René DescartesDescartes et les Mathématiques pour mobiles

Courbes de poursuite - Les quatre chiens

Simulation de processus dynamiques : création itérative en 1ère S.

Sommaire

1. Problème des quatre chiens

2. Figures itératives : carrés gigognes

3. Étude d'une suite tendant vers 0

4. Figures itératives : polygones réguliers

a. triangles gigognes

b. pentagones gigognes

5. Retour sur les carrés emboîtés

Étude d'une suite tendant vers 1

6. Courbes du chien

Les problèmes des chiens sont des problèmes de poursuite et d'interception, dans lesquels on cherche les trajectoires et les points de rencontre de chiens, placés initialement aux coins d'un polygone régulier.

1. Figures géométriques et concept de limite

Courbe de poursuite

C'est Léonard de Vinci qui étudia le premier les problèmes de poursuite. Ce sont des problèmes idéaux pour les ordinateurs, qui se décrivent facilement à l'aide d'algorithmes simples.

Peut être l'objet d'un chapitre d'une leçon, hors sujet, de l'agrégation (que j'ai raté trois fois !).

Énoncé
Quatre chiens, quatre mouches, quatre scarabées, quatre lièvres, quatre tortues ou quatre souris (pour les anglophones : four mice problem ; four bugs, four spiders…) : moult versions pour un même problème…

On suppose que quatre chiens identiques « au sens mathématique du terme » sont situés aux quatre sommets d'un carré ABCD. Le chien A se met à courir en direction du chien B, qui lui-même court en direction du chien C, le chien C vers le chien D et le chien D vers le chien A.

La vitesse des chiens est constante en norme. Au fur à mesure des déplacements les chiens parcourent des segments de droite et modifient leurs trajectoires pour rester en direction de leur cible.

Ce problème, important en balistique pour l'étude de la poursuite de missiles, a été étudié au XIXe siècle et nous allons le simuler avec le logiciel.
Ne pas confondre cette application des suites à la géométrie avec les suites géométriques, étudiées en analyse.

Situation
A chaque déplacement une fraction k de la longueur du côté du carré est parcourue.
Étant donné un nombre k compris entre 0 et 1, on considère la suite des carrés obtenus à partir d'un premier carré A0B0C0D0 par l'algorithme suivant : le carré numéro n + 1 est obtenu à partie du carré numéro n en plaçant dans le repère (An, AnBn) le point An+1 d'abscisse k et en faisant de même pour les trois autres côtés.

2. Figures itératives : carrés gigognes

carré inscrit dans un carré - copyright Patrice Debart 2003

Première figure itérative

carres gigognes - copyright Patrice Debart 2003

Résultat de l'itération

debut de trajectoire - copyright Patrice Debart 2003
courbes des chiens - 4 spirales - copyright Patrice Debart 2003

Les chiens tracent quatre spirales logarithmiques dont le centre est celui du carré et de longueur égale au côté du carré.

3. Calculs

Associons à ce problème la suite a des mesures des côtés des carrés an = AnBn

Choisissons comme unité de longueur A0B0, le côté du premier carré, soit a0 = 1.

Cas particulier k = 1/4

Dans le triangle rectangle A1B0B1 d'après la propriété de Pythagore, on a  :
A1B12 = A1B02 + B0B12 = (3/4)^2+(1/4)^2 = 10/16.

a1 = A1B1 = rac(10)/4, a2 = A2B2 = (rac(10)/4)^2.
La suite (an) des longueurs des côtés des carrés est une suite géométrique de premier terme a0 = 1 et de raison λ = rac(10)/4.

Les aires des carrés sont s0 = 1, s1 = 5/2, s2 = 25/4… ; (sn) est une suite géométrique de premier terme s0 = 1 et de raison 5/2.

Le chien situé en A parcourt les longueurs
b0 = A0A1 = 1/4, b1 = A1A2 = 1/4rac(10)/4, b2 = A2A3 = 1/4(rac(10)/4)^2

La trajectoire parcourue par le chien A est la ligne polygonale A0A1A2A3 … An-1An. Elle a pour longueur :
tn = b0 + b1 + b2 + … + bn-1 = tn somme des n premiers termes somme des n premiers termes d'une suite géométrique bn de premier terme b0 = 1/4 et de raison λ = rac(10)/4.
Cette somme est égale à 1/4 (1 - λ^n)/(1 - λ) = (1/4) (1 - λ^n)/(1 - λ).

Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers +∞, λn tend vers 0,
la limite est égale à 1/(1 - λ) = 1/(4-rac(10)) ≈ 1,19 ; c'est la longueur d'une trajectoire.

Cas général

Dans le triangle rectangle A1B0B1, d'après la propriété de Pythagore, on a :
A1B12 = A1B02 + B0B12 = (1 –k)2 + k2 = 1 - 2k + 2k2.

La suite (an) des côtés des carrés est une suite géométrique de premier terme a0 = 1
et de raison λ = rac(1+2k+2k^2).

La suite (sn) des aires des carrés est une suite géométrique de premier terme s0 = 1 et de raison 1 - 2k + 2k2.

La ligne polygonale A0A1A2A3 … An-1An parcourue par le chien A a pour longueur tn = b0 + b1 + b2 + … + bn-1 somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme k et de raison λ = rac(1+2k+2k^2). Cette somme est tn = k(1 - λ^n)/(1 - λ).

Comme λ est compris entre 0 et 1, lorsque n tend vers +∞, λn tend vers 0, la limite est égale à :
lk = k 1/(1 - λ) = k/(1-rac(1+2k+2k^2)). Cette limite représente la longueur d'une trajectoire.

Approximation de lk

Le chemin idéal où le chien modifie sa trajectoire à tout instant correspond au cas où k tend vers 0.

Pour calculer la limite de lk lorsque k tend vers 0, nous connaissons en 1ère S, lorsque x est « petit », les approximations affines :
rac(1+x)≈ 1 + x/2 et 1/(1-x) ≈ 1 + x.

Ici nous devons développer la racine à l'ordre 2, avec par exemple sur la TI-92 la fonction taylor(√(1+x),x,2),
et utiliser rac(1+x)≈ 1 + x/2 - x²/8. En remplaçant x par - 2k + 2k2 et en négligeant les termes supérieurs au degré 2 {ou directement sur la TI-92 avec la fonction taylor(√(1-2*k+2*k^2),k,2) } on obtient rac(1+2k+2k^2) ≈ 1 - k + k^2/2.

Donc,
lk = 1-rac(1 - 2k + 2k²))k/(1-(1-k+k²/2)k/(k-k²/2)1/(1-k/2) ≈ 1 + k/2

Lorsque k tend vers 0, k/2 a pour limite 0, lk tend vers 1. La longueur d'une trajectoire est égale au côté du carré.
On a donc une courbe « illimitée » qui a pourtant une longueur finie. Cette courbe admet un « point limite » qui par raison de symétrie est le centre O des carrés.

Encadrement de lk

Pour démontrer, utilisons l'encadrement 1 - k < rac(1+2k+2k^2) < 1 - k + k2.

On a (1 - k + k2)2 = 1 - 2k + 3k2 - 2k3 + k4 et en élevant au carré la double inégalité :

1 - 2k + k2 < 1 - 2k + 2k2 < 1 – 2k + 2k2 + k2(1 – k)2. Les différences entre les termes sont les nombres positifs k2 et k2(1 – k)2. Ces inégalités sont bien vérifiées.

d'où k <1 - rac(1+2k+2k^2) < k - k2 et 1 < 1-rac(1 - 2k + 2k²)) < 1/(1-k).

Donc, 1 < lk < 1/(1-k). Si 0 < k < 1/3, alors 1/(1-k) < 1 + 2k.

1 < lk < 1 + 2k, lorsque k tend vers 0, 1 + 2k a pour limite 1 et, d'après le théorème des gendarmes, lk tend vers 1. La longueur d'une trajectoire est bien égale au côté du carré.

4. Figures itératives : polygones réguliers

Plus généralement, le problème des chiens est un problème de poursuite et d'interception dans lequel on cherche le point de rencontre de chiens, placés initialement aux coins d'un polygone régulier.

Les chiens se déplacent à la même vitesse constante en norme. Au fur et à mesure des déplacements les chiens parcourent des segments et modifient leur trajectoire pour rester en direction de leurs cibles.

Les chiens tracent des spirales logarithmiques dont le centre est celui du polygone et de longueur égale au côté du polygone.

4.a. Triangles gigognes

Première figure itérative

triangle inscrit dans un triangle - copyright Patrice Debart 2003

Résultat de l'itération

triangles itératifs - copyright Patrice Debart 2003

4.b. Pentagones gigognes

pentagone inscrit dans un pentagone - copyright Patrice Debart 2003
pentagones gigognes - copyright Patrice Debart 2003

5. Retour sur les carrés emboîtés

Autre forme d'après la brochure d'accompagnement des programmes de 1ère S : la suite obtenue n'est ni arithmétique, ni géométrique, une formule explicite ne peut se conjecturer facilement et la limite n'est pas nulle.

À chaque étape du déplacement, la longueur parcourue sur le côté du carré est d'une unité.

On part d'un carré A0B0C0D0 de côté 10 unités. Sur chaque côté, en tournant dans le même sens, on place un point situé à la distance 1 de chaque sommet du carré. On obtient le carré A1B1C1D1, et on itère…

carré emboite dans un carré - copyright Patrice Debart 2003
carres gigognes - copyright Patrice Debart 2003

On obtient des carrés de plus en plus petits, mais on a l'impression que cela s'arrête.

Nous admettrons que tous les quadrilatères sont des carrés.

Soit un la longueur du côté du carré AnBnCnDn avec u0 = 10.
Le théorème de Pythagore, dans le triangle An+1BnBn+1, rectangle en Bn, permet d'écrire :
un+12 = (un - 1)2 + 1 ;
u est donc la suite définie par récurrence par u0 = 10 et un+1 = rac(un-1)²+1.

Voici les calculs effectués avec un tableur :

n

un

n

un

0

10

8

2,80034534815394

1

9,05538513813742

9

2,05942792362819

2

8,11721810251056

10

1,45684162672651

3

7,18712693074945

11

1,09941087492808

4

6,26741889913265

12

1,00492911294975

5

5,36150182868008

13

1,00001214800345

6

4,47467297146727

14

1,00000000007379

7

3,61570909485887

15

1,00000000000000

On remarque que les résultats se stabilisent à partir de n = 12 : l'affichage de An+1 est confondu avec Bn. Le tableur affiche la valeur approchée 1 à partir de n = 15. Les chiens ne se rattrapent pas, mais tournent sur les bords de carrés de côtés de longueurs voisinent de 1.

Mais on peut démontrer que pour tout n, un ≥ 1, et montrer par l'absurde que un ≠ 1, donc un > 1.
En déduire que u est une suite décroissante.

Pour montrer que la suite u est convergente vers l = 1 solution de l'équation :
l = rac((l-1)²+1), nous utiliserons la suite auxiliaire v telle que vn = un - 1, où vn représente la longueur de An+1Bn :

v est une suite décroissante dont tous les termes sont strictement positifs.
Pour tout n ≥ 0, on a vn+1 <vn²/2

Démonstration de ces inégalités par comparaison de carrés :

(vn+1 + 1)2 = un+12 = (un - 1)2 + 1 = vn2 + 1 est à comparer
avec (vn²/2 + 1)2 = vn4/4 + vn2 + 1.

Comme 0 < vn2/4, on a vn2 + 1 < vn4/4 + vn2 + 1
et puisque le membre de gauche vaut (vn+1 + 1)2
et le membre de droite vaut (vn²/2 + 1)2,
on obtient l'inégalité : (vn+1 + 1)2 < (vn²/2 + 1)2.
En raison de la croissance de la fonction racine, par extraction de la racine de ces termes positifs : vn+1 + 1 < vn²/2 + 1
et enfin, par soustraction de 1, vn+1< vn²/2 ; d'où l'assertion.

Application des inégalités

Comme v10 < 1, on a v11 <v10/2< 1/2 et pour n ≥ 10, vn+1 <vn²/2< vn/2,
donc pour n ≥ 10 on a 0 < vn < 1/2^(n-10).
La suite v de termes positifs, majorés par une suite géométrique de limite nulle, a une limite égale à 0.
La suite u, telle que un = vn + 1, a une limite égale à 1.

6. Laisser donc courir le chien - Courbes du chien

courbe du chien lorsque le maitre se deplace sur une droite - copyright Patrice Debart 2003

Le chien de Léonard Euler

Un chien a l'habitude de courir avec son maître.
Il s'efforce d'aller vers lui, mais comme ce dernier se déplace, il modifie régulièrement sa trajectoire, en progressant par bonds successifs.
Le chien et le maître courent à la même vitesse.

Ci-contre : tractrice, courbe du chien lorsque le maître se déplace sur une droite.

Courbe du chien lorsque le maître se déplace sur un cercle.

courbe du chien lorsque le maitre se deplace sur un cercle - copyright Patrice Debart 2003

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