René DescartesDescartes et les Mathématiques

Ennéagone régulier

Page en projet : Construction approchée du polygone régulier de 9 côtés.

Sommaire

Trisection de l'angle

Ennéagone

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Trisection

Triangle
équilatéral

Construction du pentagone régulier

Faire de la
géométrie dynamique

Trisection de l'angle

Partager un angle quelconque en trois angles égaux.

Trouver la trisection d'un angle θ il faut trouver x tel que 3x = θ. On a : cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x.
cos x = X est donc solution de l'équation cos θ = 4 X3 − 3 X.

La trisection revient à savoir si les solutions de cette équation sont constructibles.

D'après le théorème de Wantzel, pour que la trisection soit possible, l'équation 4 X3 − 3 X − cos θ = 0 doit être réductible au second degré dans Q.
Par exemple, la trisection d'un angle de mesure θ = pi/3 n'est pas possible :

cos(pi/9), solution de l'équation irréductible dans Q[X] : 4 X3 − 3 X − 1/2 = 0, est algébrique sur Q de degré 3.

Ce qui montre, du même coup, l'impossibilité de tracer à la « règle et au compas » l'ennéagone régulier (9 côtés), résultat prouvé en 1801 par Gauss.

Ennéagone

Côtés

Angle au
centre

Angle
intérieur

Ennéagone

9

40°

140°

n côtés

n

2pi/n
((n - 2) x 180°)/n

Non constructible à la « règle et au compas », car la trisection d'un angle de mesure pi/3 n'est pas possible, résultat prouvé en 1801 par Gauss.

Construction de Thalès

polygone régulier a 9 côtés - construction approchée de l'ennéagone - copyright Patrice Debart 2013

Cette construction d'un ennéagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas.

Deux points A et A1 étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA1].
Les cercles de centres A et A1 et de rayon AA1 se coupent en P et Q.

On divise le diamètre [AA1] en n = 9 parties égales.

Les droites (PI2), (PI4), (PI6) et (PI8) rencontrent
le cercle (c) en B, C, D et E, sommets du polygone.

On le complète par symétrie par rapport à (AA1).
On obtient alors les points I, H, G et F intersections du cercle (c) et des droites (QI2), (QI4), (QI6) et (QI8).

ABCDEFGHI est une construction approchée de l'ennéagone régulier.

g2w Télécharger la figure GéoPlan enneagone.g2w

Copyright 2013 - ©

Comment dessiner un polygone à 9 côtés : www.apprendredessin.fr

Construction par neusis

Une construction par neusis ou par inclinaison est un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à tracer un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données. Il s'agit ici de construire un angle de 140°…

Partager un cercle en 9

Tracer un ennéagone régulier, non constructible à la « règle et au compas »,

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Page créée le 30/12/2010