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Constructions géométriques au collège

Exercices réalisés avec GéoPlan : losange, décagone, dodécagone, quadrature du rectangle.

Programmes de construction

Un programme de construction est un texte qui permet d'établir une figure géométrique. C'est souvent ainsi que débute un problème de géométrie au collège ou au lycée. C'est d'abord un exercice de lecture. L'exécution demande du soin et aboutit à une validation complète : l'observation d'une propriété de la figure. Cette propriété est justifiée ultérieurement. On établit ainsi une continuité entre un capital d'observations et d'expériences et, plus tard, des preuves qui tissent entre elles un réseau rationnel. (François Boule)

1. Losange

Tracer un triangle dont les côtés ont pour longueurs AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Tracer les symétriques B’ et C’ de B et C par rapport à A.

Que peut-on dire du quadrilatère BCB’C’ ?

Indications : le quadrilatère BCB’C’ admet A comme centre de symétrie, c'est un parallélogramme.
Par la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Les diagonales de BCB’C’ sont perpendiculaires, ce parallélogramme.est un losange.

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2. Point de concours

Soit un segment [BC] et un point G non situé sur (BC). Tracer les milieux de [BG] et de [CG] ainsi que le milieu M de [BC].

Prolonger [BG] d'une longueur GN = BG/2 et [CG] d'une longueur GP = CG/2.

Prolonger [BP] et [CN].

Qu'observe-t-on ?

Les droites (BP) et (CN) se rencontrent en A sur (GM) : de plus BP = PA, CN = NA et AG = 2 GM. Ceci résulte de la propriété du centre de gravité G du triangle ABC.

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3. Décagone

Tracer un cercle (c₁) de centre O, un diamètre [IA], puis le cercle (c₂) de centre I et de rayon IA. Construire un rayon [IB] perpendiculaire à [IA].
La droite (BO) rencontre le petit cercle en J et K (BJ < BK).

Le cercle (c₃) de centre B passant par J rencontre le grand cercle en B₁ (et en B₉). Reporter l'ouverture BB₁ sur le cercle en B₂, puis de B₂ en B₃, etc.

On peut continuer la construction du décagone avec les symétries par rapport aux droites (IA) et (IB). Les points B₃ et B₇ sont aussi situés sur le cercle de centre B passant par K.

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Voir pentagone : méthode des cercles tangents

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4. Dodécagone

On choisit OA comme unité.

Un dodécagone régulier est inscrit dans le cercle (c) de centre O et de rayon 1.

On le partage en 12 triangles isocèles.

Dès la cinquième on peut, en remarquant que le triangle isocèle OBB’ ayant un angle de 60° est équilatéral, montrer que BB’ =1.

La hauteur BK du triangle OAB est égale à et l'aire du triangle est égale à .

Le dodécagone a donc une aire égale à 3. Elle est inférieure à l'aire du cercle (c), d'où 3 < π.

Au lycée on montrera en 1S que OH = cos = ;
voir angle-trigonométrie

En choisissant OI = = on construit un dodécagone tangent extérieurement au cercle (c) d'aire 3 OI² ≈ 3.22,
donc 3 < π < 3,22.

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5. Carré dont les côtés passent par quatre points

On donne quatre points A, B, C, D. Construire quatre droites passant par chaque point, de telle sorte quelles déterminent un carré.

Problème assez difficile ne faisant malgré tout appel qu'à des connaissances de troisième.

Supposons le problème résolu. MNPQ est le carré cherché de centre O.

Dans la rotation d'un quart de tour de centre O, B a pour image B’ et C a pour image C’. B’C’ = BC ; BC et B’C’ faisant un angle de 90°. Comme B et C sont sur les droites portées par deux côtés du carré, les images B’ et C’ sont sur les deux autres droites portées par les deux autres côtés perpendiculaires. Dans la translation qui transforme B’ en D, le point C’ a pour image un point D₁ situé sur la droite (AC’). B’DD₁C’ est un parallélogramme [DD₁] étant parallèle et égal à [B’C’].
Donc, (DD₁) est perpendiculaire à (BC) avec DD₁ = BC.

Démonstration : par construction, MNPQ est un rectangle (trois angles droits).

Deux côtés consécutifs de MNPQ ont la même longueur ?

Soit B’ le projeté orthogonal de B sur (NP) et D’ le projeté orthogonal de D sur (MN).

Les triangles rectangles B’BC et D’DD₁ ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires.
L'hypoténuse [BC] est perpendiculaire à [DD₁] avec BC = DD₁. Les triangles sont égaux et BB’ = DD’.

Ce qui prouve que deux côtés consécutifs ont même longueur : MNPQ est un carré.

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6. Cinq quadratures du rectangle

a. Sulbasutra

D'après Marie-Noëlle Racine
Géométries : différentes manières de les enseigner
Histoire et enseignement des Mathématiques
INRP - IREM de Clermont-Ferrand - 2007

Textes rituels de l'Inde, rédigés en sanskrit vers le VIII^e siècle avant J.-C., issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère.

Dans le rectangle ABCD, reporter la largeur pour obtenir le carré AEFD. Partager en deux parties égales le rectangle EBCF excédentaire et déplacer le demi-rectangle GBCH en DFIJ. Dans la figure ci-contre, compléter la place vide pour obtenir le carré AGKJ. Le cercle de centre J passant par A coupe [DH] en L. DL est le côté du carré de même aire que le rectangle. Télécharger la figure GéoPlan quadrature_sulbasutra.g2w Sulbasutras :     construction du carré à partir d'une médiatrice     constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés	Preuve moderne avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore. Si la longueur du rectangle est AB = 2a et la largeur BC = 2b, alors DH = JL = a + b et JD = a - b. Dans le triangle rectangle JDL, la relation de Pythagore permet de trouver la différence des carrés DL2 = JL2 - JD2. Soit DL2 = (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab = AB × BC. Télécharger la figure GéoPlan quadrature_sulbasutra2.g2w
b. Figure d'Euclide	Les Éléments d'Euclide, livre II, proposition XIV Sur la longueur (AB), on reporte la largeur du rectangle en E et on trace le cercle qui admet ce côté prolongé [AE] pour diamètre. L'intersection du prolongement de la largeur (le long de BC) avec ce cercle définit [BT], l'un des côtés du carré BTUV.
Le carré BTUV a même aire que le rectangle ABCD Explication : le carré de la hauteur BT issue de l'angle droit T du triangle rectangle ATE est égal au produit des segments AB et BE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes). Télécharger la figure GéoPlan quadra_rect1.g2w c. Rectangle et carré côte à côte Sur (AB), on reporte la largeur en E. (BC) coupe le demi-cercle de diamètre [AE] en T. On reporte le point T en V sur (AB). Le carré de côtés [BT] et [BV] a même aire que le rectangle. Télécharger la figure GéoPlan quadra_rect2.g2w Sommaire	d. Construction de Wallis Construire un carré de même aire qu'un rectangle donné. ABCD un rectangle de longueur [AB]. Rabattre D en D’ sur [AB]. Tracer un cercle quelconque passant par D’ et B, puis la tangente AT à ce cercle. Démonstration (après le bac) : La puissance du point A par rapport au cercle est AT2 = AD’ × AB = AD × AB. Le carré ATUV de côté [AT] répond à la question. Télécharger la figure GéoPlan carre_aire_donnee.g2w

e. Méthode de Samuel Marolois (1617)

Sur la figure ci-dessus, un rectangle ABCD.
Le transformer en un carrée, de même aire, bordé par les droites (AB) et (BC).
Réaliser la construction uniquement à l'aide d'un compas et d'une règle non graduée.

Solution

Le long de (AB), on prolonge la longueur du rectangle d'un segment [BE] égal à sa largeur, et on trace le demi-cercle qui admet ce côté prolongé pour diamètre.
L'intersection du prolongement de la largeur (le long de BC) avec ce demi-cercle définit [BT], l'un des côtés du carré BTUV.

Bibliographie : Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001 - page 208

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Constructions au compas	GéoPlan en 3e Théorème de Thalès	Démonstrations géométriques de Pythagore	Exercices de géométrie plane au collège	TP en 3eavec Cabri-géomètre	GéoPlan au collège
Sommaire 1. Losange 2. Point de concours 3. Décagone 4. Dodécagone 5. Carré dont les côtés passent par quatre points 6. La quadrature du rectangle       Sulbasutras       Figure d'Euclide       Construction de Wallis       Méthode de Samuel Maroloiss			Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec la version ActiveX de GéoPlan   Téléchargement  Télécharger construc_clg.doc : ce document au format « .doc » Télécharger construc_clg.pdf : ce document au format « .pdf » d'Adobe Acrobat
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