René DescartesDescartes et les Mathématiques

Constructions élémentaires à la « règle et au compas »

Deux constructions au collège avec la géométrie dynamique : hauteur, division d'un segment…

Constructions géométriques

1. Hauteur d'un triangle
2. Diviser un segment en parties égales

Voir aussi

Partage d'un segment en trois

Partages du cercle en 2, 3, 4, 6…
Partage du demi-cercle en trois, en cinq

Médiatrice d'un segment
Losange à partir d'une diagonale

Constructions géométriques de tangentes : voir cercle au collège

Construction uniquement à la règle seule

Bissectrice d'un angle
Report d'un angle

Constructions de perpendiculaires et de parallèles :

Perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite
Perpendiculaire élevée d'un point à une droite

Parallèle à une droite passant par un point donné
Parallèle à une droite située à une distance donnée

Faire de la géométrie dynamique

Constructions géométriques

Problèmes de construction au collège

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Parallélogramme

Construction du pentagone régulier

en : compass and straightedge constructions.
de : Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

À l'école les constructions géométriques de figures simples à la règle, à l'équerre et au compas sont au programme du cours moyen.
Il est essentiel de montrer que le compas ne sert pas uniquement à tracer des cercles, mais aussi à reporter des longueurs égales.

1. Construction d'une hauteur d'un triangle

construction elementaire - tracer une hauteur au compas - copyright Patrice Debart 2003

Comment tracer une hauteur avec un compas

Pour tracer des droites perpendiculaires à la « règle et au compas », il faut souvent se ramener à la construction de la médiatrice d'un segment.

Pour trouver, à la « règle et au compas », la hauteur relative au côté [BC] d'un triangle ABC tel que AC > AB, construire un triangle isocèle ABD où le point D est l'intersection du cercle de centre A passant par B avec la droite (BC).

Avec les cercles de centres B et D passant par A, tracer la médiatrice (AI) de [BD]. Le point I, deuxième point d'intersection de ces deux derniers cercles, est le symétrique de A par rapport à la droite (BC).

La médiatrice (AI) coupe (CD) en H et (AH) est la hauteur cherchée.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hauteur_triangle.g2w

2. Partage d'un segment en parties égales

Diviser un segment [AB] en n parties égales

Classes de quatrième et troisième

2.a. Configuration de Thalès

Cet exercice repose sur la propriété de Thalès, mais peut être utilisé avant de l'avoir justifiée.

construction elementaire - division d'un segment en cinq - copyright Patrice Debart 2003

Comment partager un segment en 5 parties egales

Tracer sur demi-droite issue de A, 5 segments égaux [AC1], [C1C2]…, [C4B’].

Cas général : partager un segment en n parties egales

Tracer sur demi-droite issue de A, n segments de mêm longueur [AC1], [C1C2]…, [Cn-1B’].
Ce tracé se fait facilement, à la règle et au compas : placer un point C1 à l'extérieur de (AB), et sur la demi-droite [AC1), tracer le symétrique C2 de A par rapport à C1, puis le symétrique C3 de C1 par rapport à C2 et ainsi de suite jusqu'à B’.

Tracer le segment [BB’] et les parallèles à (BB’),
    passant par C1, C2…, Cn-1.

Les points D1, D2…, Dn-1 partagent [AB] en n parties égales.

Cas partiliers : partager un segment en 4 parties egales
Comme ci-dessus, tracer 4 segments égaux [AC1], [C1C2], [C2C3], [C3B’].

partage d'un segment en trois

g2w Télécharger la figure GéoPlan diviser_segment.g2w

Méthode de la règle à bords parallèles : partage d'un segment en parties égales

3.b. Construction d'une des parallèles à la « règle et au compas »

construction elementaire - diviser un segment aux deux-cinquiemes - copyright Patrice Debart 2003

Pour trouver avec précision une des divisions sur le segment [AB],
par exemple ici le point D2 aux deux cinquièmes de [AB], utiliser la construction suivante :

Placer, comme ci-contre à gauche, n points (5 points) sur [AB’].
Placer deux points M et N sur [BB’] tel que BM = MN.

Tracer le symétrique P de B par rapport à C2, puis le milieu I de [PN].

La droite (IC2) coupe (AB) en D2 situé aux 2 nième de [AB]. (Dans la figure ci-dessus, D2 est situé aux 2/5 de [AB])

On montre facilement que (C2D2) est parallèle à (BB’), comme droite des milieux du triangle BPN.

g2w Télécharger la figure GéoPlan diviser_segment_car.g2w

Extrait de :
Salles-Le Gac Danielle et Herrera Ruben Rodriguez
Nouvelles pratiques de la géométrie -
IREM Caen - 2008

 

Le triangle équilatéral

Triangle
au collège

Théorème de Thalès
en 3e

Exercices de géométrie au collège

Collège
Carré

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Table de matières

1. Hauteur d'un triangle
2. Division d'un segment en n parties égales

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