter le point A qui en est le sommet.

Ce qui montre qu'il y a trois racines en cette Équation, à savoir les deux GK et gk, qui sont vraies ; et la troisième qui est fausse, à savoir FL.
Et de ces deux vraies c'est gk la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne NQ qui était cherchée.

Car l'autre GK est égale à NV, la subtendue de la troisième partie de l'arc NVP, qui avec l'autre arc NQP achève le cercle.

Et la fausse FL est égale à ces deux ensembles QN et NV, ainsi qu'il est aisé à voir par le calcul.


trisection - La Géométrie de Descartes - copyright Patrice Debart 2011

Partage en trois d'un angle NÔP qui intercepte la corde NP de longueur q sur un cercle de centre O de rayon ON = 1 : recherche de la longueur z de la corde NQ.

Les angles au centre NÔP, QÔT et TÔP sont égaux au tiers de l'angle NÔP. L'angle inscrit QNP, qui intercepte l'angle au centre double QÔP, est donc égal à NÔQ. Avec (QS) // (TO) les angles alternes-internes SQR et QOT sont égaux.
Les triangles isocèles NOQ, QNR et SQR, ayant les mêmes angles sont semblables.
On a NQ/ON = QR/NQ = RS/QR, donc z/1 = RQ/z soit QR = z2 de même de RS/QR = z on tire RS = z3.
Les longueurs ON, NQ, QR et RS sont en progression géométrique de raison z.

Dans le triangle isocèle QNR, on a NR = NQ = z.
Soit U le point d'intersection de NP et OT. Par symétrie, UTP est un aussi un triangle de côté UP = z.
Dans le parallélogramme QTUS, RU = QT = z.
On a donc NP = NR – RS + RU + UP = z – z3 + z + z = 3z – z3, d'où z3 = 3z – q.

Ci-dessus, Descartes trouve deux racines positives GK et gk et présente la racine négative – FL de façon abrupte.
C'est gk, la plus petite, qu'il faut prendre pour z pour tracer la ligne NQ.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trisection.g2w

Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions

Il serait superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres exemples ; car tous les Problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point, qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant qu'elle sert a trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle en trois parties égales.

Ainsi que vous connaîtrez en considérant, que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des Équations, qui ne montent que jusqu'au carré de carré, ou au cube : et que toutes celles qui montent au carré de carré, se réduisent au carré, par le moyen de quelques autres, qui ne

Page 398

montent que jusqu'au cube : Et enfin qu'on peut ôter le second ternie de celles-ci.

En sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :

z3 = – pz + q
z3 = + pz + q
z3 = + pz – q

Or si on a z3 = – pz + q, la règle dont Cardan attribue l'invention à un nommé Scipio Ferreus, nous apprend que la racine est :

\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 + \frac{1}{27}p^3}}-\sqrt[3]{-\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2+\frac{1}{27}p^3}}.

Dans ces formules de Cardan, le facteur C indique la racine cubique. Les signes négatifs ont été rectifiés.

Comme aussi lorsqu'on a z3 = + pz + q, et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est :

\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2 - \frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}.

La Géométrie - Livre troisième - Page 398

La Géométrie de Descartes - page 398

Ces formules peuvent être traduites en problèmes géométriques du troisième degré comme la trisection de l'angle.
Ces références à l'Antiquité, justifient Descartes quand il pense ainsi avoir réalisé l’unification des mathématiques.

D'où il parait qu'on peut construire tous les Problèmes, dont les difficultés se réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l'unité.

Puis si on a z3 = + pz – p, et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le cercle NQPV, dont le demi-diamètre NO soit \sqrt {\frac 13 p}, c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l'unité ; et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce cercle qui soit \frac {3q}{p},

La Géométrie - Livre troisième - Page 399

La Géométrie de Descartes - la division de l'angle en trois - figure 30 - page 399

c'est-à-dire qui soit à l'autre quantité donne q comme l'unité est au tiers de p ; il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales, et on aura NQ, la subtendue du tiers de l'un, et NV la subtendue du tiers de l'autre, qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.

Enfin si on a z3 = pz – q en supposant derechef le cercle NQPV, dont le rayon NO

soit \sqrt{\frac 13 p} et l'inscrite NP

soit \frac {3p}{q}, NQ la subtendue du tiers de l'arc NQP sera l'une des racines cherchées, et NV la sustendue du tiers de l'autre arc sera l'autre.

Au moins si le carré de la moitié du dernier terme, n'est point plus grand, que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, car s'il était plus grand, la ligne NP ne pourrait être inscrite dans le cercle, à cause quelle serait plus longue que son diamètre.

Ce qui serait cause que les deux vraies racines

3. Équations jusqu'au sixième degré

de cette Équation ne seraient qu'imaginaires, et qu'il n'y en aurait de réelles que la fausse (en valeur absolue conformément à l'habitude de Descartes quand il énonce des racines fausses -négatives), qui suivant la règle de Cardan serait

\sqrt[3]{\frac12 q +\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}+\sqrt[3]{\frac12 q -\sqrt{\frac14 q^2-\frac{1}{27}p^3}}

Dans ces formules de Cardan, le facteur C indique la racine cubique.

La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusqu'au carré de carré

La Géométrie - Livre troisième - Page 400

La Géométrie de Descartes - page 400

Au reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a que le contenu qu'on connaisse, n'est en rien plus intelligible, ni plus simple, que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains arcs, ou portions de cercles, dont le triple est donné.

En sorte que toutes celles des Équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.

Car si par exemple, on pense connaître la racine de cette Équation

z3 = – qz + p,

à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes, dont l'une est le côté d'un cube, duquel le contenu est \frac 12 q, ajouté au côté d'un carré, duquel derechef le contenu est

\frac 14 q^2 - \frac {1}{27}p^3 ;

et l'autre est le côté d'un autre cube, dont le contenu est la différence qui est

entre \frac 12 q, et le côté de ce carré dont le contenu est

\frac 14 q^2 - \frac {1}{27}p^3,

qui est tout ce qu'on en apprend par la règle de Cardan.

Il n'y a point de doute qu'on ne connaisse autant ou plus distinctement la racine de celle-ci

z3 = + qz – p,

en la considérant inscrite dans un cercle, dont le demi-diamètre est \sqrt {\frac13 p}, et sachant qu'elle y est la subtendue d'un arc dont le triple a pour subtendue \frac {3q}{p}.

Même ces termes

La Géométrie - Livre troisième - Page 401

La Géométrie de Descartes - page 401

sont beaucoup moins embarrassés que les autres, et ils se trouveront beaucoup plus cours si on veut user de quelque chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du chiffre \sqrt C pour exprimer le côté des cubes.

Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusqu'au carré de carré, par les règles ci-dessus expliquées.

En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.

Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

Et on peut aussi, en suite de ceci, exprimer les racines de toutes les Équations qui montent jusqu'au carré de carré, par les règles ci-dessus expliquées.

En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.

Car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit ensemble plus générale et plus facile.

Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques, ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées

Phrases clefs et aboutissement de la Géométrie : par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à ... chercher la valeur des racines de quelqu'Équation ;
En sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière.

Il est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde, pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas.

Mais, si on prend garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des Géomètres se réduit à un même genre de Problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelqu'Équation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi la plus générale et la plus simple.

Et particulièrement pour ce qui est des Problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construis, sans qu'on y emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on peut assez trouver, de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions ; en l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points, qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deux

La Géométrie - Livre troisième - Page 402

La Géométrie de Descartes - page 402

lignes données, et en l'autre les deux points, qui divisent en trois parties égales un arc donné : car d'autant que la courbure du cercle ne dépend, que d'un simple rapport de toutes ses parties, au point qui en est le centre ; on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné ; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points différents.

Mais pour cette même raison, il est impossible qu'aucun des Problèmes qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent l'invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d'un angle en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections coniques.

C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l'intersection d'une Parabole et d'une ligne droite en la façon ci-dessus expliquée.

Car j'ose assurer qu'il n'y en a point de plus simple en la nature, qui puisse servir à ce même effet ; et vous avez vu comme elle suit immédiatement les sections coniques, en cette question tant cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doivent être reçues en Géométrie.

Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point plus de six dimensions

Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises pour la construction de ces Problèmes, on les peut toujours réduire a quelque Équation, qui ne monte que jusqu'au carré de cube, ou

La Géométrie - Livre troisième - Page 403

La Géométrie de Descartes - page 403

au sursolide (puissance 5).

Puis vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette Équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies ; et avec cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second ; et enfin comment, si elle ne monte que jusqu'au sursolide, on la peut hausser jusqu'au carré de cube ; et faire que la place d'aucun de ses termes ne manque d'être remplie.

Or afin que toutes les difficultés, dont il est ici question, puissent être résolues par une même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on les réduise toujours à une Équation de telle forme

y6py5 + qy4ry3 + sy2ty + v = 0

et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée p.

La Géométrie - Livre troisième - Page 404

La Géométrie de Descartes - équation du sixième degré - figure 31 - page 404

Parabole de Descartes

Puis ayant fait la ligne BK indéfiniment longue des deux côtés du point B ayant tiré la perpendiculaire AB, dont la longueur soit \frac 12 p il faut dans un plan séparé décrire une Parabole, comme CDF dont le côté droit principal soit

\sqrt{\frac t{\sqrt u}+q-\frac14 p^2}

que je nommerai n pour abréger.

Après cela il faut poser le plan dans lequel est cette Parabole sur celui ou sont les lignes AB et BK, en sorte que son essieu DE se rencontre justement au-dessus de la ligne droite BK ; et ayant pris la partie de cet essieu, qui est entre les points E et D, égale à \frac{2\sqrt u}{pn}, il faut appliquer sur ce point E une longue règle, en telle façon qu'étant aussi appliquée sur le point A du plan de dessous, elle demeure toujours jointe à ces deux points, pendant qu'on haussera ou baissera la Parabole

La Géométrie - Livre troisième - Page 405

La Géométrie de Descartes - page 405

tout le long de la ligne BK, sur laquelle son essieu est appliqué au moyen de quoi l'intersection de cette Parabole et de cette règle, qui se fera au point C, décrira la ligne courbe ACN, qui est celle dont nous avons besoin de nous servir pour la construction du Problème proposé.

Car après qu'elle est ainsi décrite, si on prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné le sommet de la Parabole, et qu'on face BL égale à DE,

c'est-à-dire à frac {2\sqrt u}{pn} ;

puis du point L, vers B, qu'on prenne en la même ligne BK, la ligne LH,

égale à frac t{2n\sqrt u},

et que du point H ainsi trouvé, on tire à angles droits, du côté qu'est la courbe ACN, la ligne HI, dont la longueur soit

\frac r{2n^2} + \frac {\sqrt u}{n^2} + \frac {pt}{4n^2\sqrt u},

qui pour abréger sera nommée frac m{n^2} ; et après, ayant joint les points L et I, qu'on décrive le cercle LPI, dont IL soit le diamètre ; et qu'on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit

\sqrt{\frac{s+p\sqrt u}{n^2}}.

Puis enfin du centre I, par le point P ainsi trouvé, qu'on décrive le cercle PCN.

Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN, en autant de points qu'il y aura de racines en l'équation : en sorte que les perpendiculaires tirées de ces points sur la ligne BK, comme CG, NR, QO, et semblables, seront les racines cherchées.

Sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette règle.

Car si la quantité s était si grande, à proportion des autres p, q, r, t et v, que la ligne LP se trouvât plus grande que le diamètre du cercle

La Géométrie - Livre troisième - Page 406

La Géométrie de Descartes - équation du sixième degré - figure 32 - page 406

cercle IL, en sorte qu'elle n'y put être inscrite, il n'y aurait aucune racine en l'équation proposée qui ne fût imaginaire ; non plus que si le cercle IP était si petit, qu'il ne coupât la courbe ACN en aucun point.

Et il la peut couper en six différents ainsi qu'il peut y avoir six diverses racines en l'équation.

Mais lorsqu'il la coupe en moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imaginaires.

La Géométrie - Livre troisième - Page 407

La Géométrie de Descartes - page 407

Que si la façon de tracer la ligne ACN par le mouvement d'une Parabole vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour la décrire.

Comme si ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL ; et la même pour BK, qu'on avait posée pour le côté droit principal de la Parabole; on décrit le demi-cercle KST dont le centre soit pris à discrétion dans la ligne BK, en sorte qu'il coupe quelque part la ligne AB, comme au point S, et que du point T, du il finit, on prenne vers K la ligne TV, égale à BL; puis ayant tiré la ligne SV, qu'on en tire une autre, qui lui soit parallèle, par le point A, comme AC; et qu'on en tire aussi une autre par S, qui soit parallèle à BK, comme SC ; le point C, ou ces deux parallèles se rencontrent, sera l'un de ceux de la ligne courbe cherchée.

Et on en peut trouver, en même sorte, autant d'autres qu'on en désire (Construction point par point de la parabole).

La Géométrie - Livre troisième - Page 408

La Géométrie de Descartes - équation du sixième degré - figure 33 - page 408

Or la démonstration de tout ceci est assez facile, car appliquant la règle AE avec la Parabole ED sur le point C ; comme il est certain qu'elles peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point C est en la courbe ACN, qui est décrite par leur intersection ;

si CG se nomme y,

GD sera \frac {y^2}{n},

à cause que le côté droit, qui est n, est à CG, comme CG à GD, et ôtant DE,

qui est \frac {2\sqrt u}{pn} de GD,
on a \frac {y^2}{n}\frac {2\sqrt u}{pn}, pour GE.

Puis à cause que AB est a BE comme CG est à GE ;

AB étant \frac 12 p,

BE est \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny}

Et tout de même en supposant que le point C de la courbe a été trouvé par l'intersection des lignes droites, SC parallèle à BK, et AC parallèle à SV. SB gui est égale à CG, est y : et BK étant égale au côté droit de la Parabole, que j'ai nommé n,
BT est \frac {y^2}{n} car comme KB est à BS, ainsi BS est à BT.

Et TV

La Géométrie - Livre troisième - Page 409

La Géométrie de Descartes - page 409

étant la même que BL, c'est-à-dire \frac {2\sqrt u}{pn},

BV est \frac {y^2}{n} _ \frac {2\sqrt u}{pn}

et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE, qui est par conséquent \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny} comme devant, d'où on voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit en ces deux façons.

Après cela, pourceque BL et DE sont égales, DL et BE le sont aussi : de façon qu'ajoutant LH, qui est frac t{2n\sqrt u},

à DL qui est \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny},
on a la toute DH,

qui est \frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny} + frac t{2n\sqrt u}

et en ôtant GD, qui est \frac {y^2}{n}
on a GH, qui est
\frac{py}{2n}\frac{\sqrt u}{ny} + frac t{2n\sqrt u}\frac {y^2}{n}.

Ce que j'écris par ordre en cette sorte

GH = \frac {-y^2+\frac 12 py^2+\frac {ty }{2n\sqrt u}-\sqrt u}{ny}.


Et le carré de GH est

frac {y^6-py^5+\left(\frac 14 p^2-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(2\sqrt u +\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-p\sqrt u\right)y^2-ty+u}{n^2y^2},

Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de là ligne droite, qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes, et avec les mêmes signes + et –.

De plus IH étant frac m{n^2} et LH étant frac t{2n\sqrt u},
IL est \sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{2n\sqrt u}}
à cause de l'angle droit IHL ; et LP étant

La Géométrie - Livre troisième - Page 410

La Géométrie de Descartes - équation du sixième degré - figure 33 - page 410

(LP étant) \sqrt{\frac{s}{n^2} + \frac{p\sqrt u }{n^2}},
IP ou IC est

\sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt u}{n^2}},

à cause aussi de l'angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la différence qui est entre IH et HM ou CG, c'est-à-dire entre frac m{n^2} et y,
en sorte que son carré est toujours

\frac{m^2}{n^4} - \frac{2my}{n^2} + y^2

qui étant ôté du carré de

Page 411

de IC il reste \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt u}{n^2} - \frac{2my}{n^2} - y^2.

pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par n2y2,
on a \frac{-n^2y^4+2my^3-p\sqrt u y^2-sy^2+\frac{t^2}{4u}y^2}{n^2y^2} .

Puis remettant \frac{t}{\sqrt u}y^4 + q y^4 - \frac14 p^2y^4, pour n2y4 ;

et ry^3 + 2\sqrt u y^3 +\frac{pt}{2\sqrt u} y^3 pour 2my3 ;

et multipliant l'une et l'autre somme par n2y2, on a

y^6-py^5+\left(\frac 14 p^2-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(2\sqrt u +\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-p\sqrt u\right)y^2-ty+u

égal à \left(\frac 14 p^2-q-\frac{t}{\sqrt u}\right)y^4+\left(r+2 \sqrt u+\frac{pt}{2\sqrt u}\right)y^3+\left(\frac{t^2}{4u}-s-p\sqrt u\right)y^2.

C'est-à-dire qu'on a,

y6py5 + qy4ry3 + sy2ty + u = 0.

D'où il paraît que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu'il fallait démontrer.

Créer quatre moyennes proportionnelles

La Géométrie - Livre troisième - Page 411

La Géométrie de Descartes - page 411

Titre de paragraphe oublié

Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a et b, ayant posé x pour la première, l'Équation est x5a4b = 0, ou bien x6a4b x = 0.

Et faisant y – a = x il vient

y6 – 6 ay5 + 15 a2y4 – 20 a3y3 + 15 a4y2 – (6a5 + a4b) + a6 + a5b = 0.

C'est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB,
et LH = \sqrt{\frac{6a^3+a^2b}{\sqrt{a^2+ab}}+6a^2}

pour BK, ou le côté droit de la parabole

La Géométrie - Livre troisième - Page 412

La Géométrie de Descartes - bas page 412

que j'ai nommé n,

et \frac{2a}{3n}\sqrt{a^2+ab}

pour DE ou BL.

Et après avoir décrit la ligne courbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire

LH = LH = \frac{6a^3+a^2b}{2n\sqrt{a^2+ab}}

et HI = HI = \frac{10a^3}{n^2} + \frac{a^2}{n^2}\sqrt{a^2+ab} + \frac{18a^4+3a^3b}{2n^2\sqrt{a^2+ab}}

et LP = LP = \frac{a}{n}\sqrt{15a^2+6a\sqrt{a^2+ab}},

car le cercle qui, ayant son centre au point I passera par le point P ainsi trouvé, coupera la courbe aux deux points C et N, desquels ayant tiré les perpendiculaires NR et CG, si la moindre NR est ôtée de la plus grande CG, le reste sera x, la première des quatre moyennes cherchées.

Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et d'inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de trouver une infinité d'autres exemples de cette règle.

Toutefois il est à remarquer qu'en plusieurs de ces exemples il peut arriver que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre, que le point de leur intersection soit difficile à reconnaître, et ainsi que cette construction ne soit pas commode pour la pratique ; à quoi il serait aisé de remédier en composant d'autres règles à l'imitation de celle-ci, comme on en peut composer de mille sortes.

Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j'ai fait, si on considère qu'ayant réduit à une même construction tous

La Géométrie - Livre troisième - Page 413

La Géométrie de Descartes - page 413

les problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux en une infinité de façons.

Puis outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus composés en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini. (Il a réitéré la transformation de Descartes avec un cercle et une droite pour le degré 2, un cercle et une parabole pour les degrés 3 et 4, un cercle et une parabole de Descartes pour les degrés 5 et 6, mais il est inexact que l’on puisse aller au delà ; une équation de degré 8, en général, ne peut être résolue par une parabole de Descartes et une conchoïde)

Car, en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres.

L'humour de Descartes passé à la postérité :

Et j'espère que nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.

FIN


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