René DescartesDescartes et les Mathématiques pour les mobiles

Carrés autour d'un triangle BOA

Les problèmes du BOA : faire opérer les transformations.

Sommaire

Deux carrés autour de BOA

1. La hauteur de l'un est la médiane de l'autre

2. a. Droites perpendiculaires

    b. Droites concourantes

3. Carré de Varignon

4.a. Triangle rectangle isocèle

    b. Bissectrices

5.a. BOA rectangle - homothéties

    b. Hauteur de l'un, médiane de l'autre

Trois carrés autour de BOA

6. a. Figure de Vecten

    b. Point de Vecten - triangle de Vecten

    c. Moulin à vent bordé de parallélogrammes

    d. Extriangles - triangles extérieurs

    e. Symédianes

    f. Théorème de Grèbe

    g. Carrés de Malfatti
    h. Triangle tangentiel
    i. Lemoine
    j. BOA rectangle - figure d'Euclide

7. Théorème de Neuberg

Quatre carrés autour d'un quadrilatère

8. Quadrilatère : théorème de Van Aubel

Voici quelques configurations pouvant facilement
s'étudier de diverses manières :
autrefois avec les transformations
(rotations  –  homothéties), le produit scalaire
en première S ou les complexes en terminale S.

Deux carrés autour de BOA

Un triangle, deux carrés autour du triangle :
une configuration d'une grande richesse où les
5 exercices ci-dessous conduisent à 15 sujets
pouvant être traités aux trois niveaux du lycée.

1. La hauteur de l'un
est la médiane de l'autre

BOA est un triangle quelconque tel que
(vect(OB), vect(OA)) = α (α ∈]0, π[)
On construit extérieurement à ce triangle les carrés
OADC et BOEF de centres respectifs O1 et O2.
On construit aussi le parallélogramme EOCK de
centre J et le parallélogramme BOAL de centre I.

Montrer que la droite (OJ) est une hauteur
du triangle BOA et que OK = AB.

deux carrés autour de BOA - médiane de l'un, hauteur de l'autre - copyright Patrice Debart 2006

Indications

La rotation de centre O et d'angle 90° transforme A en C.
La translation de vecteur vect(OE) transforme C en K.

La composée de ces deux transformations transforme A en K, O en E.
C'est une rotation d'angle 90° ; son centre est O2. B a donc pour image O ;
[BA] a pour image [OK] ; d'où BA = OK et (BA) est perpendiculaire à (OK).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
       hauteur de l'un, médiane de l'autre

Variante 1 : Utiliser l'invariance d'un carré dans
la rotation d'angle 90°, de centre le milieu du carré
.
La rotation de centre O2, qui transforme B en O,
transforme [BO] en [OE].
De plus, les angles OBL et EÔC sont égaux (ayant
même supplémentaire AÔB) et CK = OE = OB = AL.

Donc, par la rotation, le parallélogramme OBLA
a pour image EOCK, et [BA] a pour image [OK].
Dès lors, OK = AB et (OJ) est perpendiculaire à (AB).

Variante 2 :
démonstration avec une rotation de centre O,
voir la médiane de l'un est la hauteur de l'autre

Dualité

deux carrés autour de BOA - médiane de l'un, hauteur de l'autre - copyright Patrice Debart 2006

  – La médiane [OJ] du triangle COE est hauteur du triangle BOA.

  – La médiane [OI] du triangle BOA est hauteur du triangle COE
et CE = OL = 2 OI.

GeoGebra Figures interactives dans GeoGebra Tube :
       deux carrés autour d'un triangle - hauteurs - médianes

       deux triangles rectangles, parallélogrammes, hauteurs, médianes

Classe de première S - produit scalaire

vect(OK) = vect(OC) + vect(OE) ; vect(AB) = vect(OB) - vect(OA) ; a = OA ; b = OB, c = AB.

vect(AB).vect(OK) = (vect(OB) - vect(OA)).(vect(OC) + vect(OE)) = vect(OB).vect(OC) + 0 - 0 - vect(OA).vect(OE)
    = ab cos(vect(OB), vect(OC)) - ab cos(vect(OA), vect(OE))
    = ab {cos(α+π/2) - cos [(π-α)+π/2]} = 0 donc (AD) est perpendiculaire à (BC).

Al-Kashi permet de calculer AB2 :
c
² = a² + b² - 2 ab cos α,
OK2 = (vect(OC) + vect(OE))2 = OC2 + OE2 + 2 ab cos(vect(OC), vect(OE))
et comme cos(vect(OC), vect(OE)) = cos(π-α) = − cos α
on a AD2 = c2 et AD = BC = c.

TS - nombres complexes

L'apport des complexes est la grande simplicité des
calculs et la mise en évidence directe de la rotation z’ = iz.

Prendre O comme origine, les affixes des points
sont notées par les minuscules correspondantes.

c = ia, e = −ib donc k = i(a−b) ;
d'où |k| = |a−b| avec |k| = OK, |a−b| = AB,
soit OK = AB ; arg(k) = pi/2 + arg(a−b)
d'où (vect(BA), vect(OK)) = pi/2 (2π).

2 a. Droites perpendiculaires

Complexes : bac S, Toulouse 1985

deux carrés autour de BOA - droites perpendiculaires - copyright Patrice Debart 2006

Construction de deux carrés OADC et OEFB
à l'extérieur du triangle BOA
.
Le point K complète le parallélogramme EOCK.

Montrer que les droites (BD) et (AK)
sont perpendiculaires, et que BD = AK,
de même (AF) et (BK) sont aussi
perpendiculaires et AF = BK.

Indication

Les triangles BAD et KOA sont isométriques
et ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires.

Étude des triangles rectangles isocèles OO1A
et OO2B, voir triangles autour d'un triangle BOA

cas particulier : BOA rectangle en O, voir Renan

Solution

Soit BARS le carré de côté [BA], de centre O3,
situé du même côté de (BA) que O.

La rotation de centre O3 et d'angle pi/2 transforme B en A, A en R.

deux carrés autour de BOA - droites perpendiculaires - copyright Patrice Debart 2006

AR = BA = OK et (AR), perpendiculaire à (BA), est parallèle à (OK),
AOKR est donc un parallélogramme,
d'où KR = OA = AD et (KR), parallèle à (OA), est perpendiculaire à (AD).

L'image de D par la rotation est donc K, [BD] a pour image [AK] :
(BD) et (AK) sont perpendiculaires et BD = AK.

Remarques : Le triangle SKR, translaté du triangle BOA, est isométrique à BOA.

FKD est un triangle rectangle isocèle en K : voir 3.

2.b. Droites concourantes

Les droites (BD) et (AF) sont concourantes en M.
Montrer que la droite (OM) est orthogonale à (AB).

Indication

Le point M est situé sur (OK), hauteur de BOA
qui est aussi une médiane de OCE
.

En effet, M commun aux hauteurs (AF) et (BD) est
l'orthocentre du triangle ABK. (KM) est la troisième
hauteur perpendiculaire à (AB) issue de K.

On a vu au paragraphe 1 que les points O, J sont
alignés sur une perpendiculaire à (AB) passant par K, la droite (KM).
O et M sont donc deux points de cette droite perpendiculaire à (AB) :
(OM) est donc perpendiculaire à (AB).

Autre formulation avec des triangles rectangles isocèles :
BOA est un triangle quelconque, OAD et OFB
sont deux triangles rectangles isocèles directs,
respectivement en A et B. Le point M est l'intersection
des droites (BD) et (AF). Montrer que la droite (OM) est orthogonale à (AB).

Remarque : au paragraphe 6, on montrera avec
la figure des extriangles, que les triangles BOA et OCE ont même aire.

3. Quadrilatère de Varignon

deux carrés autour de BOA - quadrilatère de Varignon - copyright Patrice Debart 2016

Classe de 2nde

Soit I le milieu de [AB], O1 et O2 les centres des carrés.

Le triangle IO1O2 est rectangle isocèle.

En effet, la rotation de centre O et d'angle pi/2 transforme E en B, A en C,
[AE] en [BC]. Ces segments sont de longueur égale et orthogonaux.

Le quadrilatère ABEC est un pseudo-carré
(quadrilatère orthodiagonal à diagonales de même longueur).

Il est de même pour [IO1] et [IO2], segments des droites
des milieux des triangles BAC et ABE, respectivement
parallèles aux segments précédents et de longueurs moitiés.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
       deux carrés autour d'un triangle et Varignon

Retrouver cette configuration avec les demi-carrés
OAC et OBE comme triangles rectangles isocèles autour de BOA

Étude des triangles rectangles isocèles
OO1A et OO2B, voir que de triangles rectangles isocèles

deux carrés autour de BOA - variante - copyright Patrice Debart 2006

Variante : on peut considérer la configuration
formée par deux carrés ayant en commun un
sommet et deux parallélogrammes.

Montrer que les centres des carrés et des
parallélogrammes sont les sommets d'un carré.

Indications

Le théorème de Varignon affirme que IO1JO2 est un
parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux
diagonales [AE] et [BC] du quadrilatère BACE,
avec IO1 = BC/2 et IO2 = AE/2.

Nous avons montré ci-dessus que ces deux
diagonales sont de longueurs égales et
perpendiculaires ce qui permet d'assurer
que IO1JO2 est un carré.

Le concours EPF de 2003 propose un repère
d'origine O et d'introduire les affixes des
points A, C, B et E.

4.a. Triangle rectangle isocèle

Construction de deux carrés OADC et OEFB
à l'extérieur du triangle BOA.

Le point K complète le parallélogramme EOCK.

Montrer que le triangle DFK est rectangle isocèle.

deux carrés autour de BOA - triangle rectangle isocèle - copyright Patrice Debart 2006

Indication

L'homothétie de centre O de rapport 1/2 transforme DFK
en O1O2J, triangle dont les sommets sont les milieux
des carrés et du parallélogramme.
Ce triangle, moitié du carré de Varignon étudié ci-dessus,
est un triangle isocèle rectangle.

Remarque

Le point O3, milieu de [DF] est le sommet d'un triangle
rectangle isocèle d'hypoténuse [AB]. Voir 2.a.

4.b. Bissectrices

Construction de deux carrés OADC et OEFB à l'extérieur du triangle BOA.

Les droites (BC), (AE) et (DF) sont concourantes en I.

deux carrés autour de BOA - bissectrices - copyright Patrice Debart 2006

 

On a démontré dans les triangles du BOA - chapitre 1,
que les droites (BC) et (AE) sont perpendiculaires.
On montre que les droites (OI) et (DF) le sont aussi.

Les droites (OI) et (DF) sont les bissectrices
des droites (BC) et (AE) et réciproquement.
Les angles aigus formés par ces droites sont égaux à π/4.

La démonstration se fait en remarquant que I est le
deuxième point d'intersection des deux cercles c1 et c2
circonscrits aux carrés puis en étudiant les angles inscrits
dans ces cercles : les angles OÎD et OÎF, interceptant des
demi-cercles, sont égaux à pi/2 et les angles aigus en Î,
interceptant des quarts de cercle, sont égaux à pi/4.

O1 et O2 étant les centres des cercles c1 et c2, la droite
(O1O2) est parallèle à (DF) et est perpendiculaire à (OI).

5.a. BOA triangle rectangle - Homothéties

Construction de deux carrés OADC et OEFB
à l'extérieur du triangle BOA rectangle en O
.

deux carrés autour de BOA rectangle - homothéties - copyright Patrice Debart 2006

Le but de l'exercice est de montrer que les
droites (OK), (AF) et (BD) sont concourantes.

Pour cela, on appelle S l'intersection de (AF) et (BD) ; puis on définit :

h1 : l'homothétie de centre S qui transforme D en B,
h2 : l'homothétie de centre S qui transforme F en A.

On utilise le fait que l'image d'une droite par une
homothétie est une droite parallèle et que la composée
de deux homothéties de même centre est une homothétie de même centre.

La médiane [OI] de COE est hauteur du triangle BOA.

Nombres complexes : bac S national 2005

Figure de Renan : démonstration du théorème de Pythagore,
par la méthode des aires

5.b. Hauteur de l'un, médiane de l'autre

BOA triangle rectangle - Calcul d'angles

Classe de seconde

OACE et ODFD sont deux carrés de sens direct aux
côtés parallèles, ayant uniquement le sommet O en commun.
Lorsque les carrés sont inégaux, les droites (AB) et (DE) se coupent en J.

Les points J, C, O et F sont alors alignés.
La médiane [OI] de BOA est hauteur du triangle DOE.

deux carrés autour de BOA rectangle - calculs d'angles - copyright Patrice Debart 2006

Indication

Pour montrer que la hauteur (OH) est perpendiculaire
à (DE), utiliser la propriété du triangle rectangle vue au collège :
« le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois
sommets
 », d'où des triangles isocèles, puis des égalités d'angles…,
jusqu'à conclure avec des angles complémentaires.

Variante : utilisation d'une similitude au bac

Retrouver cette configuration dans : carré au collège

Trois carrés autour du triangle

6. Figure de Vecten (1817)

Construction de trois carrés BARS, CBMN
et ACPQ à l'extérieur du triangle ABC
.

trois carrés autour d'un triangle - figure du moulin à vent - copyright Patrice Debart 2016

6.a. Figures dites du moulin à vent d'Euclide

Les segments [AOA] et [OBOC] sont de même longueur et orthogonaux.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
       figure de Vecten - deux segments orthogonaux

trois carrés autour d'un triangle - figure du moulin à vent - copyright Patrice Debart 2016

Démonstration par des rotations

Rotation de centre C et d'angle pi/2

La rotation de centre C et d'angle pi/2 transforme P en
A et B en N. Les segments [BP] et [AN] sont orthogonaux
et de même longueur. La droite des milieux appliqué au
triangle ABP montre que [C'OB] est parallèle à [BP] et égal à sa moitié.

De même dans le triangle ABN ; [C'OA] est parallèle à [BP] et égal à sa moitié.

Les segments [C'OA] et [C'OB] sont orthogonaux et de même longueur.

Au passage le triangle C'OAOB est rectangle isocèle.

Rotation de centre C' milieu de [AB] et d'angle -pi/2

OC a pour image A et OB a pour image OA.
Les segments [OCOB] et [AOA] sont orthogonaux et de même longueur.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
     figure de Vecten - démonstration de l'orthogonalité par les rotations

6.b. Point de Vecten

À l'extérieur d'un triangle ABC, on élève trois carrés,
de centres OA, OB, OC, sur les trois côtés du triangle.

Les droites joignant les centres des carrés aux sommets
opposés des triangles sont concourantes :
leur point d'intersection s'appelle le point de Vecten du triangle.

trois carrés autour d'un triangle - figure de Vecten - copyright Patrice Debart 2016

Le triangle OAOBOC est le triangle de Vecten du triangle ABC.

Les hauteurs du triangle OAOBOC sont les droites (AOA), (BOB) et (COC) ;
H, orthocentre de OAOBOC, est le point de Vecten du triangle ABC.

Le triangle ABC et le triangle Vecten ont même centre de gravité.

Le cercle circonscrit au triangle de Vecten est le cercle de Vecten.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : point de Vecten

Point intérieur de Vecten

trois carrés autour d'un triangle - figure de Vecten - copyright Patrice Debart 2016

Construction de trois carrés BCNM, ABSR et
CAQP du même côté que le triangle ABC.
Le triangle et les carrés sont de sens direct
et de centres respectifs IA, IB et IC.

Le triangle IAIBIC est le triangle intérieur de Vecten du triangle ABC.

Les hauteurs du triangle IAIBIC sont les droites (AIA), (BIB) et (CIC) ;

Le point K, orthocentre de IAIBIC, est le point intérieur de Vecten du triangle ABC.

Le triangle ABC et le triangle intérieur de Vecten ont même centre de gravité.

Le cercle circonscrit au triangle intérieur de Vecten est le cercle intérieur de Vecten.

Droite de Vecten

Les deux points de Vecten sont alignés et en division
harmonique avec le point de Lemoine et le centre du cercle d'Euler.

Pour ETC les points de Vecten sont X(485) et X(486) ;
et sont alignés sur la droite X(5)X(6).

On trouve aussi sur cette droite le point de Prasolov
X(68) et X(155) EIGENCENTER OF ORTHIC TRIANGLE.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : point intérieur de Vecten

Voir trois triangles rectangles isocèles autour de BOA

WikiPédia : Point de Vecten

Solution par composition de similitudes

En examinant la figure ci-dessus à gauche,
on voit que la similitude S(B, rac(2), pi/4) transforme le triangle OBO1 en EBA
et la similitude S(O, rac(2), - pi/4) transforme le triangle O3BO2 en AOE.
En composant la similitude de centre B suivie de
la réciproque de la similitude de centre O on a :

S(B, rac(2), pi/4)

  S(O, rac(2)/2, pi/4)  

O

E

O2

O1

A

O3

[OO1]

[EA]

[O2O3]

La composée de ces deux similitudes est une
rotation d'angle pi/2, [OO1] et [O2O3] sont de même
longueur et orthogonaux.

On raisonne de même pour [AO2] et [O1O3] ; [BO3] et [O1O2].

Solution par calcul d'affixes de complexes

Les affixes des points sont notées par les minuscules correspondantes.
Le vecteur vect(AM) est directement orthogonal au vecteur
vect(AB) donc m – a = i(b – a). O1 est le milieu de [BM] donc son affixe o1 vérifie :
2o1 = b + m = b + a + i(b – a) = b(1 + i) + a(1 – i).

De même, le vecteur vec(BF) est orthogonal au vecteur
vect(BO) donc f – b = i(o – b). O2 est le milieu de [FO] donc o2 vérifie :
2o2 = o + f = o + b + i(o – b) = o(1 + i) + b(1 – i).

Et comme vect(OC) est orthogonal à vect(OA), on a c – o = i(a – o).
O3 est le milieu de [CA], et o3 vérifie :
2o3 = a + c = a + o + i(a – o) = a(1 + i) + o(1 – i).

On a donc 2(o2o3) = 2oi + b(1 – i) – a(1 + i)
et 2(o – o1) = 2o – b(1 + i) – a(1 – i) = i 2(o2o3)

Les segments [O2O3] et [OO1] sont de même
longueur et leurs supports sont orthogonaux.

Voir : plan complexe

 Rotation : La rotation de centre A et d'angle pi/2
transforme [DB] en [OM]. BD = OM et les
droites (BD) et (OM) sont orthogonales.
De manière analogue la rotation de centre B
et d'angle pi/2 transforme [OL] en [FA]. AF = OL
et les droites (AF) et (OL) sont orthogonales.
Les droites (AF) et (BD) se coupent en S1
situé sur la hauteur (OJ) du triangle BOA.

trois carrés autour de BOA - figure du moulin à vent - copyright Patrice Debart 2006

Soit O1 le centre du carré ABLM.
Nous avons montré dans la figure du paragraphe 5,
que les droites (AE), (BC) et (FD) sont concourantes
en K1 et que ces droites avec la droite (OK1)
formaient des angles aigus de pi/4.

Nous trouvons ici que K1 est situé sur la droite (OO1).

Mêmes raisonnements avec les deux autres carrés :
(OS1), (AS2) et (BS3) sont les hauteurs du triangle BOA.
Le triangle O1O2O3 a ses côtés parallèles aux droites (EM), (CL) et (DF).

6.c. Moulin à vent bordé de parallélogrammes

trois carrés autour de BOA - figure du moulin à vent - copyright Patrice Debart 2006

Compléter avec les points P, Q et R en construisant
les parallélogrammes COEP, DAMP et FBLR.
Les droites (OP), (AQ) et (BR) sont les hauteurs de BOA.
La hauteur (OP) contient le point P1 intersection de
(AF) et (BD). De même, la droite (OP) contient le
point P2, intersection de (LQ) et (MR).

6.d. Extriangles - triangles extérieurs

Pour 'un triangle ABC quelconque, on trace la figure d'Euclide
dite du « moulin à vent », en plaçant à l'extérieur trois carrés
construits à partir des trois côtés du triangle.

En joignant les extrémités libres des carrés,
on trouve trois nouveaux triangles : les extriangles.
Comparer l'aire de ces triangles à celle du triangle ABC.

trois carrés autour d'un triangle - triangles extérieurs - copyright Patrice Debart 2016

Solution

Chacun des trois triangles extérieurs a la même aire que le triangle ABC.

Démonstration par calcul d'aire

Aire(ABC) = 1/2 CB × CA sin(BCA) = 1/2 ab sin(BCA)

Par exemple Aire(CNP) = 1/2 CN × CP sin(NCP) = 1/2 ab sin(NCP).

Ces deux aires sont égales car les angles BCA et
NCP sont supplémentaires et ont même sinus.

Autre démonstration par rotation

trois carrés autour d'un triangle - démonstration triangles extérieurs - copyright Patrice Debart 2016

Pour le montrer par exemple sur le triangle CNP,
il suffit d'opérer une rotation de 90° du triangle
autour de son sommet C.

Le point N a pour image K, la base CK vient dans
le prolongement de BC, avec la même longueur.

Le point P a pour image A, ce qui entraîne que la hauteur,
issue de A du triangle ACK, est la même
que celle issue de A du triangle ABC.

Les triangles ABC et ACK ayant même longueur
de la base et même hauteur, ont même aire.

Le triangle CNP et son image ACK par la rotation ont même aire.

Le triangle CNP a même aire que le triangle de référence.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
       triangles extérieurs - extriangles

Médiatrices

trois carrés autour de BOA - extriangles - copyright Patrice Debart 2006

Les médiatrices des côtés des triangles extérieurs ARS, BSM, BFL,
côtés non adjacents aux carrés, sont concourantes.

6.e. Symédianes

Définition

La symédiane en O du triangle BOA est la droite (d)
telle que cette droite (d) et la médiane issue de O
ont pour bissectrice la bissectrice de BÔA.

Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle.

Construction des symédianes avec trois carrés

trois carrés autour de BOA - construction des symédianes - copyright Patrice Debart 2006

Trois carrés OADC, OEFB et ABMN à l'extérieur du triangle BOA.

Les prolongements des quatrièmes côtés de ces carrés définissent un triangle TUV:
les droites (CD) et (EF) se coupent en P,
les droites (CD) et (MN) se coupent en Q,
les droites (EF) et (MN) se coupent en R.

Le triangle RPQ est le triangle de Grèbe du triangle BOA.

Les droites (OP), (AQ) et (BR) sont les symédianes des triangles BOA et RPQ.

6.f. Théorème de Grèbe

Le point de Lemoine L, du triangle BOA, est aussi
le point de Lemoine du triangle RPQ, et réciproquement.

L'homothétie, de centre L, qui transforme B en R,
transforme le triangle BOA en RPQ.

Moteur de recherche

Problème de Grèbe

Inscrire trois carrés dans un triangle donné PQR.
Deux des sommets de chacun des carrés servent de liaison entre
les trois carrés, qui se touchent ainsi par deux coins.
Chaque carré a ses deux autres sommets sur le même côté du triangle donné.

Construction théorique

Tracer le point de Lemoine L, du triangle PQR.
Les carrés cherchés sont alors inscrits chacun séparément dans
les triangles LRP, LPQ et LQR, d'où la construction avec des
grands carrés le long des côtés de PQR.

Construction pratique

trois carrés autour de BOA - problème de Grèbe - copyright Patrice Debart 2006

La construction consiste à tracer trois grands
carrés à l'extérieur du triangle donné,
permettant de trouver le triangle de Grèbe
de PQR, puis d'en déduire le triangle OBA
qui a PQR comme triangle de Grèbe.

Les côtés des carrés extérieurs au triangle
PQR déterminent le triangle de Grèbe P’Q’R’.
Les triangles P’Q’R’ et PQR ont leurs côtés
deux à deux parallèles.

Une homothétie de centre L, le point d'intersection
des droites (P’P) et (Q’Q), transforme le triangle P’Q’R’ en PQR.
Le point L est le point de Lemoine du triangle PQR.

Cette homothétie transforme le triangle PQR en un triangle OBA.
O3 et A3 sont transformés en C et D ; le carré PQA3O3 est transformé en OADC.
On obtient de même les carrés OEFB et ABMN.

Les trois carrés OADC, OEFB et ABMN,
inscrit à l'intérieur du triangle PQR, sont
donc la solution du problème de Grèbe.

6.g. Carrés de Malfatti

Sangaku : inscrire trois carrés dans un triangle donné

Deux des sommets de chacun des carrés servent de liaison
entre les trois carrés, qui se touchent ainsi par deux coins.
Chaque carré a ses deux autres sommets sur deux côtés
différents du triangle donné.

Philippe Chevanne (le théorème de Grèbe) fait remarquer
que les médianes du triangle intérieur ABC sont
perpendiculaires aux côtés du triangle donné PQR.

Faire la construction d'une figure semblable en procédant
à l'envers : pour construire les carrés à l'intérieur de PQR,
tracer trois carrés à l'extérieur d'un triangle A’B’C’,
aux côtés perpendiculaires aux côtés du triangle donné,
semblable à ABC.

carrés de Malfatti : inscrire trois carrés dans un triangle - copyright Patrice Debart 2006

Construction

À partir d'un point G’ convenablement choisi, tracer trois
droites perpendiculaires aux côtés de PQR.
Construire un triangle A’B’C’ tel que ces trois perpendiculaires
soient les médianes du triangle A’B’C’, pour cela :
  – placer un point A’, distinct de G’, sur la perpendiculaire à (QR),
  – tracer le point K, symétrique de A’ par rapport à G’,
  – sur les deux autres perpendiculaires, tracer le parallélogramme
G’B’KC’ de diagonale [G’K].

À l'extérieur du triangle A’B’C’, construire trois carrés, puis le triangle
P’Q’R’ dont les côtés contiennent les sommets externes de ces carrés.

Les droites (PP’) et (QQ’) sont concourantes en S, centre
de l'homothétie qui transforme le triangle P’Q’R’ en PQR.
En déduire ABC comme image de A’B’C’ par cette homothétie
et tracer les trois carrés inscrits dans PQR.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carrés de Malfatti

      Figure de Noël Lambert dans GeoGebra Tube : les carrés de Malfatti

Voir, cercles de Malfatti : trois cercles tangents, inscrits dans un triangle

Remplir un cercle avec des carrés

6.h. Triangle tangentiel

trois carrés autour de BOA - triangle tangentiel - copyright Patrice Debart 2006

BOA est un triangle donné, RPQ son triangle de
Grèbe et L le point de Lemoine

Les tangentes au cercle circonscrit, menées
à partir des sommets d'un triangle, se coupent
sur les symédianes de ce triangle.

Ces tangentes forment le triangle tangentiel P2Q2R2.
Les sommets du triangle tangentiel sont donc situés sur les symédianes.
Le point de Lemoine L est le point de Gergonne du triangle tangentiel.

Lemoine Émile, mathématicien français
spécialiste de la géométrie du triangle, 1840- 1912

6.i. Propriétés du point de Lemoine

Les distances du point de Lemoine aux trois côtés du
triangle sont proportionnelles à ses côtés.

Le point de Lemoine du triangle BOA,
de côtés a = OA, b = OB et c = AB est le barycentre du système
pondéré (A, b2) ; (B, a2) ; (O, c2).

C'est le point dont la somme des carrés des
distances aux côtés du triangle est minimale.

La droite passant par le point de Lemoine et le centre du
cercle circonscrit s'appelle l'axe de Brocard du triangle

Le cercle ayant pour diamètre [LO] (L point de Lemoine
et O centre du cercle circonscrit) s'appelle le cercle de Brocard
et contient les points de Brocard du triangle.

Voir : cercles de Tücker

6.j. BOA triangle rectangle
Figure d'Euclide

La figure utilisée par Euclide, pour la
démonstration du théorème de Pythagore,
suggère des résultats inattendus.

trois carrés autour de BOA rectangle - moulin à vent d'Euclide - copyright Patrice Debart 2006

Le point O est sur la droite (O2O3) et [OO1] est
la hauteur du triangle O1O2O3, issue de O1.
[O2A] et [O3B] sont les deux autres hauteurs.

AF et BK sont égaux et orthogonaux.
Les droites (AF), (BK) et (O1O2) sont
concourantes en un point P situé sur le cercle circonscrit.

De même (BD), (AK) et (O1O3) sont
concourante en Q situé le cercle circonscrit.

Enfin, les triangles rectangles AOT et AEF
sont semblables d'où les rapports
OT/EF = AO/ AE donc OT/a = b/(a+b) et OT = ab/(a+b).

Les triangles rectangles BOU et BCD sont semblables d'où les rapports
OU/CD = BO/ BC donc OU/b = a/(a+b) et OU = ab/(a+b).

On a donc OT = OU.

7. Théorème de Neuberg

OA, OB, OC sont les centres des trois carrés construits à
l'extérieur du triangle ABC.

I1, I2, I3 sont les centres des trois carrés construits
intérieurement sur les côtés du triangle de Vecten OAOBOC.

Les points I1, I2 et I3 sont les milieux des côtés du triangle ABC.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
      théorème de Neuberg

trois carrés autour de BOA - théorème de Neuberg - copyright Patrice Debart 2006

Démonstration

Soit C’ le milieu de [AB].
Nous avons démontré ci-dessus que le triangle OAC’OB est rectangle
isocèle (la rotation de centre C et d'angle pi/2 transforme [PB] en [AN];
leurs moitiés [C’OA] et [C’OB] sont orthogonales et de même longueur).

Les diagonales du carré OAOBED sont perpendiculaires et se coupent
en leur milieu I3. Le triangle OAI3OB est rectangle isocèle.

Les deux triangles rectangles isocèles sont identiques.
Le centre I3 est le milieu C’ de [AB].

Et il en est de même des autres centres I1 et I2.

Voir le tracé des points OA, OB, OC avec
trois triangles rectangles isocèles autour de ABC.

Figure exportée dans WikiPédia : théorème de Neuberg

Quatre carrés autour d'un quadrilatère

8.a. Configuration de Van Aubel (Von Aubel)

Moulin à vent de Van Aubel

De : Aubel tetragon

Construction de quatre carrés à l'extérieur d'un quadrilatère ABCD.

quatre carrés autour d'un quadrilatère - copyright Patrice Debart 2016

Théorème de Van Aubel

Les segments [PR] et [QS], qui joignent les centres
des carrés opposés, sont orthogonaux et de même longueur.

Si le quadrilatère ABCD est convexe, le quadrilatère PQRS est un pseudo-carré.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
       moulin à vent de Van Aubel

Démonstration du théorème de Van Aubel

Soit I, J, K et L les milieux des côtés de ABCD et rotation vect(r) la rotation vectorielle d'angle pi/2.

On a : 2 vect(IK) = 2 vect(OK) – 2 vect(OI) = (vect(OC) + vect(OD)) – (vect (OA) + vect(OB)) = vect(OC)vect(OB) + vect(OD)vect (OA) = vect(BC) + vect(AD),
2 vect(JL) = 2 vect(OL) – 2 vect(OJ) = vect (OA) + vect(OD)vect(OB)vect(OC) = vect(BA) + vect(CD).

rotation vect(r)(2 vect(PR)) = rotation vect(r)(2 vect(PI)) + rotation vect(r)(2 vect(IK)) + rotation vect(r)(2 vect(KR))
  = vect(BA) + rotation vect(r)(vect(BC) + vect(AD)) + vect(CD)
  = 2 vect(JL) + rotation vect(r)(vect(BC)) + rotation vect(r)(vect(AD))
  = 2 vect(JL) + 2 vect(QJ) + 2 vect(LS)
  = 2 vect(QS).

On a donc rotation vect(r)(vect(PR)) = vect(QS), d'où l'orthogonalité et l'égalité des longueurs de [PR] et [QS].

Nombres complexes : bac S national 2005

Les centres des carrés permettent de former
quatre triangles rectangles isocèles à l'extérieur du quadrilatère.

WikiPédia : les deux théorèmes de Van Aubel

Voir aussi : droite de Van Aubel dans le triangle

8.b. Carré de Thébault

quatre carrés autour d'un parallélogramme - carré de Thébault - copyright Patrice Debart 2016

Théorème de Thébault

Construction de quatre carrés à l'extérieur d'un parallélogramme ABCD.

Le quadrilatère PQRS formé par les centres des carrés est un carré.

Victor Thébault 1882-1960

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube :
       théorème de Thébault avec 4 carrés

Preuve

En effet, la rotation de centre R et d'angle pi/2 transforme C en D,
B en D2, le carré de côté [CB] a pour image le carré de côté [DA].

Donc, Q a pour image S, soit RQ = RS et l'angle QRS est droit.
QRS est un triangle rectangle isocèle en R.

De même, par la rotation de centre P et d'angle pi/2,
le carré de côté [DA] a pour image le carré de côté [CB].

Donc, S a pour image Q ; PS = PQ et le triangle
SPQ est rectangle isocèle en P.

Le quadrilatère PQRS a ses quatre angles droits
et des côtés consécutifs égaux : c'est un carré.

Les centres des carrés permettent de construire
quatre triangles rectangles isocèles
à l'extérieur du parallélogramme ABCD.

8.c. Quatre carrés contigus

quatre carrés contigus - carré de Thébault - copyright Patrice Debart 2006

Cas particulier

Soit quatre carrés positionnés le long d'un segment.
Les dimensions des carrés sont les mêmes deux à deux.

Cette figure correspond au cas où le parallélogramme ABCD est aplati :

le point B est un point du segment [AC] de milieu I,
D est alors le symétrique de B par rapport à I.

Le quadrilatère PQRS formé par les centres des carrés est un carré.

Autres théorèmes de Thébault :
    deux triangles équilatéraux autour d'un carré

    le théorème de Thébault − Sawayama

Table des matières

Dans d'autres pages du site

Triangles autour d'un triangle BOA

Les problèmes du BOA : rotation

La géométrie en 1S

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