René DescartesDescartes et les Mathématiques

Géométrie du triangle III - Droite et cercle d'Euler

Cercle et droite et d'Euler, symétriques de l'orthocentre.

Sommaire

1. Droite d'Euler

2. Cercle d'Euler

 

Relation d'Euler

Géométrie du triangle

I. Droites remarquables

II. Points caractéristiques

III - Cercles remarquables

IV. Lieux géométriques

V. Relations métriques

1. Droite d'Euler

Géométrie du triangle - droite d'Euler - copyright Patrice Debart 2002

de : Eulersche Gerade

Dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont distincts et alignés. La droite passant par ces trois points est la droite d'Euler.

1.a. Exemple de vrai problème posé par Daniel Perrin :

O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, H est l'orthocentre du triangle et G le centre de gravité.
A3 est diamétralement opposé à A.

Montrer ce l'on voit sur la figure.

g2w Télécharger la figure GéoPlan dr_euler2.g2w

Exemple de formulation, style problème de bac
Exercice trop simple, trop saucissonné. À chaque question, une seule chose à vérifier. Les élèves ne peuvent que donner la bonne réponse, avec les canons de rédaction attendus :

  • (BH) est perpendiculaire à (AC) et (CH) à (AB).
  • Montrer que le triangle AA3C est rectangle en C. En déduire que (A3C) est parallèle à (BH).
  • Montrer que le quadrilatère BHCA3 est un parallélogramme.
  • Montrer le point d’intersection A’ de (BC) et (HA3) est le milieu de [BC] et de [HA3].
  • Montrer que G est sur (AA’), au tiers de [AA’] à partir de A’ et en déduire que G est aussi le centre de gravité de AHA3.
  • Montrer que G est sur (HO), au tiers de [HO] à partir de O.

Avec un tel texte, l'élève devient une sorte d'OS de la géométrie qui n'a plus que des tâches parcellaires à accomplir, sans avoir le contrôle de la stratégie globale.

1.b. Relation d'Euler dans le triangle

Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont confondus.
Sinon, soit ABC un triangle non équilatéral, O le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre.

Pour démontrer l'égalité vectorielle vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) (relation d'Euler), faire un changement de point de vue
en transformant l'exercice en « caractériser le point M tel que vect(OM) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) ».

Caractérisation vectorielle de l'orthocentre

Géométrie du triangle - droite d'Euler - copyright Patrice Debart 2002

Soit M le point tel que : vect(OM) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC),
d'où vect(OM)vect(OA) = vect(OB) + vect(OC).

Une relation de Chasles permet d'écrire : vect(AM) = vect(OB) + vect(OC)
et si A’ est le milieu de [BC], la forme vectorielle du théorème de la médiane
donne vect(OB) + vect(OC) = 2vect(OA'),
d'où vect(AM) = 2 vect(OA').

Le vecteur vect(AM) est colinéaire à vect(OA'). C'est un vecteur directeur de la médiatrice de [BC].
On en déduit que (AM), parallèle à (OA’), est perpendiculaire à (BC) ; c'est la hauteur (AA1) du triangle.
On montre, de même, que (BM) est aussi la deuxième hauteur (BB1) et on conclut que le point M, intersection de deux hauteurs, est l'orthocentre H du triangle ABC.

En remplaçant M par H on obtient la relation vectorielle vect(AH) = 2 vect(OA')
et la relation d'Euler vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC).

Quel est le nom de la droite qui joint le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre d'un triangle ?

La définition vectorielle du centre de gravité permet d'écrire 3vect(OG) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) donc vect(OH) = 3 vect(OG).
Les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler (1707-1783) et GH = 2 GO (relation d'Euler : G est au tiers de [OH]).

g2w Télécharger la figure GéoPlan dr_euler.g2w

Voir : quatre relations d'Euler

1.c. Symétriques de l'orthocentre

Nous venons de démontrer que vect(AH) = 2 vect(OA').
Soit A3 est le symétrique de A par rapport à O, dans le triangle AHA3.
La droite (OA’), passant par le milieu O du diamètre [AA3] et parallèle au côté (AH), est une droite des milieux de ce triangle.
A’ est le milieu de [HA3] et A3 est le symétrique de H par rapport à A’.

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

[AA3] est un diamètre. Le triangle AH1A3, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. La droite (BC), perpendiculaire à (AH1) est parallèle à (H1A3) et passe par le milieu A’ de [HA3].
Dans le triangle HH1A3, (A1A’) est la droite des milieux, A1 est milieu de [HH1].
(HH1) étant perpendiculaire à (BC), H1 est le symétrique de H par rapport à (BC).

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

1.d. Droite d'Euler et triangle médian

Géométrie du triangle - droite d'Euler et triangle médian - copyright Patrice Debart 2002

Autre démonstration en géométrie synthétique avec l'homothétie et les configurations fondamentales, sans utiliser les vecteurs.

Soit PQR le triangle ayant ABC comme triangle médian.
P, Q et R sont les points d'intersection des parallèles aux côtés du triangle ABC passant par les sommets A, B et C.

La hauteur (AA1), perpendiculaire à (BC), est perpendiculaire à la parallèle (QR), en A milieu de [QR]. La hauteur issue de A est donc la médiatrice de [QR].

Les hauteurs du triangle ABC sont donc les médiatrices de PQR
L'orthocentre H de ABC est le centre du cercle circonscrit à PQR.

(PA) médiane de PQR est une diagonale du parallélogramme ABPC. A’ milieu de [BC] est donc aussi le milieu de [PA] : les médianes (AA’) et (PA) sont confondues.
Les médianes de ABC et de PQR sont confondues.
G est le centre de gravité des triangles ABC et PQR.

L'homothétie H(G, –2) transforme le triangle ABC en PQR.
Dans cette homothétie, les images des médiatrices de ABC sont les médiatrices de PQR, hauteurs de ABC.
Le point O, centre du cercle circonscrit à ABC, a pour image le H, point d'intersection des médiatrices de PQR, orthocentre de ABC.
Les points O, G et H sont alignés, sur la droite d'Euler, et GH = 2 GO (relation d'Euler).

g2w Télécharger la figure GéoPlan dr_euler_median.g2w

La droite d'Euler est la droite de Pascal de l'hexagramme A’A1B’B1C’C1 inscrit dans le cercle d'Euler

Publimath Glossaire Publimath

WikiPédia : Triangle - Relation d'Euler

2. Cercle des neuf points d'Euler

Géométrie du triangle - cercle des neuf points d'Euler - copyright Patrice Debart 2016

Le cercle d'Euler (1707-1783) passe par les neuf points suivants :
    – les trois milieux des côtés du triangle,
    – les trois pieds des hauteurs,
    – les trois points d’Euler, milieux des segments [AH], [BH] et [CH] où H est l'orthocentre du triangle ABC.

Comme son nom ne le l'indique pas, le cercle d'Euler a été découvert en 1808 par Serge Brianchon (Paris, 1783-1864). On dit aussi cercle de Feuerbach ou cercle de Terquem.

(OH) est la droite d'Euler. Le centre de gravité G est au tiers de [OH] à partir de O.
Le centre Ω du cercle d'Euler est le milieu de [OH].
Ω est le point X(5) dans ETC.

Le cercle des neuf points d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit au triangle dans les homothéties de centre G et de rapport – 1/2 et de centre H et de rapport 1/2.

L'homothétie de centre G permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler.

L'homothétie de centre H permet de trouver les neuf points du cercle d'Euler comme points correspondants du cercle circonscrit.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle d'Euler

Figure exportée dans WikiPédia : cercle d'Euler

Indications

Nous avons vu au paragraphe précédent que l'homothétie de centre G et de rapport – 1/2 transforme A en A’, B en B’ et C en C’.

Appelons cercle d'Euler le cercle circonscrit au triangle A’B’C’, homothétique du cercle circonscrit au triangle dans cette homothétie.

Reprenons les démonstrations sur les symétriques de l'orthocentre, étudiées ci-dessus :

A’ est l'image A par l'homothétie de centre G et de rapport – 1/2, nous avons donc vect(OA') = − 1/2 vect(HA).
Si sA est le symétrique de A par rapport à O, dans le triangle AHsA, (OA’) passant par le milieu O du diamètre [AsA] et parallèle au côté (AH) est une droite des milieux du triangle. A’ est le milieu de [HsA] : sAest le symétrique de H par rapport à A’.

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

L'homothétie de centre H et de rapport 1/2, transforme A3 en A’, de même B’ et C’ sont les images des symétriques de l'orthocentre par rapport à ces milieux. Le cercle d'Euler circonscrit au triangle A’B’C’ est l'image du cercle circonscrit à ABC, par l'homothétie de centre H et de rapport 1/2.

On note H1, le deuxième point d'intersection de la hauteur (AA1) avec le cercle circonscrit. [AA3] en étant un diamètre, le triangle AH1A3 est inscrit dans un demi-cercle ; il est rectangle. Les droites (BC) et (H1A3), perpendiculaires à la Hauteur (AH1) sont parallèles. Comme (A1A’) passe par le milieu A’ de [HA3], c'est une droite des milieux du triangle HH1A3, donc, A1 est milieu de [HH1].
(HH1) étant perpendiculaire à (BC), H1 est le symétrique de H par rapport à (BC).

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

A1 est le milieu de [HH1], c'est donc l'image de H1 par l'homothétie de centre H. Comme H1 est situé sur le cercle circonscrit, A1 est sur le cercle d'Euler. Les pieds des hauteurs sont situés sur le cercle d'Euler.

L'homothétie de centre H transforme les sommets du triangle en les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] qui sont trois derniers points situés sur le cercle d'Euler.

Le cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle médian

Géométrie du triangle - Les médiatrice du triangle médian passe par le centre du cercle des 9 points - copyright Patrice Debart 2016

Le cercle circonscrit au triangle médian A’'B’C’ est le cercle d'Euler du triangle ABC.

Les médiatrices du triangle médian sont concourantes au centre Ω du cercle des neuf points.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle d'Euler circonscrit au triangle orthique

 

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GeoGebra voir aussi : ellipse d'Euler –  axe orthique

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