Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesConstructions géométriques au collège : triangles, carrés, trapèzes, cercles, tangentes…
Construire un parallélogramme ABCD connaissant les longueurs AB = a, BC = b de deux côtés consécutifs et la longueur AC = d d'une diagonale
Construire un triangle ABC et compléter le parallélogramme avec le quatrième point D.
Placer un point libre A,
sur le cercle de centre A et de rayon a, placer un point libre B.
Tracer les cercles (c1) de centre A, de rayon d et (c2) de centre B de rayon b.
Si les cercles (c1) et (c2) sont sécants en C et C’, choisir C.
Compléter avec le point D : ici en continuant avec le compas, avec un des points d'intersection des cercles de centres A et C ; de rayons b et a.
Il est aussi possible d'utiliser la symétrie par rapport au milieu de [AC] ou encore la translation de vecteur 
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Tracer un rectangle ABCD connaissant la longueur AB = a d'un côté et de la diagonale AC = c.
Indications
Placer un point A sur une droite (d),
Le cercle de centre A, de rayon a, rencontre (d) en B et B’.
Si c > a les cercles de centre B et B’ et de rayon c permette de Tracer la médiatrice (DD’) de [BB’].
Lorsque le point D existe, l'angle BÂD est droit.
Compléter le rectangle par le point C à l'aide, par exemple, de la translation de vecteur 
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Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés
AD = a = 2,5 ; D est sur le cercle c1 de centre A et de rayon a.
Construction d'un trapèze de bases b et b’ et de côtés a et c :
AB = b = 6.
BC = c = 3,5 ; C est sur le cercle c2 de centre B et de rayon c.
CD = b’ = 3 ; placer le point E sur [AB] tel que AE = b’.
Le point C est lui aussi sur le cercle (c3) de centre E et de rayon a.
C est donc un des points d'intersection de (c2) et de (c3).
D est le quatrième point du parallélogramme AECD, image du point C par la translation de vecteur 
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Trouver un triangle ABC connaissant l'angle BCA, la longueur c du côté AB et la somme d des côtés AC + BC.
– l'angle BCA est donné par BAx. Avec GéoPlan, déplacer le « point noté x » pour modifier cet angle ;
– la longueur c du côté adjacent AB est donnée : le point B variable sur la droite horizontale passant par A permet de faire varier cette longueur AB ;
– la somme des côtés AC + BC est donnée par d, d > c. Avec GéoPlan, déplacer le « point d » pour modifier ce nombre.
Le cercle de centre A, de rayon d, rencontre la demi-droite [Ax) en C’.
La médiatrice de [BC’] rencontre [Ax) en C.
Le triangle ABC est solution
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Voir aussi : construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés
Trouver un triangle ABC tel que :
– le côté AB soit donné : le point B variable sur la droite horizontale passant par A permet de modifier la longueur AB ;
– la somme des côtés AC + BC soit donnée par d, avec GéoPlan déplacer le «point d» pour faire varier ce nombre ;
– et l'angle ACB soit égal à l'angle donné xÎy où (Ix) est parallèle à (AB). Avec GéoPlan, déplacer le « point y » pour modifier cet angle.
Le point C se trouve sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle égal à xÎy.
Le centre J de cet arc se trouve à l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la perpendiculaire à (Iy) passant par A. En effet, l'angle AOJ est égal à xÎy, c'est la moitié de l'angle au centre AJB.
Le cercle de centre A et de rayon d recoupe la droite (AC) en C’.
La somme AC + BC est égale à AC1 avec le point C1 sur la droite (AC) tel que CC1 = BC. Le triangle BCC1 est isocèle ; les angles CBC1 et BC1C sont égaux, la somme des angles est CBC1 + BC1C + C1CB = 180°, donc 2 BC1C + C1CB = 180°.
De l'angle plat ACB + BCC1 = 180° on en déduit que ACB = 2 BC1C = 2 AC1B = xÎy.
C1 est sur l'arc capable de centre M qui « voit » [AB] sous un angle égal à xÎy/2 ;
en effet :
le point d'intersection M de la médiatrice de [AB] avec le cercle de centre J correspond à un angle inscrit AMB, égal à xÎy.
AMB est l'angle au centre associé à l'angle inscrit AC1B. La médiatrice de [BC1] passe par M.
Une solution se trouve lorsque les points C’ et C1 sont confondus à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A et B.
À partir d'une solution, on trouve les trois autres par symétries par rapport à la droite (AB) ou à la médiatrice de [AB].
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Technique GéoPlan
Pour tracer les deux solutions, correspondant aux points d'intersection C1 ou C2, des deux cercles utiliser des commandes d'affectations directes.
Réaliser la figure avec un point libre C’ :
Par simple appui sur la touche 1 l'affectation directe permet de donner la valeur de l'objet C1 à l'objet libre C’ (point de même genre).
Cette affectation est provisoire puisque la variable C’ reste libre.
Par appui sur la touche 2 une autre affectation directe permet de donner la valeur du point C2 au point libre C’.
Cas particulier du problème CCC des trois cercles d'Apollonius
Soit trois cercles c1(O1, r) ; c2(O2, r) et c3(O3, r) de même rayon.
Tracer le point O intersection des médiatrices du triangle O1O2O3.
Le cercle (c4) de centre O circonscrit au triangle O1O2O3 a pour rayon OO1 = r4.
Le cercle de centre O et de rayon la somme r + r4 est tangent à ces trois cercles et les contient tous les trois.
Si O est à l'extérieur des trois cercles, alors r4 > r. Le cercle de centre O et de rayon la différence r4 − r est tangent à ces trois cercles, à l'extérieur de tous les trois.
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Soit deux cercles c1(O1, r1) et c2(O2, r2).
Un cercle (c) de rayon r est tangent extérieurement à (c1) si son centre est situé à une distance r + r1 de O1,
il est tangent intérieurement à (c1) et (c) est à l'intérieur de (c1) si r1 > r et si son centre est situé à une distance r1 − r de O1,
enfin (c1) est à l'intérieur de (c) si r > r1 et le centre de (c) est situé à une distance r − r1 de O1.
De même, le cercle (c) est tangent à (c2) si son centre est situé à une distance de O2 égale selon les cas à r + r2, r − r2 ou r2 − r.
Lorsque le problème admet une solution (c), le cercle (c’) symétrique par rapport à la ligne des centres (O1O2) s'en déduit immédiatement.
On trouvera 0, 2, 4, 6 ou 8 solutions illustrées par les exemples ci-dessous :
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(c) tangent extérieurement à (c1) et (c2). Son centre A ou A’ est à l'intersection des cercles de centre O1, de rayon r + r1 et de centre O2, de rayon r + r2. |
(c) tangent intérieurement à (c1) et (c2). Son centre B ou B’ est ici à l'intersection du cercle de centre O1, de rayon r − r1 et du cercle de centre O2, de rayon r − r2. |
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(c) de centre C, tangent intérieurement à (c1) et extérieurement à (c2).
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(c) de centre D tangent extérieurement à (c1) et intérieurement à (c2). |
On donne deux droites (d1 ), (d2 ) sécantes, tracer les cercles de rayon donné, tangents à ces deux droites.
Indications
Le rayon r étant donné, construire les droites parallèles à (d1 ) et (d2 ) situées à une distance r de ces deux droites.
Les parallèles construites forment un losange de sommets O, O1, O2, O3.
Les quatre cercles de rayon r, centrés aux sommets du losange, sont les solutions du problème.
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On donne une droite (d) et un cercle (Γ), construire les cercles de rayon donné, tangents à cette droite et à ce cercle. Remarque Le cercle (Γ) ayant pour centre I et pour rayon R, un cercle (c) de centre O et de rayon r est tangent extérieurement à (Γ) si IO = R + r, le point O est sur le cercle (Γ1) de centre I et de rayon R + r. Si R > r, le cercle (c) est tangent intérieurement à (Γ) si IO = R − r, le point O est sur le cercle (Γ2) de centre I et de rayon R − r. Indications Le rayon r étant donné, tracer les deux droites parallèles à (d), situées à une distance r de cette droite. Trouver les points d'intersection de ces parallèles avec les cercles (Γ1) et (Γ2) de centre I et de rayons R + r et R − r. Commandes GéoPlan Touche E : afficher/effacer les cercles tangents Extérieurement à (Γ),
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Cercles tangents extérieurement à (Γ) :
Tracer le cercle (Γ1) de centre I et de rayon R + r. Les points d'intersection de (Γ1) et des parallèles, lorsqu'ils existent, sont les centres de cercles solutions. |
Cercles tangents intérieurement à (Γ) :
Si R > r, il est possible de tracer le cercle (Γ2) de centre I et de rayon R − r. Les points d'intersection de (Γ2) et des parallèles, lorsqu'ils existent, sont les centres d'autres cercles solutions. |
Résolution complète
Au maximum huit solutions. |
a. Cercles d'un même côté des tangentesSoit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) avec r < r’
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b. Quatre tangentes pour deux cercles non sécants
Commande GéoPlan |
Trouver le point I, intersection de deux tangentes, situé sur la ligne des centres (OO’). Pour le tracer il suffit, étant donné un point M variable sur (c), de trouver un point M1 de (c’) tel que le rayon OM1 soit parallèle à OM et de même sens. Le point I est l'intersection des droites (OO’) et (MM1).
Par I, on peut mener deux tangentes communes aux deux cercles. Pour les tracer avec précision, on trouve les points de contact comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO] ou comme intersection du cercle (c’) avec le cercle de diamètre [IO’].
De même, si les cercles (c) et (c’) sont extérieurs l'un à l'autre (r + r’ < OO’), on trouve un deuxième point J en traçant le point M2 de (c’), tel que le rayon OM2 soit parallèle à OM et de sens contraire. L'intersection J des droites (OO’) et (MM2) est alors le point de concours de deux autres tangentes. Tracer les points de contact de ces tangentes, par exemple comme intersection du cercle (c) avec le cercle de diamètre [OJ].
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Paragraphe adapté pour le collège de la page homothéties |
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11. Construire un cercle tangent à trois droites |
Classe de quatrième - Droites remarquables d'un triangle - Bissectrices intérieures |
Les trois bissectrices intérieures d'un triangle ABC sont concourantes en I.
Le point I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, tangent aux trois côtés de ce triangle.
Construction de géométrie dynamique
Il existe des commandes pour tracer la bissectrice d'un angle, le cercle inscrit et le centre de ce cercle.
Il est aussi possible de réaliser la « construction à la règle et au compas » comme suit :
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Tracer la bissectrice de l'angle BAC
en utilisant la configuration du losange : Commande GéoPlan : touche A. |
De même, tracer une deuxième bissectrice, celle de l'angle ABC. La bissectrice (AS) coupe le côté [AC] en B’. Commande : touche B. |
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Ces deux bissectrices se coupent en I. Commande : touche C. |
Par projection orthogonale du point I, par exemple sur le côté (AB), GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : Commande : touche D. |
Scénario GéoPlan : taper C, A, A, B, B, C, D :
Charger la figure des trois bissectrices, taper C pour les effacer et retrouver uniquement le triangle ABC,
taper A pour tracer la bissectrice en A, retaper A pour l'effacer,
taper B pour tracer la bissectrice en B, retaper B pour l'effacer,
taper C pour retrouver les trois bissectrices,
terminer par D pour obtenir le cercle inscrit.
Problème de contact DDD : au lycée, on construira aussi les trois cercles exinscrits du triangle avec les bissectrices extérieures, voir : géométrie du triangle
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Le rayon r du cercle est égal à la moitié de la distance entre les deux parallèles (d1) et (d2).
Le centre du cercle se trouve sur la droite équidistante des deux parallèles et sur une des droites situées à une distance r de la sécante (d3).
Il y a donc deux cercles solutions, centrés en O et O’.
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Boule François - Questions sur la géométrie - Nathan pédagogie - 2001
Comment enseigner la géométrie de l'École au lycée ?
À partir de thèmes souvent originaux, François Boule présente une réflexion pédagogique sur l'enseignement de la géométrie.
Cette façon d'apporter des éléments de réponses qui s'appuient sur une pratique de la géométrie dans des contextes très variés, ne peut qu'enrichir la réflexion, éclairer l'expérience de chaque enseignant.
L'auteur, dans la présentation de son ouvrage, dit ce qu'il n'a pas voulu faire : manuel, traité de géométrie, ouvrage de didactique. Ce n'est certes pas un manuel. Ce n'est pas non plus un traité de géométrie au sens classique du terme.
François Boule se place sur un créneau d'enseignement qui n'est pas courant : réunir en termes d'objectifs,
de niveau d'enseignement, de contenus concernés, l'École et le Collège, c'est-à-dire deux entités
institutionnelles aux cultures, aux logiques, aux objectifs, aux formes pédagogiques, aux enseignants distincts, pour ne
pas dire séparés par une cloison assez étanche. Par la force des choses, ne serait-ce que pour montrer quelles
perspectives s'ouvrent à la fin du collège, on trouvera aussi quelques incursions vers la géométrie du lycée.
Après une cinquantaine de pages consacrées à une vision un peu globale de la géométrie et des finalités de son enseignement en relation avec l'organisation de l'espace et les problèmes de perception et de reconnaissance des formes, voici la liste des titres de chapitre :
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– Circuits et labyrinthes |
– Construction de la mesure |
– Les objets de l'espace |
François Boule n'a pas « montré » la géométrie à partir d'objets (points, droites, cercles…) et de règles (axiomes, théorèmes…) élémentaires, mais s'intéresse à des objets géométriques familiers, objets un peu hétéroclites, mais à qui la vie quotidienne, les jeux, nos habitudes culturelles et scolaires ont conféré le statut d'objets familiers. Pour justifier ce choix, François Boule se place sous le parrainage de CLAIRAULT : « On débute toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d'axiomes et de principes préliminaires qui ne semblent promettre rien que du sec au lecteur. […] Il m'a paru beaucoup plus à propos d'occuper continuellement mes lecteurs à résoudre des problèmes. […] La mesure des terrains m'a paru ce qu'il y avait de plus propre à faire naître les premières propositions de la Géométrie. » (in préface de sa Géométrie, 1741). Et ces objets de natures très différentes qui président à chaque chapitre, sont le fondement d'activités géométriques diversifiées et intéressantes tant scientifiquement que didactiquement (nécessité de faire, d'utiliser des figures, nécessité de mesures exactes, de mesures approximatives, intérêt de comparer, de plier, de découper, d'agrandir… et toujours de justifier, de démontrer).
Notes : cet ouvrage est
l'objet d'une recension de Daniel Reisz dans la rubrique « matériaux pour une documentation » du Bulletin de l'APMEP no 435.
e visite des pages « collège ».
