Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesDix-sept exercices pour illustrer diverses méthodes de constructions de perpendiculaires ou parallèles, menées à une droite à partir d'un point donné.
Sommaire1. Perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite Parallèle à une droite passant par un point donné Constructions uniquement à la règle : Constructions d'une parallèle avec une équerre |
Histoire des mathématiquesLes Éléments d'Euclide Médiatrice : construction d'Œnopide de Chio
Page no 154, extraite des « constructions élémentaires » le 12/1/2010 | ||||
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Faire de la géométrie |
Problèmes de construction au collège |
GéoPlan | Construction du pentagone régulier | ||
Diverses constructions, à la règle et au compas, des perpendiculaires ou parallèles, menées à une droite (d) donnée, à partir d'un point M donné.
Pour construire des droites parallèles ou perpendiculaires à la « règle et au compas », il faut souvent se
ramener à la construction de la médiatrice d'un segment.
Ci-dessous deux constructions de la perpendiculaire à une droite (d) donnée, abaissée d'un point M donné, extérieur à (d).
Pour cela, à partir de deux points A et B de la droite (d), tracer les deux cercles passant par M, ayant comme centres ces deux points A et B. Ces cercles se recoupent en N qui est le symétrique de M par rapport à (d). La droite (MN) est la perpendiculaire cherchée.
a. Médiatrice d'un segment [AB] de (d)
Soit une droite (d) et un point M à l'extérieur de (d). Un cercle de centre M rencontre la droite (d) en A et B. Deux autres cercles de même rayon de centres A et B passent par M et se recoupent en N.
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b. Deux cercles passant par M centrés sur (d)
Un point A de la droite (d) est le centre d'un cercle passant par M. Il rencontre (d) en B. Le cercle de centre B passant par M rencontre le premier cercle en N. La perpendiculaire est la droite (MN). Remarque : Il est possible de remplacer B par n'importe quel point de (d), distinct de A.
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c. Configuration : médiane d'un triangle isocèle.
Dans la figure ci-dessus, AMB est un triangle isocèle : la hauteur (AH) est aussi la médiane. Il est donc aussi possible de tracer les milieux A’ de [MB] et B’ de [MA]. Les deux médianes [AA’] et [BB’] se coupent au centre de gravité G. La troisième médiane (AG) est la perpendiculaire cherchée.
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d. Cercle ayant un diamètre dont les extrémités sont M et A, un point de (d)
Placer un point A sur la droite (d). Le cercle de diamètre [AB] recoupe la droite (d) en H.
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a. Tracé d'une médiatrice d'un segment ayant A comme milieuSoit une droite (d) et un point A sur (d). Un cercle de centre A rencontre (d) en B et C. Tracer la médiatrice de [BC] grâce aux cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en M et N. La perpendiculaire est la droite (MN).
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b. Tracé d'un cercle et de son diamètreMême figure que celle de la construction d'une perpendiculaire abaissée d'un point M, en changeant l'ordre des tracés.
Soit une droite (d) et un point A sur (d). À partir d'un point O hors de (d), tracer un cercle de centre O passant par A. Si le cercle est tangent en A à la droite, le point O est sur la perpendiculaire cherchée qui est la droite (OA), sinon le cercle recoupe (d) en un deuxième point B. Tracer la droite (BO) qui recoupe le cercle en M. Le point M, symétrique de B par rapport à O, est diamétralement opposé à B. La droite (AM) est la perpendiculaire à (d) cherchée. Explications : Le triangle BAM, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en A.
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c. Traçage d'une perpendiculaire en bout
Tracer un cercle de centre A qui rencontre (d) en B, puis avec le même rayon, un cercle de centre B passant par A, qui rencontre le premier cercle en O. Explications : toujours avec le même rayon AO, tracer un troisième cercle de centre O passant par A et B, le deuxième point d'intersection de ce dernier cercle et de la droite (BO) est le point M. Autre point de vue : perpendiculaire abaissée et droite des milieux
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Proposition 31 du livre I des Éléments d'Euclide : par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.
L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme : « Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».
Soit une droite (d) et, à l'extérieur, un point M.
Placer deux points A et O sur la droite (d).
Tracer le cercle de centre O de rayon AM et le cercle de centre M et de rayon AO.
Soit P un des points d'intersection des deux cercles, convenablement choisi.
Le quadrilatère AMPO a ses côtés opposés de longueurs égales, deux à deux. C'est un parallélogramme.
La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_8.g2w
Soit une droite (d), un point A sur (d) et un point M.
La droite (d) et la parallèle (d’) à (d) passant par un point M doivent faire avec une sécante (AM) des angles alternes-internes BMA et MAP égaux entre eux.
Pour cela :
Tracer le cercle (c1) de centre M passant par le point A de la droite (d), puis le cercle (c2) de centre A passant par M. Le cercle (c2) coupe la droite (d) en B.
Pour reporter l'angle BMA en A, reporter l'arc MB de (c2) sur le cercle (c1). Tracer le cercle (c3) de centre A et de rayon BM. Choisir pour P, le point d'intersection des cercles (c1) et (c3) situé du même côté que A par rapport à (d).
La droite (MP) est la parallèle cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_5.g2w
Classe de quatrième
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Recherche d'une « droite des milieux » avec GéoPlan
Placer deux points A et B sur la droite (d). Placer un point libre C sur la demi-droite [AM]. Déplacer le point C jusqu'à ce que le point N coïncide avec M. Remarque : déplacer un point sur l'écran pour qu'il coïncide avec un autre point fixe, avec pour seul moyen de contrôle la perception visuelle, peut suffire dans un premier temps. Les chercheurs en didactique qualifient de « molle » cette utilisation approchée du logiciel. Nous pouvons conjecturer que la solution a lieu quand le point C est le symétrique de A par rapport à N. Avec GéoPlan, la touche S réalise une figure exacte par l'affection directe du point libre C au point O, symétrique de A par rapport à N. Pour cet exercice, la justification géométrique ci-contre, est accessible dès la classe de quatrième.
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La parallèle comme «droite des milieux » d'un triangle
Placer deux points A et B sur la droite (d). Tracer le symétrique C de A par rapport à B. B est alors le milieu de [AC]. Sur la droite (AM), placer le symétrique O de A par rapport à M tel que MO = AM, La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée. En effet, (BM) et (MP) sont les droites des milieux du triangle OAC.
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La droite (d) comme « droite des milieux » d'un triangle
Accompagnement du programme de 3e - 2004 Placer deux points A et B sur la droite (d). Sur la droite (AM), placer le symétrique O de M par rapport à A tel que AO = AM, La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée. En effet, (AB) est la droite des milieux du triangle OMP : (MP) est parallèle à (AB).
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Droite limite - Configuration de Thalès Tracé d'une droite limite, avec une figure analytique, non constructible à la règle et au compas.
Placer deux points A et B sur la droite (d). Placer un point libre N sur le segment [AM] construire, sur [BM], le point P tel que BP/BM = AN/AM. Par Thalès, la droite (NP) est parallèle à (d). Déplacer le point N vers M. La construction n'est pas réalisée lorsque N est en M, mais N peut être aussi proche que l'on veut de M et la droite (NP) a pour position limite la parallèle à (d) en M.
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Approximations successives de droites des milieux - Création itérative avec GéoPlan À la règle et au compas avec GéoPlan, il possible de réaliser la construction ci-dessous à droite de façon itérative par approximations successives de droites des milieux (x = Construire une première droite des milieux d1 = (A1B1) en utilisant deux points A0 et B0 de la droite (d) et le point M donné.
Pour la création itérative, nommer A0 et B0 les points de (d), A1 et B1 les milieux de [ A0M] et [B0M], Par appui de la touche S, GéoPlan reprend les deux milieux précédents et recommence l'application « droite des milieux ». Toutes les droites successives ainsi obtenues sont parallèles entre elles et parallèles à la droite (d). Commande GéoPlan
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Droites des milieux des milieux
Droites des milieux d1 à d7. Position limite
En 7 itérations, pour x = 127/128, la droite d7 semble passer par M. |
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles :
on répète donc deux fois la construction afin d'obtenir « la perpendiculaire d'une perpendiculaire ».
Commencer par la construction de la perpendiculaire à une droite (d), abaissée d'un point M.
Placer un point A sur la droite (d). Le cercle de diamètre [AB] recoupe la droite (d) en H.
Le triangle AMH, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle et la droite (MH) est perpendiculaire à (d).
Soit B le symétrique de H par rapport au centre O du cercle, deuxième intersection du cercle avec la droite (AO).
MHAB est un rectangle et la droite (MB) est la parallèle à (d) cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_10.g2w
Il est possible d'utiliser deux fois la construction de la médiatrice pour tracer la « perpendiculaire d'une perpendiculaire »
Soit une droite (d) et un point M extérieur.
Construire une médiatrice (MC), passant par le point M, d'un segment [AB] de (d), puis tracer une deuxième médiatrice d'un segment [DE] de la droite (MC).
Pour cela choisir un point A sur (d).
Un cercle (c1) de centre M, passant par le point A de la droite (d), recoupe cette droite en B.
Les cercles de centres A et B passant par M se recoupent en C. La droite (MC), médiatrice de [AB], est perpendiculaire à (d).
Le cercle (c1) coupe (MC) en D et E. Les cercles de centre D passant par E et de centre E passant par D se coupent en N et P.
La droite (NP), médiatrice de [DE], est la parallèle à (d) passant par M.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_4.g2w
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Construire un trapèze isocèle AMPB
Soit une droite (d), un point O sur (d) et un point M. Le cercle (c) de centre O passant par M coupe la droite (d) en A et B. Mesurer, avec le compas, la longueur AM et tracer le cercle de centre B et de rayon AM. Ce dernier cercle rencontre (c) en P situé dans le même demi-plan que le point M par rapport à (d). La droite (MP) est parallèle à (d).
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Construire un losange AMPB
Soit une droite (d), un point A sur (d) et un point M. Tracer trois cercles de même rayon AM. Un premier cercle (c1) de centre M, passant par un point A de (d). La droite (MP) est parallèle à (d).
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Soit une droite (d), un point A sur (d) et un point M.
Utiliser la configuration des cordes de cercles tangents :
Placer un point A sur la droite (d) et un point T sur le segment [AM].
Tracer deux cercles tangents en T passant par A pour l'un, par M pour l'autre.
Pour cela, placer un point O sur la médiatrice de [TM] et tracer le cercle (c) de centre O passant par M et T.
La droite (OT) coupe la médiatrice de [AT] en O’. Le cercle (c’) de centre O’ passant par T et A est tangent en T au cercle (c).
Ce cercle recoupe la droite (d) en B.
La droite (BT) recoupe le cercle (c) en P.
La droite (MP) est la parallèle à (d) passant par M.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_7.g2w
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
Il est démontré qu'il impossible avec uniquement une règle :
– de construire le milieu d'un segment,
– de mener par un point une parallèle à une droite.
Si on donne deux droites parallèles, alors il est possible de tracer de la parallèle à ces deux droites, passant par un point extérieur, seulement avec la règle.
Il est aussi possible de construire une parallèle avec une règle à bords parallèles.
Grundlagen der Geometrie
Construction avec règle et instrument (« Eichmass » permettant de reporter une longueur).
– Placer deux points A et B sur la droite (d)
– Tracer le milieu I de [AB].
– Placer un point C sur la demi-droite [AM).
– Mener deux droites (CI) et (BM) qui se coupent en K.
– La droite (AK) coupe (BC) en N.
– La droite (MN) est la parallèle à (d) cherchée.
Démonstration (au-delà du lycée)
Si les droites (AB) et (MN) étaient sécantes, elles le seraient en un point J tel que [A, B, I, J] = - 1 forment une division harmonique. Mais dans une relation de division harmonique, si le troisième point est le milieu des deux premiers, alors le quatrième point J est à l'infini.
Les droites sont donc parallèles.
Télécharger la figure GéoPlan para_regle_milieu.g2w
Réciproque : construire un milieu avec deux parallèles
Classe de quatrième
4.b. Recherche d'une « droite des milieux » avec GéoPlan
Placer deux points A et B sur la droite (d). Placer un point libre C sur la demi-droite [AM]. Déplacer le point C jusqu'à ce que le point N coïncide avec M. Remarque : déplacer un point sur l'écran pour qu'il coïncide avec un autre point fixe, avec pour seul moyen de contrôle la perception visuelle, peut suffire dans un premier temps. Nous pouvons conjecturer que la solution a lieu quand le point C est le symétrique de A par rapport à N. Avec GéoPlan, la touche S réalise une figure exacte par l'affection directe du point libre C au point O, symétrique de A par rapport à N.
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La parallèle comme «droite des milieux » d'un triangle Pour cet exercice, la justification géométrique ci-dessous, est accessible dès la classe de quatrième.
Placer deux points A et B sur la droite (d). Tracer le symétrique C de A par rapport à B. B est alors le milieu de [AC]. Sur la droite (AM), placer le symétrique O de A par rapport à M tel que MO = AM, La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée. En effet, (BM) et (MP) sont les droites des milieux du triangle OAC.
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4.c. La droite (d) comme « droite des milieux » d'un triangle
Accompagnement du programme de 3e - 2004 Placer deux points A et B sur la droite (d). Sur la droite (AM), placer le symétrique O de M par rapport à A, La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée. En effet, (AB) est la droite des milieux du triangle OMP : (MP) est parallèle à (AB).
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4.d. Configuration de Thalès Tracé d'une droite limite, avec une figure analytique, non constructible à la règle et au compas.
Placer deux points A et B sur la droite (d). Placer un point libre N sur le segment [AM] construire, sur [BM], le point P tel que BP/BM = AN/AM. Par Thalès, la droite (NP) est parallèle à (d). Déplacer le point N vers M. La construction n'est pas réalisée lorsque N est en M, mais N peut être aussi proche que l'on veut de M et la droite (NP) a pour position limite la parallèle à (d) en M.
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Approximations successives de droites des milieux - Création itérative avec GéoPlan À la règle et au compas avec GéoPlan, il possible de réaliser la construction ci-dessous, à droite, de façon itérative par approximations successives de droites des milieux (x = Construire une première droite des milieux d1 = (A1B1) en utilisant deux points A0 et B0 de la droite (d) et le point M donné.
Pour la création itérative, nommer A0 et B0 les points de (d), A1 et B1 les milieux de [ A0M] et [B0M], d1 la droite des milieux (A1B1). Par appui de la touche S, GéoPlan reprend les deux milieux précédents et recommence l'application « droite des milieux ». Toutes les droites successives, ainsi obtenues, sont parallèles entre elles et parallèles à la droite (d) donnée. À chaque étape, on se rapproche Commande GéoPlan
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Droites des milieux des milieux
Droites des milieux d1 à d7. |
Position limite
En 7 itérations, pour x =127/128, la droite d7 semble passer par M. |
Avec une règle non graduée, la parallèle est constructible en utilisant la possibilité de tracer des milieux de segments.
Pour cela :
– On place deux points distincts A et B sur la droite (d),
– on trace les milieux I de [AB], J de [AM] et K de [BM],
– on trace le milieu L de [KM],
– on trace les droites (IK) et (JL) qui se coupent en P,
– on trace la droite (MP) qui est la parallèle à la droite (d) passant par le point M, construite avec droites et milieux.
La démonstration géométrique est aisée pour les élèves de troisième ou de quatrième.
En effet, il s'agit d'utiliser des propriétés du parallélogramme et de la « droite des milieux ».
Le miroir des maths - Dr. Ruben Rodriguez Herrera
Télécharger la figure GéoPlan parallele_11.g2w
À partir d'un point A de la droite
(D), tracer un cercle (c) de rayon d. Ce cercle coupe la droite en B et C.
Utiliser la méthode du paragraphe 2 pour construire la médiatrice de [BC] grâce aux cercles de centre B passant par C et de centre C passant par B. Ces deux cercles se coupent en M et N. La droite (MN) est perpendiculaire en A à (D).
Soit D un des points où le cercle (c) coupe (MN) ; point situé à une distance d de A.
Les cercles de rayon d, passant par A, centrés en B et en D se coupent en E, quatrième sommet du carré DABE de côté d.
La droite (DE) est parallèle à la droite (D) et est située à la distance d.
Télécharger la figure GéoPlan parallele_3.g2w
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Excellente manière que de tracer les perpendiculaires avec un compas, c'est même la seule méthode réellement juste. |
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