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Constructions par pliage

Exercices réalisés avec GéoPlan.

1. Pliage d'une feuille (ou origami)

Cet art, originaire de la Chine, regroupe les techniques de pliage de papier. Le mot origami vient du japonais.

Le pliage d'une feuille permet d'obtenir (sans autre instrument) :

• la perpendiculaire à une droite,
• la médiatrice d'un segment,
• le milieu d'un segment,
• les bissectrices d'un angle,
• un angle de 60° ou de 30°,
• la trisection de l'angle.

Perpendiculaire à une droite

Plier une feuille le long de la droite, puis plier une seconde fois en superposant les deux bords du pli précédent. On a fabriqué un angle droit.
Si on déplie la feuille, les deux plis forment deux droites perpendiculaires.

Médiatrice et milieu d'un segment

Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].
En réalisant un second pli passant par A et B, on obtient deux plis qui se coupent au milieu de [AB].

Bissectrice de deux droites

Deux droites (d) et (d’) étant inscrites sur une feuille, amener (d) en coïncidence avec (d’), la trace du pli donne la bissectrice.
Si les deux droites sont concourantes en un point I situé sur la feuille, il y a deux façons de faire le pli permettant d'obtenir les deux bissectrices.

Voir : le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par ce point inaccessible.

Triangle équilatéral

Triangle équilatéral par pliage d'une feuille rectangulaire,
triangle équilatéral à partir d'un cercle.

Pentagone

Construction d'un pentagone régulier : en réalisant un nœud avec une bande ; en pliant une feuille.

Hexagone

Construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

Trisection de l'angle

Sciences amusantes

On ne peut pas plier, sur elle-même, une feuille de papier (A4 - 80 grammes) plus de 7 à 8 fois.
Au 7^e pliage, on plie 128 feuilles, au 8^e pliage, on plie 256 feuilles, l'arc de cercle formé par le pli devient alors trop grand.

2. Partage d'une feuille en trois parties égales

Voir aussi le partage d'un segment en trois

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3. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux

Classe de quatrième

Plier un triangle ABC suivant la droite des milieux (B’C’).

Pour cela, ayant découpé le triangle ABC dans une feuille de papier, rabattre le point A en H, pied de la hauteur issue de A.
Il est possible de trouver la hauteur par pliage en faisant glisser le point C sur le segment [BC], en superposant les deux bords et en marquant le pli lorsque celui-ci passe par A.

Rabattre ensuite les points B ou C en H. On obtient un rectangle.

Dans ce rectangle on retrouve la somme des angles du triangle égale à l'angle plat IHJ, soit 180°.

L'aire du triangle est le double de l'aire de ce rectangle d'où la formule :
Aire(ABC) = 2 B’C’ × B’I = 2 × BC × AH = base × hauteur.

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 Voir : triangle au collège ; aire du triangle

4. Triangle équilatéral

a. Construction par pliage à partir d'un cercle

Classe de 3^e

Dessiner un cercle et tracer deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [DE]. Rabattre le point A’ sur O. Le pli rencontre [AA’] en H le cercle en B et C. Quelle est la nature du triangle ABC ?

Solution

Les triangles OBA’ et OCA’, ayant leurs trois côtés de longueur égale au rayon du cercle, sont équilatéraux ; l'angle au centre BOC mesure 120°. L'angle inscrit BAC mesure 60°. ABC est un triangle équilatéral.

Longueur du côté et aire

Si R est le rayon du cercle circonscrit,
la hauteur h du triangle est AH = AO + OH = R.

Dans le triangle rectangle ABH, le cosinus de l'angle BÂH de 30° permet de calculer h = a,

en simplifiant R = a,
on trouve que a, longueur du côté BC, est égal à R.
L'aire du triangle est AH × BC = 3R².

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Paragraphe extrait de la page triangle équilatéral

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Construction d'un triangle équilatéral par pliage d'une bande rectangulaire

d. Construction d'un triangle équilatéral dans une feuille carrée

Plier une feuille carrée ABB’A’ de côté a = AB suivant la médiatrice (A₁B₁) du carré.

Pour la construction du triangle équilatéral de côté [AB] plier l'angle en A pour amener le coin A’, sur la médiatrice (A₁B₁), en C. Le coin AA’D se trouve alors en ACD.

C est équidistant de A et B, soit AC = BC = a.
Comme AB = a. Les trois côtés sont de même longueur.
Le triangle ABC est équilatéral.

Avec GéoPlan, construire le point C intersection de [A₁B₁] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [A’C] coupe (A’B’) en D.

Remarque : cette construction permet de construire des angles de 60°, 30° et 15° :
BÂC = 60°, A’ÂC = 30°, DÂC = 15°.

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5. Constructions du pentagone par pliage
a. Nœud avec une bande

Cet ingénieux procédé de construction du pentagone régulier se trouve indiqué sans démonstration dans un Ouvrage d'Urbano d'Aviso, publié à Rome, en 1682.

Édouard Lucas - Mathématicien français 1842-1891
L'arithmétique amusante - Adamant Media Corporation

Lorsque l'on fait un nœud avec une bande rectangulaire, si l'on aplatit ce nœud en marquant les plis, la silhouette qui apparaît est celle d'un pentagone.

La construction est exacte, mais un peu difficile.

Bibliographie : Salles-Le Gac Danielle et Herrera Ruben Rodriguez
Nouvelles pratiques de la géométrie - IREM Caen - 2008

Forum ilemaths :
Je connaissais la construction avec le nœud ou le pliage d'une bande de papier, c'est comme cela que l'on fait des étoiles en pliant toute la bande plusieurs fois et en écrasant ensuite un peu les côtés.

J'ai pris deux bandes de papier mises bout à bout de 1 cm de large sur 29,7 cm de long soit une longueur totale de 59,4 cm.
C'est plus joli avec du papier de Noël !
A+, kiKo21.

Application : construction du dodécaèdre par pliage de bandes de papier

b. Construction approchée du pentagone par pliage d'une feuille A4

AbId est une feuille au format A4 (ou An). Ab = Ib .

[AI] étant une diagonale, replier I sur A. Le pli est le segment [ef]. Le point b se place en b’. Plier ensuite [b’e] sur la diagonale [AI] en plaçant b’ en b₁. De même, plier [df] sur la diagonale [AI] en plaçant d en b₁.

ABCD est pentagone presque régulier tel que tan IÂB = b’I/Ib’ = ce qui correspond à un angle d'environ 54,8° supérieur aux 54° degrés attendus.

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6. Construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

Ayant découpé un triangle équilatéral PQR dans une feuille de papier, amener par pliage un sommet sur l'autre pour marquer une médiatrice (par exemple, plier P sur R pour marquer QJ),
déplier, puis un deuxième pliage permet de marquer une autre médiatrice.

Les médiatrices se coupent au centre O du triangle.

Il est alors possible de réaliser un hexagone régulier en ramenant les trois sommets au centre du triangle et en pliant pour marquer les côtés [BC], [DE] et [FA].

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Voir : tracer un hexagone régulier

Constructions au compas	GéoPlan en 3e Théorème de Thalès	Démonstrations géométriques de Pythagore	Exercices de géométrie plane au collège	Triangle équilatéral	GéoPlan au collège
Sommaire 1. Pliage d'une feuille 2. Partage d'une feuille en trois parties égales 3. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux 4. Triangle équilatéral 5. Pentagone 6. Hexagone			« Descartes et les Mathématiques » Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr   Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.
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			Patricia Wantiez : Comment exploiter le pliage à la fin du primaire et au début du secondaire ?

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