Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesExercices réalisés avec un logiciel de géométrie dynamique : losange, quadrature du rectangle.
Sommaire1. Losange Page no 59, réalisée le 6/12/2003 - Mise à jour le 17/4/2013 |
4. La quadrature du rectangle | ||||
Construction à la |
Construction à l'équerre |
Construction du pentagone régulier | |||
Un programme de construction est un texte qui permet d'établir une figure géométrique. C'est souvent ainsi que débute un problème de géométrie au collège ou au lycée. C'est d'abord un exercice de lecture. L'exécution demande du soin et aboutit à une validation complète : l'observation d'une propriété de la figure. Cette propriété est justifiée ultérieurement. On établit ainsi une continuité entre un capital d'observations et d'expériences et, plus tard, des preuves qui tissent entre elles un réseau rationnel (François Boule).
Tracer un triangle dont les côtés ont pour longueurs AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Tracer les symétriques B’ et C’ de B et C par rapport à A.
Que peut-on dire du quadrilatère BCB’C’ ?
Indications
Le quadrilatère BCB’C’ admet A comme centre de symétrie, c'est un parallélogramme.
Par la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Les diagonales de BCB’C’ sont perpendiculaires, ce parallélogramme est un losange.
Télécharger la figure GéoPlan losange.g2w
Soit un segment [BC] et un point
G non situé sur (BC). Tracer les milieux de [BG] et de [CG] ainsi que le milieu M de [BC].
Prolonger [BG] d'une longueur GN = BG/2 et [CG] d'une longueur GP = CG/2.
Prolonger [BP] et [CN].
Qu'observe-t-on ?
Indications
Les droites (BP) et (CN) se rencontrent en A sur (GM) : de plus BP = PA, CN = NA et AG = 2 GM.
Ceci résulte de la propriété du centre de gravité G du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan point_concours.g2w
On donne quatre points A, B, C, D. Construire quatre droites passant par chaque point, de telle sorte quelles déterminent un carré.
Problème assez difficile ne faisant malgré tout appel qu'à des connaissances de troisième.
Supposons le problème résolu. MNPQ est le carré cherché de centre O.
Dans la rotation d'un quart de tour de centre O, B a pour image B’ et C a pour image C’. B’C’ = BC ; BC et B’C’ faisant un angle de 90°. Comme B et C sont sur les droites portées par deux côtés du carré, les images B’ et C’ sont sur
les deux autres droites portées par les deux autres côtés perpendiculaires. Par la translation qui transforme B’ en D, le point C’ a pour image un point D1 situé sur la droite
(AC’). B’DD1C’ est un parallélogramme [DD1] étant parallèle et égal à [B’C’].
Donc, (DD1) est perpendiculaire à (BC) avec DD1 = BC.
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On peut donc construire un point D1 sur la perpendiculaire à (BC) passant par D, à une distance égale à BC de D. On obtient la première droite (AD1), les trois autres droites étant parallèle ou perpendiculaires à (AD1).
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On obtient un deuxième carré M’N’P’Q’ avec l'autre point D2, à une distance égale à BC de D, sur cette même perpendiculaire.
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Démonstration : par construction, MNPQ est un rectangle (trois angles droits).
Deux côtés consécutifs de MNPQ ont la même longueur ?
Soit B’ le projeté orthogonal de B sur (NP) et D’ le projeté orthogonal de D sur (MN).
Les triangles rectangles B’BC et D’DD1 ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires.
L'hypoténuse [BC] est perpendiculaire à [DD1] avec BC = DD1. Les triangles sont égaux et BB’ = DD’.
Ce qui prouve que deux côtés consécutifs ont même longueur : MNPQ est un carré.
Télécharger la figure GéoPlan carre_4pts_3.g2w
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D'après Marie-Noëlle Racine
Géométries : différentes manières de les enseigner
Histoire et enseignement des Mathématiques
INRP - IREM de Clermont-Ferrand - 2007
Textes rituels de l'Inde, rédigés en sanskrit vers le VIIIe siècle avant J.-C., issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère.
 Dans le rectangle ABCD, reporter la largeur pour obtenir le carré AEFD. Partager en deux parties égales le rectangle EBCF excédentaire et déplacer le demi-rectangle GBCH en DFIJ. Dans la figure ci-contre, compléter la place vide pour obtenir le carré AGKJ.
Sulbasutras : |
Preuve moderne avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore. Si la longueur du rectangle est AB = 2a et la largeur BC = 2b,
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b. Figure d'Euclide
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Les Éléments d'Euclide, livre II, proposition 14
Sur la longueur (AB), on reporte la largeur du rectangle en E et on trace le cercle qui admet ce côté prolongé [AE] pour diamètre. L'intersection du prolongement de la largeur (le long de BC) avec ce cercle définit [BT], l'un des côtés du carré BTUV. Euclide, voir aussi : |
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Le carré BTUV a même aire que le rectangle ABCD Explication : le carré de la hauteur BT issue de l'angle droit T du triangle rectangle ATE est égal au produit des segments AB et BE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes).
c. Rectangle et carré côte à côte
Sur (AB), on reporte la largeur en E. (BC) coupe le demi-cercle de diamètre [AE] en T. Avec le cercle de centre B, passant par T, on reporte la longueur BT en BV, avec le point V sur la droite (AB), à l'extérieur du segment [AB]. Avec le point U, on termine la construction du carré BTUV de côtés [BT] et [BV], de même aire que le rectangle.
Ci-dessous, la construction de Marolois où les deux quadrilatères sont d'un même côté de (BC). |
d. Construction de Wallis
Construire un carré de même aire qu'un rectangle donné. ABCD un rectangle de longueur [AB]. Rabattre D en D’ sur [AB]. Démonstration (après le bac) : La puissance du point A par rapport au cercle est
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Transformer le rectangle ABCD en un carré, de même aire, bordé par les droites (AB) et (BC).
Solution Le long de (AB), on prolonge la longueur du rectangle d'un segment [BE] égal à sa largeur, et on trace le demi-cercle qui admet ce côté prolongé pour diamètre. Première construction avec un cercle Le cercle de centre B, passant par T, coupe [AB] en V.
Bibliographie : Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001 - page 208 |
Deuxième construction avec des parallèles La droite parallèle à (AT), passant par C, coupe [AB] en V.
Le théorème de Thalès dans le triangle BTA permet d'écrire : BV/BA = BC/BT, soit BV × BT = BA × BC = Aire(ABCD), V est un sommet du carré et, avec le point U, on termine la construction de BTUV, de côtés [BT] et [BV], de même aire que le rectangle.
Construction réciproque Construction d'un rectangle de largeur l, Sur le côté [BT] d'un carré BTUV de côté c, placer un point C tel que BC = l. En effet, comme ci-dessus, Aire(ABCD) = BA × BC = BV × BT = c2. |
À partir d'un rectangle ABCD, reporter la longueur du rectangle sur [BC) en y plaçant le point E, tel que BE = AB.
Prolonger [DC) jusqu'au demi-cercle de diamètre [BE], en F à l'extérieur de [DC].
[CF] est la hauteur du triangle rectangle BEF.
Dans ce triangle rectangle, le côté BF de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.
BF2 = BE × BC.
Le carré BFJK a pour aire BF2 égale à BE × BC = AB × BC, soit l'aire du rectangle.
Télécharger la figure GeoGebra quadrature_rectangle.ggb
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