René DescartesDescartes et les Mathématiques

Problèmes de construction « à la règle et au compas »

Cycle III - Collège

Exercices de constructions géométriques au collège : triangles, carrés, trapèzes, cercles, tangentes…

Sommaire

Cycle III

    Construire un triangle connaissant les trois côtés, voir géométrie en cinquième
    Construire un carré connaissant deux sommets (consécutifs ou opposés), voir carré au collège

1. Dessiner un parallélogramme connaissant deux côtés non parallèles et d'une diagonale.
2. Dessiner un rectangle connaissant un côté et de la diagonale

6e - 5e

3. Dessiner un trapèze connaissant les quatre côtés
4. Dessiner un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres

3e Utilisation d'arcs capables

5. Dessiner un triangle connaissant un angle, la somme des côtés adjacents et le côté opposé

3e Problèmes de contact

6. Dessiner un cercle tangent à trois cercles de même rayon
7. Dessiner un cercle tangent à deux cercles
8. Dessiner un cercle tangent à deux droites
9. Dessiner un cercle tangent à une droite et à un cercle
10. Dessiner les tangentes à deux cercles (sécants ou non)
11. Dessiner un cercle tangent à trois droites
      a. les trois droites sont deux à deux sécantes
      b. deux des trois droites sont parallèles

Construire un triangle connaissant deux sommets et le centre de gravité
Construire un cercle passant par trois points

Faire de la
géométrie dynamique

Construction à la
règle et au compas

Constructions géométriques

Construction à l'équerre

Calcul d'aires

Pentagone
régulier

1. Parallélogramme

Construire un parallélogramme ABCD connaissant les longueurs AB = a, BC = b de deux côtés consécutifs et la longueur AC = d  d'une diagonale

Tracer un parallélogramme avec une diagonale.

probleme de construction d'un parallelogramme connaissant les longueurs des cotes et la diagonale - copyright Patrice Debart 2003

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme.g2w

Tracer un triangle ABC et compléter le parallélogramme avec le quatrième point D.

Placer un point libre A,
sur le cercle de centre A et de rayon a, placer un point libre B.

Tracer les cercles (c1) de centre A, de rayon d et (c2) de centre B de rayon b.

Si les cercles (c1) et (c2) sont sécants en C et C’, choisir C.

Compléter avec le point D : ici en continuant avec le compas, avec un des points d'intersection des cercles de centres A et C ; de rayons b et a.
Il est aussi possible d'utiliser la symétrie par rapport au milieu de [AC] ou encore la translation de vecteur vect(BA).

2. Construire un rectangle

Comment tracer un rectangle avec un compas

probleme : construire un rectangle avec un compas - copyright Patrice Debart 2003

Dessiner un rectangle ABCD connaissant la longueur AB = a d'un côté et de la diagonale AC = c.

Indications

Placer un point A sur une droite (d),
Le cercle de centre A, de rayon a, rencontre (d) en B et B’.

Si c > a les cercles de centre B et B’ et de rayon c permette de Tracer la médiatrice (DD’) de [BB’].

Lorsque le point D existe, l'angle BÂD est droit.

Compléter le rectangle par le point C à l'aide, par exemple, de la translation de vecteur vect(AB).

g2w Télécharger la figure GéoPlan rectangle.g2w

3. Construction d'un trapèze

Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés

probleme : construire un trapeze connaissant les 4 cotes - copyright Patrice Debart 2003

g2w Télécharger la figure GéoPlan trapeze.g2w

AD = a = 2,5 ; D est sur le cercle c1 de centre A et de rayon a.

Construction d'un trapèze de bases b et b’ et de côtés a et c :
AB = b = 6.
BC = c = 3,5 ; C est sur le cercle c2 de centre B et de rayon c.
CD = b’ = 3 ; placer le point E sur [AB] tel que AE = b’.
Le point C est lui aussi sur le cercle (c3) de centre E et de rayon a.
C est donc un des points d'intersection de (c2) et de (c3).
D est le quatrième point du parallélogramme AECD, image du point C par la translation de vecteur vect(EA).

4. Construire un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres

Construction de triangle

probleme de construction : triangle - copyright Patrice Debart 2003

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_somme_cotes.g2w

Tracer un triangle ABC connaissant l'angle BCA, la longueur c du côté AB et la somme d des côtés AC + BC.

  – l'angle BCA est donné par BAx. Avec GéoPlan, déplacer le « point noté x » pour modifier cet angle ;
  – la longueur c du côté adjacent AB est donnée : le point B variable sur la droite horizontale passant par A permet de faire varier cette longueur AB ;
  – la somme des côtés AC + BC est donnée par d, d > c. Avec GéoPlan, déplacer le « point d » pour modifier ce nombre.

Le cercle de centre A, de rayon d, rencontre la demi-droite [Ax) en C’.
La médiatrice de [BC’] rencontre [Ax) en C.
Le triangle ABC est solution

Voir: construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés
Voir aussi : construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme r des deux autres côtés de l'angle droit

5. Construire un triangle connaissant un angle, la somme des côtés adjacents et le côté opposé

Tracer un triangle ABC tel que :
  – le côté AB soit donné : le point B variable sur la droite horizontale passant par A permet de modifier la longueur AB ;
  – la somme des côtés AC + BC soit donnée par d, avec GéoPlan déplacer le «point d» pour faire varier ce nombre ;
  – et l'angle ACB soit égal à l'angle donné xÎy où (Ix) est parallèle à (AB). Avec GéoPlan, déplacer le « point y » pour modifier cet angle.

Le point C se trouve sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle égal à xÎy.
Le centre J de cet arc se trouve à l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la perpendiculaire à (Iy) passant par A.
En effet, l'angle AOJ est égal à xÎy, c'est la moitié de l'angle au centre AJB.

Le cercle de centre A et de rayon d recoupe la droite (AC) en C’.

La somme AC + BC est égale à AC1 avec le point C1 sur la droite (AC) tel que CC1 = BC.
Le triangle BCC1 est isocèle ; les angles CBC1 et BC1C sont égaux,
la somme des angles est CBC1 + BC1C + C1CB = 180°, donc 2 BC1C + C1CB = 180°.
De l'angle plat ACB + BCC1 = 180° on en déduit que ACB = 2 BC1C = 2 AC1B = xÎy.

C1 est sur l'arc capable de centre M qui « voit » [AB] sous un angle égal à xÎy/2 ;
en effet : le point d'intersection M de la médiatrice de [AB] avec le cercle de centre J correspond à un angle inscrit AMB, égal à xÎy.
AMB est l'angle au centre associé à l'angle inscrit AC1B. La médiatrice de [BC1] passe par M.

Une solution se trouve lorsque les points C’ et C1 sont confondus à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A et B.
À partir d'une solution, on trouve les trois autres par symétries par rapport à la droite (AB) ou à la médiatrice de [AB].

probleme de construction - triangle - copyright Patrice Debart 2003
Déplacer C pour une recherche avec GéoPlan.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_somme_cotes2.g2w

probleme de construction - triangle - copyright Patrice Debart 2003
Une des quatre solutions.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_somme_cotes3.g2w

Technique GéoPlan

Pour tracer les deux solutions, correspondant aux points d'intersection C1 ou C2, des deux cercles utiliser des commandes d'affectations directes.

Réaliser la figure avec un point libre C’ :
Par simple appui sur la touche 1 l'affectation directe permet de donner la valeur de l'objet C1 à l'objet libre C’ (point de même genre).
Cette affectation est provisoire puisque la variable C’ reste libre.
Par appui sur la touche 2 une autre affectation directe permet de donner la valeur du point C2 au point libre C’.

Problèmes de contact

6. Construire un cercle tangent à trois cercles de même rayon

Constructions avec des cercles

probleme de construction - trois cercles d'Apollonius - copyright Patrice Debart 2003Cas particulier du problème CCC des trois cercles d'Apollonius

Soit trois cercles c1(O1, r) ; c2(O2, r) et c3(O3, r) de même rayon.

Tracer le point O intersection des médiatrices du triangle O1O2O3.
Le cercle (c4) de centre O circonscrit au triangle O1O2O3 a pour rayon OO1 = r4.

Le cercle de centre O et de rayon la somme r + r4 est tangent à ces trois cercles et les contient tous les trois.

Si O est à l'extérieur des trois cercles, alors r4 > r. Le cercle de centre O et de rayon la différence r4r est tangent à ces trois cercles, à l'extérieur de tous les trois.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tg_3_cercle.g2w

7. Construire un cercle de rayon donné, tangent à deux cercles donnés

Soit deux cercles c1(O1, r1) et c2(O2, r2).

Un cercle (c) de rayon r est tangent extérieurement à (c1) si son centre est situé à une distance r + r1 de O1,
il est tangent intérieurement à (c1) et (c) est à l'intérieur de (c1) si r1 > r et si son centre est situé à une distance r1 − r de O1,
enfin (c1) est à l'intérieur de (c) si r > r1 et le centre de (c) est situé à une distance r − r1 de O1.

De même, le cercle (c) est tangent à (c2) si son centre est situé à une distance de O2 égale selon les cas à r + r2, r − r2 ou r2 − r.
Lorsque le problème admet une solution (c), le cercle (c’) symétrique par rapport à la ligne des centres (O1O2) s'en déduit immédiatement.
On trouvera 0, 2, 4, 6 ou 8 solutions illustrées par les exemples ci-dessous :

probleme de construction - tracer un cercle de rayon donne, tangent exterieurement a deux cercles

(c) tangent extérieurement à (c1) et (c2). Son centre A ou A’ est à l'intersection des cercles de centre O1, de rayon r + r1 et de centre O2, de rayon r + r2.

probleme de construction - tracer un cercle de rayon donne, tangent interieurement a 2 cercles

(c) tangent intérieurement à (c1) et (c2). Son centre B ou B’ est ici à l'intersection du cercle de centre O1, de rayon r − r1 et du cercle de centre O2, de rayon r − r2.

probleme de construction - dessiner un cercle de rayon donne, tangent a deux cercles

(c) de centre C, tangent intérieurement à (c1) et extérieurement à (c2).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tg_2_cercle.g2w
Cercle passant par un point tangent à deux cercles : voir problème de contact PCC

probleme de construction - un cercle de rayon donne, tangent a deux cercles

(c) de centre D tangent extérieurement à (c1) et intérieurement à (c2).

8. Construire un cercle de rayon donné, tangent à deux droites données

probleme de construction - quatre cercles de rayon donne tangente a deux droites

Cercles de rayon donné, tangents à deux droites.

On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes, tracer les cercles de rayon donné, tangents à ces deux droites.

Indications

Le rayon r étant donné, construire les droites parallèles à (d1 ) et (d2 ) situées à une distance r de ces deux droites.

Les parallèles construites forment un losange de sommets O, O1, O2, O3.

Les quatre cercles de rayon r, centrés aux sommets du losange, sont les solutions du problème.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_tg_2_droites.g2w

9. Construire un cercle de rayon donné, tangent à une droite et à un cercle donnés

On donne une droite (d) et un cercle (Γ), construire les cercles de rayon donné, tangents à cette droite et à ce cercle.

Remarque

Le cercle (Γ) ayant pour centre I et pour rayon R, un cercle (c) de centre O et de rayon r est tangent extérieurement à (Γ) si IO = R + r, le point O est sur le cercle (Γ1) de centre I et de rayon R + r.

Si R > r, le cercle (c) est tangent intérieurement à (Γ) si IO = R − r, le point O est sur le cercle (Γ2) de centre I et de rayon R − r.

Indications

Le rayon r étant donné, tracer les deux droites parallèles à (d), situées à une distance r de cette droite.

Construire les points d'intersection de ces parallèles avec les cercles (Γ1) et (Γ2) de centre I et de rayons R + r et R − r.

Commandes GéoPlan

Touche E : afficher/effacer les cercles tangents Extérieurement à (Γ),
touche I : afficher/effacer les cercles tangents Intérieurement.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_r_tg_dr_ce.g2w

Cercles tangents extérieurement à (Γ) :

probleme de construction - 4 cercles de rayon donne tangents exterieurement a une droite et a un cercle - copyright Patrice Debart 2003

Tracer le cercle (Γ1) de centre I et de rayon R + r.

Les points d'intersection de (Γ1) et des parallèles, lorsqu'ils existent, sont les centres de cercles solutions.

Cercles tangents intérieurement à (Γ) :

probleme de construction - 4 cercles de rayon donne tangent interieurement a une droite et a un cercle - copyright Patrice Debart 2003

Si R > r, il est possible de tracer le cercle (Γ2) de centre I et de rayon R − r.

Les points d'intersection de (Γ2) et des parallèles, lorsqu'ils existent, sont les centres d'autres cercles solutions.

Résolution complète

probleme de construction - 6 cercles de rayon donne tangents a une droite et a un cercle - copyright Patrice Debart 2003

Au maximum huit solutions.

10. Tracer les tangentes communes à deux cercles (sécants ou non)

10.a. Cercles d'un même côté des tangentes

Soit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) avec r < r’
le petit cercle (c) n'est pas à l'intérieur de (c’) : r + OO’ > r’.

probleme de construction - tangentes communes a deux cercles - copyright Patrice Debart 2003

g2w Télécharger la figure GéoPlan homo_cercle.g2w

10.b. Quatre tangentes pour deux cercles non sécants

probleme de construction - 4 tangentes communes a deux cercles - copyright Patrice Debart 2003

Commande GéoPlan
Taper N pour visualiser le point J et éventuellement
les deux Nouvelles tangentes.

Construire le point I, intersection de deux tangentes, situé sur la ligne des centres (OO’).
Pour le tracer il suffit, étant donné un point M variable sur (c), de trouver un point M1 de (c’) tel que le rayon OM1 soit parallèle à OM et de même sens. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM1).

Par I, on peut mener deux tangentes communes aux deux cercles. Pour les tracer avec précision, on trouve les points de contact comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO] ou comme intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [IO’].

De même, si les cercles (c) et (c’) sont extérieurs l'un à l'autre (r + r’ < OO’), on trouve un deuxième point J en traçant le point M2 de (c’), tel que le rayon OM2 soit parallèle à OM et de sens contraire. L'intersection J des droites (OO’) et (MM2) est alors le point de concours de deux autres tangentes. Tracer les points de contact de ces tangentes, par exemple comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [OJ].

Paragraphe adapté pour le collège de la page homothéties
Voir aussi les constructions avec deux cercles auxiliaires : le cercle au collège

11. Construire un cercle tangent à trois droites

11.a. Cercle tangent à trois droites sécantes deux à deux, non concourantes

Classe de quatrième
Droites remarquables d'un triangle
Bissectrices intérieures

Les trois bissectrices intérieures d'un triangle ABC sont concourantes en I.
Le point I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, tangent aux trois côtés de ce triangle.

Construction de géométrie dynamique

Il existe des commandes pour tracer la bissectrice d'un angle, le cercle inscrit et le centre de ce cercle.

Il est aussi possible de réaliser la « construction à la règle et au compas » comme suit :

probleme de construction - une bissectrice d'un triangle - copyright Patrice Debart 2003

Tracer la bissectrice de l'angle BAC en utilisant la configuration du losange :
Placer un point M sur le côté (AB).
Tracer le cercle de centre A passant par M qui coupe le deuxième côté (AC) en N.
Tracer les deux cercles de centre M et N passant par A.
Ces deux cercles se recoupent en P.
La droite (AP) est la bissectrice cherchée.

Commande GéoPlan : touche A.

probleme de construction - deuxieme bissectrice, en B du triangle ABC - copyright Patrice Debart 2003

De même, tracer une deuxième bissectrice, celle de l'angle ABC.

La bissectrice (AS) coupe le côté [AC] en B’.

Commande : touche B.

probleme de construction - troiseme bissectrice du triangle - copyright Patrice Debart 2003

Ces deux bissectrices se coupent en I.
La droite (CI) est la troisième bissectrice.

Commande : touche C.

probleme de construction - cercle tangent a trois droites - copyright Patrice Debart 2003

Par projection orthogonale du point I, par exemple sur le côté (AB),
on obtient un point C1 qui permet de tracer le cercle inscrit.

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

Commande : touche D.

Scénario GéoPlan : taper C, A, A, B, B, C, D :

Charger la figure des trois bissectrices, taper C pour les effacer et retrouver uniquement le triangle ABC,
taper A pour tracer la bissectrice en A, retaper A pour l'effacer,
taper B pour tracer la bissectrice en B, retaper B pour l'effacer,
taper C pour retrouver les trois bissectrices,
terminer par D pour obtenir le cercle inscrit.

Problème de contact DDD : au lycée, on construira aussi les trois cercles exinscrits du triangle avec les bissectrices extérieures,
voir : géométrie du triangle

g2w Télécharger la figure GéoPlan bissectr.g2w

11.b. Cercle tangent à trois droites dont deux sont parallèles

probleme de construction - cercle tangent a trois droites - copyright Patrice Debart 2003 Le rayon r du cercle est égal à la moitié de la distance entre les deux parallèles (d1) et (d2).

Le centre du cercle se trouve sur la droite équidistante des deux parallèles et sur une des droites situées à une distance r de la sécante (d3).

Il y a donc deux cercles solutions, centrés en O et O’.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_tg_3droites.g2w

Bibliographie

Boule François - Questions sur la géométrie - Nathan pédagogie - 2001

Comment enseigner la géométrie de l'École au lycée ?
À partir de thèmes souvent originaux, François Boule présente une réflexion pédagogique sur l'enseignement de la géométrie.
Cette façon d'apporter des éléments de réponses qui s'appuient sur une pratique de la géométrie dans des contextes très variés, ne peut qu'enrichir la réflexion, éclairer l'expérience de chaque enseignant.
L'auteur, dans la présentation de son ouvrage, dit ce qu'il n'a pas voulu faire : manuel, traité de géométrie, ouvrage de didactique. Ce n'est certes pas un manuel. Ce n'est pas non plus un traité de géométrie au sens classique du terme.
François Boule se place sur un créneau d'enseignement qui n'est pas courant : réunir en termes d'objectifs, de niveau d'enseignement, de contenus concernés, l'École et le Collège, c'est-à-dire deux entités institutionnelles aux cultures, aux logiques, aux objectifs, aux formes pédagogiques, aux enseignants distincts, pour ne pas dire séparés par une cloison assez étanche. Par la force des choses, ne serait-ce que pour montrer quelles perspectives s'ouvrent à la fin du collège, on trouvera aussi quelques incursions vers la géométrie du lycée.

Après une cinquantaine de pages consacrées à une vision un peu globale de la géométrie et des finalités de son enseignement en relation avec l'organisation de l'espace et les problèmes de perception et de reconnaissance des formes, voici la liste des titres de chapitre :

  – Circuits et labyrinthes
  – Puzzles
  – Pliages
  – Figures polygonales
  – Pavages
  – Descriptions et constructions

  – Construction de la mesure
  – Aires
  – Cercle et disque
  – Répertoire de configurations
  – Le théorème de Pythagore
  – Le théorème de Thalès

  – Les objets de l'espace
  – Du plan à l'espace
  – De l'espace au plan
  – Calculs et fonctions
  – Perspective

François Boule n'a pas « montré » la géométrie à partir d'objets (points, droites, cercles…) et de règles (axiomes, théorèmes…) élémentaires, mais s'intéresse à des objets géométriques familiers, objets un peu hétéroclites, mais à qui la vie quotidienne, les jeux, nos habitudes culturelles et scolaires ont conféré le statut d'objets familiers. Pour justifier ce choix, François Boule se place sous le parrainage de CLAIRAULT : « On débute toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d'axiomes et de principes préliminaires qui ne semblent promettre rien que du sec au lecteur. […] Il m'a paru beaucoup plus à propos d'occuper continuellement mes lecteurs à résoudre des problèmes. […] La mesure des terrains m'a paru ce qu'il y avait de plus propre à faire naître les premières propositions de la Géométrie. » (in préface de sa Géométrie, 1741). Et ces objets de natures très différentes qui président à chaque chapitre, sont le fondement d'activités géométriques diversifiées et intéressantes tant scientifiquement que didactiquement (nécessité de faire, d'utiliser des figures, nécessité de mesures exactes, de mesures approximatives, intérêt de comparer, de plier, de découper, d'agrandir… et toujours de justifier, de démontrer).

logo APMNotes : cet ouvrage est l'objet d'une recension de Daniel Reisz
dans la rubrique « matériaux pour une documentation » du Bulletin de l'APMEP no 435.

 

Constructions au compas

Constructions géométriques

Parallélogramme

Exercices de géométrie au collège

Le triangle équilatéral

Me contacter

Table de matières

Cycle III

1. Tracer un parallélogramme connaissant deux côtés non parallèles et d'une diagonale
2. Tracer un rectangle connaissant la longueur d'un côté et de la diagonale

6e - 5e

3. Tracer un trapèze connaissant les quatre côtés
4. Tracer un triangle connaissant un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres

3e Utilisation d'arcs capables

5. Tracer un triangle connaissant un angle, la somme des côtés adjacents et le côté opposé

3e Problèmes de contact

6. Tracer un cercle tangent à trois cercles de même rayon
7. Tracer un cercle tangent à deux cercles
8. Tracer un cercle tangent à deux droites
9. Tracer un cercle tangent à une droite et à un cercle
10. Tracer les tangentes communes à deux cercles (sécants ou non)
11. Tracer un cercle tangent à trois droites
      a. les trois droites sont deux à deux sécantes
      b. deux des trois droites sont parallèles

La Géométrie au collège

4e - 3e :
Théorème de Thalès

Démonstrations géométriques de Pythagore

Résolution de triangles rectangles

Résolution de triangles au lycée

Problèmes de contact

Bug recherche Google
comment tracer les hauteurs d'un triangle avec un compas
 - comment tracer les médiatrices d'un triangle avec un compas
 - comment tracer une médiatrice d'un triangle rectangle
  - tracer une droite parallèle au compas

Téléchargement

doc Télécharger construc pobleme.doc : ce document au format « .doc »

pdf Télécharger construc_probleme.pdf : ce document au format « .pdf »

Moteur de recherche

Expressions clés : problème de construction, construction géométrique.

Logo Google

 Statistiques Orange collegee visite des pages « collège ».

Page no 58, réalisée le 6/12/2003, mise à jour le 26/3/2008.