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Droites remarquables du triangle (ménéliennes)

Droite de Simson (ou droite de Wallace) - Droite de Steiner.

Ménélienne

Dans un triangle, une ménélienne est une droite (transversale) ne passant pas par un des sommets.

1. Droite de Simson (ou droite de Wallace)

Dans un triangle ABC (non plat), soit M un point du plan et I, J et K les projetés orthogonaux de M sur les droites (AB), (BC) et (AC).
Le point M est sur le cercle circonscrit au triangle si et seulement si I, J et K sont alignés.
Dans ce cas, la droite portant les points I, J et K s'appelle la droite de Simson associée au point M.

Cette droite est aussi qualifiée de droite de Wallace du point M.

Théorème : pour que quatre points soient cocycliques, il faut et il suffit que les projections orthogonales de l'un d'eux sur les côtés du triangle déterminé par les trois autres soient trois points alignés.

Théorème de Steiner : « L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde. »

Télécharger la figure GéoPlan simson.g2w

2. Droite de Steiner

Dans un triangle ABC (non plat), soit M un point du plan et I’, J’ et K’ les symétriques de M par rapport aux droites (AB), (BC) et (AC). Alors M est sur le cercle circonscrit au triangle si et seulement si les points I’, J’ et K’ sont alignés.

Dans ce cas, la droite portant les points I’, J’ et K’ s'appelle la droite de Steiner associée au point M.

L'orthocentre H du triangle est situé sur la droite de Steiner.

Télécharger la figure GéoPlan steiner.g2w

Publimath : droite de Steiner

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